巧用椭圆中“特征三角形”解题

AB ， F1 D / / AB ， F1C F1 D ， DF1C 为直角三角
a 2 m 2 (3a m) 2 ， m DC 2 ，
中，tanFDF 1 2
FC 4 4 1 又 F1 DF2 2ODF2 ， a/ a ， FD 3 3 1 5 ． 在 5
n Z ．当 k 为奇数时， f ( x) 2 cos( x ) 2 2 sin( x) ．因为 f ( x) 在 (0 ， ) 内是增函数的必要条件 4 是 0 且 ， 所以 0 2 ， Z ， 故 1 4 2 或 2 ，此时 (2n 1) ， n Z ．因此，所有符 2 1或 2 ， 合题意的 与 的值是 或 2 n ， nZ 2 1或 2 ， (2n 1) ， nZ ． 2 点评 余弦函数在区间 [a ， b] 上单调的必要条件
解析几何题目，它只牵涉求方程和离心率，实则不 然，很多考生做的并不理想．究其原因，主要是因 为对常规方法的理解不到位，再加上计算能力不过 关，最终没能算出结果． 解 （Ⅰ）在 OBF2 ， BF2 b 2 c 2 a ，所以 4 1 16 1 又因为 ( ， ) 在椭圆上， 所以 2 2 1 ， a 2， 3 3 9a 9b x2 把 a 2 代入得 b 1 ，所以椭圆方程为 y 2 1 ． 2 小结 这一小问虽然并不难， 但是考到了“特征三 角形”这个知识点．有兴趣的读者，不妨把 BF2 2 这个条件去掉，第一问还是可以做的（因为题目根 4 1 4 1 据 C 的坐标为 ( ， ) ， 不难求出 A 的坐标为 ( ， )， 3 3 3 3 再根据 B ， F2 ， A 三点共线，可以列出 a ， b ， c 之 4 1 间的方程，再把 ( ， ) 代入椭圆方程，就可解出 a ， 3 3 ，只不过计算比较麻烦，试题命制者是 b ， c 的值） 不愿看到的，所以加了 BF2 2 这个条件，在这里 笔者不再赘述． （Ⅱ）设椭圆的下顶点为 D ，连接 DF1 ， DC ， 不难看出 D ， F2 ，C 三点共线．在 DF1C 中， F1C
巧用椭圆中“特征三角形”解题
肖浩春 我们知道椭圆两种标准方程 和 江苏省江浦高级中学数学组（211800） 的三角形（不难看出，特征三角形有四个） ．平时我 们碰到有关椭圆题目时很多时候是以焦点三角形为 背景的， 很少涉及到“特征三角形”． 实际上特征三角 形在我们解题时经常会被用到，下面笔者就以几个 例子来说明“特征三角形”的巧用．
椭圆离心率 e 的取值范围．略解：因为 F1 PF2 ， 所以 F1 PF2 最大值要大于或等于 ，即 F1 BF2 ． （ B 为短轴端点） ， 进一步 OBF2 ， sin OBF2 2 OF c c 2 sin ，又 sin OBF2 ， sin ．则椭圆 2 BF 2 a a 2
x2 y 2 1(a b 0) ， F1 ， a 2 b2 F2 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在一点 P ，
2 ， 1) ． 2 OF2 BF 2
小结 本题巧用“特征三角形”中 sin OBF2

c ，很简单的求出了结果．这个方法可以推广到一 a 般情况：若椭圆上存在一点 P ，使得 F1 PF2 ，求
2
一个直角三角形（三边为 a ， b ， c ） ，那么这样的 三角形我们可以叫做椭圆的“特征三角形”．以
例 1 已知椭圆ห้องสมุดไป่ตู้
y2 1(a b 0) 为例，设 B1 ， B2 分别为椭圆的下上 b2 顶点， F1 ， F2 分别为左右焦点，则 F2 OB2 就是这样
的离心率 e ． 解 因为 F2 B1 B2 为等边三角形， 则在特征三角形
离心率 e 的取值范围为 [sin ， 1) ．如果此时采取前面 2 所讲的第一和第二种方法，则不太好做．由此可见 利用“特征三角形”解题有时能起到事半功倍的效果． 例 4 （2014 年高考江苏卷·理 17）如图 1，在
平面直角坐标系 xOy 中， F1 ， F2 分别是椭圆
x2 y 2 a 2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 (0 ， b) ，
例 3 已知椭圆方程为
连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ， 过点 A 作 x 轴的垂线 交椭圆于另一点 C ，连结 F1C ． 4 1 （Ⅰ）若点 C 的坐标为 ( ， ) ，且 3 3 BF2 2 ，求椭圆的方程； （Ⅱ）若 F1C AB ，求椭圆离心率
使得 PF1 PF2 ，求椭圆离心率 e 的取值范围． 分析 这个题是一道解析几何很经典的题目，方 法有很多：第一种方法是设出点 P 坐标 ( x ， y ) ，根据 条件求出点 P 坐标，再利用椭圆的范围 | x | a （或 ，可以列出 a ， b ， c 之间的不等式，最 0 x a ）
1 由二倍角公式求得 tan ODF2 ， sin ODF2 2 OF2 c c ODF2 中， sin ODF2 ， e DF2 a a
5 ． 则 5
椭圆离心率 e 的值为 5 / 5 ． 小结 实际上这一小问方法不唯一，还有两个常 规方法：一是把直线 BF2 方程与椭圆方程联立起来， 求出点 A 的坐标，进一步求出点 C 的坐标，然后求 出直线 F1C 的斜率，再利用 F1C AB ，得到直线 F1C 的斜率与直线 BF2 的斜率之积为 1 ， 则可列出 a ， b，
上， a 的取值范围是 [
5 ， ) ． 4 点评 利用 x [2 ， ) 时， f ( x) 0 恒成立的必
要条件 f (2) 0 缩小 a 的取值范围简化解答． 例 8 已知存在实数 ， （其中 0 ， Z ） π 使得函数 f ( x) 2 cos( x ) 是奇函数，且在 (0 ， ) 4 内是增函数．求出所有符合题意的 与 的值． 解 函数 f ( x) 2 cos( x ) 是奇函数的必要条 件是 f (0) 0 ，解得 k ， k Z ．当 k 为偶数 2 时 ， f ( x) 2 cos( x ) 2sin( x) ． 因 为 f ( x) 在 2 (0 ， ) 内是增函数的必要条件是 0 且 ， 4 4 2 所以 2 0 ， 所以 1 或 2 ， 此时 2n ， 2
2 ， 在 OBF2 中， 2 OF2 c c 2 因为 sin OBF2 ，所以椭圆 ，所以 BF 2 a a 2
要大于或等于 45 ， 则 sin OBF2
例 2 已知椭圆
BF 2 FA ，求椭圆的离心率．
离心率 e 的取值范围为 [
解 因为在特征三角形 FOB 中， BF a ，所以 a FA ，过 A 作 AC x 轴，垂足为 C ，则 FCA 与 2 FC AC AF 1 FOB 相 似 ， 所 以 ，又因为 OF OB BF 2 c b OF c ，OB b ，所以 FC ， AC ，则点 A 坐 2 2 3c b x2 y 2 标为 ( ， ) ，把点 A 代入椭圆 2 2 1(a b 0) 2 2 a b 3c 2 2 b 2 2 中 ， 得 到 ( ) / a ( ) / b 1(a b 0) ， 化 简 得 2 2 3 3 ，椭圆的离心率为 ． a 2 3c 2 ，所以 e 3 3 小 结 本 题 抓 住 了 特 征 三 角 形 FOB 中 ， BF a ，再根据相似三角形可推出点 A 坐标，最后 把点 A 坐标代入椭圆方程，列出了 a ， b ， c 之间的 一个等式，进而求出离心率，此法巧用了 BF a 来 解题，使得题目变得简单．
e 的值． 分析 2014 年江苏高考数学试题难度总体比较 平稳，涉及的都是一些常规的知识点和解题思路， 但是在区分度较高的题目中，更重要的是需要学生 理解方法中的原理、掌握知识的迁移，把类似的思 想用在不同的题目中．本题表面上是一道很普通的
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4 a． 在 RtDF1C 3
5 5 ．当 a 时， 4 4 x [2 ， ) ， f ( x) 3 x 2 6ax 3 3( x 2 2ax 1) 3
解 由必要条件 f (2) 0 得 a
5 1 所以 f ( x) 在 [2 ， x 1) 3( x )( x 2) 0 ， ) 2 2 是增函数．于是 x [2 ， ) 时， f ( x) f (2) 0 ．综 ( x2
2 2
F1
y BC
OF2A x 图1
后求出椭圆离心率 e 的取值范围；第二种方法是由 PF1 PF2 ，可推出点 P 在以 F1 F2 为直径的圆上，圆 的方程为 x 2 y 2 c 2 ，则本题转化为圆与椭圆有交 点．通过看图，不难发现圆的半径要大于或等于椭 圆的短半轴长， 即c b， 进而求出椭圆离心率 e 的取 值范围；第三种方法是当点 P 位于短轴端点 B 处时，
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a 1 和 1 a e 和 a e 三种情况讨论．
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例 7 （2013 年高考全国大纲卷·文 21）已知函 数 f ( x) x3 3ax 2 3x 1 ． 若 x [2 ， ) 时，f ( x) 0 ， 求 a 的取值范围．
x2 y 2 1(a b 0) 的一个焦点 a 2 b2 与短轴的两个端点构成了一个等边三角形，求椭圆
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
y 2 x2 1(a b 0) 中都有等式 a 2 b 2 c 2 （其中 a 2 b2 ，而此等式正好满足勾股定理，构成了 c 为半焦距） x a2
是半个周期的长度不小于区间的长度 b a ．又正、 2 余弦函数的周期是 T ，故可用来解决求函数 | | f (x) Asin( x ) B 解析式中的系数 的一些问题． 利用必要条件直接解题或简化解答是优化解题 的一种手段，也是解题的一种重要的思维方法．平 时我们在解题时要有运用的意识和思维的训练．特 别地，对于没有思路或等价转化后不易求解的问题， 我们可考虑利用必要条件寻求解题思路或者优化解 答的过程，往往能使解题峰回路转，或达到事半功 倍的效果．
F1 PF2 最大．因为点 P 满足 PF1 PF2 ，所以 F1 PF2
最大值要大于或等于 90 ，即 F1 BF2 要大于或等于
90 ，进一步 OBF2 要大于或等于 45 ，再利用“特征
三角形”来解．下面笔者给出这种方法的略解． 解 因为 F1 BF2 要大于或等于 90 ，所以 OBF2
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3 ，又 2 c c 3 3 因为 cos OF2 B2 ，所以 ，即 e ． a a 2 2 小结 实际上本题并不难，方法也不唯一，但是 OF2 c 巧用了“特征三角形” ，计算非常的方便． B2 F2 a F2OB2 中 OF2 B2 30 ，所以 cos OF2 B2 x2 y 2 1(a b 0) 的上顶点为 a 2 b2 B ，右焦点为 F ，连接 BF 并延长交椭圆于 A ，若