巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比

7

1

6

2

44E

D

O C

B A

E D

O

C

B

A G F

O E D

C

B A

巧妙利用三角形的重心的向量式证明三角形的面积比

我们知道在ABC 中，若O 是其重心，则有0OC OB OA ，反之亦成立。教学中我们遇到过很多习题，都是有关重心的应用问题，一类求面积比的习题引起笔者的注意。通过几个小题把这个问题展现的淋漓尽致。给同学们留下了深刻的印象。思维得到了锻炼。下面是此问题解决的具体过程。仅供参考。

习题1、已知点O 在ABC 内部，且有02OC OB OA 。

求AOC 与AOB 的面积比。

解析：如图D 是AB 的中点，由平行四边形法则得：OE OD OB OA 2，由题意知OC OB OA 2，所以O 是CD 的中点，即OC=OD ，由平面几何知识得OAB ABC S S 2，AOC ADC ABC S S S 42，因此AOC 与AOB 的面积比为1:2

习题2已知点O 在ABC 内部，且有032OC OB OA ，求BOC 与AOB 的面积比

解析：把032OC OB OA 变形得OC OB OC OA 2如图再由平行四边形法则得，点O 在三角形ABC 的中位线DE 上，且OD EO 2由平面几何知识得OAB ABC S S 2，又因为

OAB BOC AOC S S S 且BOC AOC S S 2因此OBC ABC S S 6所以BOC 与AOB 的面积比为1:3 习题3已知点O 在ABC 内部，且有042OC OB OA ，求OAB 与OBC 的面积比。分析：此题与上两题的区别是系数不容易分配，从共线的角度入手很难。而下面的方法恰好弥补了

上述解法的不足解析：如图O 是三角形ADE 的重心，取B 为OD 的中点，C 为

OE 的四等分点，这样才有042OC OB OA 成立，不妨设三角形ADE 的面积为24，由重心的性质知8EOA DOE AOD S S S 所以4,1,2OAB BOC AOC S S S ，所以OAB 与OBC 的面积比4:1 通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的猜想

面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：

已知点O 在ABC 内部，且有0321OC OB OA 不妨设321,,均大于 1

F O E D C B A 则3

21::::OAB OAC OBC S S S 证明：如图：设

O 是DEF 的重心，那么0OF OE OD （重心的向量式）不妨设OC OF OB OE OA OD 321,,，由三角形的面积公式得AOB OB OA S OAB sin 21，AOB OE OD S ODE sin 21

因此211ODE OAB S S ，同理321OEF OBC S S ，1

31

OFD OCA S S ，

又因为OFD

OEF ODE S S S 所以3

212

11332::1

:1:1

::OAB OAC OBC S S S 说明：有了这个结论，我们证明有关内心的向量式O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC uu u r uuu r uuu r r .特别简单请有心者慢慢体会。