(完整版)四年级奥数三角形
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
小学四年级奥数竞赛班作业第17讲：三角形的边角关系
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1
7. 如图，在直角 AOB 内有两条射线 OC ， OD ．已知 1 比 2 小10 ， 3 比 2 大10 ，
则 3 C B
8. 如 图 ， 在 三 角 形 ABC 中 ， 点 D 在 BC 上 ， 且 ABC AC B， ADC DAC ， DAB 21 °，求 ABC 的度数.
5、 根据题目说明 B A 10 ， C A 20 ， D A 30 ，所以 A (360 10 20 30 ) 4 75 、 C 75 20 95 ．
6、 这个多边形的内角和是： (6 2) 180 720 ，所以 x 40 ．
代入得 6x 3x 2x 165 ，即11x 165 ．解得 x 15 ，所以 1 90 ， 3 30 ．
10、由 E 20 ，得到 EFG EGF 180 20 160 ，所以 AFB CGD 160 ，所以
A B C D 180 AFB 180 CGD
L A
1
D
O
2
C
3
B
14. (第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第 1 试) 如图， 1 2 ， 3 4 ， 5 130 ，那么 A _______度．
A
1
B
2
5
3
4
C
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3
答案： 1、 第三条边最小也要大于 7－4＝3cm，最大也要小于 7＋4＝11 厘米。
所以 L 的范围是：14cm＜L＜22cm
7、 2 90 3 30 , 3 2 10˚ 40˚ ．
四年级奥数讲义：三角形的等积变形
四年级奥数讲义:三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式:三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究,我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等,其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．,它们所对的顶点同为A点,（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中,△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A、D 在与底BC平行的直线上,（也就是它们的高相等）,那么这两个三角形的面积相等．例如右图中,△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）,△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE）,则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2:如右图,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形,即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为及1∶3∶4．方法1:如下左图,将BC边八等分,取1∶3∶4的分点D、E,连结AD、AE,从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE,从而得到三个三角形:△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决．例3 如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:△AOB与△COD面积相等．证明:∵△ABC与△DBC等底等高,∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4 如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法,如右图,把顶点A移到CB的延长线上的A′处,△A′BD与△ABD面积相等,从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解:①连结BD；②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A′．③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积．例5 如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1:连结BD,在△ABD中∵BE=3AE,∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中,∵CD=2AD,∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2:连结CE,如右图所示,在△ACE中,∵CD=2AD,∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中,∵BE=3AE∴S△ABC=4S△ACE=4×3=12（平方厘米）．例6 如下页图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=解:连结BG,在△ABG中,∴S△ADG+S△BDE+S△CFG例7如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解:连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S △ACF；∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8 如右图,四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH．求四边形EFGH的面积．解:连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD,有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理S△AEH=2S2,因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理,连结AC之后,可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积．解:连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．习题十三一、选择题（有且只有一个正确答案）:1．如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE 等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2．如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有______对．（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对4．如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是______．（A）1∶1 （B）1∶1.1（C）1∶1.2 （D）1∶1.45．如右图,长方形AEGK四周上共有12个点,相邻两点的距离都是1厘米,以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．（A）24个（B）25个（C）26个（D）27个二、填空题:1．如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的______．2．如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是______．3．如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,S△BEG∶S△CEG=2∶1,S△CFG∶S△DFG=1∶1,那么这四个小三角形面积之和______．4．如上右图,在△ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．三、解答题:1．如下左图,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知S△ABC=27平方厘米,求S△DEF．2．如下左图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点,且SABCD=54平方厘米,求S△BEF．3．如上页右图,将四边形ABCD各边都延长一倍至A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形A' B' C' D'．如果四边形ABCD的面积是1,求四边形A'B'C'D'的面积．4．如右图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如果四边形ABCD的面积是1,求△EFG的面积？。
四年级奥数三角形面积应用题
四年级奥数三角形面积应用题
一、知识点回顾
1. 三角形面积公式：公式，其中公式表示三角形的面积，公式表示三角形的底，公式表示这条底边对应的高。
2. 在解决三角形面积应用题时，关键是要准确找出底和对应的高。
二、例题及解析
例1：
一个三角形的底是8厘米，高是5厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
解析：
已知三角形的底公式厘米，高公式厘米。
根据三角形面积公式公式，可得：
公式
公式
公式（平方厘米）
例2：
三角形花坛的底是12米，高是8米。
如果每平方米种3株花，这个花坛一共可以种多少株花？
解析：
首先求三角形花坛的面积。
已知底公式米，高公式米。
根据面积公式公式，可得：
公式
公式
公式（平方米）
因为每平方米种3株花，那么这个花坛一共可以种花的数量为：公式
（株）
例3：
有一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，求这个三角形的高是多少厘米？
解析：
已知三角形面积公式平方厘米，底公式厘米。
根据三角形面积公式公式，可推导出高公式。
则公式
公式
公式（厘米）
例4：
一块三角形地，底边长25米，高16米。
如果每平方米收小麦0.8千克，这块地一共可以收小麦多少千克？
解析：
先求三角形地的面积。
底公式米，高公式米。
根据面积公式公式，可得：
公式
公式
公式
公式
公式（平方米）
每平方米收小麦0.8千克，则这块地一共收小麦：公式（千克）。
四年级奥数-三角形
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按边分类： 等腰三角形 等边三角形 等腰直角三角形
【三角形基础知识】
1
三角形的分类： 按边分类：
两边之和大于第三边 两边之差小于第三边
【三角形基础知识】
Байду номын сангаас
【例1】(★★) 计算下面各题。 ⑴已知∠1＝30°，∠3＝40°，那么∠2＝_____。
⑵从长度分别为10cm，20cm，30cm，40cm的四根木条 中，任取三根可组成三角形的个数是____。
【例2】(★★) 9个同样的直角三角形卡片拼成了如图所示的平面图形，则这种三角 形卡片的3个角中最小的角是多少度？
【例3】(★★) 如图所示，求∠A＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D＋ ∠E＋ ∠F＝______。
2
【例4】(★★) 如图所示，八边形的8个内角都是135°，已知AB＝EF，BC＝20，DE ＝10，FG＝30，求AH的长度。
3
三角形面积 面积＝底×高÷2
【三角形基础知识】
【例5】(★★) 下面两幅图都是由边长为8和6的两个正方形拼成，请根据图中所示的 线段长度，求出阴影三角形的面积。
【例6】(★★★★) 如图，ABCD是一个长方形，E点在CD延长线上。已知AB＝5，BC＝ 12，且三角形AFE的面积等于20，那么三角形CFE的面积等于多少？
三角形
什么是三角形？ 由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次连 接所组成的封 闭图形叫做三角形。
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按角分类： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按角分类：
三角形内角和：180° 三角形外角和：360° N边形内角和：180°×(n－2) N边形外角和：360°
四年级三角形内角和奥数练习题
四年级三角形内角和奥数练习题[问题一] 一个三角形的两个内角和是85，你知道这是一个什么三角形吗？想：根据两个内角和是85和三角形的内角和是180，可知第三个内角是180-85=95，所以这是一个钝角三角形。
解：180-85=95答：这是一个钝角什么三角形。
[试一试]1、一个三角形的两个内角和是110，你知道这是一个什么三角形吗？00000000000２、在△ABC中，已知∠A是∠B的3倍，且∠A比∠B 大60，这个三角形各个角是多少度？你知道这是一个什么三角形？3、一个等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，这个三角形各个角是多少度？[问题二]在一个三角形中，已知∠1是∠2的2倍，∠2是∠3的这是一个什么三角形？想：根据∠2是∠3的001。
这个三角形各个角是多少度？31，可知∠3是∠2的3倍，而且∠1是∠2的2倍，因为三角形的内300000角和是180，所以∠2=180÷=30，∠1=30×2=60，∠3=30×3=90。
解：∠2=180÷=30 ∠1=30×2=60 ∠3=30×3=90答：这个三角形各个角分别是30、60和90，这是一个直角三角形。
[试一试]1、一个三角形的最大角是最小角的5倍，另一个角是最小角的3倍，这是一个什么三角形？2、在一个三角形中，已知∠1的度数是∠2的2倍，∠2的度数是∠3的3倍。
这个三角形各个000000000 角是多少度？这是一个什么三角形？3、已知一个三角形的一个内角是72，是另外一个内角的4倍，这个三角形是什么三角形？[问题三]同学们知道三角形的内角和是180，你能运用这个知识分别求出四边形、五边形、六边形的内角和吗？想：如图，把四边形、五边形、六边形分成若干个三角形，因为一个三角形的内角和是180，所以四边形、五边形、六边形分别是180×2、180×3、180×4。
解：四边形的内角和：180×2=360五边形的内角和：180×3=540六边形的内角和：180×4=720答：四边形、五边形、六边形的内角和分别是360、540、720。
(完整版)四年级奥数三角形
三角形知识小屋：1、三角形由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
三角形有三个顶点，三个角和三条边。
从三角形的一条顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
2、画三角形步骤：○1先画一条线段，即一条边；再让量角器的中心和线段的端点重合，0刻度线和射线重合。
②在所需的刻度线的地方点一个点（内外刻度要分清），画出一个已知角。
及另一条边③根据要求确定其它边的长度和角的大小。
3、按角分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
按边分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
4、锐角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
直角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
钝角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
5、任何三角形的内角和都是（）。
任何三角形至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。
6、任何三角形的两边之和都（）第三边。
（用﹥、﹤、﹦填空）7、等腰三角形不一定是等边三角形，但是等边三角形一定是等腰三角形。
例1 已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2＝90°∠1=60°，求∠3是多少度？这个三角形是什么三角形？∠2是∠3的几倍？例2 已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2+∠1=∠3，求∠3是多少度？如果∠3是∠1的2倍，则∠1，∠2分别是多少度？这个三角形是什么三角形？例3 已知等腰三角形的一个角是38°，它的另一个底角是多少度?例4 如右图，已知∠1＝60°，∠4＝25°，求∠3的度数例5 如图，∠1=70°，∠2=45°，∠3=28°，则∠4=（）∠5=（）例6 如图，两个三角形都是等腰三角形，∠3是多少度？探索练习：1.在一个等腰三角形中，已知一个角为68°，求另两个角？如果是在直角三角形中呢？2.在下图中,已知∠1＝130°，∠4＝110°，求∠2的度数?3.已知：如图∠2＝58°，∠3＝37°，∠4＝55°，求∠1的度数?4.在三角形ABC中，已知∠A＝2∠C，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C？[试一试]1、如图：在等边三角形ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，求∠5的度数。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第3讲：三角形(学生版)
第三讲三角形(1).三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形(2).三角形有三个顶点，三条边和三个角。
从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
为了表达方便，用字母A,B,C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC。
(3).三角形具有稳定的特性，这一特性在生活中有着广泛的应用(4).三角形边的关系：三角形任意两边的和大于第三边，如果用a,b,c表示三角形三条边的长度，则有：a+b＞c;a+c＞b;b+c＞a。
(5).认识几种三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形(6).三角形的分类：（1）按角分有：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。
（2）按边分有：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中还包括三条边都相等的等边三角形。
(7).等腰三角形各部分的名称;在等腰三角形里，相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角；底边上的两个角叫做底角。
等腰三角形的两个底角相等。
(8).三角形的内角和：任何三角形三个内角的和都是180度。
一个三角形，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180度”求出第三个角的度数。
(9).用三角形拼四边形两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形；两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形；两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形；三个完全相同的三角形可以拼成一个梯形。
一：三角形内角和定理的应用。
二：三角形三边关系的应用，及画钝角三角形高。
1．两个椭圆圈重合的部分应是什么三角形?2．在能组成的三角形的三个角后面画“√”。
1． 900 500 400 ( )2． 500 500 500 ( )3． 1200 300 300 ( )4． 1000 320 190 ( )5． 600 600 600 ( )3．在能组成三角形的三条线段后面画“√”。
第4讲 三角形(三角形的内角和)-四年级奥数下册同步精讲精练(西师大版)
157第四讲 三角形(三角形的内角和)ʌ知识概述ɔ三角形的内角和是180ʎ,在等边三角形,每个内角都是60ʎ,在等腰三角形中,顶角的度数=180ʎ-底角的度数ˑ2,底角的度数=(180ʎ-顶角的度数)ː2,在直角三角形中,一个锐角=90ʎ-另一个锐角㊂此外,三角形三个内角的外面还有外角,如图所示,ø1㊁ø2㊁ø3是三角形的内角,ø4㊁ø5㊁ø6是这个三角形的外角,因为ø1+ø2+ø3=180ʎ,ø4+ø3=180ʎ,所以ø1+ø2=ø4,同理,ø2+ø3=ø5,ø1+ø3=ø6㊂同学们可以想一想三角的外角和是多少度?利用这些规律,可以解答关于三角形内角和的问题㊂例题精学例1 计算图中ø1的度数㊂ʌ思路点拨ɔ 图中ø1+110ʎ+ø2=180ʎ,155ʎ+ø2=180ʎ,所以ø1+110ʎ=155ʎ,ø1=45ʎ㊂同步精练1.如图,三角形A B C 为直角三角形,求ø1㊁ø2的度数㊂1582.求图中ø1㊁ø2㊁ø3的度数,并算出这三个角的度数和㊂3.求图中ø1和ø2的度数㊂159例2 在等边三角形A B C 中,ø1=ø2,ø3=ø4,ø5=( )ʎ㊂ʌ思路点拨ɔ 在等边三角形A B C 中,øA B C 和øA C B 都等于60ʎ,ø1=ø2=30ʎ,ø3=ø4=30ʎ,所以ø5=180ʎ-ø2-ø4=180ʎ-30ʎ-30ʎ=120ʎ㊂同步精练1.如图所示,ø1=ø2,ø3=ø4,求ø5㊂2.如图,在三角形中,ø2比ø1大20ʎ,ø3比ø2大20ʎ,那么ø1㊁ø2㊁ø3各是多少度?3.如图,在三角形A B C 中,ø1=ø2,ø3=ø4,ø5=130ʎ,øA 等于多少度?160例3 如图,øA 和øB 分别是多少度?ʌ思路点拨ɔ 在直角三角形B D C 中,øB =90ʎ-40ʎ=50ʎ,在直角三角形A B C 中,øA =90ʎ-øB =90ʎ-50ʎ=40ʎ,还可以这样想:在直角三角形A B C 中,øA C D =90ʎ-40ʎ=50ʎ,在直角三角形A C D 中,øA =90ʎ-øA C D =90ʎ-50ʎ=40ʎ㊂同步精练1.如图,ø1=25ʎ,ø2=80ʎ,求øC A D 的大小㊂2.已知ø1=40ʎ,ø2=50ʎ,ø3=60ʎ,ø4等于多少度?3.如图,正方形中有四个三角形,求ø1㊁ø2㊁ø3的度数㊂161例4 如图,ø1+ø2+ø3+ø4+ø5=( )ʎ㊂ʌ思路点拨ɔ 为了便于说明,给这个图形标上字母,如图在三角形F E C 中,ø3+ø5=øA F G ,在三角形B G D 中,ø2+ø4=øA G F ,所以ø1+ø2+ø3+ø4+ø5=ø1+øA F G +øA G F =180ʎ㊂同步精练1.如图,øA +øB +øC +øD +øE +øF =( )ʎ㊂2.两个三角板如图放置,øB F E 是øC A F 的几倍?3.如图,在五角星中,ø1+ø2=( )ʎ㊂162练习卷1.如图,三角形A B C 中,øA =20ʎ,D E ㊁F C 和E F 相连,A D =D E =E F =F C =B C ,那么图中øA B C 是多少度?2.求出下列图中ø1的度数㊂(1)ø1=( )ʎ (2)ø1=( )ʎ3.下面是一个直角三角形,计算ø1㊁ø2和ø3的度数㊂1634.求图中ø1㊁ø2和ø3的度数㊂5.如图,已知ø1=75ʎ,ø2=20ʎ,ø3=46ʎ,求ø5的度数㊂6.已知ø1=30ʎ,ø2=60ʎ,ø3=40ʎ,求ø4㊁ø5和ø6的度数㊂1647.如图,已知øB =38ʎ,øC =55ʎ,øD E C =23ʎ,求øF 的度数㊂8.如图,已知ø2=35ʎ,求ø1㊁ø3的度数㊂(2)6.(1)A(1,6)O(2,3)B(2,6)(2)第四讲三角形(三角形的内角和)例1因为ø1+110ʎ+ø2=180ʎ,155ʎ+ø2=180ʎ,所以ø1+110ʎ= 155ʎ,ø1=45ʎ㊂[同步精练]1.ø2+48ʎ=70ʎ,ø2=22ʎ,ø1+ø2=90ʎ-48ʎ,ø1+22ʎ=42ʎ,ø1=20ʎ2.ø1=180ʎ-88ʎ=92ʎ,ø2=180ʎ-50ʎ=130ʎ,ø3=88ʎ+50ʎ= 138ʎ,ø1+ø2+ø3=92ʎ+130ʎ+138ʎ=360ʎ3.ø1=180ʎ-40ʎ-60ʎ=80ʎ,ø2=40ʎ+60ʎ=100ʎ例2ø1+ø2=60ʎ,ø1=ø2=30ʎ,ø3+ø4=60ʎ,ø3=ø4=30ʎ,ø5=180ʎ-ø2-ø4=180ʎ-30ʎ-30ʎ=120ʎ307[同步精练]1.ø1+ø2+ø3+ø4=180ʎ-70ʎ=110ʎ,2ø2+2ø4=110ʎ,ø2 +ø4=55ʎ,ø5=180ʎ-55ʎ=125ʎ2.ø2=ø1+20ʎ,ø3=ø2+20ʎ=ø1+40ʎø1+ø2+ø3=ø1+(ø1+20ʎ)+(ø1+40ʎ)=180ʎ3ø1+60ʎ=180ʎø1=40ʎ,ø2=60ʎ,ø3=80ʎ3.ø2+ø4=180ʎ-ø5=180ʎ-130ʎ=50ʎø1+ø2+ø3+ø4=2ø2+2ø4=100ʎ,øA=180ʎ-100ʎ=80ʎ例3 øB=90ʎ-40ʎ=50ʎ,øA=90ʎ-50ʎ=40ʎ[同步精练]1.øC=180ʎ-ø1-ø2=180ʎ-25ʎ-80ʎ=75ʎøC A D=180ʎ-90ʎ-75ʎ=15ʎ2.ø1+ø2=ø3+ø4,ø4=40ʎ+50ʎ-60ʎ=30ʎ3.ø1=60ʎ,ø2=90ʎ-60ʎ=30ʎ,ø3=(180ʎ-ø2)ː2=(180ʎ-30ʎ)ː2=75ʎ例4 ø3+ø5=øA F G,ø2+ø4=øA G Fø1+ø2+ø3+ø4+ø5=ø1+øA F G+øA G F=180ʎ[同步精练]1.如图,øA+øB=180ʎ-ø3308øC+øD=180ʎ-ø2øE+øF=180ʎ-ø1øA+øB+øC+øD+øE+øF=180ʎ-ø3+180ʎ-ø2+180ʎ-ø1=540ʎ-(ø1+ø2+ø3)=540ʎ-180ʎ=360ʎ2.øB F E=360ʎ-90ʎ-90ʎ-45ʎ=135ʎøC A F=60ʎ-45ʎ=15ʎøB F EːøC A F=135ʎː15ʎ=93.如图,ø1=ø2=2øAø1+ø2+øA=180ʎ5øA=180ʎøA=36ʎ,ø1+ø2=180ʎ-36ʎ=144ʎ练习卷1.A D=D E,øA=øD E A=20ʎ,øA D E=180ʎ-20ʎ-20ʎ=140ʎ,D E=E F,øE D F=øDF E=180ʎ-øA D E=180ʎ-140ʎ=40ʎ,øD E F =100ʎ,E F=F C,øF E C=øF C E=180ʎ-øA E D-øD E F=180ʎ-30920ʎ-100ʎ=60ʎ,F C=B C,øC F B=øF B C=180ʎ-øE F D-øE F C= 180ʎ-40ʎ-60ʎ=80ʎ,即øA B C=80ʎ2.(1)30ʎ(2)77ʎ3.ø3=180ʎ-50ʎ=130ʎ,ø1=90ʎ-(180ʎ-60ʎ-50ʎ)=20ʎ,ø2= 90ʎ-60ʎ=30ʎ4.ø1=180ʎ-50ʎ-60ʎ-40ʎ=30ʎø3=180ʎ-50ʎ-60ʎ=70ʎø2=180ʎ-70ʎ=110ʎ5.ø4=ø2+ø3=20ʎ+46ʎ=66ʎø5=180ʎ-ø1-ø4=180ʎ-75ʎ-66ʎ=39ʎ6.ø4=180ʎ-ø1-ø3=180ʎ-30ʎ-40ʎ=110ʎø5=180ʎ-ø4=180ʎ-110ʎ=70ʎø6=180ʎ-ø2-ø5=180ʎ-60ʎ-70ʎ=50ʎ7.øF A E=øB+øC=38ʎ+55ʎ=93ʎøD E C=øF E A=23ʎøF=180ʎ-øF E A-øF A E=180ʎ-93ʎ-23ʎ=64ʎ8.ø1=90ʎ-ø2=90ʎ-35ʎ=55ʎø3=90ʎ-ø2=90ʎ-35ʎ=55ʎ第五讲小数例15.845>5.84>5.8399>5.839>5.79[同步精练]1.整数部分都是7,就比十分位㊂十分位上8最大,是7的几个数再比百分位或千分位上的数㊂7<7.007<7.07<7.7<7.707<7.708<7.8㊂310。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲 三角形等各类变形 精英篇(解析版)全国通用
第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
例题精讲【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。
① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是： 三角形ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。
四年级数学三角形及其他奥数题
(一)、填空1.等腰三角形的两条边( )，它是( )图形，有( )条对称轴；等边三角形的( )相等，每个角都是( )度，它是( )图形，有( )条对称轴。
2.两条边相等的三角形叫( )三角形，已知它的底角为75°，那么顶角是( )度。
3.一个等腰三角形的一个底角是45°，顶角是( )度，它又叫( )三角形。
4.任何一个三角形三个内角的和是( )度。
5.三角形的一个内角为45°，另一个内角是它的2倍，第三个内角是( )度，这个三角形叫( )三角形。
(二)、判断，对的打“√”，错的打“×”6.∠1=75°，∠2=20°，∠3=85°，能组成三角形。
( )7.∠1=65°，∠2=76°，∠3=40°，不能组成三角形。
( )8.三条边分别为15厘米、7厘米、8厘米。
能组成三角形。
( )9.三条边分别为2.5厘米、4.5厘米、8厘米。
不能组成三角形。
( )10.一个三角形三条边的长度分别是6厘米、5厘米、6厘米，这个三角形是等腰三角形。
( )11.等腰三角形不可能是钝角三角形。
( )12.有两个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。
( )13.等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。
( )(三)、等腰三角形的一个底角是75°，顶角是多少度?(四)、画出下面三角形底边上的高。
2.在一个等腰三角形中，底角的度数是顶角的2倍，求顶角和底角的度数。
3.计算9999×2222＋3333×3334（用简便计算）4、父亲45岁，儿子23岁。
问几年前父亲年龄是儿子的2倍？5.求1至100内所有不能被5或9整除的整数和。
6.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.23, 26, 30, 33A、B、C、D 4个数的平均数是多少？7.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？。
小学四年级奥数题库：三角形面积(高等难度)_题型归纳
小学四年级奥数题库：三角形面积（高等难度）_题型归纳
小学四年级奥数题库：三角形面积（高等难度）
如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．
三角形面积答案：
通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．。
小学四年级奥数讲义专题一 等边三角形
小学四年级奥数讲义专题一等边三角形一、定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
下图是一个等边三角形的示例：A/ \/ \B-----C二、性质1. 三条边相等：等边三角形的三条边长度都相等。
2. 三个内角均为60度：等边三角形的三个内角都是60度。
3. 三条高、三条角平分线重合：等边三角形的三条高线、三条角平分线都重合于一个点，称为垂心或重心。
三、判断方法判断一个三角形是否为等边三角形，可以使用以下方法：1. 测量三条边的长度，如果它们相等，则是等边三角形。
2. 观察三个内角，如果它们都是60度，则是等边三角形。
3. 可以通过分析等边三角形的性质，比如三个内角为60度、三条边相等，来判断是否为等边三角形。
四、例题例题1判断下列三角形是否为等边三角形：A/|\/ | \B---C---D解答：由图可见，三角形ABC的三边长度相等，故为等边三角形。
例题2若一个三角形的三个内角都是60度，是否一定为等边三角形？解答：不一定。
虽然等边三角形的三个内角都是60度，但其他三角形的三个内角都是60度时，不一定是等边三角形。
例如，下图所示的三角形就不是等边三角形：A/|\/ | \B-----C五、总结等边三角形是三角形中特殊的一种，它的三条边长度相等，三个内角都是60度。
判断一个三角形是否为等边三角形，可以通过测量边长、观察内角、分析性质等方法进行。
同时要注意，一个三角形的三个内角都是60度并不一定是等边三角形，还需要同时满足边长相等的条件。
四年级奥数复习三(学生版)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规 则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系．
梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
Aa D S1
S2 O S4
S3
B
C
b
① S1 : S3 = a2 : b2 ② S1 : S3 : S2 : S4 = a2 : b2 : ab : ab ；
A
D
O
B
C
13、如图，梯形 ABCD 中， ∆AOB 、 ∆COD 的面积分别为1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积．
A
B
O
D
C
四年级奥数复习三 第 6 页 共 9 页
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14、如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是11，三角形 BCH 的面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．
之比
鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 S△ABC : S△ ADE = ( AB × AC) : ( AD × AE)
D
C
F G
A
E
B
19、如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是_____平方厘米．
小学四年级的数学三角形与其他奥数题.doc
(一)、填空1. 等腰三角形的两条边 ( )，它是()图形，有()条对称轴；等边三角形的 ( )相等，每个角都是()度，它是()图形，有( )条对称轴。
2.两条边相等的三角形叫 ( ) 三角形，已知它的底角为 75°，那么顶角是 ( ) 度。
3.一个等腰三角形的一个底角是 45°，顶角是 ( ) 度，它又叫 ( )三角形。
4.任何一个三角形三个内角的和是 ( ) 度。
5.三角形的一个内角为45°，另一个内角是它的 2 倍，第三个内角是()度，这个三角形叫 ()三角形。
(二)、判断，对的打“√” ，错的打“×”6. ∠1=75°，∠ 2=20°，∠ 3=85°，能组成三角形。
( )7. ∠1=65°，∠ 2=76°，∠ 3=40°，不能组成三角形。
( )8. 三条边分别为 15 厘米、 7 厘米、 8 厘米。
能组成三角形。
( )9.三条边分别为 2.5 厘米、4.5 厘米、8 厘米。
不能组成三角形。
( )10. 一个三角形三条边的长度分别是 6 厘米、5 厘米、6 厘米，这个三角形是等腰三角形。
( )11.等腰三角形不可能是钝角三角形。
( )12.有两个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。
( )13.等边三角形是等腰三角形，等腰三角形也是等边三角形。
()(三)、等腰三角形的一个底角是75°，顶角是多少度 ?( 四) 、画出下面三角形底边上的高。
2.在一个等腰三角形中，底角的度数是顶角的 2 倍，求顶角和底角的度数。
3.计算9999 ×2222＋3333 ×3334 （用简便计算）4、父亲 45 岁，儿子23 岁。
问几年前父亲年龄是儿子的 2 倍5.求 1 至 100 内所有不能被 5 或 9 整除的整数和。
,这样计算了 4 次 ,得到下6.A 、B 、C 、D 四个数 ,每次去掉一个数, 将其余下的三个数求平均数面 4 个数 .23, 26, 30, 33A、 B、 C、 D 4 个数的平均数是多少7.甲、乙两桶油共重 30 千克，如果把甲桶中 6 千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油。
小学四年级奥数题添加一条直线划分两个三角形
小学四年级奥数题添加一条直线划分两个三角
形
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小学四年级奥数题添加一条直线划分两个三角形
问题：
一道小学奥数题画一条直线，把图形分成两个三角形
解答：
不规则的五边形都可以，
1 先画个圆
2 在画出这个圆的一对成直角的直径（说白了就是用直线通过顶点把这个圆分成4等份，懂了不）
3 一个直径等于两个半径，随便选你画的直径上你任何一个半径，找到它的中点
4 用圆规以这个你找的中点为一点，量出与你找中点所在半径所垂直的半径与圆的边的交点的长度
5 保持这个长度
6 以你所找的中点为圆心，以你找的长度画圆
7 我们就可以看见中点所在的直径上有有了一个点
8 找到新的点，还是用圆规量出与你点所在半径垂直的半径与圆边的交点的距离
9 好了，就快大功高成了，保持这个距离
10 不要管以前画的什么直径啊，半径什么，用这个距离，在圆的边上找一点，画个圆，你可以得到3个点，在分别用其他两个点画园，又可以得到两个点
11 连接5个点
12 完成
虽然这个方法不如上面的简单，但是如果是考试要你画正5边形的画，这个就是标准答案，上面的很简单，但是在没有量角器的情况下呢
一般这种题目会表明用圆规，或者说不许用量角器
用一条足够粗的线，将五边形相邻的三边用这条粗线划过，那么这剩余的两边和那一条粗线所组成的便就是一个三角形了，也就是题目中说的：“只画一条线，就能使一个五边形变成一个三角形”。
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三角形
知识小屋：
1、三角形
由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
三角形有三个顶点，三个角和三条边。
从三角形的一条顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
2、画三角形
步骤：○1先画一条线段，即一条边；再让量角器的中心和线段的端点重合，0刻度线和射线重合。
②在所需的刻度线的地方点一个点（内外刻度要分清），画出一个已知角。
及另一条边
③根据要求确定其它边的长度和角的大小。
3、按角分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
按边分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
4、锐角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
直角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
钝角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
5、任何三角形的内角和都是（）。
任何三角形至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。
6、任何三角形的两边之和都（）第三边。
（用﹥、﹤、﹦填空）
7、等腰三角形不一定是等边三角形，但是等边三角形一定是等腰三角形。
例1 已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2＝90°∠1=60°，求∠3是多少度？这个三角形是什么三角形？∠2是∠3的几倍？
例2 已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2+∠1=∠3，求∠3是多少度？如果∠3是∠1的2倍，则∠1，∠2分别是多少度？这个三角形是什么三角形？
例3 已知等腰三角形的一个角是38°，它的另一个底角是多少度?
例4 如右图，已知∠1＝60°，∠4＝25°，求∠3的度数
例5 如图，∠1=70°，∠2=45°，∠3=28°，则∠4=（）∠5=（）
例6 如图，两个三角形都是等腰三角形，∠3是多少度？
探索练习：
1.在一个等腰三角形中，已知一个角为68°，求另两个角？如果是在直角三角形中呢？
2.在下图中,已知∠1＝130°，∠4＝110°，求∠2的度数?
3.已知：如图∠2＝58°，∠3＝37°，∠4＝55°，求∠1的度数?
4.在三角形ABC中，已知∠A＝2∠C，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C？
[试一试]
1、如图：在等边三角形ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，求∠5的度数。
2、如下图，在等腰直角三角形ABC中，AD是底边上的高，那么∠1是多少度？
3、如图，直角三角形ABC中有一个正方形BDEF，那么∠1和∠2的大小有什么关系？∠3和∠4的大小有什么关系？为什么？
4、在一个三角形中，已知∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍。
这个三角形
各个角是多少度？这是一个什么三角形？
5、一个三角形中，如果其中最小的角是460，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
[挑战题]
6、如图：已知∠1=600，∠2=250，∠3=200，求∠4的度数。