指数的扩充及其运算性质

第三章
指数函数和对数函数
2．在分数指数幂运算中，既含有分数指数 幂，又含有根式，应该把根式统一化为分数 指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指
数不同，也应化为分数指数幂的形式．
第三章
指数函数和对数函数
失误防范
1．注意：式子( a)n(n∈N＋，且 n＞1)中被开 方数 a 的取值范围由根指数 n 来确定．当 n 是奇数时，a∈R；当 n 为偶数时，a∈[0，＋ ∞)． 2．对于分数指数幂的运算性质要注意其成立 的条件． n
第三章
指数函数和对数函数
【解】 (1)原式＝(a2· b3) ÷ [b (a )2] 2 ＝a 2· b ÷ (b · a 2)
－ －
1
2
－3
－4
－2
1 1
3
－2
－2
1
＝a
3 1 2
－ ＋
b 2·
0
－ 2＋2
1 ＝a · b＝ . a
－1
1 (2) 原式＝ (2 ) ＋ (6 2 ) 3 ＋ (32 ＋ 2 2 ) － 4× 8
解决本题的关键是理解分数
指数幂的意义，根式是分数指数幂的另一种 形式，将根式化为分数指数幂的形式是计算
的前提．
第三章
指数函数和对数函数
题型二
例2
1
指数幂的综合运算
计算下列各式．
b
－4
3 2 －3 (1)(a2· b ) ÷
a 2；
－
3＋ 2 1－2 1 －1 － 63. (2) ＋ ＋ ＋ 4· 4 6 6 3 3－ 2 2
n
n
第三章
指数函数和对数函数
做一做
1.(1) 3 等于( A. 2 C. 27 3 3
3 2
) B. 3 D. 27
3 2
解析：选 D. 3 ＝ 33＝ 27.
第三章
指数函数和对数函数
(2)
5
a 2等于(
－
)
5 2 5 2
A． a C． a

2 5
B． a
2 5
D．－ a
答案：A
第三章
指数函数和对数函数
－
1
1
a＋a 1＋2＝9.即 a＋a 1＝7.
－ －
3分 6分
(2)将上式平方，有 a2＋a 2＋2＝49.
－
∴a2＋a 2＝47.
－
第三章
指数函数和对数函数
【思维总来自百度文库】
巧妙地换元、整体代换、完
全平方公式、立方和公式等是解这类题常用
的方法和知识．
第三章
指数函数和对数函数
方法技巧
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算 括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂 化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定 符号；底数是小数，先要化成分数；底数是 带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用 幂的形式表示，便于用指数运算性质．
0 (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分 没有意义 数指数幂_______________ ．
第三章
指数函数和对数函数
由于有理数分为整数和分数，则引入分数指
数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指 数幂向有理数指数幂的扩充． 想一想
m 1. a 是 个 a 相乘吗？ n
m 提示：分数指数幂 a 不是 个 a 相乘，实质 n 上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
) ＝
1 4
＝3 .
1 1 1
－ ＋
1 31 2 (2)原式＝2×32×( )3×(3×2 )6＝21 2
3 3× 32 3 6
＋ ＋
1 1 1
＝2×3＝6. (3)原式＝(52×55)÷ (52×510)＝52
3 1 7 3 1 7 7
＋ － －
5 2 10＝ 55.
第三章
指数函数和对数函数
【思维总结】
－
1
1
下列各式的值， (1)a＋a 1；
－
(2)a2＋a 2；
－
第三章
指数函数和对数函数
【思路点拨】 从已知条件中解出 a 的值，然 后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设 法从整体寻求结果与条件 a2＋a 2＝3 的联系，
－
1
1
进而整体代入求值．
【解】 (1)将 a2＋a 2＝3 两边平方，得
－2 －2
－
3
－
1
1
1
2
×62＝2 ＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
3
4
1
1
1
第三章
指数函数和对数函数
【名师点睛】
进行指数运算时，要化负指
数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数 为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
第三章
指数函数和对数函数
题型三
例3
有关指数幂的条件求值
(本题满分 6 分 )已知 a2＋ a 2＝ 3，求
第三章
指数函数和对数函数
若改变公式成立的条件， 则命题有可能变为假 1 命题， 如 a＝－3， b＝－4， n＝ 时， anbn＝(ab)n 4 ＝[(－3)×(－4)]4＝124，而(－3)4、(－4)4都无 意义，所以当 a＜0，b＜0 时，有理数指数幂 的运算性质(3)不再成立.
1 1 1 1
的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根 式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方 数是任意实数来求出其中字母的取值范围． 2．(am)n＝anm 只有在 a>0 时一定成立，若 a<0，且 m 为 偶数，则需转化为(am)n＝[(－a)m]n＝(－a)mn.
第三章
指数函数和对数函数
第三章
指数函数和对数函数
其中m，n∈N＋.
当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足
上述性质，上述五条运算性质也可以归纳为
三条： am＋n (1)aman ＝ __________ ； (2)(am)n ＝
nb n a n _______；(3)(ab) ＝__________.
amn
第三章
指数函数和对数函数
【正解】
3.化简：① 4 × 5 3 ＝________. ② 3
3

5

5 5
＝________.
第三章
指数函数和对数函数
解析：① 4 × 5 3 ＝(4×5) ②(3
5
3
3
＝20
3
；
)

5 5
＝3
1 3

5 5 5
1 ＝3 ＝ . 3
－1
答案：20
3
第三章
指数函数和对数函数
题型探究 题型一
例1
4 (1)
分数指数幂与根式的转化
计算下列各式的值：
2 3
81× 9 ) ； (2)2 3 × 5 3 25× 5 (3) . 10 7 5× 5
3
1.5 ×
6
12 ；
第三章
指数函数和对数函数
【解】 3
14 1 3 4
(1) 原式＝ (34×3
7 6
4 1 3 2
) ＝ (3
1 4
4
2 3
2．指数运算性质 正整数指数幂的运算性质： (1)aman＝am n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
＋
am (4)当 a≠0 时，有 n ＝1，当m＝n时 a a n m，当m＜n时
－ －
m n a ，当m＞n时
－
；
a n an (5)( ) ＝ n(b≠0)． b b
第三章 分数指数幂的运算
指数函数和对数函数
【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小 数指数化为分数指数． (2)将根式化为分数指数幂．
第三章
指数函数和对数函数
【自主解答】
第三章
指数函数和对数函数
忽略
成立的条件致误
【错解】
【错因分析】
第三章
指数函数和对数函数
【防范措施】
1.化简指数式时，应该先讨论其中字母
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数
幂来理解，由于无理数是无限不循环小数， 因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似 值来无限逼近它． 一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个
无理数)是一个确定的实数．
第三章
指数函数和对数函数
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无
理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实 数了． 做一做
第三章
指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
第三章
指数函数和对数函数
1．分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n
(m，n互素)，存在唯一的正实数 b，使得bn m a 的 次幂 m n ＝a ，就把b叫作 ________________ ，记
b＝ a 作_______________. 它就是分数指数幂．
m n
第三章
指数函数和对数函数
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即 a
n
m n
m a ＝__________ (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数 幂的意义相仿： a
m n
1 a ＝__________ (a＞0，m，
m n
n∈N＋，且 n＞1)．
m n
m n
第三章
指数函数和对数函数
2．( a) 与 an(n∈N＋，n＞1)相同吗？
n
n
n
提示：不同( a)n＝a. 式子 an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都 有意义，当 n 是奇数时 an＝a；当 n 是偶数 时， n
a，a≥0 a ＝|a|＝ . －a，a＜0
n
n