11-3 波的能量要点
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势能、总机械能均随 是同相位的.
x、t
作周期性变化，且变化
体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
位移最大时，v =0 斜率为0，dWk 、 dWp 为0
x x
B C 平衡位置时，v =max 斜率最大，dW、 最大 k dWp A
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
u
udt
S
P I wu S 1 I A2 2u 2
单位： W/m2
11－3 波的能量
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等.
11－3 波的能量
一 波动的能量
第11章 机械波与电磁波
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
x
y dy
y
x
11－3 波的能量
O O
第11章 机械波与电磁波
第11章 机械波与电磁波
s2
s1
r1
Βιβλιοθήκη Baidur2
P 1 w 1 u S1 P 2 w2 u S2
即
式中
r 为离开波源的距离， A0 为 r r0 处的振幅.
1 A2 2u 4πr 2 1 A2 2u 4πr 2 1 2 2 1 2 2 A0 r0 r A1 r2 y cos (t ) r u A2 r1
x
dx
x
y dy
y
x
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2 y x x y A cos (t ) v A sin (t ) t u u 1 x 2 2 2 振动动能 dWk dVA sin (t ) 2 u
y 2 dWk ( ) t y 2 dWp ( ) x
11－3 波的能量
2 2
第11章 机械波与电磁波
2
x dW dVA sin (t ) u
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
二 能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
11－3 波的能量
三 波的能流和能流密度
第11章 机械波与电磁波
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
ES F l l
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA sin (t ) 2 u
x dW dWk dWp dVA sin (t ) u
2 2 2
体积元的总机械能
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
弹性势能 1 2 dWP k dy 2 F l E 杨氏模量 S l
O O
x
dx
y y dy
x x
SE k dx E
1 1 dy 2 2 dWP k dy ES dx( ) u 2 2 dx 1 2 dy 2 y x u dV ( ) A sin (t ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA sin (t ) 2 u
x、t
作周期性变化，且变化
体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
位移最大时，v =0 斜率为0，dWk 、 dWp 为0
x x
B C 平衡位置时，v =max 斜率最大，dW、 最大 k dWp A
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
u
udt
S
P I wu S 1 I A2 2u 2
单位： W/m2
11－3 波的能量
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等.
11－3 波的能量
一 波动的能量
第11章 机械波与电磁波
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
x
y dy
y
x
11－3 波的能量
O O
第11章 机械波与电磁波
第11章 机械波与电磁波
s2
s1
r1
Βιβλιοθήκη Baidur2
P 1 w 1 u S1 P 2 w2 u S2
即
式中
r 为离开波源的距离， A0 为 r r0 处的振幅.
1 A2 2u 4πr 2 1 A2 2u 4πr 2 1 2 2 1 2 2 A0 r0 r A1 r2 y cos (t ) r u A2 r1
x
dx
x
y dy
y
x
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2 y x x y A cos (t ) v A sin (t ) t u u 1 x 2 2 2 振动动能 dWk dVA sin (t ) 2 u
y 2 dWk ( ) t y 2 dWp ( ) x
11－3 波的能量
2 2
第11章 机械波与电磁波
2
x dW dVA sin (t ) u
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
二 能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
11－3 波的能量
三 波的能流和能流密度
第11章 机械波与电磁波
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
ES F l l
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA sin (t ) 2 u
x dW dWk dWp dVA sin (t ) u
2 2 2
体积元的总机械能
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
弹性势能 1 2 dWP k dy 2 F l E 杨氏模量 S l
O O
x
dx
y y dy
x x
SE k dx E
1 1 dy 2 2 dWP k dy ES dx( ) u 2 2 dx 1 2 dy 2 y x u dV ( ) A sin (t ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA sin (t ) 2 u