巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比
三角形的面积公式与重心的关系
三角形的面积公式与重心的关系三角形是几何形状中最基本的图形之一，它由三条线段组成，三角形的性质有很多，其中最基本的性质之一是面积。
在本文中，我们将讨论三角形的面积公式与重心之间的关系。
一、三角形的面积公式三角形的面积可以通过不同的公式计算，其中最常见的是以下两种方法：1. 海伦公式海伦公式是由古希腊数学家海伦提出的，用于计算三角形的面积。
根据海伦公式，对于任意三角形，其面积可以表示为：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s是三角形的半周长，即所有边长之和的一半；a、b、c分别为三角形的三边长。
2. 基础公式对于已知三角形的底边长度和高的情况，可以使用基础公式计算面积。
根据基础公式，三角形的面积可以表示为：面积 = 0.5 ×底边长度 ×高以上两种方法都是常见且常用的计算三角形面积的公式，可以根据题目的要求和已知条件选择使用合适的公式进行计算。
二、重心与三角形的面积关系重心是与三角形的面积紧密相关的一个概念。
在三角形中，重心是由三条中线的交点确定的，中线是连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段。
重心的坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得到。
有趣的是，三角形的重心与其面积之间存在着一定的关系。
具体而言，三角形的重心将三角形分割成面积相等的三个小三角形。
这意味着，通过重心将三角形分成三块，每一块的面积都与其他两块相等。
三、应用举例以下是一个具体的例子，以帮助我们更好地理解三角形面积公式与重心的关系。
假设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
首先，我们可以使用公式计算三角形的面积。
根据海伦公式，可以得到三角形的半周长s：s = (a + b + c) / 2其中，a、b、c分别为三边长度，可以通过两点间距离公式计算得到。
接下来，我们可以使用重心公式计算三角形的重心坐标。
重心公式如下：重心 x 坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3重心 y 坐标 = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可以得到三角形的重心坐标。
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题(学生版)
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33.注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1.(3)P 为ΔABC 内一点，a ×PA +b ×PB +c ×PC =0 ，则S ΔPBC ：S ΔPAC ：S ΔPAB =a ：b ：c .重要结论：S ΔPBC S ΔABC =a a +b +c ，S ΔPAC S ΔABC =b a +b +c ，S ΔPAB S ΔABC =c a +b +c.结论1：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则：S A ⋅PA +S B ⋅PB+S C ⋅PC =0 .即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于ΔABC 平面内的任意一点P ，若点P 在ΔABC 的外部，并且在∠BAC 的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有-S ΔPBC ⋅PA +S ΔPAC ⋅PB+S PAB ⋅PC =0 .结论3：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若λ1PA +λ2PB+λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积之比为λ1：λ2：λ3.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于ΔABC 所在平面内不在三角形边上的任一点P ，λ1PA +λ2PB+λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为λ1： λ2： λ3 .即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理例1.(2023春·河南安阳·高一统考期末)已知O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0，则tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB =( )A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6例2.(多选题)(2023·高一单元测试)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，则总有优美等式S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有( )A.若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0B.若a ⋅PA +b ⋅PB+c ⋅PC =0 ，则P 是△ABC 的内心C.若AP =15AB +25AC ，则S △PBC :S △PAC :S △PAB =2:2:1D.若P 是△ABC 的外心，且A =π4，则PA +sin ∠APC ⋅PB +sin 3π2-∠APC ⋅PC =0例3.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =xAB +yAC，下列说法正确的是( )A.若x =y =12，则点P 是边BC 的中点B.若点P 是边BC 靠近B 点的三等分点，则x =13,y =23C.若点P 在BC 边的中线上且x +y =12，则点P 是△ABC 的重心D.若x +y =2，则△PBC 与△ABC 的面积相等例4.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA+S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-66例5.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且2OA +3OB +4OC =0则下列选项正确的有( )A.AO =13AB +49ACB.直线AO 过BC 边的中点C.S △AOB :S △BOC =2:1D.若|OA |=|OB |=|OC |=1，则OC ⋅AB =-316例6.(多选题)(2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考期中)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，2OA +3OB +4OC =0 ，则下列选项正确的是( )A.AO =13AB +49ACB.直线AO 必过BC 边的中点C.S △ABC :S △AOC =3:1D.若|OB |=|OC |=|OA |=1，则cos <OA ,OB >=14例7.(2023春·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)校考阶段练习)定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB+S △PAB ⋅PC =0 .由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为△ABC 的重心，则OA +OB +OC =0；②若O 为△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0；③若O 为△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0；备注：若O 为△ABC 的内心，则sin A ⋅OA+sin B ⋅OB +sin C ⋅OC =0也对.④若O 为△ABC 的垂心，则tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点P 在△ABC 内部，满足PA +2PB+3PC =0 ，求S △ABC :S △APC 的值；(2)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB :S △BOC :S △AOC =4:3:2，设AO =λAB +μAC，求实数λ和μ的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.题型二：三角形面积比问题例8.(多选题)(2023·高一课时练习)若点O 为△ABC 所在平面内一点，AO =13AB +49AC ，则下列选项正确的是( )A.直线AO 必过BC 边的中点B.S △AOC :S △ABC =1:3C.若△ABC 的面积为9，则△AOB 的面积是4D.2OA +3OB +4OC =0例9.(多选题)(2023春·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO +2OB +3OC =0 ，则下列选项正确的是( )A.AO =12AB +34ACB.直线AO 必过BC 边的中点C.S △AOB :S △AOC =3:2D.若OB =OC =1，且OB ⊥OC，则OA =13例10.(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0，则△AOB,△AOC ,△BOC 的面积之比等于_______．例11.(2023秋·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于_________．例12.(2023·河南南阳·统考三模)已知O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比为________．例13.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S△AOB S △ABC=( )A.25B.12C.16D.13【同步练习】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知P 为△ABC 内任意一点，若满足x PA +y PB +z PC =0x ,y ,z >0 ，则称P 为△ABC 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有( )①若x =y =z =1，则点P 为△ABC 的重心；②若x =1，y =2，z =3，则S △PBC =16S △ABC；③若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PA ⋅PC ，则点P 为△ABC 的垂心；④若x =1，y =3，z =1且D 为AC 边中点，则BP =25BD．A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2023秋·河南安阳·高三阶段练习)P 是△ABC 所在平面上一点，满足PA +PB +PC =2AB，若S △ABC =12，则△PAB 的面积为( )A.4B.6C.8D.163.(2023·全国·高三专题练习)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA +PB +PC =2AB ，若S △ABC =6，则△PAB 的面积为( ).A.2B.3C.4D.84.(2023春·安徽黄山·高一统考期末)已知O 是△ABC 所在平面内的一点，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a =3，b =2，c =4，若aOA +bOB +cOC =0，过O 作直线l 分别交AB 、AC (不与端点重合)于P 、Q ，若AP =λAB ，AQ =μAC ，若△PAO 与△QAO 的面积之比为32，则λμ=( )A.56B.13C.43D.345.(2023·全国·高三专题练习)已知点P 为ABC 内一点，PA +2PB+3PC =0 ，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为( )A.9:4:1B.1:4:9C.1:2:3D.3:2:16.(2023秋·河北邯郸·高三校联考阶段练习)已知点M 是△ABC 所在平面内一点，若AM =12AB +13AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A.83B.52C.2D.437.(2023春·陕西延安·高一校考阶段练习)已知M 是ΔABC 所在平面内一点，且满足2AM =14AB+34AC ，则ΔA MB 与ΔABC 的面积之比为A.1:4B.3:4C.3:8D.1:88.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)记△ABC 所在平面内一点为P ，满足xAB+yAC =AP ，其中x 2+y 2=1，则S △ABP S △ABC的取值范围为( )A.[2-1,+∞)B.(0,2-1]C.(0,1]D.[2+1,+∞)【答案】C【解析】过C 点作AB 的垂线，垂足为D ，则AC =AD +DC ，AP =xAB +y (AD +DC )，而AB 与AD 共线，易得S △ABP S △ABC=12|AB |⋅|y |⋅|DC |12|AB |⋅|DC |=|y |，而x 2+y 2=1，y ≠0，故S△ABP S △ABC ∈(0,1]，故选：C9.(2023秋·江西景德镇·高二校联考期末)已知点P 为ΔABC 内一点，且满足AP =12AB +13AC ，则SΔABC S ΔABP=A.2 B.3C.4D.5二、多选题10.(2023秋·辽宁大连·高一统考期末)已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA +2PB +3PC =0 ，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( )A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.PE :PF=2:1D.S △PAB :S △PAC :S △PBC =1:2:3三、填空题11.(2023·全国·高三专题练习)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式S △PBC PA +S △PAC PB+S △PAB PC =0 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0 ；②若aPA +bPB+cPC =0 成立，则P 是△ABC 的内心；③若AP =25AB +15AC ，则S △ABP :S △ABC =2:5；④若P 是△ABC 的外心，A =π4，PA=mPB +nPC ，则m +n ∈-2,1 .则正确的命题有___________.12.(2023·全国·高一专题练习)设P 为ΔABC 所在平面上一点，且满足3PA +4PC=mAB (m >0).若ΔABP 的面积为8，则ΔABC 的面积为__________.13.(2023春·河南濮阳·高一统考期中)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA +PB +PC =2AB ，若S △PAB =4，则△ABC 的面积为___________.14.(2023·湖北·高三竞赛)已知P 是ΔABC 所在平面上一点，满足PA +PB +2PC =3AB .则ΔABP 与ΔABC 的面积之比为_______.15.(2023·全国·高三竞赛)设P 是△ABC 所在平面内一点，满足PA +PB +PC =3AB ，若△PAC 的面积为1，则△PAB 的面积为__________.16.(2023·全国·高三专题练习)已知点P 为△ABC 内一点，2PA +3PB +5PC =0 ，则△APB ,△APC ,△BPC 的面积之比为______．17.(2023·上海·高三专题练习)已知ΔABC 的面积为360，点P 是三角形所在平面内一点，且AP =14AB +14AC，则ΔPAB 的面积为__．四、解答题18.(2023春·山东济南·高一统考期末)在△ABC 中，点P 为△ABC 内一点．(1)若点P 为△ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP；(2)记△PBC ，△PAC ，△PAB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A PA +S B PB+S C PC =0；(3)若点P 为△ABC 的垂心，且PA +2PB+3PC =0，求cos ∠APB ．19.(2023春·河北保定·高二河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习)已知点P 为△ABC 内一点2PA +3PB +5PC =0 ，若F 为AC 中点，G 为BC 中点，|PF||PG |=___________．△APB,△APC ,△BPC 的面积之比为_____________．。
三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用
三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用
三角形重心是一种重要的几何概念，它是三角形内部的一个特殊点，
它的位置可以用向量形式表示。
三角形重心的向量形式及推论的巧妙
应用，可以用来解决许多几何问题，下面我们就来看看它的应用。
首先，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的重心坐标。
假设
三角形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形重心的向量形式为：
G=(1/3)A+(1/3)B+(1/3)C。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点
的坐标，求出三角形重心的坐标。
其次，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的外接圆半径。
假
设三角形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形外接圆的半径为：
r=|AB|+|BC|+|CA|/3。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点的坐标，求出三角形外接圆的半径。
最后，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的面积。
假设三角
形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形的面积为：
S=|AB|*|BC|*|CA|/4。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积。
以上就是三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用，它可以用来解决
许多几何问题，如求解三角形的重心坐标、外接圆半径和面积等。
三角形内向量对应面积比
三角形内向量对应面积比三角形的面积可以通过向量运算来求解，其中向量的叉积可以反映出面积的大小。
假设有一个三角形ABC，其中向量AB表示从点A指向点B的向量，向量AC表示从点A指向点C的向量，而向量AB和AC的叉积的大小就表示了三角形ABC的面积的大小。
具体来说，向量的叉积可以通过计算向量的坐标分量来进行。
如果向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，向量AC的坐标表示为(ACx, ACy)，那么向量AB和AC的叉积的大小可以通过以下公式计算得到：面积 = |ABx * ACy - ABy * ACx|这个公式是通过计算向量的分量的差异来得到的。
如果三角形ABC 是一个平行四边形，那么AB和AC这两条边就是平行的，此时叉积的大小为0，也就是说面积为0，这符合我们对于平行四边形面积的认知。
而对于一般的三角形，根据叉积的计算公式，可以得出以下几个重要的结论：1. 向量的交换律：由于叉积的计算中包含了向量的差异，所以即使AB和AC的顺序发生变化，对应的叉积的大小并不会改变。
也就是说，|ABx * ACy - ABy * ACx| = |ACx * ABy - ACy * ABx|，这意味着面积的计算并不依赖于向量的排列顺序，只与其坐标分量相关。
2. 比例关系：如果存在一个常数k，使得向量AB和向量AC满足AB = k * AC，那么由于叉积的计算中包含了坐标分量的乘法，所以叉积的结果也会乘以k。
换句话说，面积也会乘以k的平方。
这一点非常重要，它表明了在三角形内向量的比例关系与面积的比例关系是相同的，这也是我们可以利用叉积来计算面积的原因。
以上的结论可以帮助我们更好地理解三角形的面积与向量的关系，并能够在实际问题中灵活地应用。
例如，在计算生活中，当我们需要判断两条线段是否相交时，可以通过计算相应的向量的叉积的正负来判断，进而判断是否相交。
总结起来，通过向量的叉积可以得到三角形的面积，而叉积的大小可以通过计算向量的坐标分量来得到。
巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比
716244EDO CBAEDOCBAGFOEDCBA巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比我们知道在ABC 中，若O 是其重心，则有0OC OB OA ，反之亦成立。
教学中我们遇到过很多习题，都是有关重心的应用问题，一类求面积比的习题引起笔者的注意。
通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。
给同学们留下了深刻的印象。
思维得到了锻炼。
下面是此问题解决的具体过程。
仅供参考。
习题1、已知点O 在ABC 内部，且有02OC OB OA 。
求AOC 与AOB 的面积比。
解析：如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：OE OD OB OA 2，由题意知OC OB OA 2，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得OABABCSS2，AOCADCABCSSS42，因此AOC 与AOB 的面积比为1:2 习题2已知点O 在ABC 内部，且有032OC OB OA ，求BOC 与AOB 的面积比解析：把032OC OB OA 变形得OCOB OC OA 2如图再由平行四边形法则得，点O 在三角形ABC 的中位线DE 上，且OD EO2由平面几何知识得OABABCSS2，又因为OAB BOCAOCS SS且BOCAOCSS2因此OBCABCSS6所以BOC 与AOB 的面积比为1:3习题3已知点O 在ABC 内部，且有042OC OB OA，求OAB 与OBC 的面积比。
分析：此题与上两题的区别是系数不容易分配，从共线的角度入手很难。
而下面的方法恰好弥补了上述解法的不足解析：如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为OE 的四等分点，这样才有042OCOB OA 成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8EOADOEAODSSS所以4,1,2OABBOCAOCSSS，所以OAB 与OBC 的面积比4:1通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的猜想面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：已知点O 在ABC 内部，且有0321OCOBOA不妨设321,,均大于 1FOEDCBA则321::::OABO ACO BCS SS证明：如图：设O 是DEF 的重心，那么0OF OE OD （重心的向量式）不妨设OC OFOB OEOA OD 321,,，由三角形的面积公式得AOB OB OA SOABsin21，AOBOE ODS ODEsin 21因此211ODEOAB SS ，同理321OEFOBC SS ，131OFDOCA SS ，又因为OFDOEFODES SS所以321211332::1:1:1::OABOACOBCS SS说明：有了这个结论，我们证明有关内心的向量式O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC .特别简单请有心者慢慢体会。
重心平分三角形面积证明
重心平分三角形面积证明一、引言在数学中，三角形是一个基本的几何图形，其性质和应用广泛。
在很多情况下，需要计算三角形的面积。
其中一个有趣的问题是如何证明重心平分三角形的面积。
本文将介绍这个问题的证明过程。
二、重心和三角形面积重心是一个几何图形中所有点质量相等时的质心。
对于一个三角形ABC，其重心G可以通过以下公式计算：G = (1/3)(A + B + C)其中A, B, C分别为三角形顶点的坐标。
三、平分线和面积比例平分线是指从一个顶点出发并且与对边垂直的一条线段。
对于三角形ABC，如果从顶点A开始画一条平分线DE，则有以下关系：AD/DB = AE/EC = AF/FC其中D, E, F分别为DE, EF, FD与BC交点。
根据这个关系可以推导出以下结论：S(ABD)/S(ACD) = AD/DCS(ABE)/S(ACE) = AE/ECS(ABF)/S(ACF) = AF/FC其中S(XYZ)表示三角形XYZ的面积。
四、证明过程假设重心G到边BC距离为h，则有以下关系：S(ABC) = (1/2)BC×h由于三角形重心G将三角形分成了三个面积相等的小三角形，因此有以下关系：S(ABG) = S(ACG) = S(CBG) = (1/3)S(ABC)因此，我们只需要证明重心到每条边的距离相等即可。
设重心到AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，则有以下关系：h1 + h2 + h3 = h根据平分线和面积比例的关系，可以得到以下结论：h1/h2 = BD/DCh2/h3 = CE/EAh3/h1 = AF/FB将这些式子代入上述方程中，可以得到以下结果：h1^2 + h2^2 + h3^2 = (BD^2 + CE^2 + AF^2)/3 + (DC^2 + EA^2 + FB^2)/3又因为BD+CE+AF=DC+EA+FB=BC，所以有以下结果：BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2因此，上述方程可以简化为：h1^2 + h2^2 + h3^2 = 1/3(h^ ）²即重心到每条边的距离相等。
三角形重心面积比证明
三角形重心面积比证明引言三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的性质对于几何学和数学的发展具有重要意义。
三角形的重心是一个很特殊的点，它将三条中线分成相等的两部分，并且距离顶点的距离是中线长度的2/3。
本文将通过证明，探讨三角形重心与面积之间的关系。
证明过程为了证明三角形重心与面积之间存在比例关系，我们首先需要定义一些基本概念。
定义1：重心在任意给定的三角形ABC中，连接顶点A、B、C与对边中点D、E、F，其中D是BC 的中点，E是AC的中点，F是AB的中点。
则由D、E、F确定一个点G称为该三角形ABC的重心。
定义2：面积在平面几何中，给定一个多边形P和平行于P所在平面且通过P各个顶点的平面Q，在Q内侧取一点O。
设O到P上各个顶点A、B、C…等连线所围成n个小三角形（n>3），则这些小三角形和为多边形P的面积。
引理1：重心距离关系在任意给定的三角形ABC中，连接顶点A与重心G，并延长AG到交点H。
则AH =2HG。
证明引理1由重心的定义可知，AG是AB的中线。
根据中线定理可得AH = 2HG。
证毕。
定理1：重心面积比在任意给定的三角形ABC中，连接顶点A与重心G，并延长AG到交点H。
则有S(ABC) = 3S(AHB)，其中S(ABC)表示三角形ABC的面积，S(AHB)表示三角形AHB的面积。
证明定理1由引理1可知，AH = 2HG。
设三角形ABC的面积为S(ABC)，根据面积定义可得：S(ABC) = (1/2) * AB * HG而三角形AHB与三角形ABC共边AB相等，因此它们的高也相等，即HB = HG。
根据面积定义可得：S(AHB) = (1/2) * AB * HB= (1/2) * AB * HG由此可知，S(ABC) = S(AHB)，即三角形ABC和三角形AHB的面积相等。
又因为重心G将中线分成两部分，并且距离顶点A的距离是中线长度的2/3，所以HG = (2/3) * HB。
8由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用
8由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用向量形式的三角形面积公式：考虑一个三角形ABC，其顶点A的坐标为（x1，y1），顶点B的坐标为（x2，y2），顶点C的坐标为（x3，y3）。
我们可以用向量来表示三角形的边向量：向量AB=(x2-x1,y2-y1)向量AC=(x3-x1,y3-y1)通过向量的叉积，我们可以得到一个新向量，该向量的模长就是三角形的面积的两倍。
该向量的坐标为：向量N=(x2-x1,y2-y1)×(x3-x1,y3-y1)根据向量的叉积性质，该向量的模长等于向量AB和向量AC的模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，即：向量N， = ，向量AB × 向量AC， = ，向量AB，× ，向量AC，× sinθ其中，θ为向量AB和向量AC之间的夹角。
因此，三角形的面积S 可以表示为：S=1/2，向量AB×向量AC将向量的坐标带入上式，我们可以得到坐标式的三角形面积公式：S=1/2，(x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)坐标式的三角形面积公式的应用：1.判断三角形的方向：根据坐标式的面积公式，如果面积为正值，那么三角形顶点的排列顺序为逆时针；如果面积为负值，顶点的排列顺序为顺时针。
2.判断三角形是否共线：如果三角形的面积为0，那么三个顶点就共线。
3.判断点是否在三角形内部：假设给定一个点P的坐标为（x，y），通过坐标式的面积公式计算三个小三角形的面积，然后将三个小三角形的面积求和，如果和等于整个三角形的面积，那么点P在三角形内部。
4.计算多边形的面积：将多边形视为若干个三角形的集合，通过坐标式的面积公式计算每个三角形的面积，然后将三角形的面积求和，即可得到多边形的面积。
5.判断线段是否相交：假设我们有两条线段AB和CD，通过坐标式的面积公式可以判断线段AB和CD是否相交。
如果线段AB和线段CD的起点和终点分别位于对方的两侧，且AB和CD的面积有正负号之分，那么线段AB和线段CD相交。
三角形重心面积比证明
三角形重心面积比证明1. 引言三角形是几何学中最基本的图形之一。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到重心这个概念。
重心是三角形内部的一个点，它与三角形的顶点之间的连线平分对应边上的线段。
在本文中，我们将探讨一个关于三角形重心和面积之间的比例关系的证明。
具体来说，我们将证明：三角形重心到各顶点距离之和与三角形各顶点到对边距离之和的比值为2:1。
2. 证明过程为了方便讨论，我们假设已知一个任意三角形ABC，并设其重心为G。
首先，我们需要引入一些基本概念和定理。
2.1 中位线定理中位线定理是指：在任意三角形中，连接每个顶点与对边中点的线段构成的三条线段交于一点，并且该点距离每条中位线的起始点相等。
这个交点就是三角形的重心。
2.2 重心性质根据重心定义可知，在任意三角形ABC中，连结顶点A和重心G，并延长AG到交点D，使得AG=GD。
同理，我们可以得到BG=GE和CG=GF。
2.3 重心到顶点距离根据重心性质，我们可以得出以下结论： - AG + BG + CG = GD + GE + GF - AG = GD, BG = GE, CG = GF2.4 面积比证明我们知道，三角形的面积可以通过底边和高来计算。
设三角形ABC的面积为S，底边BC的长度为a，对应的高为h。
根据面积定义可知：S = (1/2) * a * h现在，我们来计算三角形重心到各顶点距离之和与三角形各顶点到对边距离之和的比值。
根据重心性质可知：AG + BG + CG = GD + GE + GF将重心到各顶点距离表示为底边上的长度差值（即AG = GD），则有： AG + BG + CG = AG - GD + BG - GE + CG - GF化简上式得： 2(AG + BG + CG) = (AG + BG + CG) - (GD + GE+ GF)由于GD=GE=GF，所以上式可进一步化简为： 2(AG+BG+CG)=(AG+BG+CG)-(GD+GE+GF) =(AB+BC+CA)-(GA+GB+GC) =AB+BC+CA-AB-BC-CA =0因此，我们得到结论： 2(AG + BG + CG) = 0进一步化简可得： AG + BG + CG = 0由于面积S= (1/2) * a * h，我们可以将高h表示为面积和底边的比值：h = 2S/ a。
三角形面积公式的向量形式及其应用举例
三角形面积公式的向量形式及其应用举例三角形是数学中最基本的几何图形之一，其面积公式是研究三角形性质和计算三角形面积的基础。
传统的三角形面积公式是用三角形的底边长度和高来表示，但我们也可以通过向量来推导三角形的面积公式，并将其应用于一些实际问题中。
一、向量形式的三角形面积公式推导设三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
以向量AB为基底，取向量AC和向量AB的两个向量分量，记为AC=(x4,y4)和AB=(x5,y5)。
则向量AC和向量AB的面积可以表示为S=(1/2)*(x4*y5-x5*y4)其中，x4=x3-x1，y4=y3-y1，x5=x2-x1，y5=y2-y1通过向量的叉积运算，我们可以得到三角形ABC的面积公式。
这个公式的推导过程可以通过向量的几何意义进行分析，但在此不再深入展开。
二、应用举例1.三角形面积计算假设我们已知三角形三个顶点的坐标，我们可以使用向量形式的三角形面积公式来计算三角形的面积。
举个例子，设三角形ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,4)，C(5,2)。
我们可以通过向量表示得到向量AB=(2,3)和向量AC=(4,1)，然后代入面积公式计算出三角形ABC的面积为S=(1/2)*(4*3-2*1)=52.判断点是否在三角形内部利用向量形式的三角形面积公式，我们可以判断一个点D(x,y)是否在已知三角形ABC内部。
首先分别计算三个子三角形ADB、BDC和CDA的面积，并将它们相加。
如果这个和等于三角形ABC的面积，则点D在三角形ABC内部；否则，点D不在三角形ABC内部。
举个例子，假设三角形ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,4)，C(5,2)，我们要判断点D(2,2)是否在三角形ABC内。
首先计算三个子三角形ADB、BDC和CDA的面积，可以得到三个面积分别为3/2、5/2和1/2、将这三个面积相加得到总面积为3+5+1=9，而三角形ABC的面积为5、因此，点D的三个子三角形的面积之和与三角形ABC的面积不等，所以点D不在三角形ABC内部。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
向量中关于三角形面积比的一个重要结论及其应用
所以S△BPC ∶ S△CPA ∶ S△BPA=3 ∶ 2 ∶ 3． 所以S△BPC ∶ S△ABC=3 ∶ 8．
应用2： 在△ABC内有一点P，
△△ △ △
记S△BPC为SA，S△CPA为SB，S△APB为SC，求证：SAPA+SBPB+SCPC=0．
SB，S△BPA记为SC，若m△P△A+nP△B+l△PC=0，m、n、l∈R+，则SA ∶ SB ∶ SC=m ∶
n ∶ l．
那么，我们首先来看一下更一般的结论：
在△ABC内有一点P，三角形的面积S△BPC记为SA，S△CPA记为
△△ △ △
SB，S△BPA记为SC，若PA+PB+PC=0，则SA ∶ SB ∶ SC=1 ∶ 1 ∶ 1．
教材 教法
课程解读
2012 年 12 月
向量中关于三角形面积比的 一个重要结论及其应用
筅江苏省沭阳如东中学 陈 琼
在三角形与向量结合的题目中，经常涉及三角形面积之比
的问题，本文将主要介绍一个与向量有关的三角形面积之比的
重要结论及应用．结论如下：
在△ABC内有一点P，三角形的面积S 记 △BPC 为SA，S△CPA记为
显然，点P为△ABC的重心，所以SA ∶ SB ∶ SC=1 ∶ 1 ∶ 1．
变 式 ：在△ABC内有一点P，三角形的面积S△BPC记为SA，S△CPA
△△ △ △
记为SB，S△BPA记为SC，若PA+2PB+3PC=0，则SA ∶ SB ∶ SC=1 ∶ 2 ∶ 3．
利用向量计算三角形面积的方法
利用向量计算三角形面积的方法三角形是几何学中最基本的图形之一，计算三角形的面积对于解决各种几何问题非常重要。
在传统的方法中，我们通常会使用三角形的底和高来计算其面积。
然而，利用向量计算三角形面积的方法同样简单且有效。
要计算三角形的面积，我们首先需要知道三个顶点坐标。
假设三个顶点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）和C（x3，y3）。
接下来，我们使用向量运算来计算三角形的面积。
步骤一：计算两个向量我们可以使用第一个顶点A和另外两个顶点B、C创建两个向量，分别为向量AB和向量AC。
向量的表示方法是使用终点减去起点，因此有：向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)向量AC = (x3 - x1, y3 - y1)步骤二：计算向量的叉积计算向量AB和向量AC的叉积，即AB × AC。
向量的叉积可以通过以下公式计算：AB × AC = (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)步骤三：计算面积最后，我们计算得到的叉积的绝对值除以2，即可得到三角形的面积。
面积 = |AB × AC| / 2利用向量计算三角形面积的方法相较于传统的底高方法，具有以下优势：1. 适用范围广：向量计算方法不仅适用于一般的三角形，也适用于任意形状的三角形，包括无法使用底高计算的情况。
2. 简洁高效：向量计算方法只需要进行简单的向量运算和一次乘法、减法操作，计算过程简洁高效。
3. 准确性：使用向量计算方法可以提高计算的准确性，避免由于测量误差或计算近似造成的面积误差。
4. 可拓展性：向量计算方法可用于更高维度的几何计算，如计算四面体、多边形等复杂图形的体积或面积。
举例说明：假设有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A(1, 2)、B(3, 4)和C(5, 6)。
根据上述方法，我们可以进行如下计算：步骤一：计算两个向量向量AB = (3-1, 4-2) = (2, 2)向量AC = (5-1, 6-2) = (4, 4)步骤二：计算向量的叉积AB × AC = (2 * 4) - (4 * 2) = 0步骤三：计算面积面积 = |AB × AC| / 2 = |0| / 2 = 0因此，根据给定的顶点坐标计算得到三角形ABC的面积为0。
巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比
巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比在计算三角形的面积时，一种常见的方法是使用向量的方法。
而在向量的方法中，可以利用三角形的重心来证明三角形的面积比。
首先，让我们回顾一下向量的性质。
对于任意两个向量OA和OB，其向量积OB×OA的长度等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。
我们可以将这一性质用于三角形的面积计算。
设三角形的三个顶点A、B、C及其对应的向量分别为OA、OB和OC。
根据向量的加法性质，我们可以将向量OA表示为向量OB与向量OC之和的形式：OA=OB+OC。
利用向量的性质，我们可以将三角形ABC的面积表示为向量OB与向量OC所形成的平行四边形OB×OC的面积的一半，即：S(ABC)=(1/2)*，OB×OC接下来，我们要证明三角形ABC的面积比。
假设三角形ABC的重心G 坐标为OG=(xG,yG,zG)。
首先，我们需要计算向量OG。
根据三角形重心的定义，顶点A、B和C到重心G的向量分别为：AG=(1/3)*(OB+OC)BG=(1/3)*(OC+OA)CG=(1/3)*(OA+OB)。
将这三个向量代入向量OG的定义中，我们可以得到：OG=(1/3)*(AG+BG+CG)=(1/3)*[(OB+OC)+(OC+OA)+(OA+OB)]=(1/3)*[2*(OA+OB+OC)]通过观察上式，我们可以得到结论：向量OG的长度与向量OA、OB和OC的长度之和相等。
接下来，我们计算向量OG与向量OC所形成的平行四边形OG×OC的面积。
根据向量的性质，我们可以得到：S(OBCG)=(1/2)*，OG×OC=(1/2)*，[(1/3)*(OA+OB+OC)]×OC=(1/2)*，(1/3)*(OC×OA+OC×OB+OC×OC)我们可以分别计算向量OC×OA、OC×OB和OC×OC的结果，并将其代入上式进行计算。
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题
+ + + +
,
).
注意：（1）在△ 中,若为重心,则 + + = ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理： ⋅ + ⋅ + ⋅ = ,则△ 、△ 、△ 的面积之比等于 : :
1
5
⋅ = 0
2
1
5
5
− +
⋅ +
+ =
2
5
− ，即
2 + + 2 = 0 ，
又 △ ⋅ + △ ⋅ + △ ⋅ = 0 ， 由 平 面 向 量 基 本
△ : △ : △ = 2 : 1 : 2 ， 错 误 ；
π
π
对 于 D ， 是△ 的 外心 ，且 ∠ = ，则 ∠ = ，
4
设 三 角 形 外接 圆半 径 为 R， 所 以 △ =
2 , △ =
1
2
重难点专题01
妙用奔驰定理解决三角形面积比问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
方法技巧
方法技巧
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
向量中关于三角形面积比的一个重要结论及其应用
向量中关于三角形面积比的一个重要结论及其应用
三角形面积比(SAS即Side-Angle-Side)是求出三角形的面积的重要方法之一。
按照定义，
三角形面积比定义为两边分别与连结它们的角形成的比率，即b/a:c/a，其中a,b,c为三角形的三边。
应用三角形面积比，可以判断一个三角形和另一个三角形之间的相似性，还可以
求出三角形的面积。
关于三角形面积比，有一个重要的结论：若两个三角形的三边比例相等，则它们具有相同的面积比。
该结论十分重要，可以提供很多有用的信息。
首先，若我们准确地知道两个三角形的三边
长度，可以用该结论求出其面积比，从而计算出三角形的面积；其次，若我们只能换算出
两个三角形的面积比，我们也可以用这一结论，推知它们的三边比率是相等的。
此外，三角形面积比还可以应用在符号計算过程中。
如果三角形的两个内角同时不变，则
不管三边长度会发生多大的变化，总可以用三角形面积比来改变三角形的面积比，反映出
三边的变化对三角形的影响。
综上所述，三角形面积比是几何学研究中的一个重要维度，它提供了一个简单有效的方法，用于求出三角形的面积，以及分析三角形的相似性、获取三角形内部关系以及符号计算过
程中求解三角形等问题。
重心三角形面积相等证明
重心三角形面积相等证明好吧，今天咱们聊聊一个数学小秘密，叫做重心三角形的面积相等。
听起来挺高大上的，但其实说起来就像喝茶聊天那么轻松。
想象一下你在一个阳光明媚的下午，坐在公园的长椅上，眼前有个三角形，三条边围起来的地方，真是美得像个拼图。
你可能会问，这个三角形有什么特别的？嘿，别急，接下来就要揭晓它的神秘面纱了。
重心，听着就让人觉得很神奇。
重心就是一个三角形的“心脏”，也就是如果你在三角形的三个顶点上各放一个小孩，假设他们都一样重，那他们就会在这个重心的地方“聚会”。
可有意思了，三个小孩一起玩，一不小心就把面积的秘密给暴露了。
想象一下，把三角形的每一条边都连上重心，哦，那个样子简直太有趣了。
你就会发现，每个小三角形的面积都是相等的，就像平分蛋糕一样，谁也不吃亏。
让我们来点实际的操作，拿出纸和笔，画一个三角形。
无论你画得多丑，都没关系，重要的是那三个点。
然后，用直尺把重心找出来，嘿嘿，找到了吧？从重心到每个顶点画线，这样一来，三角形就变成了三个小三角形。
然后开始量面积吧，怎么量？用面积公式啊，咱们都知道，面积等于底乘高除以二，算起来就像吃糖一样简单。
算来算去，发现这三个小三角形的面积竟然一模一样，真是让人惊叹。
这时候，可能有人会问，为什么会这样呢？哎，别急，数学就是有这种奇妙的地方。
三角形的重心是个特别的点，它把所有的力量都均匀地分配给三个小三角形，简直就像是一位公正的裁判，不偏不倚。
就算你把三角形变得再扭曲，只要重心在，面积也不会改变。
好吧，这听起来有点抽象，但其实它跟我们生活中的公平是一样的，大家都有机会，不会让任何一个小三角形受委屈。
说到这里，咱们再来点趣味的。
在学校里，老师总喜欢用这个来考咱们，说什么“重心三角形的面积相等”是数学的一个法则。
可是，只有在真正动手做的时候，才会发现这个法则的美妙。
就像你去煮饭，光看食谱是不够的，得亲自尝试，才能知道盐放得多不多。
对吧，生活就是这么真实，数学也是如此。
重心三个三角形面积相等证明
重心三个三角形面积相等证明介绍在几何学中，我们常常需要研究三角形的性质和关系。
本文将围绕一个有趣的问题展开讨论：当一个三角形被其重心划分为三个小三角形时，这些小三角形的面积是否相等？接下来，我们将通过证明来解答这个问题。
问题陈述给定一个三角形ABC，其中G为三角形ABC的重心，我们需要证明三角形AGB、BGC 和CGA的面积相等。
证明步骤1：重心的定义重心是指三角形的三条中线的交点，分别连接三角形的顶点和中点，它被划分为三个小三角形的重心。
步骤2：利用向量方法我们可以使用向量法来证明这个问题。
首先，我们定义三角形的顶点A、B和C的位置矢量分别为a、b和c。
假设三角形的面积为S，则利用向量的叉乘公式，我们可以得知三角形的面积等于它的底边与高的乘积的一半：S = 0.5 * |(b - a) × (c - a)|步骤3：计算各小三角形的面积接下来，我们将证明三个小三角形的面积相等。
分别以三角形AGB、BGC和CGA为例进行推导。
证明小三角形AGB的面积在三角形AGB中，顶点A、B和G的位置矢量分别为a、b和g。
根据面积的定义，我们可以计算出小三角形AGB的面积为：S1 = 0.5 * |(b - a) × (g - a)|为了方便计算，将上式展开为：S1 = 0.5 * |b × g - b × a - a × g + a × a|我们可以将这个式子继续简化为：S1 = 0.5 * |b × g + a × g - (b + a) × a|此处用到了向量叉乘的分配律。
同样的，我们可以利用同样的方法推导出小三角形BGC和CGA的面积。
证明小三角形BGC和CGA的面积小三角形BGC和CGA的面积的推导和小三角形AGB类似。
我们可以得知：S2 = 0.5 * |(c - b) × (g - b)|S3 = 0.5 * |(a - c) × (g - c)|我们可以继续简化上述公式，并最终得出结论：S1 = S2 = S3步骤4：三个小三角形面积相等的证明根据步骤3的推导结果，我们可以看出小三角形AGB、BGC和CGA的面积分别为S1、S2和S3，且它们相等。
重心的三个三角形面积相等证明
重心的三个三角形面积相等证明今天我们来探讨一个有趣的几何问题：证明三个重心所构成的三个三角形面积相等。
以下是证明过程：一、定义与前提条件这里我们需要定义一些几何概念和注明前提条件：1. 三角形ABC的三边长分别为 a、b、c；2. A、B、C分别为三角形ABC的三个顶点，G为三角形ABC的重心；3. H、I、J分别为三角形ABC的三条中线上的中点，且连接这些点所得到的线段分别为HA、IB、JC。
4. 前提条件：我们知道对于一个三角形，它的三个中线所构成三角形的面积恰好是原三角形面积的1/4，即S(HIJ)=S(ABC)/4。
二、证明过程接下来，我们将逐步证明三个重心所构成的三个三角形面积相等。
1. 首先，由重心定义可知，重心G到三角形三边的距离各相等，即GA=GB=GC。
2. 其次，根据三角形的面积公式S=1/2ab*sinC，我们可以得到三角形ABC的面积为：S(ABC)=1/2*AB*BC*sinA=1/2*AB*AC*sinB=1/2*AC*BC*sinC3. 利用前提条件可知，三角形HIJ的面积为S(HIJ)=S(ABC)/4，即S(HIJ)=1/8*AB*BC*sinA。
4. 根据向量叉乘的性质，我们知道向量AB叉乘向量AC的模长等于AB*AC*sinA/2，所以有：GUIJ=1/2*GA*IU*sinA=1/2*GA*IB*sinA=1/2*GA*IC*sinAGVIJ=1/2*GB*IV*sinB=1/2*GB*IA*sinB=1/2*GB*IC*sinBGWIJ=1/2*GC*JW*sinC=1/2*GC*JA*sinC=1/2*GC*IB*sinC其中，IU、IV、IW分别为三角形ABC的三条中线分别连接中点H、I、J点所构成的线段。
5. 又根据重心定义可知，GI=2/3*GA，GJ=2/3*GB，GH=2/3*GC，所以代入上述三式可得：GUIJ=1/3*GI*IB*sinA=2/9*GA*IB*sinAGVIJ=1/3*GJ*IA*sinB=2/9*GB*IA*sinBGWIJ=1/3*GH*IC*sinC=2/9*GC*IC*sinC因此，我们有：S(GUIJ)=1/2*GUIJ*IB*sinA/2=1/9*S(ABC)*sinA/2S(GVIJ)=1/2*GVIJ*IA*sinB/2=1/9*S(ABC)*sinB/2S(GWIJ)=1/2*GWIJ*IC*sinC/2=1/9*S(ABC)*sinC/26. 综上所述，我们得到：S(GUIJ)+S(GVIJ)+S(GWIJ)=1/9*S(ABC)*[sinA/2+sinB/2+sinC/2]由海龙公式可知，sinA/2+sinB/2+sinC/2=(r/R)+(s-a)/2r+(s-b)/2r+(s-c)/2r=1，所以：S(GUIJ)+S(GVIJ)+S(GWIJ)=1/9*S(ABC)此即证明了三个重心所构成的三个三角形面积相等。
重心三个三角形面积相等证明
重心三个三角形面积相等证明以重心三个三角形面积相等证明为题，我们来探讨一下这个有趣的几何问题。
在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
每个三角形由三条边和三个顶点组成。
而重心是指三角形三条中线的交点，也就是三条中线的交叉点。
中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
我们来看一个三角形ABC，假设它的三条中线分别为AD、BE和CF，其中D、E和F分别是BC、AC和AB的中点。
现在我们要证明的是，在任意三角形中，以重心为顶点的三个三角形的面积是相等的。
我们需要了解一下三角形面积的计算公式。
对于任意三角形ABC，它的面积可以通过以下公式计算得出：面积 = 1/2 * 底边长 * 高其中，底边长是指任意两条边之间的距离，高是指从顶点到底边的垂直距离。
现在，我们将证明三个以重心为顶点的三角形的面积是相等的。
我们以三角形ABC的重心G为顶点，将三角形划分为三个小三角形，分别为三角形AGD、三角形BGE和三角形CGF。
我们需要证明这三个小三角形的面积是相等的。
由于D是BC的中点，所以AD是BC的中线，即AD = 1/2 * BC。
同理，BE = 1/2 * AC，CF = 1/2 * AB。
现在，我们来计算三角形AGD的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到：面积(AGD) = 1/2 * AG * GD由于G是三角形ABC的重心，所以AG = 2/3 * GD。
代入上式，我们可以得到：面积(AGD) = 1/2 * (2/3 * GD) * GD = 1/3 * GD^2同理，我们可以计算出三角形BGE和三角形CGF的面积分别为：面积(BGE) = 1/3 * GE^2面积(CGF) = 1/3 * GF^2现在，我们来比较一下这三个小三角形的面积：面积(AGD) = 1/3 * GD^2面积(BGE) = 1/3 * GE^2面积(CGF) = 1/3 * GF^2由于D、E和F分别是BC、AC和AB的中点，所以GD = GE = GF。
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7
1
6
2
44E
D
O C
B A
E D
O
C
B
A G F
O E D
C
B A
巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比
我们知道在ABC 中，若O 是其重心，则有0OC OB OA ，反之亦成立。
教学中我们遇到过很多习题，都是有关重心的应用问题，一类求面积比的习题引起笔者的注意。
通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。
给同学们留下了深刻的印象。
思维得到了锻炼。
下面是此问题解决的具体过程。
仅供参考。
习题1、已知点O 在ABC 内部，且有02OC OB OA 。
求AOC 与AOB 的面积比。
解析：如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：OE OD OB OA 2，由题意知OC OB OA 2，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得OAB ABC S S 2，AOC ADC ABC S S S 42，因此AOC 与AOB 的面积比为1:2
习题2已知点O 在ABC 内部，且有032OC OB OA ，求BOC 与AOB 的面积比
解析：把032OC OB OA 变形得OC OB OC OA 2如图再由平行四边形法则得，点O 在三角形ABC 的中位线DE 上，且OD EO 2由平面几何知识得OAB ABC S S 2，又因为
OAB BOC AOC S S S 且BOC AOC S S 2因此OBC ABC S S 6所以BOC 与AOB 的面积比为1:3 习题3已知点O 在ABC 内部，且有042OC OB OA ，求OAB 与OBC 的面积比。
分析：此题与上两题的区别是系数不容易分配，从共线的角度入手很难。
而下面的方法恰好弥补了
上述解法的不足解析：如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为
OE 的四等分点，这样才有042OC OB OA 成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8EOA DOE AOD S S S 所以4,1,2OAB BOC AOC S S S ，所以OAB 与OBC 的面积比4:1 通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的猜想
面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：
已知点O 在ABC 内部，且有0321OC OB OA 不妨设321,,均大于 1
F O E D C B A 则3
21::::OAB OAC OBC S S S 证明：如图：设
O 是DEF 的重心，那么0OF OE OD （重心的向量式）不妨设OC OF OB OE OA OD 321,,，由三角形的面积公式得AOB OB OA S OAB sin 21，AOB OE OD S ODE sin 21
因此211ODE OAB S S ，同理321OEF OBC S S ，1
31
OFD OCA S S ，
又因为OFD
OEF ODE S S S 所以3
212
11332::1
:1:1
::OAB OAC OBC S S S 说明：有了这个结论，我们证明有关内心的向量式O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC uu u r uuu r uuu r r .特别简单请有心者慢慢体会。