材料分析方法 第五章(2)

式中：f—原子散射因子, 显然 f ≦ Z
S0 •A•
f 的物理意义：
•C
f=
一个原子散射波的振幅 一个电子散射波的振幅
•
S
D
•
• 2q B• •
➢如何得到f值? ➢(1) 由sinq/λ值， ➢ 从右图可查到f 值。
➢(2)由sinq/λ值, ➢查本书附录6， ➢可得到f 值。
总结: 一个原子的散射
➢其坐标为(0, 0, 0)，原子散射因子为f，
➢代入结构因子表达式:
FHKL = fj exp[2i(Hxj + Kyj + Lzj)] 得 FHKL = f e2i( 0+0+0) = f
则 |FHKL|2 =f2
结论：在简单点阵情况下，FHKL不受HKL 的影响，即HKL为任意整数时，都能产生 衍射。
FHKL = f e2i(0) + f ei(H+K) + f ei(H+L) + f
ei(K+L)
= f [1 + (-1)(H+K) + (-1)(H+L) + (1)(K+L)]
➢可见：
①当H、K、L全为奇数或偶数时，则 (H+K)、(H+L)、(K+L)均为偶数，这时： FHKL = 4f, ∴ |FHKL|2 = 16f2; ②当H、K、L中有2个奇数一个偶数或2个 偶 数 1 个 奇 数 时 ， 则 ( H+K) 、 ( H+L) 、
= f [e2i0 + ei(H+K)] = f [1 + (-1)(H+K)]
➢由FHKL = f [1 + (-1)(H+K)] ➢可见：对于底心C点阵：
①当H+K为偶数时，即H，K全为奇数或
全为偶数时， FHKL = 2f, ∴ |FHKL|2 = 4f2 ；
②当H+K为奇数时，即H、K中有一个奇
4
•1
+ cos 22q
2
P
I0 —入射光强
R
e —电子电荷 I0
2q
m—电子质量
O
Y
c—光速
公式讨论：
Ie
=
I0
e4 •R2m2c
4
•1
+ cos 22q
2
➢可知: 入射X射线是非偏振的; ➢相干散射线的强度随2θ变化，是偏振的;
➢偏振化程度取决于(1+cos22q)/2; ➢∴(1+cos22q)/2称为偏振因子。
体心 I 格子
110 200
211 220
310 222
(3) 计算底心C点阵晶胞的FHKL与|FHKL|2 值 ➢晶胞中有2个同类原子，其坐标为(0, 0,
0) 和 (½, ½, 0)，原子散射因子均为 f，
➢代入结构因子表达式中: FHKL = fj exp[2i(Hxj + Kyj + Lzj)] 得FHKL = f e2i(0+0+0) + f e2i( H/2+K/2+0)
数和结一论个:偶数时， FHKL = 0, ∴ |FHKL|2 = 0。 在底心C点阵中，FHKL不受L的影响，只
有当H、K全为奇数或全为偶数时才能 产生衍射.
➢C心点阵：当H、K全为偶数或奇数时， 衍射存在
底心C 格子
002 003
112 204 -114 006
(4) 计算面心F点阵晶胞的FHKL与|FHKL|2 值 ➢晶胞中有4个同类原子，坐标为(0, 0, 0)
讨论: 质子对X射线的散射可忽略
Ie
=
I0
•R
e4 2m 2c
4
•1
+ cos 22 q
2
➢X射线照射晶体时，也可使原子中荷电的
质子受迫振动从而产生质子散射；
➢但质子的质量为电子的1846倍，相应的散
射强度也只有电子的1/(1846)2，
➢因此一般仅考虑原子核外的电子对X射线
的散射作用。
二、一个原子对X射线的散射强度 (结论)
，(1/2, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)， (0,
1/2, 1/2) 。
➢散射因子均为f, 代入结构因子表达式中
:
FHKL = fj exp[2i(Hxj + Kyj + Lzj)] 得FHKL = f e2i(0+0+0) + f e2i(H/2+K/2+0)
+ f e2i(H/2+0+L/2) + f e2i(0+K/2+L/2)
➢当X射线照射晶体时,晶胞中各原子会发 射与入射线波长相同的散射波。
➢各原子的散射波用复数表示为: f1exp(iΦ1), f2exp(iΦ2), …,
fjexp(iΦj) , …, fnexp(iΦn)
➢整个晶胞的散射波为各原子散射波的叠加 F = f1 exp(iΦ1) + f2 exp(iΦ2) + … + fj exp(iΦj) + … + fn exp(iΦn)
结论: 在面心点阵中，只有当H、K、L全 为奇数或全为偶数时才能产生衍射。
d (Å) Int h k l
如Al的
2.338 100 1 1 1
2.024 47 2 0 0
衍射数据： 1.431 22 2 2 0
1.221 24 3 1 1
1.169 7 2 2 2
1.0124 2 4 0 0
0.9289 8 3 3 1
1、结构因子公式的推导 ❖取单胞的顶点O为坐标原点, 坐标: (0, 0, 0);
❖A为单胞中任一原子j，坐标: (xj, yj, zj )
❖则矢量OA = rj = xja + yjb + zjc 式中，a、b、 c为点阵基矢。
S0 c
S
NA
S0 a
rj S
O
Mb (HKL)
❖A与O原子间散射波的波程差:
一、一个电子对X射线的散射强度
➢实验室X射线源发射出的X射线都是非偏 振的，其光矢量Eo在垂直于传播方向OY的 平面内可取任意方向。
E0
Io
O
Y
➢当一束非偏振的X射线沿OY方向传播，在
O点与电子碰撞发生散射，
➢那么距O点距离OP＝R、 OP与OY夹2q角的
P点的散射强度为：
式中：
Ie
=
I0
•
R
e4 2m 2c
➢一个电子对X射线散射后空间某点强度可
用Ie表示，那么一个原子对X射线散射后该
点的强度：Ia=f2.Ie
➢这里引入了f—原子散射因子
类似地, 一个晶胞对X射线散射后该点的
强度: I晶胞＝|F|2 Ie
P
这里引入了F--结构因子 R
I0
2q
O
公式推导:
➢假设一个晶胞中含有3种原子，它们分别占 据单胞的顶角，体心、面心(或其它位置)。 ➢该晶胞的散射波应为晶胞中各原子散射波的 叠加。
第五章 X射线衍射原理
第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度 二、一个原子的散射强度 三、一个晶胞的衍射强度
1、结构因子公式的推导 2、结构因子的计算
❖我们知道，粉末多晶由许多小晶体构成； ❖晶体由晶胞构成； ❖晶胞由原子组成； ❖原子由原子核和电子组成。 ❖因此我们讨论晶体对X射线的衍射强度， 可以从电子、原子、晶胞到整个晶体这样 的顺序进行。
0.9055 8 4 2 0
0.8266 8 4 2 2
例: NaCl为面心立方点阵，只有指数全 为奇数或全为偶数的衍射线存在, 例如， 存 在 1 1 1 , 200, 220, 311, 222, 400… 等衍射, 其指数平方和(H2+K2+L2)之比： 3:4:8:11:12:16…
∵ Eb = |FHKL| Ee , Ee2 ∴ Ib = |FHKL|2 Ie
Ib = Eb2 , Ie =
总结:一个晶胞对X射线的散射
与I原子＝f 2Ie类似 I晶胞＝|F|2Ie
一个晶胞内全部原子散射波 的振幅 |F| = 一个电子散射波的振幅
F称为结构因子, 由下式计算:
FHKL
=
n
fjexp(i
2(H
xj+K
yj
+
L
zj))
j=1
2. 结构因子的计算
➢ FHKL可按下式计算:
FHKL
=
n
fjexp(i
2(H
xj+K
yj
+
L
zj))
j=1
➢计算时，经常用到关系：eni = (-1)n 式中：n—任意整数。
(1) 计算简单点阵晶胞的FHKL与|FHKL|2 值 ➢简单点阵，每个阵胞只包含一个原子，
若原子序数为Z，核外有Z个电子，原子散射
强度为Ia
衍射角为0时：Ia = Z 2 • Ie S0 •A•
其它情况下：Ia = f 2 • Ie
•C
f=
一个原子散射波的振幅 一个自由电子散射波的振幅
•
S
D
•
• 2q B• •
f 称为原子的散射因子。
利用本书附录6，由sinq/λ值可查f 值
三、一个晶胞对X射线的散射强度 (结论)
➢晶胞衍射波FHKL称为结构因子， ➢FHKL的模|FHKL|称为结构振幅
|FHKL|=Eb/ Ee
式中： Eb —晶胞散射波振幅 Ee —电子散射波振幅
➢|FHKL|物理意义：一个晶胞中全部原子散射 波的振幅/一个电子散射波的振幅