1.2二次函数的图象(2)
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
1.2 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
.
5.抛物线 y = ax ， |a| 越大，抛物线的开口越小．
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例题学习
例1：画二次函数 解：列表
x 0 0 1 2 3 4
1 y x 2 的图象. 4
1 y x2 4
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.
利用对称性画出y轴左边的部分.
－4 －2 －2 －4 2 4
2
5.抛物线 y = ax ，
|a| 越大，抛物线的开口越小．
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合作探究
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
一、列表
x y=-x2 … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
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二、描点
y x2
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 减小.
当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
合作探究
二次函数y=-x2的图象与性质 1.图象开口向 下 ． 2.图象关于 y轴 对称，顶点（0，0） . 3.增减性：当x＜0时，y随x的增大而 增大 ，
当x＞0时，y随x的增大而减小 ，简称为左升右降 . 4.最值：函数有最 大 值，最 大 值等于 0 .
当x＞0时，y 随x的增大而增 大；当x＜0时， y随x的增大而 2 x 在同一坐标系中，画出函数 2
合作探究
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
－4 归纳： 相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
【练习】1.2 二次函数的图像 第2课时 二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征
1.2 二次函数的图像
第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的 图象及其特征
浙教版·九年级上册
1. (3分)一次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( D )
2．(3分)对于抛物线y＝－ ①抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(－1，3)； 其中正确的结论有( C ) A．1个
轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
解：二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1，一次函数的表达式为y＝x－1. (2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：1≤，两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二
y＝ (x－4) －1 个二函数的表达式为___ ．
2
1 4
9．(9分)下列抛物线可由怎样的抛物线y＝ax2(a≠0)，经过怎样的平移得到？ (1)y＝－
(2)y＝－(x＋ 3)2－5； (3)y＝3(x－ 1 )2＋ 3
2
1 (x－4)2； 3
4
.
1 1 解：(1)y＝－ (x－4)2 可由抛物线 y＝－ x2 向右平移 4 个单位得到． 3 3 (2)y＝－(x＋ 3)2 －5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个单位，再向下平移 5 个单位 得到． 1 2 3 1 3 2 (3)y＝3(x－ ) ＋ 可由抛物线 y＝3x 先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 2 4 2 4
y＝－8(x－ )2＋3 2
14. (7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使 △PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角 形．若H(0，－2)是抛物线y＝x2＋n的T型点，则n的取值范围是
浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1
浙教版数学九年级上册《1.2 二次函数的图象》教案1一. 教材分析《1.2 二次函数的图象》是浙教版数学九年级上册的一部分，本节课主要让学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系，能够通过图象解决一些实际问题。
教材通过实例引入二次函数的图象，使学生能够从实践中体会二次函数的图象特点，培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级时已经学习了二次函数的定义和性质，对二次函数有一定的认识。
但学生的知识水平参差不齐，部分学生对二次函数的理解不够深入，对二次函数的图象认识不足。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，通过实例引导学生观察、分析，让学生在实践中掌握二次函数的图象特点。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的图象与系数的关系。
2.能够通过图象解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、实践能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特点，二次函数的图象与系数的关系。
2.教学难点：如何通过图象解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数的图象，让学生在实践中感受二次函数的图象特点。
2.问题驱动法：引导学生观察、分析二次函数的图象，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究二次函数的图象与系数的关系，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察二次函数的图象。
2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图象。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的图象，例如：抛物线的形状是什么？抛物线的顶点在哪里？让学生思考并回答问题，从而引出本节课的主题。
2.呈现（15分钟）利用多媒体教学设备，展示几个二次函数的图象，如y=x2、y=x2-1、y=2x^2等。
引导学生观察这些图象的特点，如开口方向、顶点位置、对称轴等。
1.2 第2课时 二次函数的图象与性质
1．[2019·虹口区一模]如果抛物线 y＝(a＋2)x2 开口向下，那么 a 的取值范围为
( D) A．a＞2
B．a＜2
C．a＞－2
D．a＜－2
【解析】 ∵抛物线 y＝(a＋2)x2 开口向下，∴a＋2＜0，∴a＜－2.故选 D.
课件目录
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
1．二次函数 y＝ax2(a<0)的图象 为此设计了【归类探究】中的例 1；【当堂测评】中的第 4 题；【分层作业】中 的第 1,3,6,8,9 题． 2．二次函数 y＝ax2(a<0)的性质 此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例 2；【当堂测评】中的 第 1,2,3 题；【分层作业】中的第 2,4,5,7 题．
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
解：(1)把点 A(－2，－8)代入 y＝ax2， 得 a·(－2)2＝－8，解得 a＝－2. (2)开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)． (3)当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大． (4)由(1)知抛物线的解析式为 y＝－2x2，当 x＝－1 时，y＝－2≠－4，∴点 B(－ 1，－4)不在抛物线上．
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第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质
类型之二 二次函数 y＝ax2(a<0)的性质 在平面直角坐标系中作出 y＝－4x2 的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与 x 轴有交点吗？如果有，请写出交点坐标； (2)写出此抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？此时抛物线上这一部分图象 的趋势可简称为什么？当 x>0 时呢？ (4)当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？
二次函数的图象与性质(二)
4.已知二次函数 已知二次函数y=x2+ax+a-2. 已知二次函数 证明:不论 为何值,抛物线 不论a为何值 ⑴证明 不论 为何值 抛物线 y=x2+ax+a-2的顶点 总在 轴的下方 的顶点Q总在 轴的下方. 的顶点 总在x轴的下方 设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点， 轴交于点， ⑵设抛物线 与 轴交于点 如果过点C且平行于 且平行于x轴的直线与该抛 如果过点 且平行于 轴的直线与该抛 物线有两个不同的交点,并设另一个交 物线有两个不同的交点 并设另一个交 点为D.问 △ 能否是等边三角形? 点为 问:△QCD能否是等边三角形 能否是等边三角形 若能,请求出相应的二次函数解析式 请求出相应的二次函数解析式,若 若能 请求出相应的二次函数解析式 若 不能,请说明理由 请说明理由; 不能 请说明理由 的已知条件下,又设抛物线与 又设抛物线与x轴 ⑶在⑵的已知条件下 又设抛物线与 轴 的交点之一为A,则能使 则能使△ 的交点之一为 则能使△ACD的面积等 的面积等 于1/4的抛物线有几条 请证明你的结论. 的抛物线有几条?请证明你的结论 的抛物线有几条 请证明你的结论
3. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0). ⑴当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑵当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑶当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧
4. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0)，则对称轴是直 ， . 线x= 已知抛物线上有四个点（-3，m）， 已知抛物线上有四个点（ ， ）， ），（-6， ），（ ），（1， ）， （4，8），（ ，n），（ ，m）， ， ），（ . 则n=
九年级数学下二次函数1.2二次函数的图像与性质第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
解：由题意得 3a－2＜0，解得 a＜23. (3)抛物线 y＝(a＋2)x2 与抛物线 y＝－12x2 的形状相同．
由题意得|a＋2|＝－12，解得 a1＝－52，a2＝－32.
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线． 解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1. 又由题意知a＞0，∴a＝1.
x 的增大而增大，则 m 的值为( B )
A. 5
B．－ 5
C．± 5
D．－2
12．已知点 A(－1，y1)，B(－ 2，y2)，C(－2，y3)在二次函
数 y＝－x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是( A )
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1
D．y2>y1>y3
14．函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为____0____，最小值 为___－__4___．
【易错总结】本题易忽略在取值范围中当x＝0时取得 最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
15．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值． 解：根据题意，得mm2＋＋33≠m0，－2＝2， 解得mm＝≠－－34. 或m＝1， ∴m＝－4 或 m＝1.
17 见习题
18 见习题
答案显示
1．二次函数 y＝2πx2 的图象沿 x 轴翻折后的图象的表达式为
( C) A．y＝21πx2
B．y＝2xπ2
C．y＝－2πx2
D．y＝πx2
2．已知二次函数y＝－2x2，当x>0时，其图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件
小结 二次函数 ya(xh)2的图象及性质： (1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小； (3)对称轴两侧增减性。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
探究
三、观察三条抛物线： y
(5)增减性怎么样？
2 1
-3 -2 -1 0-1 1 2 3 x
-2
-3
y
1(x1)2---456y
2
-7
1 x2 y 21(x1)2
2
-8
归纳
二次函数 ya(xh)2的图象及性质：
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。
复习
二次函数 yax2 c的图象及性质：
3.当a<0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。
专题1.2 二次函数的图象【六大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.2 二次函数的图象【六大题型】【浙教版】【题型1 二次函数的配方法】 (1)【题型2 二次函数的五点绘图法】 (4)【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 (9)【题型4 二次函数图象的平移变换】 (12)【题型5 二次函数图象的对称变换】 (14)【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】 (16)【题型1 二次函数的配方法】【例1】（2022秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y=12x2﹣2x+3；（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：（1）y=12x2﹣2x+3=12（x﹣2）2+1，开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）；（2）y＝（1﹣x）（1+2x）＝﹣2x2+x+1＝﹣2（x―14）2+98，开口向下，对称轴是直线x=14，顶点坐标（14，98）．【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．（1）y＝2x2﹣8x+7；（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；（3）y＝2x2﹣12x+8；（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．【分析】（1）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（2）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标；（4）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称轴、顶点坐标．【解答】解：（1）y＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）；（2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+7＝﹣3（x+1）2+10，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，10）；（3）y＝2x2﹣12x+8＝2（x2﹣6x+9﹣9）+8＝2（x﹣3）2﹣10，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣10）；（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）＝﹣3（x2﹣2x﹣15）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1﹣15）＝﹣3（x﹣1）2+16 3，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，163）．【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k的形式，并写出他们顶点坐标及最大值或最小值．（1）y＝﹣2x﹣3+1 2 x2（2）y＝﹣2x2﹣5x+7（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的顶点坐标及最值．【解答】解：（1）y＝﹣2x﹣3+1 2 x2=12（x2﹣4x+4）﹣2﹣3=12（x﹣2）2﹣5，顶点坐标是（2，﹣5），最小值是﹣5；（2）y＝﹣2x2﹣5x+7＝﹣2（x2+52x+2516）+258+7＝﹣2（x+54）2+818，顶点坐标是（―54，818），最大值是818；（3）y＝ax2+bx+c＝a（x2+bax+b24a2）―b24a+c＝a（x+b2a）2+4ac b24a，顶点坐标是（―b2a，4ac b24a），当a＜0时，最大值是4ac b24a；当a＞0时，最小值是4ac b24a．【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0时，5a2+1有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，所以﹣5（a2+1）+6≤6有最大值1，即当a＝1时，﹣5（a2+1）+6有最大值6．（1）当x＝ 2 时，代数式﹣3（x﹣2）2+4有最 大 （填写大或小）值为 4 ．（2）当x＝ 2 时，代数式﹣x2+4x+4有最 大 （填写大或小）值为 8 ．（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x＝2时，代数式的最大值为4；（2）将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式的最大值及此时x的值；（3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为14m，表示出平行于墙的一边为（14﹣2x）m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积的最大值及此时x的值．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2≥0，∴当x＝2时，（x﹣2）2的最小值为0，则当x＝2时，代数式﹣3（x﹣2）2+4的最小值为4；（2）代数式﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，则当x＝2时，代数式﹣x2+4x+4的最大值为8；（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（14﹣2x）m，∴花园的面积为x（14﹣2x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2﹣7x+494）+492=―2（x―72）2+492，则当边长为3.5米时，花园面积最大为492m2．故答案为：（1）2，大，4；（2）2，大，8；【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…52125…（1）求该二次函数的表达式；（2）当x＝6时，求y的值；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系数法即可解决问题．（2）把x＝6代入（1）中的解析式即可．（3）利用描点法画出图象即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，∵x＝0时，y＝5，∴5＝4a+1，∴a＝1，∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝6时，y＝（6﹣2）2+1＝17．（3）函数图象如图所示，．【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3（1）求出该抛物线顶点坐标．（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．x……y……【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；（2）利用描点法画出二次函数的图象．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）；（2）如图所示：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…．【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2的图象经过（﹣1，1）．（1）求出这个函数的表达式；（2）画出该函数的图象；（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．【分析】（1）直接把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2中求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）利用描点法画函数图象；（2）根据二次函数的性质求解．【解答】解：（1）把（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2得a﹣2＝1，解得a＝3，所以抛物线解析式为y＝3x2﹣2；（2）如图：（3）抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，﹣2），对称轴为y轴．【变式2-3】（2022•越秀区模拟如图，已知二次函数y=―12x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点；（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．【分析】（1）根据图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，把两点代入即可求出b 和c ，（2）把二次函数写成顶点坐标式，据此写出顶点坐标，对称轴等，（3）在坐标轴中画出图象即可．【解答】解：（1）∵的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点，∴―2+2b +c =0c =―6，解得b ＝4，c ＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y =―12x 2+4x ―6，（2）y =―12x 2+4x ―6=―12（x 2﹣8x +16）+8﹣6=―12（x ﹣4）2+2，∴二次函数图象的顶点坐标为（4，2）、对称轴为x ＝4、二次函数图象与x 轴相交时：0=―12（x ﹣4）2+2，解得：x ＝6或2，∴另一个交点为：（6，0），（3）作图如下．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3】（2022春•玉山县月考）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；故选：C．【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象得出a，b的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答案．【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．故选：C．【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（ ）A．B．C．D．【分析】由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x=―k2a在y轴的右侧，交y轴的负半轴，∴B选项正确，故选：B．【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4的图象是如图中三个图象之一，则m的值为（ ）A．2B．±2C．﹣3D．﹣2【分析】可根据函数的对称轴，以及当x＝0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．【解答】解：∵y＝mx2+nx+m2﹣4，∴x=―n2m，因为n＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图不正确．二，三两个图都过原点，∴m2﹣4＝0，m＝±2．第二个图中m＞0，开口才能向上．对称轴为：x=―n2m＞0，所以m可以为2．第三个图，m＜0，开口才能向下，x=―n2m＜0，而从图上可看出对称轴大于0，从而m＝﹣2不符合题意．故选：A．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝ 3 ．【分析】先得到抛物线y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5），通过点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式，再把解析式化为一般式即可得到a、b和c的值．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+5，∴顶点坐标为（3，5），把点（3，5）先向左平移2个单位再向下平移2个单位得到点的坐标为（1，3），∴原抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，∴a＝1，b＝﹣2，c＝4．∴a+b+c＝3，故答案为3．【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（ ）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），所以将顶点（3，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点（2，3），即将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象．故选：C．【变式4-2】（2022秋•滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 2 ．【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后整体代入求值即可．【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点（0，﹣1），则k的值为（ ）A．3B．4C．2D．6【分析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式，利用待定系数法求得k的值．【解答】解：由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．∵对称轴为直线x＝2，∴1a2=2．解得a＝3．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴抛物线向下平移k个单位后经过（0，﹣1），∴﹣1＝3﹣k．∴k＝4．故选：B．【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．﹣5B．3C．5D．15【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，∴﹣y＝﹣x2﹣（2a﹣b）x﹣b﹣1，∴―(2a―b)=a+b ―b―1=a―4，解得a＝0，b＝3，∴a+b＝3，故选：B．【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 y＝﹣（x﹣2）2 ．【分析】写出顶点关于y轴对称的点，把它作为所求抛物线的顶点，这样就可确定对称后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2顶点坐标为（﹣2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，∴抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2．故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【分析】先利用配方法得到抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），再写出点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），由于旋转180°，抛物线开口相反，于是得到抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标为（﹣1，2），点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2），所以抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．故选：A．【变式5-3】（2022春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度，则k的值是（ ）A．﹣1或3B．1或﹣2C．1或3D．1或2【分析】先求出抛物线L1的顶点坐标，再根据顶点相距8个单位长度列方程即可解得答案．【解答】解：∵y＝kx2+4kx+8＝k（x+2）2+8﹣4k，∴抛物线L1：y＝kx2+4kx+8顶点为（﹣2，8﹣4k），∵抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与抛物线L2关于x轴对称，它们的顶点相距8个单位长度，∴8﹣4k=82或8﹣4k=―82，解得k＝1或k＝3，故选：C．【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．a＝0【分析】把（0，0）代入函数解析式求出a的值，再由a﹣1≠0求解．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1得0＝a2﹣1，解得a＝1或a＝﹣1，∵a﹣1≠0，∴a＝﹣1，故选：C．【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 7或15 ．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，可知顶点的纵坐标的绝对值是4，然后计算即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，∴|4×1×(c2)(6)24×1|＝4，解得c1＝7，c2＝15，故答案为：7或15．【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B （m+3，n）均在二次函数图象上，求n的值为 4 ．【分析】根据题意得出b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A 的坐标代入即可求得n的值．【解答】解：∵点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，∴―b2=m1m32，∴b＝﹣2（m+1），∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，∴b2﹣4c＝0，∴[﹣2（m +1）]2﹣4c ＝0，∴c ＝（m +1）2，∴y ＝x 2﹣2（m +1）x +（m +1）2，把A 的坐标代入得，n ＝（m ﹣1）2﹣2（m +1）（m ﹣1）+（m +1）2＝4，故答案为：4．【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y ＝x 2+mx +m ﹣1，根据下列条件求m 的值．（1）图象的顶点在y 轴上．（2）图象的顶点在x 轴上．（3）二次函数的最小值是﹣1．【分析】（1）将二次函数配方成顶点式y ＝（x +m 2）2―m 24m 44，由图象的顶点在y 轴上可得―m 2=0，即m ＝0；（2）由图象的顶点在x 轴上可得m 24m 44=0，解之即可；（3）由二次函数的最小值是﹣1可得―m 24m 44=―1，解之即可．【解答】解：（1）y ＝x 2+mx +m ﹣1＝x 2+mx +m 24―m 24+m ﹣1＝（x +m 2）2―m 24m 44，∴抛物线的顶点坐标为（―m 2，―m 24m 44）∵图象的顶点在y 轴上，∴―m 2=0，即m ＝0；（2）∵图象的顶点在x 轴上，∴m 24m 44=0，解得m ＝2；（3）∵二次函数的最小值是﹣1，∴―m 24m 44=―1，解得：m ＝0或m ＝4．。
1.2二次函数的图象(2)课件
特征：函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标是_(－___m_，__0)，对 称轴是直线__x_＝__－_m_____．图象的开口方向与函数y＝ax2的图
象__相__同_____．
解：(1)顶点(－1，－4)，开口向上，对称轴为直 线x＝－1； (2)y＝(x－1)2； (3)y＝(x＋1)2－ 4向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
课堂总结
1．二次函数y＝a(x＋m)2(a≠0)型的图象及其特征 平移：(1)一般地，函数y＝a(x＋m)2(a≠0)的图象与函数 y＝ax2的图象只是位置不同，它可由y＝ax2的图象
对称轴是 __直__线__x_=_-_m____，
顶点坐标是 _(_-_m_,__k_)___。
函数y=a(x+m)2+k的图象的性质： 一般地函数y=a(x+m)2+k的图象，函数y=ax2的图象只是位置不同，
(1)可以由y=ax2的图象先向右（当m＜0）或向左（当m＞0）平移 ∣m∣个单位，再向上（当k＞0）或向下（当k＜0）平移∣k∣个单位 得到，
(2)顶点坐标是（-m，k），对称轴是直线x＝-m， (3)图象在x轴的上方还是下方，开口方向向上还是向下等性质由 y=ax2来决定的。
记忆方法:
1. 左加右减 2.根据顶点坐标的变化(0,0)
(-m.0)
课堂练习
1．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，再向右平移2个单
位，所得到的抛物线为( B )
【点悟】 解此类题可以将不同形式的解析式
统一为y＝a(x＋m)2＋k的形式，便于解答．
第三讲二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象2021年新九年级数学暑假课程(浙教版)(原卷版)
第三讲 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象1.2二次函数的图象（2）【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象.2.会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式； 3掌握二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系。
【基础知识】一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向 向上 向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系项目 字母字母的符号 图象的特征 a a ＞0 开口向上 a ＜0 开口向下 bab ＞0(a ，b 同号) 对称轴在y 轴左侧 ab ＜0(a ，b 异号)对称轴在y 轴右侧 cc=0图象过原点 c ＞0 与y 轴正半轴相交 c ＜0 与y 轴负半轴相交 b 2-4acb 2-4ac=0与x 轴有唯一交点 b 2-4ac ＞0 与x 轴有两个交点 b 2-4ac ＜0与x 轴没有交点【考点剖析】考点一：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象例1．已知函数2y ax bx c =++的图象经过点（0，3），c 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3例2．二次函数(2)(4)y x x =+-的对称轴是 （ ）A ．直线x=-2B ．直线x=-4C ．直线x=1D ．直线x=-1例3．二次函数2287y x x =++的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．例4．抛物线2(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(-1，8)B ．(1，-8)C ．(-1，-3)D ．(1，3)考点二：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象综合问题例5．如果抛物线224y x x m =-+的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m 的值是（ ）A ．5B ．－3C ．－9D ．－1例6．在平面直角坐标系中，将抛物线212y x =-向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )A ．21322y x x =---B ．21122y x x =-+- C ．21322y x x =-+-D ．21122y x x =---例7．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x 7- 6- 5- 4-3-2-y27- 13-3-353则当1x =时，y 的值为（ ） A ．5B ．3-C ．13-D ．27-例8．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【过关检测】一、单选题1．二次函数y ＝x 2+6x +1图象的对称轴是（ ） A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝422．用配方法将二次函数289y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．2(4)7y x =-+ B ．2(4)25y x =-- C ．2(4)7y x =++D ．2(4)25y x =+-3．二次函数y ＝x 2+x ﹣2的图象与x 轴交点的横坐标是（ ） A ．2和﹣1B ．﹣2和1C ．2和1D ．﹣2和﹣14．在同一平面直角坐标系中，将函数2241y x x =+-的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位长度，得到新图象的顶点坐标是（ ） A ．()3,4--B ．()1,4-C ．()1,3-D ．()1,3--5．抛物线2257y x x =--+的顶点在（ ） A ．第一象限B ．x 轴上C ．第二象限D ．y 轴上6．二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中( ) A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，－1)D ．(1，1)7．抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限( ) A ．一 B ．二C ．三D ．四8．设函数的图象如图所示，它与轴交于A 、B 两点，线段OA 与OB 的比为1∶3，则的值为（ ）A ．或2B ．C ．1D ．29．如图，抛物线2y ax bx c =++与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0a c +=；②0b =；③1-=ac ；④2c S ABE =∆其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．已知抛物线m x m x y +-+=)1(52与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于4925，则m 的值为（ ） A ．－2B ．12C ．24D ．－2或2411．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么（ ）A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜012．已知：如图所示，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1，与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且OB =OC ，则下列结论正确的个数是（ ）①b =2a ②a ﹣b +c ＞﹣1 ③0＜b 2﹣4ac ＜4 ④ac +1=b ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．二次函数223y x x =--+的图象的顶点坐标是_________．14．将二次函数223y x x =-+化成2()y x h k =-+的形式，则y =__________．15．把抛物线2y ax bx c =++先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为235y x x -=-，则a+b+c=___________。