应用多元统计分析 北大版 第三章

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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记
结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型
结论4 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称阵,且 rk(A)=r, 则二次型

1 1 2 X AX ~ ( r , ), 其中 A . 2 2
A2＝A(A为对称幂等阵).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论6 两个二次型相互独立的条件: 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵则 AB ＝O X'AX与X'BX相互独立. 作业2:证明必要性(习题3-2） 证明必要性的思路：记rk(A)=r. ①因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得 Γ'AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) ②令Y＝Γ' X，则Y～Nn(Γ'μ,σ2In),
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
1 1 2 则Y Y X X ~ ( n , ), 其中 2 2


结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则 二次型 X'AX/σ2～χ2(r) A2＝A(A为对称幂等阵). 2 2 2 特例:当A=In时, X I X / X X / ~ ( n ) n
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
rk(A)=r. 则(X-μ)′A(X-μ) ～χ2 (r) ΣAΣAΣ＝ΣAΣ . 证明 因Σ＞0,则rk(Σ)＝p.因Σ为对 称阵,故存在正交阵Γ,使得
结论2 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A为对称阵,
χ2(p,δ)，其中δ＝μ'Σ-1 μ.
证明
结论1 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,则X'Σ-1 X～
因Σ＞0,由正定阵的分解可得 Σ＝C C′(C为非退化阵). 令Y＝C -1X (即X＝CY)，则 Y～Np(C -1μ,C -1 Σ(C -1)′), 因Σ＝CC′，所以Y～Np(C -1μ,Ip). 且 X′Σ-1X＝Y ' C'Σ-1 CY＝Y ' Y～χ2(p,δ)， 其中δ＝(C -1μ)′(C -1μ)=μ'Σ-1μ.
作业1:证明充分性(习题3-1 ）

(充分性的证明类似于结论3中充分性的证 明方法,必要性证明不要求)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
结论5 二次型与线性函数的独立性: 设X～Nn(μ,σ2In), A为n阶对称阵， B为m×n阵,令ξ＝X'AX,Z=BX(Z为m维 随机向量),若BA=O,则BX和X'AX相互独 立. 证明 设rk(A)=r＞0 (当r=0时A＝0， 结论显然成立)，存在正交阵Γ使

1 / 2
1 / 2
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
注意:修改P55
令
这里
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
由以上“1.结论3”的证明知
即
两边左右乘Σ1/2，即得
ΣAΣAΣ＝ΣAΣ .
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
目 录 (一 )
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域 §3.3 多总体均值向量的检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
ຫໍສະໝຸດ Baidu
H H D D ' ' ' 11 1 2 rO rO AB B O H H O O O O 21 2 2
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验 统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
③且
又因为 X' BX=Y 'Γ'BΓ Y= Y 'HY, 其中H=Γ‘BΓ 。④如果由AB=O,能够证明 X′BX可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H 只是右下子块H22为非O的矩阵。 则X′AX 与X′BX相互独立。
结论2 当μi≠0(i=1,…,n),σ2 =1时,X′X的 分布常称为非中心χ2分布. 定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从 n n个自由度,非中心参数 i2 i 1` 2 的χ 分布，记为
2 2 n
X X ~ ( n , ), X X ~ ( )