第十四章偏导数全微分第四节空间曲线的切线和法平面

合集下载

偏导数与全微分课件

dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x

. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x

空间曲线的切线与法平面公式

空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。

对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。

切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。

切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。

对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。

设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。

我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。

切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。

这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。

根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。

设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。

那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。

这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。

除了切线，法平面是另一个重要的概念。

法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。

通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。

如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。

设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。

这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。

向量微积分的偏导数和全微分

向量微积分的偏导数和全微分向量微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到向量、曲线、曲面和多元函数等概念，广泛应用于自然科学、工程学和经济学等领域。

其中偏导数和全微分是向量微积分中最为基础和常见的概念，本文将从它们的定义、性质和应用等方面进行讨论。

一、偏导数偏导数是多元函数在某一点上沿着某一坐标轴的导数，它可以用来衡量函数在该点上在该自变量方向上的变化率。

偏导数的定义如下：$$\dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h} $$其中$f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)$表示将第$i$个自变量增加$h$后的函数值，$f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$表示原始函数值，$h$表示增量，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$在第$i$个自变量上的偏导数。

具有偏导数的函数称为可偏导函数。

偏导数具有以下性质：1. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其各个偏导数存在时，它们的顺序可以交换，即偏导数的次序不影响结果。

2. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，如果它在某一点上各个偏导数都存在且连续，则它在该点上可微。

3. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其全微分可以表示为：$$df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$其中$dx_1,dx_2,\dots,dx_n$表示自变量的增量。

《偏导数和全微分》PPT课件

.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程空间曲面的切平面和法线方程小结思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一，故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.

一,空间曲线的切线与法平面

基本情形
⎧ x = x ⎪ 对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨ y = ϕ ( x ) , ⎪z = ψ (x) ⎩ 故在 M ( x , y , z )处,
0 0 0
切向量：
T = (1,ϕ ( x0 ),ψ ′( x0 ) )
切线方程为
法平面方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , ϕ ′( x 0 ) ψ ′ ( x 0 ) 1
T
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
n⊥T d 事实上,由 F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] ≡ 0 ⇒ F [ϕ ( t ),ψ ( t ), ω ( t )] = 0 dt 即 Fx ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy ⋅ψ ′( t0 ) + Fz ⋅ ω ′( t0 ) = 0
dz x − y = , dx y − z
机动
目录
上页
下页
返回
结束
⇒
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量 T
( 1 , − 2 ,1 )
= (1, 0,−1),
所求切线方程为 x − 1 = y + 2 = z − 1 , −1 1 0 法平面方程为 ( x − 1) + 0 ⋅ ( y + 2) − ( z − 1) = 0,
【分析】为隐式情形【解】令 F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3,
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4,

【自制】数学分析重点概念整理保研考研面试必备

数学分析重点概念整理第一章集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

《偏导数和全微分》课件

光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
单击此处添加项标题
全微分的几何意义
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
单击此处添加项标题
单击此处添加项标题

空间曲线与曲面的切平面与法平面

空间曲线与曲面的切平面与法平面在数学中，空间曲线和曲面是重要的研究对象。

曲线是一个一维的对象，可以用参数方程或者隐式方程表示。

曲面则是一个二维的对象，可以用参数方程、隐式方程或者参数化方程表示。

在研究空间曲线和曲面时，我们常常需要了解曲线和曲面上某点的切线或者法线，这对于进一步研究曲线和曲面的性质和变化非常重要。

本文将介绍空间曲线和曲面的切平面与法平面的概念以及求解方法。

一、空间曲线的切线与切平面空间曲线是三维空间中的一条曲线，我们可以通过曲线上某一点的导数来求解该点处的切线。

设曲线的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t).在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，该点的切向量T可以由参数t求导得到：T = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)|t=t0.切向量T是曲线上该点的切线方向，我们可以通过该向量来确定切线的方向。

此外，曲线上任意一点的切向量均与曲线在该点的切线方向相同。

在曲线上取一点P(x0, y0, z0)，切线方程可以表示为：(x - x0)/dx/dt = (y - y0)/dy/dt = (z - z0)/dz/dt.切线方程表示了曲线上点P处切线上所有点的坐标与点P坐标的关系，通过该方程我们可以求解切线上的点的坐标。

与切线相对应的是切平面，切平面与曲线上某一点处的切线垂直，并且包含该切线。

我们可以通过点法式方程来表示切平面，设曲线上一点为P(x0, y0, z0)，其切平面方程为：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.其中A、B、C为切平面的法向量的坐标，可以通过切线的方向向量T求解：A = dx/dt,B = dy/dt,C = dz/dt.切平面方程表示了切平面上所有点的坐标与点P坐标的关系。

二、空间曲面的法线与法平面空间曲面是三维空间中的一个二维对象，我们可以通过曲面上某一点的偏导数来求解该点处的法线。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面空间曲线（或曲面）是三维空间中的几何对象，它们有许多重要的性质和应用。

其中一个基本问题是如何求空间曲线在某一点的切线和法平面。

在本文中，我们将介绍一些相关的基本概念和公式，以帮助读者理解并解决这些问题。

1. 基本概念在三维空间中，一条曲线可以用参数方程表示为：${\bf r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ (1)其中 $t$ 是参数。

在曲线上某一点 $P$ 处，它的切向量 $T$ 和法向量 $N$ 可以定义为：$T = {\bf r}'(t_0)$， $N =\frac{{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)}{\|{\bf r}'(t_0)\times{\bf r}''(t_0)\|}$ (2)其中 $t_0$ 是使得 ${\bf r}(t)$ 在点 $P$ 上的参数值。

需要注意的是，如果${\bf r}'(t_0)={\bf 0}$，则曲线在 $P$ 点处可能有拐点或者奇点，此时切向量和法向量的定义可能会有所不同。

2. 切线及其性质切线是一条直线，它在曲线上某一点与曲线切于此点。

切线的方向由切向量 $T$ 给出，它的方程可以由以下公式所得：其中 ${\bf r}(t_0)$ 是曲线上某一点，$T(t_0)$ 是切向量。

需要指出的是，公式(3) 给出了切线的向量形式，它与点向式方程和一般式方程等等不同。

切线的截距和斜率也可以由公式 (3) 求得。

法平面是一个平面，它与曲线在某一点相切，并且法向量方向为 $N$。

该平面的一般方程为：$N\cdot {\bf r} = N\cdot{\bf r}(t_0)$ (4)$N = \frac{T_1\times T_2}{\|T_1\times T_2\|}$ (5)在一些曲面的情况下，法向量在曲面上有一个很好的几何意义。

9-2空间曲线的切线与法平面

通过切点P0而垂直于切线的平面称为曲线Γ在P0点处的法平面．法平面方程为
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0.
P0
T

切向量为((t0 ), (t0 ), (t0 ))
例1. 求曲线 x = 2cos t , y = 2sin t , z = 4t 在t＝π/4 所对
法平面为即
1 1 (x ) - 2 y + (z + ) = 0. 2 2
x - 2 y + z = 0.
练习. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
2
2
2
解方程组两边对 x 求导, 得
x 1 dy 解得 y dx 1
点 M (1,–2, 1) 处的切向量平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) (1) ( z 1) 0
即
xz 0
内容小结
1. 空间曲线的切线与法平面
x (t ) 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 : y (t ) z (t )
z 1 z 1
y x 1 1 x y z x dz , y z yz y z dx 1 1
2 2 2
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量
y z d dy z6 x T 1, , (1, 0 , 1) z0 x M dx M x dy
x - x0 y - y0 z - z0 = = 1 yⅱ ( x0 ) z ( x0 )
法平面为
( x - x0 ) + yⅱ ( x0 )( y - y0 ) + z ( x0 )( z - z0 ) = 0.

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面在几何学中，空间曲线是指在三维空间中描述的曲线。

当我们想要解析描述曲线上某一点的性质时，切线和法线是重要的概念。

切线是曲线上的一条直线，与曲线在该点处相切；而法平面是与切线垂直的平面。

本文将探讨空间曲线的切线与法平面的概念、性质及应用。

一、切线的定义和性质在平面几何中，我们已经熟悉了曲线的切线的概念和性质。

在三维空间中，切线的定义稍有不同，但总体思路是一致的。

对于空间曲线上的点P，曲线在该点处有且仅有一条直线与曲线相切，这条直线就是切线。

切线具有以下性质：1. 切线在曲线上的位置：切线与曲线在点P处相切，即切线与曲线有公共点。

2. 切线的方向：切线的方向与曲线在该点的切向量（或切矢）方向一致。

切向量的方向可以通过曲线在该点处的导数来确定。

3. 切线的斜率：切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

具体计算切线的斜率可以通过求取曲线在该点处的切向量的斜率。

4. 切线的直线方程：通过切线上的一点和切线的方向向量，可以得到切线的直线方程。

二、法平面的定义和性质与切线相对应的是法平面，它是与切线垂直的平面。

法平面的定义和性质如下：1. 法平面的法向量：法平面的法向量与切线的方向向量垂直，即它们的内积为零。

法向量的方向可以通过求取切线方向向量的垂直向量来确定。

2. 法平面的方程：通过法平面上的一点和法平面的法向量，可以得到法平面的方程。

3. 法平面与切线的关系：切线在曲线上的位置决定了法平面与曲线的交点。

曲线在某一点上的切线与该点上的法平面有公共点。

三、切线和法平面的应用切线和法平面的概念在几何学、微积分以及物理学等领域有着广泛的应用。

1. 几何学中的应用：切线和法平面的概念可以用于求解空间曲线的性质，如拐点、凸凹性等。

此外，在计算曲线与平面的交点时，也需要用到切线和法平面的概念。

2. 微积分中的应用：切线和法平面的概念是微积分中重要的工具。

通过求取曲线在某一点处的切线斜率，可以得到函数在该点处的导数值。

9.2空间曲面的切平面与法线

n { fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ),1}, 曲面在M处的切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n

T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3

即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;

数学分析课程教学大纲3

数学分析课程教学大纲课程编号：061009、061010、061011课程性质：必修总学时：288 总学分：14开课学期：1、2、3 适用专业：数学系本科各专业先修课程：中学数学一、课程简介数学分析（Mathematical Analysis）是大学数数学专业的一门重要基础课。

计划开设三个学期（分别在第一、二、三学期，课时分别为72、108、108，学分分别为4分、6分、6分），共288学时。

其主要内容为：变量与函数;极限论;一元函数微积分学基本理论; 多元函数微积分学基本理论;数项级数及函数项级数;幂级数;富里叶级数;广义积分和含参变量的积分等。

二、课程的目的和任务本课程是大学数数学专业的一门重要基础课。

它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识；本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数、泛函分析等后续课程的阶梯。

通过本课程的讲授与作业练习应使学生：（1）对极限的思想和方法有较深的理解和认识，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成；（2）正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析的论证方法，获得较熟练的演算技能和应用数学知识的能力。

三、本课程的基本要求及内容第一章变量与函数(8学时)（一）基本要求1、正确理解和掌握函数概念、函数的运算及函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性等性质;2、掌握基本初等函数的定义、性质及初等函数的定义。

（二）课程内容1、函数概念及函数的几何特性；2、复合函数与反函数；3、基本初等函数与初等函数;4、几个常用的非初等函数（符号函数、狄里赫雷数、整数部分函数等）。

第二章极限与连续(34学时)（一）基本要求1、理解和掌握数列极限与数极限及它们的性质；2、理解和掌握无穷小与无穷大的概念及它们的性质；3、掌握求极限的基本方法（四则运算、两边夹法则、单调有界原理、重要极限等）;4、理和掌握连续函数、一致连续函数的概念与性质，弄清函数间断点的分类;5、掌握闭区间上连续函数的性质。

空间曲线的切线与法平面

x0
y0 z0 y02

x0 y0 z0 z02
又点 M 在球面上,
于是有

x0
y0
z0

a3 33
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例6.
求曲线
2x2x

y2 3y

z2 5z

3x 40
0
在点(1,1,1) 的切线
与法平面.
解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
将 f x (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 )分别记为 f x , f y , 则
法向量的方向余弦：
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例3. 求椭球面 x2 2 y2 3z2 36在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程. 解: 令
法向量
n (2 x, 4 y, 6 z)
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
特别, 当光滑曲面的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
第六节多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面和法线
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.

第十四章 偏导数 全微分 第四节 空间曲线的切线和法平面

偏导数与全微分课件

空间曲线的切线与法平面公式

向量微积分的偏导数和全微分

《偏导数和全微分》PPT课件

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

一,空间曲线的切线与法平面

【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备

《偏导数和全微分》课件

空间曲线与曲面的切平面与法平面

空间曲线的切线与法平面

9-2空间曲线的切线与法平面

空间曲线的切线与法平面

9.2空间曲面的切平面与法线

数学分析课程教学大纲3

空间曲线的切线与法平面

第十四章偏导数全微分第四节空间曲线的切线和法平面

【自制】数学分析重点概念整理保研考研面试必备