定积分的基本公式

第三讲 定积分的基本公式
【教学内容】
1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】
1．掌握变上限积分函数
2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】
一、引例
一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ：
dt t v S b
a
⎰
=
)(
另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程
S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量
)()(a S b S -
同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ dt t v S b
a
⎰=
)()()(a S b S -=
∵ )()(/
t v t S = ∴ ⎰
⎰
=
=
b
a
b
a
dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -=
二、变上限积分函数
1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分
⎰
x
a
dx x f )(
存在。

也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。

即
)()()()(b x a dt t f dx x f x x
a
x a
≤≤==Φ⎰⎰
2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则变上限积分函数
)()()(b x a dt t f x x
a
≤≤=Φ⎰
是函数)(x f y =的原函数，即
)()()(/
x f dt t f dx d x x
a
==Φ⎰ 或 dx x f dt t f d x d x a )()()(==Φ⎰
证 设给x 以增量x ∆，则函数)(x Φ的相应增量为
⎰
⎰⎰
∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx
x x
x a
x
x a
dt t f dt t f dt t f x x x x )()()()()()(
由定积分中值定理有 x f dt t f x x
x x
∆==∆Φ⎰
∆+)()()(ζ ( ζ在x 和x x ∆+之间)
)()
(ζf x
x =∆∆Φ 因为)(x f 在],[b a 上连续，而0→∆x 时，x →ζ，因此
=∆∆Φ=Φ→∆x x x x )
()(lim
/)()()(lim lim 0x f f f x
x ==→→∆ζζζ 例1 已知dt t
t
x x
⎰
=Φ1
sin )(，求)(/x Φ. 解 x
x
x sin )(/
=
Φ 例2 已知)0(ln 1)(2
2>=
Φ⎰x dt t
x x ，求)(/
x Φ. 解 x x x x x ln )(ln 1)(/
22
/=
•=Φ 例3 已知dt t x x ⎰=Φ1
2sin )(，求)(/
x Φ.
解 ∵dt t x x
⎰
-
=Φ1
2sin )( ∴2/sin )(x x -=Φ
例4 已知dt e x x x
t ⎰
-=Φ22
)(，求)(/x Φ. 解 ∵⎰⎰⎰⎰
----+-=+=
Φ2
2
2
2
2
2
)(x t x
t x t x
t dt e dt e
dt e
dt e
x
∴4
2
4
2
22)(/x x x x xe e x e e x ----+-=•+-=Φ
三、 牛顿－莱布尼兹公式
定理2 (牛顿－莱布尼兹公式) 如果)(x F 是连续函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
证 由定理１知dt t f x x
a
⎰
=
Φ)()(是函数)(x f 的一个原函数，又)(x F 是)(x f 的一个原函数，
∴ C x F dt t f x
a
+=⎰)()(
在上式中令a x =，∵
0)(=⎰
dt t f a
a
，得)(a F C -=，代入上式得
)()()(a F x F dt t f x a
-=⎰
在上式中令b x =，并把积分变量t 换为x ，便得到
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton －Leibnitz ）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式。

为了方便起见，以后把)()(a F b F -记成为b
a x F )]([或b
a x F |)(，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成
b a b
a
x F dx x f )]([)(=⎰
或
b a b
a
x F dx x f |)()(=⎰
这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取0=C ）在积分区间上的增量。

例5 计算⎰-+1
1211
dx x .
解
2
)4(4)1arctan(1arctan |arctan 111
11
12
πππ=--=--==+--⎰x dx x 例6 计算⎰
--3
1
|2|dx x .
解
⎰⎰⎰⎰⎰
----+-=-+-=-2
1
3
2
3
2
2
1
3
1
)2()2(|2||2||2|dx x dx x dx x dx x dx x
5|)22
(|)22(322
212=-+-=-x x x x
例7 计算
⎰
+π
2cos 1dx x .
解
dx x dx x dx x ⎰⎰
⎰
==+π
π
π
2
|cos |2cos 22cos 1 ])cos (cos [22
20
dx x dx x ⎰⎰-+=π
ππ
22)|sin |(sin 22
2
0=-=πππ
x x
例8 计算⎰--2
31
dx x .
解
3ln 2ln |||ln 1232
3-==----⎰x dx x
例9 计算
⎰
1
2
dx xe x .
解 )1(2
1
|2121101021
0222
-===⎰⎰e e dx e dx xe x x x
四、练习
P84 习题5-2 1
五、小结
牛顿－莱布尼兹公式
六、作业
P84 习题5-2 2，3（2）（4）（6）（8）（10）。