巧用椭圆中“特征三角形”解题
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等)例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则120420=+y x ，即442020=+y x 。
巧妙利用“基本不等式”解决椭圆中三角形面积的最值问题
安徽 省宁 国中学 （２４２３９９） 汤生兵
摘 要 椭 圆中三角形面 积是高考 中的难点，主要体 现在
方法 ２（基本不等式）
计 算量 很大，很 多学 生望 而却 步，本文 巧妙利 用 “基 本不 等 式 ”，大 大减 少计 算量，首 先从 实例出发，然后寻其本质，最后 利 用 此 特 点 解 决 一 道 相 关 的题 目．
，且 Ｉ Ｂｌ＝
于是
１ ｌＡＢＩ忙 ·
。
接下 来 找 和 ｍ 的关 系 ，因为
解若直线ＡＢ斜率不存时，设Ａ日： ，则薯＋茄
，
①
１．Ｘ ＝
一 箬） 于是
廊 ＝
：
．
Ｘ／１２（ １＋３ｋ２－ｍ２）
．
：
，／５
＼／。 （ 一 ）＾ １
ａ
△ Ａ０ Ｂ ＝
当 。＝２６。时，（Ｓ￣ＡＯＢ） ＝ ａｂ
必须有个 顶点在 原点，其它 情况都 不可 以用，并 且我们 得 到 原 点 ，就 可 以 用 基 本 不 等 式 求 出它 的最 大值 为 ；若 三 个 顶
一 个 很好 的结论 Ｓ△ ｐＢ的最大值为 ，以后遇到小题就可 点 都在椭 圆上，初等数 学很难 解决，能 高 学将 椭 圆
ｓ△Ａ。Ｂ＝ ·ＩＡＢＩ·＾
（一 · ＝
·
）·
关键 词 基本不等式；三角形面积
题 目 １ 如 图 １所 示 ，椭 圆 Ｃ ：Ｘ ＋３ｙ ＝ ３ｂ。（６＞ Ｏ）．
（１）求椭 圆的离心率． （２）若 ｂ＝ １，Ａ，Ｂ 是椭 圆 上 两 点，且 ｌＡＢｌ＝ 、／３，求 ＡＡＯＢ 面积的最大值 ．
椭圆中三角形
椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点，求三角形ABF 面积的最大值。
分析:将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0,y 0）(y 0>0), 设三角形ABF 的面积为S ，则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0, 0<y 0≤b,∴ S=cy 0≤bc.所以三角形ABF 面积的最大值是bc 。
点评: 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值，是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2，0)，C(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆相交于B,D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知，点B,D 关于原点对称，设点B （x 0,y 0）(x 0>0),则12020=+y x ，即442020=+y x 。
高中数学椭圆中的三角形问题教学设计
椭圆中的三角形问题教学设计一.指导思想和理论依据在新课标中明确指出,数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它强调“做中学”,力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神，动手能力，提出问题和解决问题的能力.而立足于课堂,深入钻研教材,是数学课堂教学中实施探究性学习的基础.下面我就“椭圆中的三角形问题”来谈谈我是如何引领学生进行探究性学习的.二. 教学背景分析这节课是我到北京立新学校参加基本功大赛所做的课. 相对于平时教学而言，我要面对的是一群陌生的学生(在正式上课的前一天,老师和学生有10分钟的见面时间),因此对学生的了解无从谈起:首先学生的总体情况不清楚,其次他们学校教师的教学方法和学生的接受能力不清楚,另外,就连具体的教学进度都不清楚,做课的难度可想而知. 也正是如此,我才下定决心按照下面的方式设计这节课,向自我挑战.我想知道,在这样的情况下,我是否能够驾驭课堂,是否能够调动学生的积极性,让学生和我一起完成我的设想.三.本课教学目标1. 在知识上 , 使学生进一步理解所学的知识，认识到知识间的内在联系 .2. 在能力上 , 培养学生提出问题的意识 , 并培养学生综合运用知识解决问题的能力.3. 在情感态度上,让学生体验创造的激情,培养学生勇于提出问题的习惯,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神.四.教学过程与教学资源设计(一.)设计这节课的初衷.1.从学生习中存在的问题角度出发:在学生学习数学的过程中,普遍存在两个问题:一是不知如何提出具有研究价值的问题;二是不能把解决过的问题联系在一起,从本质上加以认识,进而去解决新的问题.之所以会产生这两个问题,主要有两方面原因:一方面是学生在学习的过程中比较被动,没有发挥自身的主动性,课上只是听老师讲,而不是自己思考如何解决数学问题;另一方面,是教师在传授知识的过程中,更多的是传授解题方法或者是对知识本身的讲授,而缺少这方面的训练,没有充分挖掘、发挥学生自身的潜能.如果我们在教学中能够有意识在这方面做些工作,不仅会使学生对所学的知识有较深层次的认识,更会提高学生应用数学知识解决问题的能力,从而为以后的学习打下良好的基础.2.从学生对知识的内在关系认识的角度出发:学生在学习解析几何这部分知识时,对知识内在关系的理解有两个不好的地方: (1)把三种圆锥曲线分离开来,同样的问题,当所给曲线发生变化时,就认为是不同的问题,不能从整体上,本质上把握这些问题; (2)教师在开始介绍解析几何这门课时,会说这门课是从代数的角度来研究几何问题,而学生却不这样认为,他们往往是把代数和几何分离开来,不能把二者有机的结合在一起.本节课正是想在如何解决上述问题方面做一些尝试.3.题目的确定:我之所以选定椭圆中的三角形问题,是基于以下的考虑:三角形是平面几何中最基本、最常用的图形，三角形的许多性质是研究数学内容的一个重要思想方法和工具,平面几何中的很多问题都要归结为三角形的问题,可以说三角形是平面几何图形的一个典型代表;而椭圆是三种圆锥曲线的代表,相对于双曲线和抛物线而言,它是一个封闭图形,因此研究起来,比较容易操作.而作为一种几何图形，椭圆既与平面几何有关,又与代数知识有关. 把三角形和椭圆结合在一起,即具有代表性,又能够更好的从代数和几何两方面研究问题.(二.)教学过程1.研究课题的提出:首先我想借助椭圆第一定义中出现的图形,提出研究课题.因此我先让学生复习椭圆的基础知识,给出了问题1:点M 在椭圆12222=+by a x (其中0>>b a )上,请说出此时点M 满足的条件. 课上学生很快答出:点M 的坐标应该满足椭圆方程.这时我引导学生说出这是从代数的角度,而从几何的角度,应该怎样叙述呢?学生又答出:点M 到两个焦点的距离之和为2a .这样做的目的是让学生在最开始就认识到我们可以从代数和几何两方面看问题,为下面的研究打下伏笔.为了突出所研究问题的必要性,我提出了问题2:点M,N 是椭圆12222=+by a x (其中0>>b a )上不同的两个点,求弦MN 长度的取值范围. 同第一个问题,很快就有几个学生得出了结论:MN 的长度在0和2a 之间.我继续提问,他们是如何得出结论的?学生回答说,是从图上看出来的.首先我对他们的答案作了肯定,其次对他们得到答案的方法给与了高度评价:他们是从几何直观可以得出的结论,而这是考虑这类问题重要的方法之一.在此基础之上,我让学生进一步思考,如何证明他们得出的结论?这个问题提出后,学生们有了不同的反应,有的学生说,我都直接看出来了,还证明什么呀?而另一部分说,正因为是看出来的,才需要给出严格证明呢?我对后者作了肯定,并继续引导:要求的是MN 的长度,表面上看是一个数量问题,即代数问题,而我们从代数的角度下手比较难,那我们能否从其他方面考虑问题呢?“从几何的角度出发”,马上有学生回应.“从几何角度,我们该如何考虑呢?”过了一段时间,没有人回答.我继续提示:我们以前,在考虑与线段长度有关的问题时,可以借助于三角形,利用三角形的性质解决问题,现在,我们这样做行吗.在上面的提示之下,过了一会儿,有学生说出:把线段MN 放到和焦点21F ,F 有关的两个三角形N MF ,N MF 21ΔΔ中去,利用不等关系| ≥+11MN ||NF ||MF |,| ≥+22MN ||NF ||MF |和等量关系a |MF ||MF |2=+21,a |NF ||NF |2=+21, 就可以证明了.在此,我让学生把刚才的解决过程回忆了一下:答案是从几何直观得到的,而问题的严格证明是利用三角形的性质.一个看起来很难的问题,我们利用三角形的性质,很容易解决了.那椭圆中还有和三角形有关的量吗?“c ,b ,a 满足勾股定理”.这时,我指出椭圆的第一定义是与三角形有关的,而三个不变量也和三角形有关,这些都表明,椭圆与三角形有着密切关系,今天我们就一起来研究: “椭圆中的三角形问题”.指出课题之后,我又引领学生思考:课题中给出的研究范围太广了,我们很难下手研究,因此我们首先需要作的是把研究范围缩小,那我们从哪开始研究呢?有学生说: “我们就先研究和两个焦点有关的三角形呗”.这样,就让学生提出了第一步研究课题:与焦点三角形有关的问题.这个问题是想让学体会在研究数学问题的过程中,往往是从较特殊的情形入手,然后逐步深入.研究课题一: 与焦点三角形有关的问题.这里,我们为了研究方便,把研究对象设为具体的椭圆1=20+4522y x .下面,我先给出了 问题3:点P 为椭圆1=20+4522y x 上一个点,请同学说出图中三角形中的已知量. 在学生答出10=2c =|F F | ,56=2=+2121a |PF ||PF |后,我提出了第一个具体的研究任务: 请同学根据图形,自己给21ΔF PF 添加一个条件,然后编写一道计算题.设计这个问题的目的是把学生推到前台,让他们自己成为课堂的主人,自己提问题,自己解决.任务提出后,同学们先是面面相觑,不知所措,稍后,便开始埋头演算起来.经过一段时间,有的同学写出了自己的问题,而还有一部分同学不知道如何提问,这时我才给出提示:我们是在考虑与三角形有关的问题,那么我们都关心三角形中的哪些量呢?又如何求能够得出得这些量呢?有了这个提示,大部分学生就知道如何添加一个具体的条件并提出问题了.我又让学生总结如何从整体上把握添加条件的思路:从平面几何的角度可以添加的条件有:边长,角的大小,面积;从解析几何的角度可以添加的条件有:点的坐标,直线方程,斜率等.在每个学生都提出问题后,为了鼓励学生,我让一名看起来动作慢一些的学生说出他所提的问题:然后让全班同学都来解答这个问题.他给出的问题是: 90=∠21PF F 又,求21F PF ∆的面积.同学给出了几种解法(这里只是给出思路,具体解答略):1.利用方程思想,求出21PF ,PF 的长度,进而求21F PF ∆面积;2.利用方程思想,不求出21PF ,PF 的长度,而是采用整体求值的方法求出|PF ||PF |21,从而求出21F PF ∆的面积;3.求出点P 的坐标,再求其面积.在解决这个问题的基础之上,我问:如果我们把21F PF ∆的面积作为已知值,又可以求出哪些量呢?“21PF ,PF 的长度,点P 坐标,21∠PF F 的大小……”. “和三角形有关的量都可以求出”,一个学生回答.听到这个声音,我非常高兴,马上让学生思考问题4:为什么我们给21ΔF PF 添加一个条件后,就可以求出其它的量?设计这个问题的目的是对以上提出的各个问题从本质上加以认识.“现在在21F PF ∆有三个量,我们就可以求出其它量”,一个学生说. “对,非常好,这就是这些问题的本质”,我说, “此时21F PF ∆中有三个条件(两个与边有关的条件+添加条件),从而21F PF ∆为一个可解三角形,因此我们可以求出其它量.下面,我又领着学生对刚才提出的问题和研究方法进行了小结, 并且对方法进行小结小结:1.如何提出新的问题;2.在解决问题的过程中,我们既可以利用平面几何的知识,也可以利用解析几何的知识解决问题,这之中可以将数量关系与几何关系相互转化.以上是我们研究的是给定一个固定点P,也就是说我们刚才所作的是对静态的焦点三角形作了研究,如果让点P 在椭圆上运动起来,又有哪些问题可以研究呢?提出我们的第二个研究任务:对动态焦点三角形的研究有了上面的经验,同学们很快从运动的角度提出了自己的问题:1.最值问题: 21F PF ∆面积的最大值是多少?21∠PF F 的最大值是多少?2.与点P 有关的点的轨迹问题:线段21PF ,PF 的中点轨迹, 21F PF ∆的重心轨迹的等.课上我引领着同学求出21∠PF F 的最大值,其余问题让学生自己课下解决.做完这些之后,我让学生思考,我们还可以作哪些研究?有了第一,第二步的研究经验,马上有学生指出: “焦点三角形的相关问题我们提了很多,我们为什么不将研究对象改变一下呢?如研究顶点三角形,或一个顶点在焦点处,另外两个顶点在椭圆上等等”.此时的我,已经开始为学生的变化感到惊喜,也为他们的进步感到自豪.这之后,我没有让学生再提出具体的问题,而是让学生继续思考,从大的方面,我们还可以对哪些方面的问题作研究?学生中很快就有人提出, “椭圆中有很多问题与三角形有关,那双曲线中也应该有同样的问题呀”.还有的学生提出, “我们还可以把我们研究的对象范围扩大,如研究直线和椭圆的位置关系方面的问题”.至此,我想我的初衷已经达到了.下面我让学生对本节课进行了总结:1. 从知识层面:椭圆可以由研究一个动点和两个定点之间距离的关系得到,当然也可以理解为从研究动态的三角形中得到.在解决椭圆中有关三角形时,可以从代数的角度,也可以从平面几何的角度思考.在这之中,还可以将二者进行有机的转化.此外,注意对问题的本质的认识.2.从研究方法:如何根据已有知识,在已有条件基础之上提出新问题,自己加以研究,从中体会如何提出问题,解决问题,以及从多个角度认识数学知识间的内在联系.五.学习效果评价设计为了了解学生本节课的学习情况,我布置了如下作业:1.仿照上课的研究过程,自己提出双曲线中与三角形有关的两个问题,并写出你是如何思考并提出这两个问题的以及问题的解答过程.2.仿照上课的研究过程，试着提出椭圆，双曲线与直线的位置关系方面的一些问题,一周后同学交流这些问题和研究体会.。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
借助椭圆巧解一类解三角形试题
福建中学数学
2017 年第 11 期 拓展 2 过曲线 C1 : f ( x， y) y ) = 0 与曲线 C2 : g ( x，
a = −1， 得 经检验 a = −1 合题． λ = 1． 注 第（Ⅱ）问仍然是二次曲线弦长为直径的 圆问题，本题是圆中弦长为直径的问题，可以采用 过直线与圆相交的交点圆系方程求解更快捷． 拓展 1 若圆 C 经过抛物线 y = x 2 + mx + n 与 x
借助椭圆巧解一类解三角形试题
谢盛富 福建省龙岩市高级中学（364000） 故b = 2． （2）奇思妙解 （Ⅱ）由 a + c = 6 可知，构造以 A，C 为焦点 的椭圆，B 为椭圆上一点，则该椭圆的长轴长为 6， 焦距为题中所求 b 的值．利用椭圆焦三角形面积公 θ 1 b 2 ，解得 b = 2 ． 式 S = b 2 tan ，有 [32 − ( ) 2 ] =
a + b 的值．
由焦三角形面积 S = b 2 tan
c 2 = a 2 − b 2 = 5 ，得 c = 5 ．
而焦距 2c 就是题意中的 a 的值， 所以 a = 2 5 ． 评述 上述三道高考试题的解题过程漂亮吧？ 平时解题教学中进行启发引导观察题干，联想、串 联各知识点，以激起学生对学习的兴趣、求知欲， 启迪思维，进而构建和完善知识网络，优化解题过 程．因此我们以高考试题为复习导向之一，立足基 础，解题中不断深化理解本质，透视数学本源，加 强解题教学的过程性分析， 注重解题思路生成的传 授，去追寻更有价值的教与学，在某种程度上整合 教学资源，紧紧围绕数学核心素养的培养，实现教 育价值的最大化． 对于此类试题， 笔者经常尝试指导学生从多个 角度审视、分析和研究，如文[2]，充分挖掘题干的 信息点与所学知识的关联性，得到不同的解法，达 到“一题多用”之效，既解决了这道试题，又复习巩 固其它知识方法的应用，对于高三复习来说，也不 失为提高复习效率的一种途径，因此，在平时的解 题教学中，引导学生多思少算，多总结，多归纳， 常反思，一定能较快提升解题能力！
椭圆中的阿基米德三角形问题的解题策略
椭圆中的阿基米德三角形问题的解题策略概述在数学领域中，椭圆中的阿基米德三角形问题是一道经典而又富有挑战性的题目。
它不仅考验着我们对椭圆的理解，更需要运用数学知识和解题策略来解决。
本文将从椭圆的定义入手，逐步展开对阿基米德三角形问题的解题策略讨论，希望能够让读者对这个问题有一个更深入的理解。
1. 椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，$a$和$b$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长度。
在了解了椭圆的基本概念后，我们接下来将分析如何在椭圆中构造阿基米德三角形。
2. 椭圆中的阿基米德三角形构造阿基米德三角形是指以椭圆某一焦点$F$为顶点，将椭圆与另一焦点$F'$连线的中点为顶点，椭圆上相邻两焦点为底边构造的三角形。
为了构造阿基米德三角形，我们首先需要确定椭圆的两个焦点的坐标，然后找出这两个焦点到某一点的距离之和等于常数的性质，从而确定三角形的顶点坐标。
通过这一过程，我们可以清晰地理解阿基米德三角形在椭圆中的构造原理。
3. 解题策略分析在解决椭圆中的阿基米德三角形问题时，我们需要综合运用椭圆的性质和三角几何知识。
利用椭圆的定义和性质，我们可以得到椭圆的标准方程，并进一步求解出椭圆的焦点坐标。
通过三角几何知识，我们可以建立椭圆中阿基米德三角形的顶点坐标，从而解答出题目所要求的内容。
在解题过程中，我们也要注意运用数学推理和逻辑推导，确保整个解题过程清晰明了。
4. 个人观点和理解对于椭圆中的阿基米德三角形问题，我认为关键在于深入理解椭圆的性质和阿基米德三角形的构造原理。
只有通过对椭圆的定义、性质和阿基米德三角形的构造原理进行全面地分析和掌握，才能更好地解决这一问题。
解题过程中的逻辑推理和数学推理也是至关重要的，需要我们保持清晰的头脑和严密的思维方式。
总结回顾通过本文的探讨，我们对椭圆中的阿基米德三角形问题有了全面的了解。
椭圆压轴题三角形面积
椭圆压轴题三角形面积1. 任务背景在几何学中，椭圆是一种特殊的曲线，具有许多有趣的性质。
而椭圆压轴题则是指给定一个椭圆和一个点P，通过点P作直线与椭圆相交于A、B两点，再过点A、B分别作垂线于x轴交于C、D两点，则四边形ABCD构成一个压轴四边形。
本文将探讨如何通过已知椭圆的参数和点P的坐标，求解压轴四边形ABCD中的三角形面积。
2. 椭圆的参数表示椭圆可以用两个参数来表示：长半径a和短半径b。
根据定义，椭圆上每个点到两个焦点之距离之和等于常数2a。
我们可以使用以下方程来表示一个位于原点的椭圆：其中，a和b分别为长半径和短半径。
3. 点P的坐标表示点P的坐标可以用(x, y)表示。
我们需要通过点P作直线与椭圆相交，找到与椭圆相交的两个点A和B。
4. 求解压轴四边形ABCD4.1 求解与椭圆相交的两个点A和B为了求解与椭圆相交的两个点A和B，我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程。
解这个二次方程即可得到A和B的坐标。
设直线方程为y = kx + c，代入椭圆方程得：%5E2%7D%7Bb%5E2%7D+%3D+1)化简上述方程，得到一个关于x的二次方程：/a%5E2+(1/b%5E2))x%5E2+((2kc)/b%5E2)x+(c%5E2/b%5E2-1)=0)通过求解上述二次方程，我们可以得到两个根x1和x2。
将这两个根代入直线方程，即可求得对应的y1和y2。
这样，我们就得到了与椭圆相交的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
4.2 求解垂线交点C和D已知A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过以下方式求解垂线交点C和D的坐标。
由于C和D分别位于x轴上，所以它们的y坐标为0。
我们可以通过直线斜率来求解垂线方程，然后将y坐标置为0求解x坐标。
设直线斜率为k’，则垂线方程为y = k’(x - x1) + y1。
将y置为0，即可求解出x坐标。
将x坐标代入直线方程，即可求解出对应的y坐标。
巧用椭圆中“特征三角形”解题
（ ｏ ， ） 内 是 增 函 数 的 必 要 条 件 是 万 ＜ ０ 且 一 万 詈 ，
所以一 ２ ｆ ｙ ｒ ＜０， 所 以 刃＝一 １ 或一 ２， 此 时 ＝２ ， ｚ 兀 ＋ ，
答 的过程 ，往往能使解题峰回路转 ，或达到事半功 倍 的效 果 ．
巧用椭 圆 中 “ 特征三 角形 ’ ’ 解题
我们知道椭圆两种标准方程 ＋ 鲁＝ ｌ （ ａ ＞ ｂ ＞ ０ ）
ａ Ｄ
． ．
２
，
．
２
和 ＋ ＝ｌ （ ａ＞ ｂ＞０ ） 中都 有等 式 口 ＝ｂ ＋ ｃ （ 其 中
口 Ｄ
形在我们解题时经常会被用到，下面笔者就以几 个
例 子 来说 明“ 特征 三角 形” 的巧 用 ．
【 ２
ｆ 万＝ １ 或 万＝ ２ ，
＜
点评 利 用 Ｘ∈ ［ ２ ， ＋ ∞） 时 ， ｆ（ ｘ ） ≥０恒 成 立 的 必 要条 件 ｆ （ ２ ） ０缩小 ａ的取值 范 围简化 解 答 ． 例 ８ 已知存 在 实数 刃 ， （ 其 中 刃≠０，刃∈ｚ） 使 得 函数 ＿ 厂 （ ） ＝２ ｃ ｏ ｓ （ ｗ ｘ ＋ 是 奇 函数 ，且 在 （ ０ ， － ２ “ ）
因为 ｃ ｏ ｓ ＬＯ Ｆ ２ Ｂ ：一 Ｃ，Ｎ ｐ ２￣ 一 ４ ３
，
即ｅ ＝
９ ０ 。 ，进 一步 ＡＯ Ｂ Ｆ ２ 要大于 或等于 ４ ５ 。 ，再 利用“ 特 征
２
． ．
ｃ 为 半焦 距 ） ，而 此 等 式正好 满 足勾 股 定理 ，构 成 了
一
个 直 角 三 角形 （ 三边 为 ａ， ｂ， Ｃ ） ，那 么这 样 的
２
２
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
高中数学椭圆中的三角形问题教学设计
椭圆中的三角形问题教学设计一.指导思想和理论依据在新课标中明确指出,数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它强调“做中学”,力图通过学生“做”的主动探究过程来培养他们的创新精神，动手能力，提出问题和解决问题的能力.而立足于课堂,深入钻研教材,是数学课堂教学中实施探究性学习的基础.下面我就“椭圆中的三角形问题”来谈谈我是如何引领学生进行探究性学习的.二. 教学背景分析这节课是我到北京立新学校参加基本功大赛所做的课. 相对于平时教学而言，我要面对的是一群陌生的学生(在正式上课的前一天,老师和学生有10分钟的见面时间),因此对学生的了解无从谈起:首先学生的总体情况不清楚,其次他们学校教师的教学方法和学生的接受能力不清楚,另外,就连具体的教学进度都不清楚,做课的难度可想而知. 也正是如此,我才下定决心按照下面的方式设计这节课,向自我挑战.我想知道,在这样的情况下,我是否能够驾驭课堂,是否能够调动学生的积极性,让学生和我一起完成我的设想.三.本课教学目标1. 在知识上 , 使学生进一步理解所学的知识，认识到知识间的内在联系 .2. 在能力上 , 培养学生提出问题的意识 , 并培养学生综合运用知识解决问题的能力.3. 在情感态度上,让学生体验创造的激情,培养学生勇于提出问题的习惯,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神.四.教学过程与教学资源设计(一.)设计这节课的初衷.1.从学生习中存在的问题角度出发:在学生学习数学的过程中,普遍存在两个问题:一是不知如何提出具有研究价值的问题;二是不能把解决过的问题联系在一起,从本质上加以认识,进而去解决新的问题.之所以会产生这两个问题,主要有两方面原因:一方面是学生在学习的过程中比较被动,没有发挥自身的主动性,课上只是听老师讲,而不是自己思考如何解决数学问题;另一方面,是教师在传授知识的过程中,更多的是传授解题方法或者是对知识本身的讲授,而缺少这方面的训练,没有充分挖掘、发挥学生自身的潜能.如果我们在教学中能够有意识在这方面做些工作,不仅会使学生对所学的知识有较深层次的认识,更会提高学生应用数学知识解决问题的能力,从而为以后的学习打下良好的基础.2.从学生对知识的内在关系认识的角度出发:学生在学习解析几何这部分知识时,对知识内在关系的理解有两个不好的地方: (1)把三种圆锥曲线分离开来,同样的问题,当所给曲线发生变化时,就认为是不同的问题,不能从整体上,本质上把握这些问题; (2)教师在开始介绍解析几何这门课时,会说这门课是从代数的角度来研究几何问题,而学生却不这样认为,他们往往是把代数和几何分离开来,不能把二者有机的结合在一起.本节课正是想在如何解决上述问题方面做一些尝试.3.题目的确定:我之所以选定椭圆中的三角形问题,是基于以下的考虑:三角形是平面几何中最基本、最常用的图形，三角形的许多性质是研究数学内容的一个重要思想方法和工具,平面几何中的很多问题都要归结为三角形的问题,可以说三角形是平面几何图形的一个典型代表;而椭圆是三种圆锥曲线的代表,相对于双曲线和抛物线而言,它是一个封闭图形,因此研究起来,比较容易操作.而作为一种几何图形，椭圆既与平面几何有关,又与代数知识有关. 把三角形和椭圆结合在一起,即具有代表性,又能够更好的从代数和几何两方面研究问题.(二.)教学过程1.研究课题的提出:首先我想借助椭圆第一定义中出现的图形,提出研究课题.因此我先让学生复习椭圆的基础知识,给出了问题1:点M 在椭圆12222=+b y a x (其中0>>b a )上,请说出此时点M 满足的条件.课上学生很快答出:点M 的坐标应该满足椭圆方程.这时我引导学生说出这是从代数的角度,而从几何的角度,应该怎样叙述呢?学生又答出:点M 到两个焦点的距离之和为2a .这样做的目的是让学生在最开始就认识到我们可以从代数和几何两方面看问题,为下面的研究打下伏笔.为了突出所研究问题的必要性,我提出了问题2:点M,N 是椭圆12222=+b y a x (其中0>>b a )上不同的两个点,求弦MN 长度的取值范围.同第一个问题,很快就有几个学生得出了结论:MN 的长度在0和2a 之间.我继续提问,他们是如何得出结论的?学生回答说,是从图上看出来的.首先我对他们的答案作了肯定,其次对他们得到答案的方法给与了高度评价:他们是从几何直观可以得出的结论,而这是考虑这类问题重要的方法之一.在此基础之上,我让学生进一步思考,如何证明他们得出的结论?这个问题提出后,学生们有了不同的反应,有的学生说,我都直接看出来了,还证明什么呀?而另一部分说,正因为是看出来的,才需要给出严格证明呢?我对后者作了肯定,并继续引导:要求的是MN 的长度,表面上看是一个数量问题,即代数问题,而我们从代数的角度下手比较难,那我们能否从其他方面考虑问题呢?“从几何的角度出发”,马上有学生回应.“从几何角度,我们该如何考虑呢?”过了一段时间,没有人回答.我继续提示:我们以前,在考虑与线段长度有关的问题时,可以借助于三角形,利用三角形的性质解决问题,现在,我们这样做行吗.在上面的提示之下,过了一会儿,有学生说出:把线段MN 放到和焦点21F ,F 有关的两个三角形N MF ,N MF 21ΔΔ中去,利用不等关系| ≥+11MN ||NF ||MF |,| ≥+22MN ||NF ||MF |和等量关系a |MF ||MF |2=+21,a |NF ||NF |2=+21, 就可以证明了.在此,我让学生把刚才的解决过程回忆了一下:答案是从几何直观得到的,而问题的严格证明是利用三角形的性质.一个看起来很难的问题,我们利用三角形的性质,很容易解决了.那椭圆中还有和三角形有关的量吗?“c ,b ,a 满足勾股定理”.这时,我指出椭圆的第一定义是与三角形有关的,而三个不变量也和三角形有关,这些都表明,椭圆与三角形有着密切关系,今天我们就一起来研究: “椭圆中的三角形问题”.指出课题之后,我又引领学生思考:课题中给出的研究范围太广了,我们很难下手研究,因此我们首先需要作的是把研究范围缩小,那我们从哪开始研究呢?有学生说: “我们就先研究和两个焦点有关的三角形呗”.这样,就让学生提出了第一步研究课题:与焦点三角形有关的问题.这个问题是想让学体会在研究数学问题的过程中,往往是从较特殊的情形入手,然后逐步深入.研究课题一: 与焦点三角形有关的问题.这里,我们为了研究方便,把研究对象设为具体的椭圆1=20+4522y x .下面,我先给出了问题3:点P 为椭圆1=20+4522y x 上一个点,请同学说出图中三角形中的已知量. 在学生答出10=2c =|F F | ,56=2=+2121a |PF ||PF |后,我提出了第一个具体的研究任务: 请同学根据图形,自己给21ΔF PF 添加一个条件,然后编写一道计算题.设计这个问题的目的是把学生推到前台,让他们自己成为课堂的主人,自己提问题,自己解决.任务提出后,同学们先是面面相觑,不知所措,稍后,便开始埋头演算起来.经过一段时间,有的同学写出了自己的问题,而还有一部分同学不知道如何提问,这时我才给出提示:我们是在考虑与三角形有关的问题,那么我们都关心三角形中的哪些量呢?又如何求能够得出得这些量呢?有了这个提示,大部分学生就知道如何添加一个具体的条件并提出问题了.我又让学生总结如何从整体上把握添加条件的思路:从平面几何的角度可以添加的条件有:边长,角的大小,面积;从解析几何的角度可以添加的条件有:点的坐标,直线方程,斜率等.在每个学生都提出问题后,为了鼓励学生,我让一名看起来动作慢一些的学生说出他所提的问题:然后让全班同学都来解答这个问题.他给出的问题是: 90=∠21PF F 又,求21F PF ∆的面积.同学给出了几种解法(这里只是给出思路,具体解答略):1.利用方程思想,求出21PF ,PF 的长度,进而求21F PF ∆面积;2.利用方程思想,不求出21PF ,PF 的长度,而是采用整体求值的方法求出|PF ||PF |21,从而求出21F PF ∆的面积;3.求出点P 的坐标,再求其面积.在解决这个问题的基础之上,我问:如果我们把21F PF ∆的面积作为已知值,又可以求出哪些量呢?“21PF ,PF 的长度,点P 坐标,21∠PF F 的大小……”. “和三角形有关的量都可以求出”,一个学生回答.听到这个声音,我非常高兴,马上让学生思考问题4:为什么我们给21ΔF PF 添加一个条件后,就可以求出其它的量?设计这个问题的目的是对以上提出的各个问题从本质上加以认识.“现在在21F PF ∆有三个量,我们就可以求出其它量”,一个学生说. “对,非常好,这就是这些问题的本质”,我说, “此时21F PF ∆中有三个条件(两个与边有关的条件+添加条件),从而21F PF ∆为一个可解三角形,因此我们可以求出其它量.下面,我又领着学生对刚才提出的问题和研究方法进行了小结, 并且对方法进行小结小结:1.如何提出新的问题;2.在解决问题的过程中,我们既可以利用平面几何的知识,也可以利用解析几何的知识解决问题,这之中可以将数量关系与几何关系相互转化.以上是我们研究的是给定一个固定点P,也就是说我们刚才所作的是对静态的焦点三角形作了研究,如果让点P 在椭圆上运动起来,又有哪些问题可以研究呢?提出我们的 第二个研究任务:对动态焦点三角形的研究有了上面的经验,同学们很快从运动的角度提出了自己的问题:1.最值问题: 21F PF ∆面积的最大值是多少?21∠PF F 的最大值是多少?2.与点P 有关的点的轨迹问题:线段21PF ,PF 的中点轨迹, 21F PF ∆的重心轨迹的等.课上我引领着同学求出21∠PF F 的最大值,其余问题让学生自己课下解决.做完这些之后,我让学生思考,我们还可以作哪些研究?有了第一,第二步的研究经验,马上有学生指出: “焦点三角形的相关问题我们提了很多,我们为什么不将研究对象改变一下呢?如研究顶点三角形,或一个顶点在焦点处,另外两个顶点在椭圆上等等”.此时的我,已经开始为学生的变化感到惊喜,也为他们的进步感到自豪.这之后,我没有让学生再提出具体的问题,而是让学生继续思考,从大的方面,我们还可以对哪些方面的问题作研究?学生中很快就有人提出, “椭圆中有很多问题与三角形有关,那双曲线中也应该有同样的问题呀”.还有的学生提出, “我们还可以把我们研究的对象范围扩大,如研究直线和椭圆的位置关系方面的问题”.至此,我想我的初衷已经达到了.下面我让学生对本节课进行了总结:1. 从知识层面:椭圆可以由研究一个动点和两个定点之间距离的关系得到,当然也可以理解为从研究动态的三角形中得到.在解决椭圆中有关三角形时,可以从代数的角度,也可以从平面几何的角度思考.在这之中,还可以将二者进行有机的转化.此外,注意对问题的本质的认识.2.从研究方法:如何根据已有知识,在已有条件基础之上提出新问题,自己加以研究,从中体会如何提出问题,解决问题,以及从多个角度认识数学知识间的内在联系.五.学习效果评价设计为了了解学生本节课的学习情况,我布置了如下作业:1.仿照上课的研究过程,自己提出双曲线中与三角形有关的两个问题,并写出你是如何思考并提出这两个问题的以及问题的解答过程.2.仿照上课的研究过程，试着提出椭圆，双曲线与直线的位置关系方面的一些问题,一周后同学交流这些问题和研究体会.。
巧用椭圆中“特征三角形”解题
巧用椭圆中“特征三角形”解题
肖浩春 我们知道椭圆两种标准方程 和 江苏省江浦高级中学数学组（211800） 的三角形（不难看出，特征三角形有四个） ．平时我 们碰到有关椭圆题目时很多时候是以焦点三角形为 背景的， 很少涉及到“特征三角形”． 实际上特征三角 形在我们解题时经常会被用到，下面笔者就以几个 例子来说明“特征三角形”的巧用．
椭圆离心率 e 的取值范围．略解：因为 F1 PF2 ， 所以 F1 PF2 最大值要大于或等于 ，即 F1 BF2 ． （ B 为短轴端点） ， 进一步 OBF2 ， sin OBF2 2 OF c c 2 sin ，又 sin OBF2 ， sin ．则椭圆 2 BF 2 a a 2
1 由二倍角公式求得 tan ODF2 ， sin ODF2 2 OF2 c c ODF2 中， sin ODF2 ， e DF2 a a
5 ． 则 5
椭圆离心率 e 的值为 5 / 5 ． 小结 实际上这一小问方法不唯一，还有两个常 规方法：一是把直线 BF2 方程与椭圆方程联立起来， 求出点 A 的坐标，进一步求出点 C 的坐标，然后求 出直线 F1C 的斜率，再利用 F1C AB ，得到直线 F1C 的斜率与直线 BF2 的斜率之积为 1 ， 则可列出 a ， b，
是半个周期的长度不小于区间的长度 b a ．又正、 2 余弦函数的周期是 T ，故可用来解决求函数 | | f (x) Asin( x ) B 解析式中的系数 的一些问题． 利用必要条件直接解题或简化解答是优化解题 的一种手段，也是解题的一种重要的思维方法．平 时我们在解题时要有运用的意识和思维的训练．特 别地，对于没有思路或等价转化后不易求解的问题， 我们可考虑利用必要条件寻求解题思路或者优化解 答的过程，往往能使解题峰回路转，或达到事半功 倍的效果．
高中数学：通过构造椭圆模型求解或证明具有一定特征的三角问题
高中数学：通过构造椭圆模型求解或证明具有一定特征的三角问题
例1、已知，求证。
分析：这是一道三角函数命题，由题中等式的特征可联想到构造一个椭圆方程。
证明：设椭圆C：
由题设知点在椭圆C上，又也满足椭圆C，可知点N也在椭圆C上，过点N与椭圆C 相切的直线方程为
即
又点M也满足，所以点M也在切线上
故点M和点N重合，，
所以
例2、已知在△ABC中，存在条件，|AB|=8，试求之值。
解析：有的同学从中很快发现一个熟悉的图形——椭圆。
下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了。
如图1所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c
则（正弦定理）
∴（合比定理，椭圆定义）
即
∴
解得
图1
例3、已知，则的最小值为___________。
分析：满足题设的点的轨迹是到定点A（0，0），B（8，6）的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的长半轴a满足，即。
线段AB的长为，即c=5，所以椭圆的短半轴长
又椭圆长轴所在直线方程为
因此，由图2知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过
即
解得
椭圆上任意一点P（x，y）均满足
得，最小值为。
图2
▍ ▍
▍。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ace ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.631.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.152.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.法二：设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二Array离心率求法：。
椭圆中与焦点三角形顶角有关的问题
课题：椭圆中与焦点三角形有关的问题证明:略 例1．若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积．例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33 例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或779 练习1：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若621π=∠PF F ，则=∆21F PF S _______。
练习2：P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则=∆21F PF S _______。
错题：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。
为什么错？例4设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两 点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，12PF PF ⋅ 的值等于 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4例1：椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。
问题1. 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。
问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？例2：2212,:1,84x y F F C +=是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在P PF PF C 21⊥ 总结：1如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠恰为直角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是 2如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠为钝角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是 3如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠为锐角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是例3：已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
椭圆中三角形【范本模板】
椭圆中三角形（四边形）面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质（对称性、取值范围等） 例 1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点是F （c,0），过原点O 作直线l 与椭圆相交于A,B 两点,求三角形ABF 面积的最大值.分析：将三角形ABF 的面积分割成两个三角形的面积之和,并表示成关于点A 的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析：因为直线l 过原点，由椭圆的对称性知，A,B 两点关于原点对称，设点A （x 0，y 0）(y 0〉0)， 设三角形ABF 的面积为S,则S=S △AOF + S △BOF =2S △AOF =cy 0， 0〈y 0≤b ，∴ S=cy 0≤bc 。
所以三角形ABF 面积的最大值是bc.点评： 将三角形ABF 的面积表示成关于点A 的坐标（x 0,y 0）y 0的一元一次函数，再利用椭圆的取值范围求最大值,是本题的解题技巧，若将三角形ABF 的面积表示成关于直线l 斜率的函数，则运算量要大许多。
二 利用基本不等式或参数方程 例2 设椭圆中心在坐标原点，点A(2,0),C （0,1）是它的两个顶点，直线y=kx （k>0)与椭圆相交于B,D 两点,求四边形ABCD 面积的最大值 分析:将四边形ABCD 的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k 或者点B 的坐标的函数，再求函数的最大值。
解析：因为点A(2，0)，C （0，1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是1242=+y x ，由椭圆的对称性知,点B,D 关于原点对称，设点B(x 0,y 0）（x 0〉0)，则120420=+y x ，即442020=+y x .设四边形ABCD 的面积为S ，则S=S △ABD + S △BCD =2S △AOB +2S △COB =｜0A|×y 0+|0C ｜•x 0=2y 0+x 0。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)11.椭圆中焦点三角形的周长问题 Word版含答案
高中数学破题致胜微方法（椭圆的基本性质）11.椭圆中焦点三角
形的周长问题 Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。
利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点
的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的倍。
先看例题：例：如图,椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,求△的周长.
规律整理：椭圆
的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
椭圆的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。
再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系
中，椭圆的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过的
直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）
即.
又,所以,所以.故椭圆的方程是. 练习：
. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，△的周长为，求；若，求椭圆的离心率.
. 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( ) . . . .
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椭圆中焦点三角形的面积问题
椭圆中焦点三角形的面积问题
椭圆中焦点三角形的面积问题可以通过以下步骤来解决：
步骤1：确定椭圆的焦点和顶点。
椭圆有两个焦点，分别记为F1和F2，以及两个顶点，分别记为A和B。
步骤2：连接焦点F1和F2与顶点A和B，得到两条线段AF1、AF2和BF1、BF2。
步骤3：计算三角形AF1F2的面积。
根据三角形面积公式，可以使用以下公式计算三角形面积：面积= 底边长度×高÷2。
在这种情况下，底边是线段F1F2的长度，高是从线段F1F2到顶点A的垂直距离。
步骤4：计算三角形BF1F2的面积。
同样地，使用相同的面积公式计算三角形BF1F2的面积，其中底边是线段F1F2的长度，高是从线段F1F2到顶点B的垂直距离。
步骤5：将步骤3和步骤4得到的两个三角形的面积相加，即可得到椭圆中焦点三角形的总面积。
请注意，以上步骤是基于椭圆的简化模型，假设椭圆的焦点和顶点已知，并且椭圆是对称的。
实际情况可能更为复杂，需要更多的几何计算和测量才能得到准确的结果。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
..椭圆中与焦点三角形有关的问题例 1：椭圆x2y21的焦点为F l、F2，点 P 为其上动点，当F1 PF2为钝角时，9 4点 P 横坐标的取值范围是 _______。
（二）问题的分析问题 1.椭圆 x 2y 21的焦点为F l、F2，点P为其上一点，当F1 PF2为直角时，94点 P 的横坐标是 _______。
问题 2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现F1 PF2的大小与点P的位置有关，究竟有何联系。
性质一：当点 P 从右至左运动时，F1 PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时，F1PF 2达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？问题 3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求F1PF 2的最大值，只需求cos F1 PF2的最小值”问题 5：由上面的分析，你能得出cos F1PF2与离心率 e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为x2y2a 1(ab 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形2b2PF1F2中 F1PF2, 则 cos12e2 . （当且仅当动点为短轴端点时取等号）题x2y21(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一2：已知F1、F2是椭圆b 2a 2点 P 使F1 PF2 90 ，求椭圆离心率 e 的取值范围。
变式1：已知椭圆x2y 21(a b 0) 的两焦点分别为F1, F2 , 若椭圆上存在一点P, 使a2b2得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。
变式 2 ：若椭圆x2y 2 1 的两个焦点 F1、 F2，试问：椭圆上是否存在点P ，使43F1 PF2 90 ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
（三）问题引入2x2y2，则 PF1F2题 3：P是椭圆 1 上的点，F l，F2是椭圆的焦点，若 F1 PF2543的面积等于 _______。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆焦点三角形的一个面积公式
1今天我们研究椭圆焦点三角形的一个面积公式。
椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关。
先看例题：例：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆.证明：如图，记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ2 .cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆ 同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.归纳整理：焦点三角形的面积公式：2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；2tan 221θb S PF F =∆。
再看一个例题，加深印象例：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若3 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C.3 D. 33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ 利用整理出的焦点三角形面积公式，直接可得：.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F所以本题选A.总结： 1.椭圆焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有椭圆的定义、余弦定理等.2.椭圆大小确定后，椭圆焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关.练习：1.椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242.椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 64答案： 1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ， ∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan 2tan 221===∆θθb S PF F ， ∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF . 故答案选A.。
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F1 PF2 最大．因为点 P 满足 PF1 PF2 ，所以 F1 PF2
最大值要大于或等于 90 ，即 F1 BF2 要大于或等于
90 ，进一步 OBF2 要大于或等于 45 ，再利用“特征
三角形”来解．下面笔者给出这种方法的略解． 解 因为 F1 BF2 要大于或等于 90 ，所以 OBF2
x2 y 2 1(a b 0) ， F1 ， a 2 b2 F2 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点 P ，
2 ， 1) ． 2 OF2 BF 2
小结 本题巧用“特征三角形”中 sin OBF2
c ，很简单的求出了结果．这个方法可以推广到一 a 般情况：若椭圆上存在一点 P ，使得 F1 PF2 ，求
例 3 已知椭圆方程为
连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ， 过点 A 作 x 轴的垂线 交椭圆于另一点 C ，连结 F1C ． 4 1 （Ⅰ）若点 C 的坐标为 ( ， ) ，且 3 3 BF2 2 ，求椭圆的方程； （Ⅱ）若 F1C AB ，求椭圆离心率
使得 PF1 PF2 ，求椭圆离心率 e 的取值范围． 分析 这个题是一道解析几何很经典的题目，方 法有很多：第一种方法是设出点 P 坐标 ( x ， y ) ，根据 条件求出点 P 坐标，再利用椭圆的范围 | x | a （或 ，可以列出 a ， b ， c 之间的不等式，最 0 x a ）
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福建中学数学
2015 年第 3 期
3 ，又 2 c c 3 3 因为 cos OF2 B2 ，所以 ，即 e ． a a 2 2 小结 实际上本题并不难，方法也不唯一，但是 OF2 c 巧用了“特征三角形” ，计算非常的方便． B2 F2 a F2OB2 中 OF2 B2 30 ，所以 cos OF2 B2 x2 y 2 1(a b 0) 的上顶点为 a 2 b2 B ，右焦点为 F ，连接 BF 并延长交椭圆于 A ，若
上， a 的取值范围是 [
5 ， ) ． 4 点评 利用 x [2 ， ) 时， f ( x) 0 恒成立的必
要条件 f (2) 0 缩小 a 的取值范围简化解答． 例 8 已知存在实数 ， （其中 0 ， Z ） π 使得函数 f ( x) 2 cos( x ) 是奇函数，且在 (0 ， ) 4 内是增函数．求出所有符合题意的 与 的值． 解 函数 f ( x) 2 cos( x ) 是奇函数的必要条 件是 f (0) 0 ，解得 k ， k Z ．当 k 为偶数 2 时 ， f ( x) 2 cos( x ) 2sin( x) ． 因 为 f ( x) 在 2 (0 ， ) 内是增函数的必要条件是 0 且 ， 4 4 2 所以 2 0 ， 所以 1 或 2 ， 此时 2n ， 2
椭圆离心率 e 的取值范围．略解：因为 F1 PF2 ， 所以 F1 PF2 最大值要大于或等于 ，即 F1 BF2 ． （ B 为短轴端点） ， 进一步 OBF2 ， sin OBF2 2 OF c c 2 sin ，又 sin OBF2 ， sin ．则椭圆 2 BF 2 a a 2
离心率 e 的取值范围为 [sin ， 1) ．如果此时采取前面 2 所讲的第一和第二种方法，则不太好做．由此可见 利用“特征三角形”解题有时能起到事半功倍的效果． 例 4 （2014 年高考江苏卷·理 17）如图 1，在
平面直角坐标系 xOy 中， F1 ， F2 分别是椭圆
x2 y 2 a 2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 (0 ， b) ，
n Z ．当 k 为奇数时， f ( x) 2 cos( x ) 2 2 sin( x) ．因为 f ( x) 在 (0 ， ) 内是增函数的必要条件 4 是 0 且 ， 所以 0 2 ， Z ， 故 1 4 2 或 2 ，此时 (2n 1) ， n Z ．因此，所有符 2 1或 2 ， 合题意的 与 的值是 或 2 n ， nZ 2 1或 2 ， (2n 1) ， nZ ． 2 点评 余弦函数在区间 [a ， b] 上单调的必要条件
是半个周期的长度不小于区间的长度 b a ．又正、 2 余弦函数的周期是 T ，故可用来解决求函数 | | f (x) Asin( x ) B 解析式中的系数 的一些问题． 利用必要条件直接解题或简化解答是优化解题 的一种手段，也是解题的一种重要的思维方法．平 时我们在解题时要有运用的意识和思维的训练．特 别地，对于没有思路或等价转化后不易求解的问题， 我们可考虑利用必要条件寻求解题思路或者优化解 答的过程，往往能使解题峰回路转，或达到事半功 倍的效果．
解析几何题目，它只牵涉求方程和离心率，实则不 然，很多考生做的并不理想．究其原因，主要是因 为对常规方法的理解不到位，再加上计算能力不过 关，最终没能算出结果． 解 （Ⅰ）在 OBF2 ， BF2 b 2 c 2 a ，所以 4 1 16 1 又因为 ( ， ) 在椭圆上， 所以 2 2 1 ， a 2， 3 3 9a 9b x2 把 a 2 代入得 b 1 ，所以椭圆方程为 y 2 1 ． 2 小结 这一小问虽然并不难， 但是考到了“特征三 角形”这个知识点．有兴趣的读者，不妨把 BF2 2 这个条件去掉，第一问还是可以做的（因为题目根 4 1 4 1 据 C 的坐标为 ( ， ) ， 不难求出 A 的坐标为 ( ， )， 3 3 3 3 再根据 B ， F2 ， A 三点共线，可以列出 a ， b ， c 之 4 1 间的方程，再把 ( ， ) 代入椭圆方程，就可解出 a ， 3 3 ，只不过计算比较麻烦，试题命制者是 b ， c 的值） 不愿看到的，所以加了 BF2 2 这个条件，在这里 笔者不再赘述． （Ⅱ）设椭圆的下顶点为 D ，连接 DF1 ， DC ， 不难看出 D ， F2 ，C 三点共线．在 DF1C 中， F1C
AB ， F1 D / / AB ， F1C F1 D ， DF1C 为直角三角
a 2 m 2 (3a m) 2 ， m DC 2 ，
中，tanFDF 1 2
FC 4 4 1 又 F1 DF2 2ODF2 ， a/ a ， FD 3 3 1 5 ． 在 5
x2 y 2 1(a b 0) 的一个焦点 a 2 b2 与短轴的两个端点构成了一个等边三角形，求椭圆
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
y 2 x2 1(a b 0) 中都有等式 a 2 b 2 c 2 （其中 a 2 b2 ，而此等式正好满足勾股定理，构成了 c 为半焦距） x a2
2015 年第 3 期
a 1 和 1 a e 和 a e 三种情况讨论．
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例 7 （2013 年高考全国大纲卷·文 21）已知函 数 f ( x) x3 3ax 2 3x 1 ． 若 x [2 ， ) 时，f ( x) 0 ， 求 a 的取值范围．
2 2
F1
y BC
OF2A x 图1
后求出椭圆离心率 e 的取值范围；第二种方法是由 PF1 PF2 ，可推出点 P 在以 F1 F2 为直径的圆上，圆 的方程为 x 2 y 2 c 2 ，则本题转化为圆与椭圆有交 点．通过看图，不难发现圆的半径要大于或等于椭 圆的短半轴长， 即c b， 进而求出椭圆离心率 e 的取 值范围；第三种方法是当点 P 位于短轴端点 B 处时，
e 的值． 分析 2014 年江苏高考数学试题难度总体比较 平稳，涉及的都是一些常规的知识点和解题思路， 但是在区分度较高的题目中，更重要的是需要学生 理解方法中的原理、掌握知识的迁移，把类似的思 想用在不同的题目中．本题表面上是一道很普通的
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4 a． 在 RtDF1C 3
1 由二倍角公式求得 tan ODF2 ， sin ODF2 2 OF2 c c ODF2 中， sin ODF2 ， e DF2 a a
5 ． 则 5
椭圆离心率 e 的值为 5 / 5 ． 小结 实际上这一小问方法不唯一，还有两个常 规方法：一是把直线 BF2 方程与椭圆方程联立起来， 求出点 A 的坐标，进一步求出点 C 的坐标，然后求 出直线 F1C 的斜率，再利用 F1C AB ，得到直线 F1C 的斜率与直线 BF2 的斜率之积为 角三角形（三边为 a ， b ， c ） ，那么这样的 三角形我们可以叫做椭圆的“特征三角形”．以
例 1 已知椭圆
y2 1(a b 0) 为例，设 B1 ， B2 分别为椭圆的下上 b2 顶点， F1 ， F2 分别为左右焦点，则 F2 OB2 就是这样
的离心率 e ． 解 因为 F2 B1 B2 为等边三角形， 则在特征三角形
巧用椭圆中“特征三角形”解题
肖浩春 我们知道椭圆两种标准方程 和 江苏省江浦高级中学数学组（211800） 的三角形（不难看出，特征三角形有四个） ．平时我 们碰到有关椭圆题目时很多时候是以焦点三角形为 背景的， 很少涉及到“特征三角形”． 实际上特征三角 形在我们解题时经常会被用到，下面笔者就以几个 例子来说明“特征三角形”的巧用．
2 ， 在 OBF2 中， 2 OF2 c c 2 因为 sin OBF2 ，所以椭圆 ，所以 BF 2 a a 2
要大于或等于 45 ， 则 sin OBF2
例 2 已知椭圆
BF 2 FA ，求椭圆的离心率．
离心率 e 的取值范围为 [
解 因为在特征三角形 FOB 中， BF a ，所以 a FA ，过 A 作 AC x 轴，垂足为 C ，则 FCA 与 2 FC AC AF 1 FOB 相 似 ， 所 以 ，又因为 OF OB BF 2 c b OF c ，OB b ，所以 FC ， AC ，则点 A 坐 2 2 3c b x2 y 2 标为 ( ， ) ，把点 A 代入椭圆 2 2 1(a b 0) 2 2 a b 3c 2 2 b 2 2 中 ， 得 到 ( ) / a ( ) / b 1(a b 0) ， 化 简 得 2 2 3 3 ，椭圆的离心率为 ． a 2 3c 2 ，所以 e 3 3 小 结 本 题 抓 住 了 特 征 三 角 形 FOB 中 ， BF a ，再根据相似三角形可推出点 A 坐标，最后 把点 A 坐标代入椭圆方程，列出了 a ， b ， c 之间的 一个等式，进而求出离心率，此法巧用了 BF a 来 解题，使得题目变得简单．