平行四边形的3个判定定理
平行四边形的判定定理总结
1、在下列条件中,不能判定四边形是 平行四边形的是( D ) (A)AB∥CD,AD∥BC
(B) AB=CD,AD=BC (C)(C)AB∥CD,AB=CD (D)(D) AB∥CD,AD=BC (E)(E) AB∥CD, ∠A=∠C
例1 ：已知：如图，在□ABCD中，E、F分别
A
D
是AB，CD的中点。
A
E
D
B
F
C
已知：平行四边形ABCD中，E， F分别是边AD，BC的中点（如图）
求证：EB=DF
A
E
DБайду номын сангаас
B
F
C
已知：平行四边形ABCD中，E，F分
别是边AD，BC的中点（如图）
求证：EB=DF
A
E
D
证明：∵四边形ABCD 是平行
四边形
∴AD BC
B
F
C
∵ED=1/2AD BF=1/2BC
∴ED BF ∴四边形EBFD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴EB=DF
作业题：２、已知：E、F是平行四边形ABCD
对角线AC上的两点，并且AE=CF。
大 显 身
求证：四边形BFDE是平行四边形
证明：
Q
四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手A
EAD= FCB
D 在 AED和 CFB中
E
B
AE=CF
F
EAD=
FCB
C
AD=BC AED ≌ CFB(SAS)
∴四边形ABCD是平行四边形 （根平据行什四么边？形）的定义） ∴该命题是真命题
定理1：
(完整版)判定平行四边形的五种方法
鉴识平行四边形的基本方法怎样鉴识一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明 .一、运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,A D 且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E解析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”进行鉴识 .为此 ,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.OF B C图 1由于四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 AO =CO,BO=DO . 又 AE= CF,因此 AO -AE=CO -CF ,即 EO= FO .因此四边形 DEBF 是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”鉴识例 2 如图 2，是由九根完满同样的小木棒搭成的图形，请A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明原由 .解析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的B C D边长即可求得，故应试虑运用“两组对边分别相等的四边形是平图 2行四边形”进行鉴识 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF = BC=1, AB= FC=1,因此四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .由于 AE=DB=2, AB=DE=1,因此四边形 ABDE 也是平行四边形.D C 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两A B点，AE=CF,DF =BE,DF ∥BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形.解析: 题目给出的条件都不能够直接鉴识四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ ADF ≌△CBE，由此即可获得鉴识平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：由于 DF∥BE，因此∠ AFD =∠CEB .由于 AE =CF,因此 AE+ EF= CF+ EF ，即 AF= CE .又 DF = BE, 因此△ ADF ≌△CBE，因此 AD=BC，∠DAF =∠BCE，因此 AD ∥BC .因此四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”鉴识 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，∠ DAB 、∠BCD 的均分线分别交 BC 、AD 边于点 E 、F ，则四边形 AECF 是平行 四边形吗？为什么？AF1 3D解析：由平行四边形的性质易得 AF ∥EC ，又题目中给出 的是有关角的条件，借助角的条件可获得平行线，故本题应试2B E C虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行鉴识 . 图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .原由：由于四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AD ∥BC ， ∠DAB =∠BCD ，因此 AF ∥EC .又由于∠ 1= 1 2∠DAB ，∠2= 1 2∠BCD ，因此∠ 1=∠2.由于 AD ∥BC ，因此∠ 2=∠3， 因此∠ 1=∠3，因此 AE ∥CF. 因此四边形 AECF 是平行四边形 .判断平行四边形的五种方法平行四边形的判断方法有： （1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等； （3）证一组对边平行且相等； （4）证对 角线互相均分； （5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
平行判定的六个定理
平行判定的六个定理
平行判定的六个定理是几何学中非常重要的定理，它们可以帮助我们判断两条直线是否平行。
下面我将逐一介绍这六个定理。
第一个定理是同位角定理。
同位角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同位角相等的两个角所对应的直线必定平行。
第二个定理是内错角定理。
内错角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么内错角相等的两个角所对应的直线必定平行。
第三个定理是同旁内角定理。
同旁内角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同旁内角之和为180度的两个角所对应的直线必定平行。
第四个定理是平行线夹角定理。
平行线夹角定理指出，如果两条直线被一条横截线所切割，那么同侧内角之和为180度的两个角所对应的直线必定平行。
第五个定理是平行四边形定理。
平行四边形定理指出，如果一个四边形的对边平行，则这个四边形是平行四边形。
第六个定理是三角形内部直线定理。
三角形内部直线定理指出，如果
一条直线穿过一个三角形的两个边且与第三条边不相交，则这条直线
所对应的两个角所对应的直线必定平行。
这六个定理在几何学中非常重要，它们可以帮助我们判断两条直线是
否平行，从而解决很多几何问题。
在实际应用中，我们可以根据这些
定理来判断两条直线是否平行，从而解决一些实际问题，比如在建筑
设计中，我们需要判断两条墙面是否平行，以确保建筑结构的稳定性。
总之，平行判定的六个定理是几何学中非常重要的定理，它们可以帮
助我们判断两条直线是否平行，从而解决很多几何问题。
在学习几何
学时，我们应该认真学习这些定理，并掌握它们的应用方法。
初二数学平行四边形的判定知识精讲 人教义务几何
初二数学平行四边形的判定知识精讲人教义务几何【学习目标】1．掌握并会证明平行四边形的四个判定定理．2．能灵活运用平行四边形的五种判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】平行四边形的判定：1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．3．判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．4．判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【基础知识精讲】1．平行四边形的判定定理，是相应性质定理的逆定理，学习时将它们进行对照，有利于记忆．2．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行四边形的知识运用包括：（1）直接运用平行四边形的性质去解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍、分等；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．【例题精讲】［例1］在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法：（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（5）如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（6）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个剖析：本题是一道给出结论和部分条件，让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理，认真考查六种说法．说法（1）符合平行四边形的定义；说法（2）符合平行四边形的判定定理4；说法（3）由AB ∥CD和∠DAB＝∠DCB，可推断出AB＝CD或AD∥BC，也正确；说法（4）可举出反例；说法（5）能证出BO＝DO，符合平行四边形的判定定理3；说法（6）不符合平行四边形的判定定理．答案：B［例2］如图4－23，在ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．图4—23（1）连结_____．（2）猜想：_____＝_____．（3）证明：剖析：容易猜想连结BF，证明BF＝DE．如图4－24，可连结DF、DB，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而证明猜想的结论．又可猜想连结DF，证明DF＝BE，证明方法可同上面猜想结论的证明方法．图4—24解法一：（1）BF（2）BFDE（3）证明：连结DB、DF，设DB、AC交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，DO＝OB，∵AE＝FC，∴AO－AE＝OC－F C．∴EO＝FO．∴四边形EBFD为平行四边形．∴BF＝DE．解法二：（1）DF（2）DFBE（3）证明：（略）说明：（1）本例解法一中又可通过△BCF≌△DAE等证明BF＝DE．（2）本例是结论猜想型的题目，此类题型是中考中常见题型．［例3］如图4－25，已知AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AE＝FE．求证：BF＝A C．图4—25剖析：延长AD到N，使DN＝AD，构造出平行四边形ABN C．证明：延长AD到N，使DN＝AD，连结BN、，则四边形ABNC为平行四边形．∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠1＝∠4．∵AE＝FE，∴∠1＝∠2．∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠3＝∠4．∴BN＝BF，∴BF＝A C．说明：当题目中有三角形中线时，常利用加倍中线构造平行四边形，然后再应用平行四边形的知识证题，用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷．【同步达纲练习】1．填空题（1）一个四边形的边长依次是a、b、c、d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是_____．（2）用两个全等三角形按不同方法拼成四边形，在这些四边形中，平行四边形的个数是_____．（3）四边形ABCD中，已知AB∥CD，若再增加条件______，可知四边形ABCD为平行四边形．（4）如图4－26，在ABCD中，E、F分别是对角线BD上两点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简捷的方法是根据_____来证明．图4—26（5）如图4－27，在ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点，且BE＝DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可证明_____ _____．图4—27（6）在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD＝BC；③∠A＝∠C．以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题______．2．选择题（1）下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．两条平行线间的垂线段就是这两条平行线的距离D．平行四边形的一条对角线平分一组对角（2）如图4－28，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BEDF，不一定是平行四边形的是（）图4—28A．DE⊥AC于E，BF⊥AC于F（图①）B．BE平分∠ABC，DF平分∠ADC（图②）C．E是AB的中点，F是CD的中点（图③）D．E是AB上一点，EF⊥AB（图④）（3）把两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（4）如图4－29，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，GH、EF的交点P在BD上，图中面积相等的平行四边形有（）图4—29A．0对 B．1对 C．2对 D．3对3．如图4－30，在ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O分别交AB、CD于E、F，AO、CO的中点分别为G、H．求证：四边形G E H F是平行四边形．图4—304．如图4－31，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD 于E、F两点．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不增加辅助线的原图中，全等三角形共有_____对．图4—315．如图4－32，在△ABC中，E、G在BC边上，且BE＝GC，AB∥EF∥GH．求证：AB＝EF＋GH．图4—326．已知：平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分．（要求用文字简述你所设计的两种方法，并正确画出图形）．【思路拓展题】想一想图4—33如图4－33，田村有一呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写作法）参考答案【同步达纲练习】1．（1）平行四边形（2）3 （3）AB＝CD（或AD∥BC，或∠A＝∠C等）（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）AECF（6）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD＝B C．2．（1）B （2）D （3）C （4）D3．提示：先证△AOE≌△COF，得OE＝OF，再证OG＝OH．4．（1）提示：证△AOE≌△COF，得OE＝OF（2）25．提示：过E作ED∥AC交AB于D，先证△BED≌△GCH，得BD＝GH，再证AD＝EF．6．略．【思路拓展题】想一想如图所示。
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它有着独特的判定方法。
在几何学中，我们经常会遇到需要判断一个四边形是否为平行四边形的情况，因此了解平行四边形的判定方法对于我们的学习和工作都是非常重要的。
接下来，我将为大家详细介绍平行四边形的判定方法。
首先，我们需要了解平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
也就是说，如果一个四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的判定方法。
其次，判定一个四边形是否为平行四边形，我们可以利用其性质来进行判断。
首先，我们可以通过观察四边形的对边是否平行来初步判断。
如果四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。
其次，我们可以观察四边形的对角线是否相等。
如果一个四边形的对角线相等，同时对角线所夹的角也相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。
另外，我们还可以利用平行四边形的性质来判定。
平行四边形的对边相等，对角线相等，对角线所夹的角相等，相邻角互补。
如果我们能够观察到一个四边形具有这些性质，那么它就是一个平行四边形。
除了以上方法之外，我们还可以利用平行四边形的判定定理来进行判断。
平行四边形的判定定理有多种，如对边对角相等定理、对角线分割定理等。
通过运用这些定理，我们可以更加准确地判断一个四边形是否为平行四边形。
总的来说，判定一个四边形是否为平行四边形，我们可以通过观察其对边是否平行、对角线是否相等、对角线所夹的角是否相等，以及利用平行四边形的判定定理来进行判断。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的判定方法，以便准确判断四边形的性质。
在几何学中，平行四边形是一个重要的概念，它具有许多独特的性质和判定方法。
通过学习和掌握平行四边形的判定方法，我们可以更好地理解和应用平行四边形的性质，为解决实际问题提供帮助。
希望以上内容能够帮助大家更好地理解平行四边形的判定方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这些方法，提高自己的几何学解题能力。
空间几何中的平行四边形对边定理
空间几何中的平行四边形对边定理在空间几何中，平行四边形是指有四条边两两平行的四边形。
平行四边形是几何学中的重要概念，它具有许多特性和定理。
其中，平行四边形对边定理是指在平行四边形中，对边相等。
本文将详细介绍空间几何中的平行四边形对边定理及其相关内容。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形是由四条边两两平行的四边形。
根据平行四边形的定义，可以得出以下性质：1. 对角线相等性质：平行四边形的两条对角线相等。
2. 对边平行性质：平行四边形的对边两两平行。
3. 相邻角补角性质：平行四边形的相邻两个角是补角。
4. 同位角相等性质：平行四边形的同位角（顶角和底角）相等。
二、平行四边形对边定理的证明平行四边形对边定理是指平行四边形的对边相等。
下面给出平行四边形对边定理的证明。
证明：设ABCD是一个平行四边形，AB∥ CD，AD∥ BC。
连接AC和BD。
由平行四边形的性质可知，AB∥ CD，AD∥ BC，因此∠DAB =∠DCB，∠BDA = ∠BAD。
根据平行线之间的夹角对应性质，∠BDA = ∠DCB。
又由底角定理可知，∠ABD = ∠CDB。
因此，三角形ABD与三角形CBD相似。
（∠BDA = ∠DCB，∠ABD = ∠CDB，∵∠ABD = ∠CDB）根据相似三角形的性质，可知AB/CD = BD/BC。
而平行四边形的对边两两平行，因此AB = CD，BD = BC。
所以，平行四边形ABCD的对边相等。
三、平行四边形对边定理的应用平行四边形对边定理在空间几何中具有广泛的应用。
下面介绍平行四边形对边定理的几个应用：1. 证明平行四边形：平行四边形的对边相等是判定一个四边形是否为平行四边形的重要依据。
通过测量对边的长度，可以判断四边形是否为平行四边形。
2. 求解未知边长：已知平行四边形的一对对边相等，可以利用对边相等的性质求解未知边长。
根据平行四边形对边定理，可以将已知边长与未知边长建立等式，从而求解未知边长的值。
平行四边形定义性质以及判定定理
性质（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。
（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形。
）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。
矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
（14）平行四边形中，两条在分歧对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积平行四边形的判定方法（共6种）1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理
平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
两点之间，线段最短。
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离人，叫做这两条平行线之间的距离。
如果直线a平行直线b ，A是a上的任意一点，AB垂直直线b，b是垂足，线段AB的长就是直线a，b之间的距离。
平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，也就是说当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。
矩形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；矩形的4个角都是直角；矩形的对角线相等。
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是举行。
菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：矩形的对边相等；矩形的对角相等；矩形的对角线互相平分；菱形的4条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好，平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴。
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
正方形正方形的两条对角线，把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。
四边形全等的判定公式
四边形全等的判定公式1.平行四边形全等判定公式：若两个平行四边形的对应边长度相等，并且对角线互相等长，则这两个平行四边形全等。
例如，ABCD和EFGH是两个平行四边形，且AB=EF，BC=FG，CD=GH，AD=EH，则ABCD与EFGH全等。
2.矩形全等判定公式：若两个矩形的对边长度相等，则这两个矩形全等。
例如，ABCD和EFGH是两个矩形，且AB=EF，AD=EH，则ABCD与EFGH全等。
3.菱形全等判定公式：若两个菱形的对边长度相等，则这两个菱形全等。
例如，ABCD和EFGH是两个菱形，且AC=EG，BD=FH，则ABCD与EFGH全等。
4.正方形全等判定公式：若两个正方形的边长相等，则这两个正方形全等。
例如，ABCD和EFGH是两个正方形，且AB=EF，则ABCD与EFGH全等。
5.正六边形全等判定公式：若两个正六边形的边长相等，则这两个正六边形全等。
例如，ABCDEF和GHIJKL是两个正六边形，且AB=GH，则ABCDEF和GHIJKL全等。
需要注意的是，判定全等时除了考虑各个边的长度相等外，还需要考虑边之间的对应关系，如对角线的相等等等。
当满足所有的边长相等以及对应关系时，才能判定为全等。
同时，根据全等的定义，对应的顶点也需要满足相等的条件。
在判定四边形全等时，可以利用以下几种方法：1.SSS判定法（边边边法）：利用三边全等判定定理来判定四边形全等。
即如果两个四边形的对边边长分别相等，那么它们全等。
2.SAS判定法（边角边法）：利用两边和夹角全等判定定理来判定四边形全等。
即如果两个四边形的夹角相等，并且夹角两边的边长分别相等，则它们全等。
3.ASA判定法（角边角法）：利用两个角和夹边全等判定定理来判定四边形全等。
即如果两个四边形的两个角相等，并且这两个角之间的夹边长度相等，则它们全等。
4.RHS判定法（斜边直角边法）：利用斜边和两条相对的直角边全等判定定理来判定四边形全等。
即如果两个四边形的一条斜边和两条相对的直角边长度分别相等，则它们全等。
平行四边形的判定定理_平行四边形的性质-优质公开课-冀教8下精品
平行四边形的判定定理1:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A D
符号语言：
B C
∵AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
已知：在四边形ABCD中， AD
BC.
A
D
求证：四边形ABCD是平行四边形. B 证明：连接AC ∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB 又∵AD=BC，AC=AC， ∴Δ ABC≌Δ CDA ∴∠BAC=∠ACD ∴AB∥CD
已知：四边形ABCD，AB=CD，AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明： 连结AC 在△ABC和△CDA中 AB=CD（已知） AD=CB（已知） AC=CA（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS）
A D
1
4 3 2
B
C
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等） ∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的 四边形是平角形的对应角、对应边相等）
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
平行四边形的判定定理4:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
A D O B C
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四 边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形
从边来判定
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行 四边形
平行四边形的判定
平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
简单记就是：两组对边分别平行。
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
平行四边形的性质及判定
平行四边形的性质和判定定理二、知识点回顾：1：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2：平行四边形的性质：1）平行四边形对边平行；2）平行四边形对边相等；3）平行四边形对角相等；4）平行四边形对角线互相平分．3：平行四边形判定定理：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AD＝BC，AB＝CD四边形ABCD是平行四边形3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AD∥BC，AD＝BC四边形ABCD是平行四边形4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；OA＝OC，OB＝OD四边形ABCD是平行四边形5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD四边形ABCD是平行四边形4：三角形中位线定义及定理：1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．【典型例题】例1. 已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD 的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．例2. 如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．例3. 如图3所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图3A. 7个B. 8个C. 9个D. 11个例4. 如图4，△ABC中，AB＝6，AC＝4．AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________例5. 现有一个四边形的木框，若想知道它是否为平行四边形，只给你一把刻度尺，你能有几种方法来测量？例6. 如图5，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD ＝8，求这个六边形的周长．图5例7. 如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC 上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A. AE＝CFB. DE＝BFC. ∠ADE＝∠CBFD. ∠AED＝∠CFB图6例8. 如图7，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD 的面积．图7【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边平行且相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE上BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（）图1A. 6B. 12C. 18D. 不确定3. 下列条件中，能判别一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等B. 一组对边平行C. 两条对角线相等D. 两组对角分别相等4. 已知四边形ABCD，以下四个条件：（1）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（2）AB＝CD，AD ＝BC；（3）AB＝CD，AB∥CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD为平行四边形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. OA＝OC，OB＝ODB. ∠ABD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADBC. AB＝CD，OB＝OD，∠ABD＝∠BDCD. OA＝OB．OC＝OD6. 如图2，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝2，AC＝5，则AB的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 5图27. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添一个条件________，就可以判定四边形ABCD 是平行四边形．8. 如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，请写出图中相等的线段_______，图中全等三角形有__________对．图39. 在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB 的周长为15，则CD＝______．10. 如图4，在平行四边形ABCD中，O是AC上一点，过点O的任一直线交AB于E，交CD于F，要想保证OE＝OF，需满足条件：_________________（填出一个你认为正确的一个条件即可）．图411. 用长为80cm的铁丝围成一个平行四边形，使平行四边形的两邻边之比为3：2，这个平行四边形最长边为___________．12. 已知四个角都是直角的四边形叫做矩形．如图5是小张剪出的一个四边形ABCD硬纸片，现他沿垂直于BC的线段AE剪下△ABE，然后放到△DCF处，使AB与CD重合，此时测得四边形AEFD是矩形．那么小张剪出的原四边形ABCD是_________形．判定的依据是_____________．13. 在四边形ABCD中，∠A＝60，要使四边形ABCD成为平行四边形，则∠B＝_________，∠C_____________．14. 如图6是小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF 是平行四边形，请你帮他说明理由；小明又量出AB＝9 cm，则四边形AEDF的周长是多少？图615. 如图7，把两把相同的角尺（两边互相垂直）的一边紧靠在木板同一侧的边缘上，再看板另一边缘（也为直线）在两把角尺上的刻度是否相等，木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行，你能说出其中的道理吗？图7【试题答案】1、C2、B3、D4、C5、D6、B7、AB//CD（条件不唯一）8、AD=BC AB=CD OA=OC OB=OD 49、5 10、OA=OC 11、24cm12、平行四边形，AB//CD、AB=CD13、120°60°14、解：（1）由题意可得：（2）周长为18cm．15、答：由测量过程可知：测量的直线间距不仅相等，而且平行，所以对边是平行关系．。
各种四边形判定定理及性质
四边形的性质和判定一、平行四边形的性质和判定（一）平行四边形性质：1、平行四边形的两组对边平行且相等2、平行四边形的两组对角相等,邻角互补3、平行四边形的两条对角线互相平分4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点（二）平行四边形的判定：1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、两条对角线互相平分5 两组对角分别相等以上五个条件均可判定一个四边形是平行四边形，都是平行四边形的判定定理。
二、菱形的性质和判定：（一）菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分；2、四条边都相等；3、对角相等,邻角互补；4、每条对角线平分一组对角．5、菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点也是轴对称图形，对称轴是两条对角线（二）菱形的判定三、矩形的性质和判定（一）矩形的性质1、从边看，矩形对边平行且相等。
2、从角看，矩形四个角都是直角。
3、从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点（二）矩形判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形四、正方形的性质和判定（一）正方形的性质1、四边相等，四个角是直角2、对角线相等、相互平分、相互垂直3、既是中心对称图形又是轴对称图形（二）正方形的判定1、有一个角是直角的菱形是正方形2、有一组邻边相等的矩形是正方形3、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形5、对角线相互垂直的矩形是正方形。
判定平行四边形的五种方法(最新整理)
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别图1图2AB C DEF图3例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=∠DAB ，∠2=∠BCD ，2121所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定定理
平行四边形判定定理三： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O. ∵ OA= OC， OB=OD（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相 平分的四边形是平行四边形）.
O
三、应用新知，巩固提高
例3 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于
点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF. 求证：
在四边形ABCD中， ∵ AB=CD，AD=BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分 别相等的四边形是平行四边形）.
平行四边形判定定理二： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中， ∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分 别相等的四边形是平行四边形）.
四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
提问：本题还有其他证法吗？ 请从定义、几个判定定理分别考虑.
A
D
E
O
F
B
C
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平边
形 四 边 形
角
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的 判
定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定 第1课时
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已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：
现在能证明四边形是 平行四边形的依据是 什么？
平行四边形判定定理3
∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠OAD=∠OCB ∴AD∥BC 同理：AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形.
例1：如图，已知：在□ABCD中，E，F是对角线
AC上的两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
A
D
E
o
F
B
C
练习：已知：如图,在□ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O， EF经过点O，交BC于点E，交AD于点F， 连接AE、CF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
A
F
D
O
B
E
C
课堂小结
今天通过“定理3” 的学习，你觉得应该 怎样研究一个命题呢？
课后思考：如图，点A在直线l外，请你用一把刻度尺， 过点A作 直线l的平行线.
A
A
●
ll
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，而是我们怎么知道 什么。 ——毕达哥拉斯
平行四边形的性质
边 平行四边形的对
边相等
平形是平 行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行 四边形
角 平行四边形的对
角相等
对 平行四边形的对 角 角线互相平分 线
对角线互相平分的四边形是平 行四边形
如图，已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交 于点Ｏ， OA=OC,OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形
平行四边形判定定理
平行四边形判定定理
初中数学平行四边形的判定定理主要有以下几种：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
以上判定方法可以帮助我们在解决几何问题时确定一个四边形是否为平行四边形。
同时，我们还需要注意平行四边形的性质，如对边相等、对角相等、对角线互相平分等，这些性质也可以作为判定定理的补充。
由性质定理的逆定理得平行四边形的3个判定定理 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
平行四边形判定一、内容和内容解析1.内容平行四边形的四个判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对角相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.内容解析平行四边形的四个判定分别从边、角、对角线等方面说明平行四边形判定的条件。
在平行四边形的判定中，平行四边形的定义是第一种判定方法，其他判定方法都需要借助定义，通过证明才能成为判定定理。
平行四边形判定的探究在类比勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质与判定定理以及平行四边形的性质与判定等基础上进行的。
通过类比这些性质与判定的命题关系得到启发：从平行四边形的性质出发，探索其逆定理的真假。
在平行四边形判定的探究过程中，运用类比思想，形成猜想，用演绎推理证明猜想，发展学生的推理能力。
基于以上分析，本节课的教学重点是：平行四边形判定定理的探究与应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）经历平行四边形判定定理的猜想探究过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思想。
（2）掌握平行四边形的四个判定定理，根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证。
2.目标解析目标（1）的具体要求是：体会对图形判定探究的一般思路是从图形的性质的逆命题出发，先形成猜想，然后利用定义进行演绎证明。
目标（2）的具体要求是：在证明平行四边形的过程中，能根据不同的条件选择不同的判定方法进行推理论证。
三、教学问题诊断分析对于八年级下学期的学生而言，推理意识能力还比较强，在知识储备上有一定的基础，因此在探究平行四边形判定时，要从性质定理的逆命题出发，先进行猜想探究，再证明，这样有利于学生深刻学习也利于今后学习。
基于以上分析，本节课的教学难点是：通过探究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想。
四、教学过程（一）激趣引入、发现问题问1：认识这张图片吗？师生活动：卢浮宫，现代艺术的殿堂。
问2：知道是谁设计的吗？师生活动：华人建筑大师贝聿铭设计的，每个侧面由673块平行四边形玻璃组成。
4.4 平行四边形的判定定理(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 A
∴AD∥BC且 AD=BC ；
E
B
同理AD∥EF且AD=EF
D
∴ BC∥EF且BC=EF ∴四边形BCFE是平行四边形
F C
2.已知，如图，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4， BC=3；
求证：AB∥CD.
温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题
A
D
证明：∵在△ABC中AB=5，AC=4，BC=3
∴∠ACB=90o
∵ AD∥BC ∴∠DAC=∠ACB=90o
B
C
∵CD=5， AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC 且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD.
3、在 ABCD中，已知 AE＝CF， BG＝DH．EB与AH、
GC分别交于M、N，DF分别与AH、GC交于Q、P。你能 在图中找出所有除ABCD外的平行四边形吗？
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明:如图,连接BD.
A
D
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等） B
C
又∵AD=BC,BD=BD
∴△ADB≌△CBD (SAS)
∴∠ABD=∠CDB（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）
∴ 四边形BFDE是平行四边形
D
F
C
做一做
1、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点
E、F分别在边AD、BC上，且AE=CF，连接AF交
BE于G，连接CE交DF于H, 求证：EF和GH互相
平分。
A
E
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平行四边形的判定
教学目标
知识与技能：
1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。
2、理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用。
过程与方法：
1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。
情感、态度与价值观：
通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。
教学重难点
重点:平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。
难点:对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。
教学过程
一、复习、引入新课
复习：问题（多媒体展示问题）
1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？
2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符号语言回答）
引入新课
我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四
边形是平行四边形呢？
二、新课
活动一：
1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。
平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。
解：∵AB∥CD，AD∥BC（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四
边形。
）
活动二：
1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个
四边形，使等长的线段成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。
在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？（如图）
2、猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
教师用几何画板演示，学生观察，进一步猜想。
3、尝试证明：这里采用先由教师提示，然后学生独立思考，学生口
述证明过程。
分析：要证明一四边形是平行四边形，需要根据平行四边形的定义
判断，即要证该四边形两组对边分别平行。
由题意知通过三角形全
等可得到相等的内错角，即可证得平行。
4、符号表示：∵ AD=BC，AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形
5、方法小结：要判定一个四边形是不是平行四形已有以下两种方法：（1）、用定义：看它的两组对边是否分别平行。
（2）、用判定定理，看它的两组对边是否分别相等。
活动三：
1、探究2：如图，将两条线段的中点重叠，用虚线连接它们的顶
点，构成一个四边形。
转动这两条线段，使它形状改变。
在图
形变化过程中，它一直是一个什么四边形？
2、猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、尝试证明：这里采用先由小组内交流，然后教师组织小组汇报，
学生口述他们的想法，师生共同给出证明过程。
4、符号表示：
∵ AO=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
活动四：
1、猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
2、尝试证明：这里采用学生独立思考，口述证明过程。
3、符号表示：
∵∠A= ∠C，
∠B= ∠D （已知）
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
）
4、梳理：
平行四边形的判定定理：
判定 1 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
判定4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三、练习
1、四边形ABCD的四个角∠A：∠ B：∠ C：∠ D满足下列哪一条件时，四边形ABCD是平行四边形（）
A、1：2：2：1
B、2：1：1：1
C、1：2：3：4
D、2：1：2：1
2、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）
A、对角线互相垂直
B、对角线互相平分
C、对角线互相垂直且相等
D、对角线相等
3、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）
A、两组对角分别相等
B、对角线互相平分
C、两条对角线相等
D、相邻角都互补
四、例题讲解
已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
五、课堂小结
说出你这节课的收获和体验让大家与你分享！
六、作业
教材47页练习1、2、4题。