02-交错级数及其审敛法PPT
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一、交错级数及其审敛法
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
定理证毕.
8 (-1)项
例1、判别级数£n — 1
的敛散性
n=2
解：记an = = > 0,则级数为交错级数. n — 1
又an (Vn -1)+1 1 + 1 n — 1 yl~n +1 n — 1
则｛an ｝单调递减.显然lim an =
0.
故原级数收敛.
n—8
三、小结
8
8
如果级数为交错级数£ (-1) “与或£ (-1) n
验证：％ ｝单调递减且趋于0 ,则级数收敛a.n9
n=1
n=1
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
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£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少 证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一 （a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板 书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•
定理证毕.
8 (-1)项
例1、判别级数£n — 1
的敛散性
n=2
解：记an = = > 0,则级数为交错级数. n — 1
又an (Vn -1)+1 1 + 1 n — 1 yl~n +1 n — 1
则｛an ｝单调递减.显然lim an =
0.
故原级数收敛.
n—8
三、小结
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如果级数为交错级数£ (-1) “与或£ (-1) n
验证：％ ｝单调递减且趋于0 ,则级数收敛a.n9
n=1
n=1