2019中考数学复习第1部分第三章函数第七节二次函数的综合应用检测

第七节 二次函数的综合应用

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1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y ＝－2x ＋4分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D.

(1)若抛物线的表达式为y ＝－2x 2

＋2x ＋4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N. ①求点M ，N 的坐标；

②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；

(2)当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B ，P ，D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y ＝ax 2

＋32x ＋c(a≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴

交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB ，AC. (1)请直接写出二次函数y ＝ax 2

＋32x ＋c 的表达式；

(2)判断△ABC 的形状，并说明理由；

(3)若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标； (4)如图2，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．

图1

图2

3．(2018·随州中考)如图1，抛物线C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(－1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C1的顶点为G.

(1)求出抛物线C1的表达式，并写出点G的坐标；

(2)如图2，将抛物线C1向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′，B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；

(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：(1)①如图，

∵y＝－2x 2

＋2x ＋4＝－2(x －12)2＋92

，

∴顶点M 的坐标为(12，9

2

)．

当x ＝12时，y ＝－2×1

2

＋4＝3，

则点N 的坐标为(1

2，3)．

②不存在．理由如下：

MN ＝92－3＝32

.

设P 点坐标为(m ，－2m ＋4)，则D(m ，－2m 2

＋2m ＋4)，

∴PD＝－2m 2

＋2m ＋4－(－2m ＋4)＝－2m 2

＋4m.

∵PD∥MN，

当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形， 即－2m 2

＋4m ＝32，解得m 1＝12(舍去)，m 2＝32

，

此时P 点坐标为(3

2

，1)．

∵PN ＝

（12－3

2

）2＋（3－1）2＝5，∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD 不为菱形，

∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形．

(2)存在．

如图，

OB ＝4，OA ＝2，则AB ＝22＋42＝2 5.

当x ＝1时，y ＝－2x ＋4＝2，则P(1，2)，

∴PB＝12＋（2－4）2＝ 5.

设抛物线的表达式为y ＝ax 2

＋bx ＋4，

把A(2，0)代入得4a ＋2b ＋4＝0，解得b ＝－2a －2，

∴抛物线的表达式为y ＝ax 2

－2(a ＋1)x ＋4.

当x ＝1时，y ＝ax 2

－2(a ＋1)x ＋4＝a －2a －2＋4＝2－a ，则D(1，2－a)，

∴PD＝2－a －2＝－a.

∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，

∴当PD BO ＝PB BA 时，△PDB∽△BOA，即－a 4＝525

，

解得a ＝－2，

此时抛物线的表达式为y ＝－2x 2

＋2x ＋4； 当PD BA ＝PB BO 时，△PDB∽△BAO，即－a 25＝54

，

解得a ＝－5

2

，

此时抛物线的表达式为y ＝－52

x 2

＋3x ＋4.

综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y ＝－2x 2

＋2x ＋4或y ＝－52

x 2＋3x ＋4.

2．解：(1)y ＝－14x 2＋3

2

x ＋4.

提示：∵二次函数y ＝ax 2

＋32

x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪

⎨

⎪⎧a ＝－1

4，c ＝4，

∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋3

2x ＋4.

(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：

令y ＝0，则－14x 2＋3

2

x ＋4＝0，

解得x 1＝8，x 2＝－2，

∴点B 的坐标为(－2，0)．

在Rt △ABO 中，AB 2

＝BO 2

＋AO 2

＝22

＋42

＝20，

在Rt △AOC 中，AC 2

＝AO 2

＋CO 2

＝42

＋82

＝80.

又∵BC＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，

∴在△ABC 中，AB 2

＋AC 2

＝20＋80＝102

＝BC 2

，

∴△ABC 是直角三角形．

(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝42＋82＝4 5.

①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(－8，0)；

②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)；

③作AC 的垂直平分线，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(3，0)．

综上所述，若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－

8，0)，(8－45，0)，(8＋45，0)，(3，0)．

(4)设点N 的坐标为(n ，0)，则BN ＝n ＋2.

如图，过点M 作MD⊥x 轴于点D ，

∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴

BM BA ＝MD OA

.

∵MN∥AC，∴BM BA ＝BN BC ，∴MD OA ＝BN

BC

.

∵OA＝4，BC ＝10，BN ＝n ＋2，∴MD＝2

5

(n ＋2)．

∵S △AMN ＝S △ABN －S △BMN ＝12BN·OA－1

2

BN·MD

＝12(n ＋2)×4－12×25

(n ＋2)2

＝－15

(n －3)2

＋5，

当n ＝3时，S △AMN 最大，