利息理论习题整理
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5.26% 5.25%, 债券投资优于储蓄。
2018/11/27 5
i(m) 12% 解： i 1 （1 ） 1 1 1 12.68% m 12 d 10% （2）d 1 1 1 1 9.63% m 4
X 10
100v10 200 Xv10 600v6
600v6 100v10 200 X 186.75 10 v
3）t＝10
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9
X 10
100v20 200v10 X 600v 4 X 600v4 100v20 200v10 186.75
3）t＝10
100 0 1 2 3 4
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
100(1 20i) 200(1 10i) X 600(1 4i)
由此可以解得：
2018/11/27
X 236
结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同
11
方法2：用代数方法求解 例：已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之 和为4000元，试计算年利率。 解：比较日为初始时刻，则价值方程为
例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设 年利率为12%，试分别以单利和复利计算： （1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？ （2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？ （3）几年后需还款1500元？
（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数 解： 为139天，
结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同
2018/11/27 9
2°依单利方式计算： 半年期单利率i＝4％ 选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）： 1）t＝0
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
200 X 600 100 1 10i 1 20i 1 16i
由此可以解得： X
2018/11/27
221.39
10
2）t＝5
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9
X 10
X 600 100(1 10i) 200 1 10i 1 6i
由此可以解得： X
201.42
200 X 6 7 8 600 9 10
解 方法一：比较等价的年实利率
(2) A
已知 i
7% 7%, iA 1 1 7.1225% iB =7.05% 2
10
2
方法二：比较实际收益
7% a A (5) 1 1.4106 2
aB (5) 1 7.05% 1.4058
(m) m 4
例1-6（1）求每月结算的年利率为12％的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10％的实际贴现率； （3）求相当于每月结算的年利率为12％的半年结算 的年贴现率。 m
12
i d 1 1 （3） 1 1 i m 1 d n
贴现率 d iv 0.04762 从而借款人在期初实际可得
10000(1 d ) 10000v 9524 （元）
2018/11/27 4
例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前
一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为
5.25%，如何进行投资选择？
解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d =5% ，而储 i 4.988% 5%, 债券投资优于储蓄。 蓄的贴现率 d 1 i d 5% 从年利率的角度看，零息债券 i 1 d 1 5%
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
2018/11/27
7
1°依复利方式计算： 半年结算年名义利率＝8％ 半年期实际利率＝4％ 半年期积累因子 v 1 1 4% 半年期贴现因子
100
v (1 4%)1
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
单利： A(t ) 1000(1 it )
139 （元） 1000(1 0.12 ) 1045.70 365 t 复利： A(t ) 1000(1 i)
1000(1 0.12)
2018/11/27
139 365
（元） 1044.10
2
例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率 7%，每半年计息一次；B 年利率7.05%， 每年计息 一次。试比较两种选择的收益。
(m) (n)
m
n
12% 1 12
2018/11/27
12
d 1 2
(2)
2
d (2)
12% 6 2 1 1 11.59% 12
6
例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资 金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有 最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收 回600元。假定半年结算年名义利率为8％，试计 算时刻10的支出金额大小。 解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的 现金流程图如下：
5
aA (5) aB (5)
结论：A收益高
2018/11/27 3
例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并 约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借 款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还 本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？ 解
1 贴现因子 v 0.9524 1 i
1）t＝0
200 1 2 3 4 5 6 7 8 600 9
X 10
0
100 200v10 Xv20 600v16
2018/11/27
600v16 100 200v10 X 186.75 20 v
8
2）t＝5
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9
2018/11/27 5
i(m) 12% 解： i 1 （1 ） 1 1 1 12.68% m 12 d 10% （2）d 1 1 1 1 9.63% m 4
X 10
100v10 200 Xv10 600v6
600v6 100v10 200 X 186.75 10 v
3）t＝10
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9
X 10
100v20 200v10 X 600v 4 X 600v4 100v20 200v10 186.75
3）t＝10
100 0 1 2 3 4
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
100(1 20i) 200(1 10i) X 600(1 4i)
由此可以解得：
2018/11/27
X 236
结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同
11
方法2：用代数方法求解 例：已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之 和为4000元，试计算年利率。 解：比较日为初始时刻，则价值方程为
例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设 年利率为12%，试分别以单利和复利计算： （1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？ （2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？ （3）几年后需还款1500元？
（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数 解： 为139天，
结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同
2018/11/27 9
2°依单利方式计算： 半年期单利率i＝4％ 选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）： 1）t＝0
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
200 X 600 100 1 10i 1 20i 1 16i
由此可以解得： X
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2）t＝5
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9
X 10
X 600 100(1 10i) 200 1 10i 1 6i
由此可以解得： X
201.42
200 X 6 7 8 600 9 10
解 方法一：比较等价的年实利率
(2) A
已知 i
7% 7%, iA 1 1 7.1225% iB =7.05% 2
10
2
方法二：比较实际收益
7% a A (5) 1 1.4106 2
aB (5) 1 7.05% 1.4058
(m) m 4
例1-6（1）求每月结算的年利率为12％的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10％的实际贴现率； （3）求相当于每月结算的年利率为12％的半年结算 的年贴现率。 m
12
i d 1 1 （3） 1 1 i m 1 d n
贴现率 d iv 0.04762 从而借款人在期初实际可得
10000(1 d ) 10000v 9524 （元）
2018/11/27 4
例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前
一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为
5.25%，如何进行投资选择？
解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d =5% ，而储 i 4.988% 5%, 债券投资优于储蓄。 蓄的贴现率 d 1 i d 5% 从年利率的角度看，零息债券 i 1 d 1 5%
100 0 1 2 3 4 200 5 6 7 8 600 9 X 10
2018/11/27
7
1°依复利方式计算： 半年结算年名义利率＝8％ 半年期实际利率＝4％ 半年期积累因子 v 1 1 4% 半年期贴现因子
100
v (1 4%)1
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
单利： A(t ) 1000(1 it )
139 （元） 1000(1 0.12 ) 1045.70 365 t 复利： A(t ) 1000(1 i)
1000(1 0.12)
2018/11/27
139 365
（元） 1044.10
2
例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率 7%，每半年计息一次；B 年利率7.05%， 每年计息 一次。试比较两种选择的收益。
(m) (n)
m
n
12% 1 12
2018/11/27
12
d 1 2
(2)
2
d (2)
12% 6 2 1 1 11.59% 12
6
例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资 金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有 最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收 回600元。假定半年结算年名义利率为8％，试计 算时刻10的支出金额大小。 解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的 现金流程图如下：
5
aA (5) aB (5)
结论：A收益高
2018/11/27 3
例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并 约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借 款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还 本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？ 解
1 贴现因子 v 0.9524 1 i
1）t＝0
200 1 2 3 4 5 6 7 8 600 9
X 10
0
100 200v10 Xv20 600v16
2018/11/27
600v16 100 200v10 X 186.75 20 v
8
2）t＝5
100 0 1 2 3 4
200 5 6 7 8 600 9