第16章 分形技术———移动平均Hurst指数

于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何
学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理 论上，而且在实用上都具有重要价值。
16.1 Hurst指数简介
基于重标极差(R/S)分析方法基础上的Hurst（赫斯特）指数(H)研究是由英 国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关 系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期贮存能 力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立Hurst指数，作为判断 时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。 Hurst指数有三种形式： ① 如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述； ② 如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性),即暗示长期记忆的时间序列； ③ 如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性),即均值回复过程。
《金融数量分析——基于MATLAB编程 》
Hurst指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。分形是以非整数维形 式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。1973年，
曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何
的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支 离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由
式中K为常数（与n无关），H即为相应的Hurst指数（与n无关）。将上式两边取对
数得到
因此对log n和log(R/S)n进行最小二乘法回归分析便可以计算出H的近似值。 注：在MATLAB中，log与ln等价。
16.3 移动平均Hurst指数计算程序
16.3.1 时间序列分段
子区间长度n是可变的，如果回归分析需要将时间序列进行分段，例如
16.1 Hurst指数简介
赫斯特指数预测股票市值走势的三种形式： ① 如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述。股市未来方向（上涨或者下
跌）无法确定，市场处于震荡行情中。
② 如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)，即暗示长期记忆的时间序列。股市将保持 原有方向，若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨（横盘、下跌）， 则
16.3.1
时间序列分段
M 文件HurstFactorization.m 如下:
function [FactorMatrix,FactorNum]=HurstFactorization(x) %hurstFactorization %code by ariszheng@ %2008-10-07 %因子分解, 以4开始以X/4结束 %floor函数表示四舍五入 N=floor(x/4); %方案数量初始为0 FactorNum=0; %因子分解, 以4开始以X/4结束 for i=4:N %i可以被x整除,即得到一组分解方案 if mod(x,i)==0 %方案数量+1 FactorNum=FactorNum+1; %将可行方案存储到FactorMatrix中 FactorMatrix(FactorNum,:)=[i,x/i]; end end
若时间序列长度为240，则其可以分解成4段长度为60的等长子区间，或者6 段长度为40的等长子区间…… 时间序列分段函数（除因子2外，例如240分为2与120或者120与2，因 数据段数太少或者子区间长度太短将影响回归效果）语法如下： ［FactorMatrix,FactorNum］=HurstFactorization(x) 输入参数： x：时间序列长度。 输出参数： FactorMatrix：时间序列分段方案； FactorNum：时间序列分段方案数量。
1
HurstExp onent
0.8 0.6 0.4 9 8
logIndex
7 6
5 09-Sep-1991
20-May-1997
29-Jan-2003
09-Oct-2008
hurst指数计算结果
hurst指数与上证综指关系图
知识脉络图
Hurst指数 介绍
Hurst指数 应用
Hurst指数 计算 移动Hurst 指数计算
%MoveHurst %code by ariszheng 2011-5-3 %读取数据 [Prices, dates] =xlsread('shindex.xls'); %数据长度 DataLength=length(Prices); cyclength=120; %计算周期 %数据长度是否大于计算周期，若只有100个数据 %不可能计算出120计算周期的Hurst指数的 if cyclength > DataLength plot(1:100,1:100,'r*',1:100,100:-1:1,'ro'); text(10,50,'Number of data must biger than Cycle Length','FontSize',28); else
市场很可能将继续上涨（横盘、下跌），H值越大市场保持原有趋势的惯性越大。
③ 如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)，即均值回复过程。股市将改变原有方 向，若时间周期序列长度为120，当最近半年市场上涨（横盘、下跌）， 则市场很 可能将继续下跌或者横盘（上涨或下跌、横盘或上涨），H值越小市场改变原有趋 势的可能性越大。
输入参数：
Xtimes：时间序列数据。 输出参数：
HurstExponent：为二元向量，第一元素为时间序列的Hurst指数, 第二
元素为回归分析常数项。 注：回归模型log((R/S)n)=log(K)+Hlog(n)。
16.3.3
移动Hurst指数计算
例如计算120个交易日的Husrt指数，使用的数据为［t-119,t］的价格数据，移 动的意思为根据t的向前移动，计算指数的数据为［t-119,t］的价格数据，同时根据 t进行移动。 代码如下：
16.3.3
移动Hurst指数计算
plot(1:0.1:10,sin(1:0.1:10),'r*',1:0.1:10,-sin(1:0.1:10),'ro'); logData=log(Prices); %将价格数据转换为对数数据 logData=logData(DataLength:-1:1); %计算价格的对数数据对应的每日收益率 IndexReturn=[0;logData(2:DataLength)-logData(1:DataLength-1)]; hurstE=zeros(DataLength,1); hurstE(1:cyclength-1)=NaN; %前cyclength-1个日的Hurst指数为NaN %计算移动的hurst指数 for i=1:( DataLength-cyclength+1 ) HurstExponent=HurstCompute( IndexReturn (i:i+cyclength-1) ); hurstE(cyclength+i-1)=HurstExponent(1); end ％将数据转换为时间序列，进行时间序列数据的画图 fts = fints(dates,[hurstE(DataLength:-1:1) logData (DataLength: -1 :1)], {'HurstExponent','logIndex'}); chartfts(fts); end
Ra max{X t ,a : t 1, 2,
, n} min{X t ,a : t 1, 2,
, n}
若以Sa表示第a个区间的样本标准差，则可定义重标极差Ra /Sa，把所有A个这 样的重标极差平均计算得到均值
16.2 R/S方法计算Hurst指数
而子区间长度n是可变的，不同的分段情况对应着不同的 (R/S)n，Hurst通过对 尼罗河水文数据长时间的实践总结，建立了如下关系：
测试HurstFactorization
>>0)
ans =
4 5 6 8 10 12 15 16 20 24 30 40 48 60 60 48 40 30 24 20 16 15 12 10 8 6 5 4
16.3.2
Hurst指数计算
时间序列Hurst指数计算函数语法如下： HurstExponent=HurstCompute(Xtimes)
16.3.3
移动Hurst指数计算
结果说明:如图1所示,在市场早期,1991—1995年上证综指快速上涨走势,Hurst指 数保持在0.78左右高位,在2007年10月市场反转时刻,Hurst基本保持在0.6历史低位水 平。以上仅从图像比较分析,关于Hurst指数预测正确率的问题不再详细介绍。为了大 家更直观理解Hurst指数,下面截取了券商研究报告中的图像(如图2所示),仅供参考。
16.2 R/S方法计算Hurst指数
R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列 (例如指数的价格序列){xt}，把
它分为A个长度为n的等长子区间，对于每一个子区间，比如第a个子区间 （a=1,2,…,A），若时间序列长度为240，A=［4,6,…］，n=［60,40,…］等。假设
式中：Ma为第a个区间内xu,a的平均值。Xt,a为第a个区间内第t个元素的累计离差，令 极差