最新雅礼中学理科实验班招生考试试题(数学)
雅礼中学理科数学试题(八)+解析
3
20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点是椭圆 该椭圆右焦点重合。 （Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
x2 y2 1 的中心，且焦点与 43
（Ⅱ）若 P(a,0) 为 x 轴上一动点，过 P 点作直线交抛物线 C 于 A、B 两点。
（ⅰ）设 SAOB t tan AOB, 试问：当 a 为何值时，t 取得最小值，并求此最小值。
3.下列说法正确的是（ ）
A. a R," 1 1" 是 "a 1" 的必要不充分条件 a
B. “ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的必要不充分条件
C. 命题 "x R ,使得 x2 2x 3 0" 的否定是 "x R , x2 2x 3 0"
D.命题 p : "x R, sin x cos x 2 "，则 p 是真命题
4. 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入 a 的值
为16 ， b 的值为 24 ，则执行 该程序框图输出的结果为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5. 已知直线 a 与直线 b 垂直， a 平行于平面 ，则 b 与平面 的位置关系是（ ）
A． b //
B． b
C． b 与平面 相交 D．以上都有可能
1 b2
1
11. 如图，在 ABC 中， AD AB, BC 3BD, AD 1，
则 AC AD 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．已知抛物线 C ： y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点，直线 PF 与曲线 C 相
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考(二)数学试题(含答案)
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。
2022-2023雅礼实验中学 初三入学考试 数学试卷(含答案)
雅礼实验中学2022-2023年九年级上学期入学考试一．选择题（每小题3分，共30分）1.下列是一元二次方程的是（）A.﹣5x +2＝1B.2x 2﹣y +1＝0C.x 2+2x ＝0D.x 2﹣21x ＝02.为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A.中位数B.平均数C.众数D.加权平均数3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若∠B ＋∠C ＝90°，则下列等式中成立的是（）A .a 2＋b 2＝c 2B.b 2＋c 2＝a 2C.a 2＋c 2＝b 2D.b ＋c ＝a4.一次函数y ＝－3x －2的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是直线(1)2y m x =-+上的两点，当12x x <时，有12y y >，则m 的取值范围是()A.1m > B.1m < C.1m ≠ D.0m <6.将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）.A.22(2)3y x =++； B.22(2)3y x =-+；C.22(2)3y x =--；D.22(2)3y x =+-.7.如图，矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，120,2∠=︒=AOB AD ，则矩形ABCD 的面积是（）A.2B. C. D.88.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5cm ，接着把活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC 的长为（）A.5cmB.C.10cmD.15cm9.新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x 人，则x 为（）A.14B.15C.16D.1710.如图所示是抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为()1,n ，且与x 轴的一个交点在点()3,0和()4,0之间，则下列结论：其中正确的结论个数是（）①0a b c -+>；②30a c +>；③()24b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=+没有实数根．A .1个B.2个C.3个D.4个7题图8题图10题图二．填空题（每小题3分，共18分）11.若函数12m y x +=是正比例函数，则常数m 的值是___________．12.数组3，5，6，7，9的方差是____．13.菱形的两条对角线的长是方程x 2﹣7x +4＝0的两根，则菱形的面积是_____________．14.函数y ＝kx 与y ＝6﹣x 的图象如图所示，则不等式6﹣x ≥kx 的解集为_____．15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，F 为DE 的中点，连接BF ，若BF ＝3，则BC 的长为_______________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且BD=14AB ，则PA+PD 的最小值为________．14题图15题图16题图三．解答题（共9小题，共72分）17.计算：()113.1412π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭．18.解方程：（1）2230x x +-=；（2）22540x x -+=19.如图，一次函数3y x =+的图象1l 与x 轴相交于点B ，与过点()3,0A 的一次函数的图象2l 相交于点()1,C m ．（1）求一次函数图象2l 相应的函数表达式；（2）求ABC 的面积．20.为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）这个班共有男生________人，共有女生________人；（2）求初二1班女生体育成绩的众数是________，男生体育成绩的中位数是________；（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A 等，试估计全年级体育测试成绩达到A 等的有多少名学生？21.已知关于x 的一元二次方程()230x mx m --﹣＝．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x 、2x ，且22121213x x x x +﹣＝，求m 的值．22.如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 上任意一点，连接CE ，点F 为CE 的中点，过点F 作MN CE ⊥，MN 与AB 、CD 分别相交于点M 、N ，连接CM 、EN ．（1）求证：四边形CNEM 为菱形；（2）若10AB =，4=AD ，当2AE =时，求EM 的长．23.“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x （元/千克）12162024日销售量y （千克）220180140m（注：日销售利润=日销售量⨯（销售单价-成本单价）（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）根据以上信息，填空：①m=_______千克；②当销售价格x=_______元时，日销售利润W最大，最大值是_______元；（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．24.二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线y m，我们称y m叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为，这个抛物线的2阶变换的表达式为．（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．①二次函数M的函数表达式为．②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC 是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．25.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，10速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0t（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：；（直接填空，不用说理）（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1.C2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.B9.A10.D二．填空题（每小题3分，共18分）11.012.413.214.x ≤215.16.三．解答题（共9小题，共72分）17.解：原式)121121=+--=+-=18.（1）2230x x +-= ，(3)(1)0x x ∴+-=，则30x +=或10x -=，解得123,1x x =-=；（2）22540x x -+=a =2，b =－5，c =4，()25424253270=--⨯⨯=-=-< ∴方程无实数根．19.（1）解：（1）∵点()1,C m 在一次函数3y x =+的图象上，∴134m =+=，∴点()1,4C ，设一次函数图象2l 相应的函数表达式为y kx b =+，把点()3,0A ，()1,4C 代入得：304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数图象2l 相应的函数表达式26y x =-+；（2）解：∵一次函数3y x =+的图象1l 与x 轴交于点B ，∴当0y =时，03x =+，解得3x =-，∴()3,0B -，∵()3,0A ，()1,4C ，∴6AB =，∴164122ABC S =⨯⨯= ．20.（1）解：由男生的条形统计图得：男生人数为：12635320+++++=人，则女生为452025-=人，∴这个班共有男生20名，女生25名；（2）从扇形统计图中可以看出，8分的占比最多28%，因此女生的众数为8分，男生20人的成绩从小到大排列后处于第10、11位的两个数都是8分，因此男生的中位数是8分，∴女生的众数是8分，男生的中位数是8分；（3）∵25×（20%+16%）=9，∴女生中9人为A ，又∵男生中8人为A ，∴1790034045⨯=，∴全年级A 等的销售人数大约有人．21.（1）证明：关于x 的一元二次方程()230x mx m --﹣＝，∵()21m ﹣≥0，∴()()234m m -∆⨯-＝﹣2694m m m ++-＝2218m m +-+＝()2180m +>＝﹣，则方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：12123x x m x x m =+-=-，，∵22121213x x x x -=+，∴()21212313x x x x =+-，即()23313m m -+＝，整理得：2340m m -﹣＝，即()()410m m -+=，所以m ﹣4＝0或m +1＝0，解得：m ＝4或m ＝﹣1．22.（1）证明：矩形ABCD 中，AB DC ∥，∴MEF NCF ∠=∠，EMF CNF ∠=∠．又∵点F 为CE 的中点，∴EF CF =．∴EFM CFN △≌△，∴EM CN =．∴四边形CNEM 为平行四边形．∵MN CE ⊥，∴四边形CNEM 为菱形．（2）解：在菱形CNEM 中，设ME MC x ==，∵10AB =，2AE =，∴1028BM x x =--=-．∵矩形ABCD 中，90B Ð=°，4BC =．∴222MC MB BC =+，∴()22284x x =-+．∴5x =．即5EM =．23.解：（1）设y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，将（12，220），（16，180）代入得：2201218016k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得10340k b =-⎧⎨=⎩．∴y=-10x+340；（2）①∵当x=24时，y=-10×24+340=100，∴m=100．故答案为：100；②由题意得：W=（-10x+340）（x-8）=-10x 2+420x-2720=-10（x-21）2+1690，∵-10＜0，∴当x=21时，W有最大值为1690元．故答案为：21，1690；（3）由题意得：W=-10x2+420x-2720-100≥1500，∴x2-42x+432≤0，当x2-42x+432=0时，解得：x1=18，x2=24，∵函数y=x2-42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，∴18≤x≤24，∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．24.解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，故答案为（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，﹣1），则函数M的顶点为：（﹣1，1），则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1，故答案为y＝﹣（x+1）2+1；②存在，理由：y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，故点B（﹣2，0），而点A（﹣1，1），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：{0=-21k b k b+=-+，解得：{12k b==，故直线AB的函数表达式为：y＝x+2，y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，∵直线AB的倾斜角为45°，则DP＝22 PH，设点P（x，x2﹣2x+6），则点H（x，x+2），DP＝22PH＝22（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝22（x2﹣3x+4），∵22＞0，故DP有最小值，此时x＝32，故点P（32，214）；（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，则点A（﹣1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，故点C（1，m﹣4），则AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，当AB＝AC时，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；当AB＝BC时，同理可得：m＝8或2，故m的值为：或8或8或2．25.（1）解：四边形EGFH是平行四边形，理由如下：由题意得：AE=CF=t，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠GAE=∠HCF，∵G，H分别是AD，BC中点，∴AG=12AD，CH=12BC，∴AG=CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG=FH，∠AEG=∠CFH，∴∠FEG=∠EFH，∴EG∥HF，∴四边形EGFH是平行四边形．故答案为：四边形EGFH是平行四边形．（2）解：如图1，连接GH，由（1）得AG=BH，AG∥BH，∠B=90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH=AB=6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF=GH=6，∵AE=CF=t，∴EF=10-2t=6，∴t=2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF=GH=6，AE=CF=t，∴EF=t+t-10=2t-10=6，∴t=8；综上，四边形EGFH为矩形时t=2或t=8．（3）解：如图3，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，M为AD边的中点，N为BC边和中点，∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，∴OA=OC，AG=AH，∴四边形AGCH为菱形，∴AG=CG，设AG=CG=x，则DG=8-x，由勾股定理可得：AB2+BG2=AG2，即：62+（8-x）2=x2，解得：x=25 4，∴MG=AG-AM=254-4=94，即t=94，∴当四边形EGFH为菱形时，t=9 4．。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三(下)月考数学试卷(理科)(五)(附答案详解)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（五）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.设复数z满足z(1+i)2=4i，则复数z的共轭复数z−=()A. 2B. −2C. −2iD. 2i2.已知命题p：∀x∈R，x2−2x+3≥0；命题q：若a2<b2，则a<b，下列命题为假命题的是()A. p∨qB. p∨(￢q)C. ￢p∨qD. ￢p∨(￢q)3.已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A. 20B. 30C. 40D. 504.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了()A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且c=2a，则sinB的值为()A. 34B. √74C. 1D. √336.执行如图所示的程序框图，若输出的k=6，则输入整数p的最大值是()A. 32B. 31C. 15D. 167.已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为y∧=1.3x−1，则m的值为()x 1 2 3 4 y0.11.8m4A. 2.9B. 3.1C. 3.5D. 3.88. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，直线y =√3x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为( ) A. √2−12B. √2−1C. √3−12D. √3−19. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 3 B. 8 C. 12 D. 1610. 通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N(3000,502).则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )(参考数据：若X ～N(μ,σ2)，有P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.0456B. 0.6826C. 0.9987D. 0.977211. 在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②④12. 已知P ={α|f(α)=0}，Q ={β|g(β)=0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α−β|<n ，则称函数f(x)与g(x)互为“n 距零点函数”若f(x)=log 2020(x −1)与g(x)=x 2−ae x (e 为自然对数的底数)互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A. (1e 2,4e ]B. (1e ,4e 2]C. [4e 2,2e )D. [4e 3,2e 2)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. ∫|30x −1|dx =______．14. 已知函数y =cosx 与y =sin(2x +φ)(0<φ<π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是______．15.一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______(用数字回答)．16.已知α,β,γ∈(0,π2)，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ(0<θ<π)后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．(1)求曲线Γ长度；(2)当θ=π2时，求点C1到平面APB的距离；(3)是否存在θ，使得二面角D−AB−P的大小为π4？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n>0，S n2=a n+12−λS n+1，其中λ为常数．(1)证明：S n+1=2S n+λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19.如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：(1)求y1+y2的值；(2)若直线AB在y轴上的截距b∈[−1,3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．20.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.05k00.4550.7081.3232.0722.7063.84121. 已知函数f(x)=xlnx +ax +1，a ∈R ．(1)当时x >0，若关于x 的不等式f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围； (2)当n ∈N ∗时，证明：n2n+4<ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n<nn+1．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t 曲线C 的参数方程为{x =1cosϕy =2tanϕ．(1)求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；(2)若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的值．23. (1)已知a ，b ，c 都是正实数，证明：b a +a b+c +cb ≥2；(2)已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+c x+y+z的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由z(1+i)2=4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z−=2．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵x2−2x+3=(x−1)2+2>0，∴命题p：∀x∈R，x2−2x+3≥0为真命题；由a2<b2，不一定有a<b，如a=1，b=−2，则命题q：若a2<b2，则a<b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨(￢q)为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨(￢q)为真命题．故选：C．利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得：2n=32，(1+a)n=243，解得n=5，a=2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k(x3)5−k(2x)k=2k∁5k x15−4k，令15−4k=7，解得k=2．∴x7的系数=22∁52=40．故选：C．由题意可得：2n=32，(1+a)n=243，解得n，a.再利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12.由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12， ∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1=192，∴第三天走了a 3=a 1×(12)2=192×14=48． 故选B ．5.【答案】B【解析】解：由题意可得，sin 2B =sinAsinC ， 由正弦定理可得，b 2=ac ， 又c =2a ，则可得b =√2a ， 由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sinB =√1−916=√74．故选：B ．由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 S k 循环前/1 1第二圈 是 4 3 第三圈 是 8 4 第四圈 是 16 5 第五圈 是 32 6 第六圈 否可得：范围16<p ≤32，即输入整数p 的最大值是32． 故选：A ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k 的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.【答案】B【解析】解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y ∧=1.3x −1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4=4×2.25， ∴m =3.1． 故选B ．利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，把b 2=a 2−c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围．解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得(3a 2+b 2)x 2=a 2b 2， 解得x =√3a 2+b 2，分别代入y =√3ab√3a 2+b 2，∴A(√3a 2+b 2√3ab √3a 2+b 2)，√3a 2+b 2√3ab√3a 2+b 2)， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c √3a 2+b2√3ab√3a 2+b 2)，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +√3a 2+b2√3ab√3a 2+b 2)，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2−a 2b 23a 2+b2−3a 2b 23a 2+b 2=0，∴c 2=4a 2b 23a 2+b 2，(1)把b 2=a 2−c 2代入(1)式并整理得4a 2c 2−c 4=4a 2(a 2−c 2)， 两边同除以a 4并整理得e 4−8e 2+4=0，解得e 2=4−2√3， ∴e =√3−1， 故选：D ．9.【答案】D【解析】解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[AB⃗⃗⃗⃗⃗ +4(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0+4×22=16； 故选：D ．结合已知得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 代入数量积的计算即可 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.【答案】D【解析】解：P(X ≤3100)=P(X ≤3000+2×50)=1−12[1−P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)]=0.9772，利用正态分布的对称性来求解．本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11.【答案】A【解析】解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|=b|PB|，设D(0,t)P(x,y)⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a=b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12.【答案】B【解析】解：易知函数f(x)只有一个零点2，故P={2}，由题意知|2−β|<1，即1<β<3.由题意知，函数g(x)在(1,3)内存在零点，由g(x)=x2−ae x=0，得x2=ae x，所以a=x2e x .记ℎ(x)=x2e x(x∈(1,3))，则ℎ′(x)=2xe x−e x x2(e x)2=x(2−x)e x,x∈(1,3)．所以当x∈(1,2)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x∈(2,3)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；所以ℎ(x)≤ℎ(2)=4e2，而ℎ(1)=1e,ℎ(3)=9e3>1e,1e<ℎ(x)≤ℎ(2)=4e2，所以实数a的值范围为(1e ,4e2]．故选：B．由g(x)=x2−ae x=0，得x2=ae x，即a=x2e x .构造函数ℎ(x)=x2e x(x∈(1,3))，结合导数可判断单调性，进而可求．本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题13.【答案】52【解析】解：∫|30x−1|dx=∫(11−x)dx+∫(31x−1)dx=(x−12x2)|01+(12x2−x)|13=52．故答案为：52将：∫|30x−1|dx转化成∫(11−x)dx+∫(31x−1)dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14.【答案】π3【解析】解：函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cosπ6=√32=sin(2×π6+φ)，所以：φ=π3(0<ϕ<π2)．故答案为：π3．直接利用函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】70【解析】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为C84=70．故答案为：70要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题16.【答案】√2【解析】解：由题意，知sin2α+sin2β+sin2γ=1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin2α+sin2β)=√2cosγ，同理sinβ+sinγ≤√2(sin2β+sin2γ)=√2cosα，sinγ+sinα≤√2(sin2γ+sin2α)=√2cosβ，≥√2．上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ所以cosα+cosβ+cosγ的最小值为√2．sinα+sinβ+sinγ故答案为：√2．根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin2α+sin2β)=√2cosγ，同理可得sinβ+ sinγ≤√2cosα，sinγ+sinα≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγ的最小值．sinα+sinβ+sinγ本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题．17.【答案】解：(1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．所以曲线Γ的长度为BD=√2π.(2)当θ=π时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，2故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．连接AP、BP，OP．由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．在Rt△OB1P中，OB1=1,B1P=B̂B1=π2，所以OP=√12+(π2)2=√π2+42．于是：B1H=OB1×B1POP=1×π2√π2+42=π√π2+4．所以，点C1到平面APB的距离为π√π2+4．(3)由于二面角D−AB−B1为直二面角，故只要考查二面角P−AB−B1是否为π4即可．过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．于是∠PQB1即为二面角P−AB−B1的平面角．在Rt△PB1Q中，B1Q=sinθ,B1P=B̂B1=θ．若∠PQB1=π4，则需B1P=B1Q，即sinθ=θ．令f(x)=sinx−x(0<x<π)，则f′(x)=cosx−1<0，故f(x)在(0,π)单调递减．所以f(x)<f(0)=0，即sinx<x在(0,π)上恒成立．故不存在θ∈(0,π)，使sinθ=θ．也就是说，不存在θ∈(0,π)，使二面角D−AB−B1为π4．【解析】(1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；(2)当θ=π2时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．(3)由于二面角D−AB−B1为直二面角，故只要考查二面角P−AB−B1是否为π4即可．本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=S n+1−S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1(S n+1−2S n−λ)=0，∴a n>0，∴S n+1>0，∴S n+1−2S n −λ=0；∴S n+1−2S n +λ(2)解：∵S n+1=2S n +λ，S n =2S n+1+λ(n ≥2)，相减得：a n+1=2a n (n ≥2)，∴{a n }从第二项起成等比数列， ∵S 2=2S 1+λ即a 2+a 1=2a 1+λ， ∴a 2=1+λ>0得λ>−1， ∴a n ={1,n =1(λ+1)2n−2,n ≥2，若使{a n }是等比数列则a 1a 3=a 22，∴2(λ+1)=(λ+1)2，∴λ=1经检验得符合题意．【解析】(1)利用已知条件通过a n+1=S n+1−S n ，推出S n+1(S n+1−2S n −λ)=0，然后证明：S n+1=2S n +λ；(2)求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：(1)点P(1,2)为抛物线y 2=2px(p >0)上一点，可得2p =4，即p =2，可得抛物线的方程为y 2=4x ，由题意可得y 12=4x 1，y 22=4x 2，k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=y 1−2y 124−1+y 2−2y 224−1=4y1+2+4y 2+2=0，则y 1+y 2=−4；(2)由题意可得y 12=4x 1，y 22=4x 2，相减可得(y 1−y 2)(y 1+y 2)=4(x 1−x 2)，则k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1，可设直线AB 的方程为y =−x +b(b ∈[−1,3])，联立抛物线方程y 2=4x ，可得x 2−(2b +4)x +b 2=0，△=(2b +4)2−4b 2=16(1+b)>0，且x 1+x 2=2b +4，x 1x 2=b 2， 则|AB|=√1+1⋅|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ，P(1,2)到直线AB 的距离为d =√2=√2，可得S △ABP =12|AB|⋅d =2(3−b)√1+b =√2⋅√(2+2b)(3−b)2≤√2⋅√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b =3−b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39．【解析】(1)由P 在抛物线上，将P 的坐标代入抛物线方程可得p ，进而点到抛物线方程，再由A ，B 的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；(2)由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB 的斜率，设直线AB 的方程为y =−x +b(b ∈[−1,3])，联立抛物线方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据所给条件，制作列联表如下：所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43>1.323，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；(2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ=m +n ， 根据已知条件可得ξ=1，2，3，4，5， P(ξ=1)=P(m =1,n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120，P(ξ=2)=P(m =1,n =1)+P(m =2,n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310，P(ξ=3)=P(m =1,n =1)+P(m =2,n =1)+P(m =3,n =0)=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715，P =(ξ=4)=P(m =2,n =2)+P(m =3,n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16；P(ξ=5)=P(m =3,n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160，所以ξ的分布列是：所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145．【解析】(1)根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43>1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． (2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ=m +n ，根据已知条件可得ξ=1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)≥0，得xlnx +ax +1≥0(x >0)．整理，得−a ≤lnx +1x 恒成立，即−a ≤(lnx +1x )min ． 令F(x)=lnx +1x .则F′(x)=1x −1x 2=x−1x 2．∴函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增． ∴函数F(x)=lnx +1x 的最小值为F(1)=1． ∴−a ≤1，即a ≥−1． ∴a 的取值范围是[−1,+∞)．(2)∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n 项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n 项和． ∴只需证明1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n<1n(n+1)即可．由(1)，当a =−1时，有xlnx −x +1≥0，即lnx ≥x −1x ． 令x =n+1n>1，即得lnn+1n>1−n n+1=1n+1．∴ln 2n+1n>(1n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln 2n+1n<1n(n+1)，即2ln√n+1n<√n √n+1=√n √n+1=√n+1n−√n n+1.(∗)现证明2lnx <x −1x (x >1)．构造函数G(x)=x −1x −2lnx(x ≥1)， 则G′(x)=1+1x 2−2x=x 2−2x+1x 2≥0．∴函数G(x)在[1,+∞)上是增函数，即G(x)≥G(1)=0． ∴当x >1时，有G(x)>0，即2lnx <x −1x 成立． 令x =√n+1n，则(∗)式成立．综上，得1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n <1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和，得n2n+4<ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n<nn+1．【解析】(1)由f(x)≥0，得xlnx +ax +1≥0(x >0).整理，得−a ≤lnx +1x 恒成立，即−a ≤(lnx +1x )min .令F(x)=lnx +1x .利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． (2)由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n 项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n 项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n<1n(n+1)即可．由(1)，当a =−1时，有xlnx −x +1≥0，即lnx ≥x −1x .令x =n+1n>1，即得lnn+1n>1−n n+1=1n+1.可得ln 2n+1n>(1n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2． 现证明ln 2n+1n<1n(n+1)，即2ln√n+1n<√n √n+1=√n √n+1=√n+1n−√nn+1.通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx <x −1x (x >1)．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)直线l 的普通方程为x +y −2=0，曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点(0,1)到直线l 的距离d =√22．(2)将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=23．【解析】(1)先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；(2)将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|求出|PA|⋅|PB|的值．本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(1)由三元基本不等式知，b a +a b+c +c b =b a +a b+c +b+c b−1≥3√ba ⋅a b+c⋅b+c b−1=2，当且仅当b a =a b+c =b+c b时取等号，∴b a +a b +c +c b≥2.. (2)由柯西不等式可得(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz)2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号， 可设ax =by =cz =k(k >0)，即a =kx ，b =ky ，c =kz ， ∴a 2+b 2+c 2=k 2(x 2+y 2+z 2)，∴4=9k 2，∴k =23， ∴a+b+cx+y+z =k =23．【解析】(1)直接利用三元基本不等式求出b a +a b+c +c b 的最小值，即可证明b a +a b+c +cb ≥2； (2)柯西不等式可得(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz)2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+cx+y+z 的值．本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。
雅礼高一实验班招生考试数学试卷
数学测试一考生注意：本试卷时量90分钟，满分100分一、填空题：（每小题5分，共50分）1112sin 452-⎛⎫--= ⎪⎝⎭。
2、已知实数,m n 满足2223418290,m n m n +--+=则m n +的平方根是 。
3、若12,x y +=的最小值等于 。
4、在ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH=AC ，则ABC ∠等于 度。
5、四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是 。
6、已知实数,,0,3,||||||x y z x y z xyz x y z ++==++满足则的最小值为 。
7、平面上的n 条直线恰有2011个交点，则n 的最小值为 。
8、从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是 。
9、如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC P ∠==是ABC 内一点，PA=3，PB=1，PC=2，则BPC 的面积是 。
第9题图 第10题图10、如图所示，直径为d 的一只圆盘没有任何滑动的沿一个直径为3d 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了 圈。
二、解答题：（共50分）11、（10分）已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实根为12,x x ，关于y 的方程220y ay b ++=的两个实根为12,y y 且1221104x y x y -=，求b 的最小值。
12、（10分）已知反比例函数2k y x=的图像与一次函数21y x =-的图像在第一象限内交于点A ，其中一次函数的图像过点()(),1,a b a b k ++和。
（1）求反比例函数的解析式；（2）请问在x 轴上是否存在点B ，使A O B 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的B 点坐标；若不存在，请说明理由。
13、（12分）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，点I 是他的内心，射线AI 、BI 各交对边于点D 、E ，射线AD 、BE 各交⊙O 于点M 、N ，求证：AM ID AN IB =。
雅礼中学高一理科实验班招生数学
雅礼中学高一理科实验班选拔考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分。
每小题均给出了A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的 结果如图所示。
如果记6的对面的数字为a ，2的对面的数字为b ，那么b a +的值为A ．3B ．7C ．8D ．112、右图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用） 由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车 票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。
下面 给出四个图像（如图所示）则A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C ．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D ．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3、已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则 实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<<4、记n S =n a a a +++Λ21，令12nnS S S T n+++=L ，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2006C ．2008D ．20105、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后1 1xyOA 1 1x yO A 1 1 xyO y1 1xO A A 1 1xyO ① ② ③④OD CBAFE D CBAxyE ODCBA 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且10=AB ，则CB 的 长为A ． 54B ．34C ． 24D ．46、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。
雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案
一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学 参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0， 可得，=f f f 2110)()()(， 所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(， 即=-f y f y )()(， 所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(， 即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(， 故+=-f x f x 24)()(， 即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4， 所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==， 即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==， 所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误； 对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ， 又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以//GM 平面AEF ， 又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ， 选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形， 选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△， 而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=， 则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩， 则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增， 故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =； 当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥， 又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒， 即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，， 又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分， 即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--， 因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--， 所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)， 故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-， 所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯， 所以3cos 22x xθ=-， 所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=， 所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-， 因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值， 所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=， 即52παβ+=或2πβα-=， 由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-， 又因为()220,3βαπ-∈， 所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=， 即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=， 当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意； 当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意； 当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。
湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷
3．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p ，则（ ）
A．p＞5B．p＝5
C．p＜5D．p与5的大小关系不确定
解析：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，
∴必有0＜a，b，c，d＜1
∵p ，
事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x） 的图象，
由 ，得b＜﹣2a，所以2a+b＜0；
由a﹣b+c＜0得（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0；
由a+b+c＞0得a+b＞﹣c＞0，因此（a+b）2﹣c2＞0，|b|＞|a|，b2﹣a2＞0．
综上所述，仅有（a+b）2﹣c2，b2﹣a2为正数．故选：A．
5．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（ ）
A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1
解析：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5＝＞x1＜x3，
同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10＝＞x1＜x2，
同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5＝＞x3＜x2．故选：C．
6．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是﹣1≤a ．
解析：不等式ax+3≥0的解集为：
（1）a＞0时，x ，正整数解一定有无数个．故不满足条件．
湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)试卷
2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二)一、选择题（每小题4分，共32分)1．(4分）当x＝时,代数式+的值是()A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣12．(4分）如果一直角三角形的三边为a,b，c,∠B＝90°，那么关于x的方程a(x2﹣1）﹣2cx+b （x2+1）＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况3．(4分)两年期定期储蓄的年利率为2。
25%，按照国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税,王大爷于2002年6月存入银行一笔钱,两年到期时,共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为（)A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元4．（4分)如图，MN是⊙O的直径，∠A＝20°,∠PMQ＝50°,以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形5．（4分）如图，AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．27．（4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196｜），则自变量x取1，2，3,4,…99，100这100个自然数时,函数和的值是（）A．540B．390C．194D．978．（4分)设x1,x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根,实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004,则ax12005+bx22005的值为（)A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003二、填空题（每小题4分,共32分）9．（4分)已知实数a满足|2002﹣a｜+＝a，则a﹣20022的值为．10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为．11．（4分）AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C′的位置,BC＝4，则BC′的长为．12．(4分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC，DP交AB于M,MQ交CD于N，则CN＝．13．（4分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．14．（4分）如图,ABCD和EBFG都是正方形,AB＝30cm，则阴影部分的面积为．15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为．16．(4分）如图，在△ABC中,∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°，则∠CED的度数为．三、解答题（每小题12分，共36分）17．（12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系,如图所示．(1）根据图象,求一次函数y＝kx+b的表达式;（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少？此时销售量是多少？18．(12分）如图，在⊙O的内接△ABC中,AB＝AC,D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．（1）求证：AB2＝AD•AP；（2）若⊙O的直径为25,AB＝20，AD＝15，求PC和DC的长．19．（12分）已知抛物线y＝x2+(2﹣m）x﹣2m（m≠﹣2）与y轴交于点A，与x轴交于点B、C(B点在C点的左边）．（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．(4分）当x＝时，代数式+的值是（)A．3B．1﹣2C．3﹣2D．2﹣1【考点】2C：实数的运算．【专题】11:计算题；511：实数．【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵x＝，∴x﹣2＜0，则原式＝｜x﹣2｜+1﹣x＝2﹣x+1﹣x＝3﹣2x＝3﹣2,故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（4分）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B＝90°，那么关于x的方程a（x2﹣1)﹣2cx+b（x2+1）＝0的根的情况为()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定根的情况【考点】AA:根的判别式;KQ：勾股定理．【专题】16:压轴题．【分析】根据勾股定理，确立a2+c2＝b2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系．【解答】解:∵∠B＝90°∴a2+c2＝b2化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a＝0∴△＝4c2﹣4（b2﹣a2）＝4c2﹣4c2＝0∴方程有两个相等实数根故选：A．【点评】总结：1、勾股定理：在直角三角形中,∠C＝90°，有a2+b2＝c22、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根;(3）△＜0⇔方程没有实数根3．（4分）两年期定期储蓄的年利率为2.25%，按照国家规定,所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款额为(）A．20000元B．18000元C．15000元D．12800元【考点】8A:一元一次方程的应用．【专题】12：应用题．【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元，根据本金×利率×时间×（1﹣税率）＝税后利息，列出方程求解即可．【解答】解：设王大爷2002年6月的存款额为x元,由题意，得x×2.25%×2×（1﹣20％）＝540，解得x＝15000．故选：C．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系．4．（4分）如图，MN是⊙O的直径,∠A＝20°,∠PMQ＝50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正六边形D．正十边形【考点】MM：正多边形和圆．【分析】首先根据圆周角定理得出∠POQ＝100°，进而利用等腰三角形的性质得出∠OPQ＝∠OQP,再由外角的性质得出∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，即可得出△POM是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案．【解答】解：连接QO，PO，如图所示；∵QO＝PO，∴∠OPQ＝∠OQP，∵∠PMQ＝50°,∴∠POQ＝100°,∴∠OPQ+∠OQP＝180°﹣100°＝80°,∴∠OPQ＝∠OQP＝40°，∴∠A+∠APO＝∠POM＝20°+40°＝60°，∵PO＝OM，∴△POM是等边三角形,∴PM＝OP＝OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选:C．【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识,根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．5．（4分）如图,AB＝AC，EA＝ED，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°,则∠B的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．不能确定【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝x，得到∠AED＝x+10°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠C＝x，∵AB＝AC,∴∠B＝∠C＝x，∴∠AED＝x+10°,∵EA＝ED,∴∠DAE＝∠EDA＝85°﹣x，∴x+x+（20°+85°﹣x）＝180°，∴x＝50°，∴∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目比较好，难度适中．6．（4分）已知非零实数a，b满足a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,则+的值等于（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE:配方法的应用．【分析】由a2+ab+b2+a﹣b+1＝0，两边乘2,进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质得出a、b的数值，代入求得答案即可．【解答】解：∵a2+ab+b2+a﹣b+1＝0,∴2a2+2ab+2b2+2a﹣2b+2＝0,∴（a2+2ab+b2）+(a2+2a+1)+（b2﹣2b+1）＝0，∴（a+b）2+（a+1)2+（b﹣1）2＝0,∴a+b＝0，a+1＝0,b﹣1＝0，解得a＝﹣1,b＝1，∴+＝0．故选：B．【点评】此题考查配方法的运用，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．7．(4分）若函数y＝（x2﹣100x+196+|x2﹣100x+196|），则自变量x取1，2,3，4，…99,100这100个自然数时，函数和的值是（）A．540B．390C．194D．97【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将x2﹣100x+196分解为:（x﹣2）（x﹣98）,然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x＝1，99，100时的函数值即可．【解答】解:∵x2﹣100x+196＝（x﹣2）（x﹣98）∴当2≤x≤98时，|x2﹣100x+196｜＝﹣（x2﹣100x+196）,当自变量x取2到98时函数值为0，而当x取1，99，100时，｜x2﹣100x+196|＝x2﹣100x+196，所以，所求和为（1﹣2）（1﹣98)+(99﹣2）（99﹣98)+（100﹣2）（100﹣98）＝97+97+196＝390．故选:B．【点评】本题考查函数值的知识,有一定难度，关键是将x2﹣100x+196分解为：(x﹣2）(x ﹣98)进行解答．8．（4分)设x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根，实数a，b满足：ax12003+bx22003＝2003,ax12004+bx22004＝2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005B．2003C．﹣2005D．﹣2003【考点】AB：根与系数的关系．【专题】11：计算题．【分析】由根与系数关系，x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得：x1+x2＝2003，x1×x2＝2005；化简式子ax12005+bx22005的值为：（x1+x2)（ax12004+bx22004)﹣x1x2（ax12003+bx22003）；将x1+x2＝2003，x1×x2＝2005,ax12003+bx22003＝2003，ax12004+bx22004＝2004代入即可得出结果．【解答】解：x1，x2是方程x2﹣2003x+2005＝0的两个实根可得:x1+x2＝2003，x1×x2＝2005，故ax12005+bx22005＝（x1+x2)（ax12004+bx22004）﹣x1x2（ax12003+bx22003），＝2003×2004﹣2005×2003，＝﹣2003．故选：D．【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简,难度中等，关键要掌握x1,x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．二、填空题（每小题4分，共32分）9．（4分）已知实数a满足|2002﹣a|+＝a，则a﹣20022的值为2003．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的范围，把原式变形,计算即可．【解答】解：由题意得，a﹣2003≥0,则a≥2003，原式变形为:a﹣2002+＝a，则＝2002，∴a＝20022+2003,则a﹣20022＝2003．故答案为：2003．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键．10．(4分）如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD的长为2cm．【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ:勾股定理；M2：垂径定理．【专题】2B:探究型．【分析】过点O作OF⊥CD，连接OD，由AE＝1cm，EB＝5cm可求出圆的半径，进而可得出OE的长，在Rt△OEF中根据∠DEB＝60°及OE的长可求出OF的长，在Rt△ODF中利用勾股定理可求出DF的长,进而可得出CD的长．【解答】解：过点O作OF⊥CD，连接OD，∵AE＝1cm,EB＝5cm，∴AB＝AE+EB＝1+5＝6cm，∴OA＝OD＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2cm，在Rt△OEF中∠DEB＝60°，OE＝2cm，∴OF＝OE•sin∠DEB＝2×＝cm,在Rt△ODF中，DF＝＝＝cm，∵OF⊥CD,∴CD＝2DF＝2×＝2cm．故答案为:2cm．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（4分)AD是△ABC的中线,∠ADC＝45°，把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C′的位置，BC＝4，则BC′的长为2．【考点】PB：翻折变换(折叠问题）．【分析】由折叠得∠BDC′＝90°，C′D＝2，得△BDC′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BC′的长．【解答】解：如图，由折叠得：△ACD≌△AC′D,∴∠ADC＝∠ADC′＝45°，DC＝DC′，∴∠BDC′＝90°，∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD＝BC＝×4＝2，∴BD＝DC＝DC′＝2，∴△BDC′是等腰直角三角形,∴BC′＝＝＝2．【点评】本题是折叠问题，考查了折叠的性质和三角形中线的定义，明确折叠前后的两三角形全等,及三角形中线平分边长,在直角三角形中常利用勾股定理求线段的长度．12．（4分）如图,平行四边形ABCD中，AB＝24，P、Q三等分AC,DP交AB于M，MQ交CD于N，则CN＝6．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以＝，故进一步可推出CN．【解答】解：因P、Q三等分AC，故＝，∵AB∥CD∴＝＝，＝，又∵AB＝CD∴AM＝CD＝12，CN＝AM＝6．故答案为:6．【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题,如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．13．（4分)抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1,y＝2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是．【考点】HF:二次函数综合题；LE:正方形的性质．【专题】11：计算题．【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答．【解答】解：如图，四条直线x＝1，x＝2,y＝1，y＝2围成正方形ABCD,因为抛物线与正方形有公共点，所以可得a＞0,而且a值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过A（1，2)，C（2，1）时,a分别取得最大值与最小值,代入计算得出:a＝2,a＝；由此得出a的取值范围是．故填．【点评】此题利用数形结合的思想，考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与a 值的关系．14．（4分）如图，ABCD和EBFG都是正方形，AB＝30cm，则阴影部分的面积为450cm2．【考点】LE：正方形的性质．【专题】15：综合题．【分析】根据正方形的性质可证△OEG≌△OBF，由此可知S阴影＝S正方形ABCD．【解答】解：设小正方形EBFG的对角线相交于点O∵在正方形EBFG中，对角线EF与BG互相垂直平分,∴在△OEG与△OBF中,∴△OEG≌△OBF∴S阴影＝S正方形ABCD＝×30×30＝450（cm2）即阴影部分的面积为450cm2．故答案为：450cm2【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明S阴影＝S正方形ABCD15．（4分）如图,在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝4，CD＝3，BC＝7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为2．【考点】KQ:勾股定理;LH:梯形．【专题】11：计算题．【分析】作CE⊥AB于E,OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,先证明四边形ADCE为矩形得到AE＝CD＝3，AD＝CE,则BE＝1，再利用勾股定理计算出CE＝4,所以OD＝OA＝2，接着利用勾股定理的逆定理证明△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°,然后利用面积法计算出OH的长即可．【解答】解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H,连接OC、OB，如图,∵AB∥DC，∴∠D＝180°﹣∠A＝90°，而CE⊥AB,∴四边形ADCE为矩形,∴AE＝CD＝3，AD＝CE，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，在Rt△BCE中，CE＝＝＝4，∴AB＝4，∵O为AD边的中点，∴OD＝OA＝2,在Rt△ODC中，OC2＝OD2+CD2＝（2）2+32＝21，在Rt△OAB中,OB2＝OA2+AB2＝（2）2+42＝28，∴OC2+OB2＝49＝BC2，∴△BOC为直角三角形，∠BOC＝90°，∵OH•BC＝•OC•OB，∴OH＝＝2，即点O到BC的距离为2．故答案为2．【点评】本题考查了梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．16．（4分）如图,在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D 是AC上的一点且BD＝ED，若∠CBD＝20°,则∠CED的度数为10°．【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝20°,∠CBD＝20°，∴BD＝CD，∵BD＝ED，∴ED＝CD,∴∠CED＝∠DCE，∵CE平分∠ACB，∴∠CED＝∠DCE＝∠ACB＝10°，故答案为：10°．【点评】此题考查等腰三角形的问题,关键是根据等腰三角形的判定和性质解答．三、解答题（每小题12分，共36分）17．(12分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件，经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x（元/件）可近似于一次函数y＝kx+b的关系，如图所示．（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式;（2）设公司获得的毛利润为S元，试问销售单价定为多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少？此时销售量是多少？【考点】HE:二次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象上的点可以求得一次函数y＝kx+b的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式和S＝（x﹣500）y，可以解答本题．【解答】解：（1）∵点(600,400)，（700，300）在y＝kx+b上，∴，解得，即一次函数的表达式是y＝﹣x+1000（500≤x≤800)；（2）S＝（﹣x+1000)（x﹣500）＝﹣x2+1500x﹣500000＝﹣(x﹣750）2+62500，∴x＝750时，S取得最大值，此时S＝62500，y＝﹣750+1000＝250，即销售单价定为750元时，该公司获得最大毛利润，最大毛利润是62500元，此时销售量是250件．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数解析式，会求函数的最值．18．（12分)如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＝AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC 的延长线于点P．（1）求证:AB2＝AD•AP；（2）若⊙O的直径为25，AB＝20,AD＝15，求PC和DC的长．【考点】KQ：勾股定理;M6:圆内接四边形的性质;MH：切割线定理；S9：相似三角形的判定与性质．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）欲证AB2＝AD•AP，需证AC2＝AD•AP，因此只需证△ADC∽△ACP即可；（2）由(1）的结论可求出AP的长，过点A作直径AE交BC于点F，用相交弦定理的推论可求出AF的长，进而可求出BF、CF的长．在Rt△APF中,已知AP、AF的长，可用勾股定理求出PF的长，进而可求出PC的长,根据割线定理，可求出PD的长．【解答】(1）证明：∵∠ADC+∠B＝180°,∠B＝∠ACB∴∠ACP+∠ACB＝∠ACP+∠B＝180°∴∠ADC＝∠ACP∴△ADC∽△ACP∴，即所以AB2＝AD•AP；（2)解：过点A作直径AE交BC于点F．∵△ABC是等腰三角形，∴AE垂直平分BC设AF＝a，则EF＝25﹣a，由BF2＝AF•EF，得400﹣a2＝a（25﹣a）所以AF＝a＝16,BF＝FC＝12．方法1:由（1）AB2＝AD•AP得：在Rt△AFP中，∴PC＝PF﹣FC＝＝又由△PCD∽△P AB得：∴；方法2:（前面部分给分相同)连接BE、EC、BD．∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，且BE＝∴EC＝BE＝15，又已知AD＝15，∴AD＝EC∴DC∥AE,即DC⊥BC,则BD是直径∴DC＝在Rt△PCD中，PD＝P A﹣AD＝＝∴PC＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用．综合性强,难度较大．19．（12分）已知抛物线y＝x2+（2﹣m)x﹣2m（m≠﹣2)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C（B点在C点的左边）．（1)写出A、B、C三点的坐标；（2）设m＝a2﹣2a+4，试问是否存在实数a，使△ABC为直角三角形；（3）设m＝a2﹣2a+4，当∠BAC最大时，求实数a的值．【考点】HF:二次函数综合题．【分析】（1）先令x＝0，求出点A坐标，再令y＝0求出方程的根，分两种情况得出点B，C坐标；（2)先判断得出点B，C坐标，再求出AB2，BC2,AC2，用m的范围得出AB,BC，AC的大小,从而得出结论；（3)根据三角形的边角的不等关系得出结论．【解答】解：（1)令x＝0,由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2）,∴y＝﹣2m，∴A的坐标为(0，﹣2m）令y＝0，由y＝x2+（2﹣m）x﹣2m（m≠2)，∴x2+（2﹣m)x﹣2m＝0，∴(x+2)（x﹣m）＝0∴x1 ＝﹣2，x2＝m∵B点在C点左边．∴①当m＜﹣2时，B，C的坐标分别为（m，0）和（﹣2，0)．②当m＞﹣2,但m≠2时,B，C的坐标分别为(﹣2,0）和(m，0）．(2）不存在，理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．由（1)的结论知，A的坐标为（0,﹣2m)，B，C的坐标分别为（﹣2，0）和（m,0）．∴AB2＝4m2+4BC2＝(m+2）2＝m2+4m+4AC2＝m2+4m2 ＝5m2∵m≥3,∴3m2＝m×3m≥9m＞4m，∴AB2 ＝4m2+4＞m2 +4m+4＝BC2，∴AB＞BC．∵m≥3，∴m2＞＝9＞4，∴AC2 ＝5m2 ＞4m2 +4＝AB2，∴AC＞AB．∴AC＞AB＞BC．∵AB2 +BC2＝5m2+4m+8＞5m2 ＝AC2．∴不存在实数a,使△ABC为Rt△．（3)不存在,理由：∵m＝a2﹣2a+4＝(a﹣1)2+3≥3．由(2）的结论知，AC＞AB＞BC．∴∠BAC最小．∴不存在实数a，能使得∠BAC最大．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，二次函数的极值,直角三角形的判断，三角形边的大小的判断方法，解本题的关键是得出AC＞AB＞BC．考点卡片1．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0)的式子叫做二次根式．(2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0)是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围,并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．4．一元一次方程的应用(一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；(3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100％)；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量);（5）行程问题（路程＝速度×时间）;（6）等值变换问题；（7）和，差,倍，分问题；（8）分配问题；(9）比赛积分问题;（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么），也可设间接未知数．3．列:根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确,是否符合题意，完整地写出答句．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0)的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△＜0时,方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2）,q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立,即＝﹣（x1+x2),＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题:①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．7．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是:二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．8．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0）的图象是抛物线,顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是(x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．9．二次函数的应用(1)利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．(3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2)二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．11．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．12．含30度角的直角三角形(1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．13．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2．（2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3)勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4)由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．14．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2）平行四边形的性质:①边：平行四边形的对边相等．②角:平行四边形的对角相等．③对角线:平行四边形的对角线互相平分．(3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底)同高（等高）的平行四边形面积相等．15．正方形的性质(1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．16．梯形（1)梯形的定义:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫梯形的底,其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰,两底的距离叫梯形的高．（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．17．垂径定理。
雅礼初中数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，属于有理数的是：A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -32. 下列函数中，是反比例函数的是：A. y = x^2 + 1B. y = 2x - 3C. y = 2/xD. y = 3x + 43. 下列图形中，是轴对称图形的是：A. 等边三角形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 正方形4. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是：A.（2，3）B.（-2，-3）C.（2，-3）D.（-2，3）5. 下列等式中，正确的是：A. 5x + 3 = 2x + 9B. 3x - 2 = 2x + 1C. 4x + 1 = 3x + 5D. 2x - 1 = 5x + 3二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a + b = 5，a - b = 1，则ab的值为______。
7. 若一个数的平方是25，则这个数是______。
8. 下列分数中，最简分数是______。
9. 下列图形中，周长最大的是______。
10. 若直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，则斜边长是______cm。
三、解答题（共55分）11. （10分）解下列方程：2(x - 3) = 5x + 112. （10分）已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若a + b + c = 0，求该函数的图像与x轴的交点个数。
13. （15分）已知一个长方体的长、宽、高分别为5cm、3cm和2cm，求该长方体的表面积。
14. （15分）如图，ABCD是平行四边形，∠A = 60°，E是AD上的一点，且AE = 2ED，求∠AEB的度数。
15. （5分）已知x + y = 6，x - y = 2，求x^2 + y^2的值。
四、附加题（10分）16. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，an = an-1 + 2n，求第10项an的值。
湖南省学年高三数学实验班选拔考试试题理(含解析)
高三实验班选拔考试理科数学试卷本试卷分第I卷和第二卷两局部，时量120分钟，总分值150分第一卷〔60分〕一、选择题〔本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.假设复数〔其中，为虚数单位〕的虚部为1，那么A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】,的虚部为，，应选C.2.集合，集合，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】,,应选B.3.长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，那么选取的2人恰为一男一女的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的人恰为一男一女的概率为，应选B.4.等差数列的前项和为，假设，那么A. 23B. 96C. 224D. 276【答案】D【解析】是等差数列，可设首项为，公差为，由，可得，，应选D.5.为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，那么双曲线的离心率为A. B.C. 2D.【答案】C【解析】设右焦点关于渐近线：的对称点为，那么在上交于，由点到直线距离公式可得，为直角三角形，三边分别为，由对称性知，，，应选C.6.以下函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于.函数是奇函数，在为整数〕上递增，那么不满足；对于.函数为奇函数，由于，那么在上递增，那么满足；对于.函数为偶函数，那么不满足；对于.函数既不是奇函数，也不是偶函数，那么不满足，应选C.7.执行如下图的程序框图，假设输，那么输出的结果为〔〕A. 7B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；结束循环，输出，应选B. 【方法点睛】此题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8.假设二项式展开式的各项系数之和为，那么含项的系数为A. 560B.C. 280D.【答案】A【解析】因为二项式展开式的各项系数之和为，所以，的通项为，令项的系数为，应选A.9.某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线局部为半圆，那么该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为和的直角三角形，高为，半圆柱的底面半径为，高为，所以该几何体的体积为，应选C.10.椭圆，假设直线经过，与椭圆交于两点，且，那么直线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线斜率为，，，由与联立可得，，那么，解得，应选B.11.三棱锥的每个顶点都在球的外表上，底面，且二面角的正切值为4，那么球的外表积为A. B. C. D.【答案】D【解析】设中点为，可得，那么是“二面角〞的平面角，由于“二面角〞的正切值为，，由余弦定理知，，由正弦定理知，外接圆直径，设外接球半径为，那么，球的外表积为，应选D.【方法点睛】此题主要考查三棱锥外接球外表积的求法，属于难题.要求外接球的外表积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①假设三条棱两垂直那么用〔为三棱的长〕；②假设面〔〕，那么〔为外接圆半径〕；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.函数在区间上有两个零点，那么实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在区间上有两个零点，等价于与的图象有两个交点，设与的图象相切，切点为，那么，解得，因为关于的方程，与有两个交点，，应选A.【方法点睛】判断方程零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .此题的解答就利用了方法③.第二卷〔90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.假设实数满足，那么的最小值为__________．【答案】【解析】画出表示的可行域如图，由图知，直线平移经过点时，有最小值为，故答案为. 【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.设，，且，那么__________．【答案】【解析】由，可得，故答案为. 15.，，那么__________．【答案】【解析】，，故答案为.16.在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，那么的最大值为__________．【答案】【解析】数列首项，所以数列是公比为的等比数列，，，，所以，设，令,当且时取等号，，即的最大值为，故答案为.三、解答题〔本大题共7小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17.在锐角中，分别为角的对边，且．〔Ⅰ〕求的大小；〔Ⅱ〕假设，求面积的取值范围．【答案】(1) ；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得，从而可得结果；〔Ⅱ〕在中，由正弦定理得，又，∴，∴，又∵，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕∵，∴①，又∵，∴②，又③，将①，②，③代入得：，整理得，即，又∵，∴，即．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，∴，∵为锐角三角形，∴且，解得，在中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，又∵，∴．18.如图，在直三棱柱中，，为线段的中点．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕假设直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】(1)证明见解析；〔2〕或.【解析】【详解】试题分析：〔Ⅰ〕由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；〔Ⅱ〕以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：〔Ⅰ〕∵三棱柱是直三棱柱，∴平面，又平面∴，∵，是的中点，∴，又平面平面，∴平面，又平面，∴．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知平面，故以为原点，为轴，为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系〔如下图〕，设，那么，∴，· 设平面的一个法向量，那么，即，那么，令可得，，故，设直线与平面所成角为，那么，解得或，即或．19.某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购置的对象．过去50周的资料显示，该地周光照量〔小时〕都在30以上．其中缺乏50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周．根据统计某种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量〔百斤〕与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料〔千克〕之间对应数据为如下图的折线图：〔Ⅰ〕依据数据的折线图，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？〔Ⅱ〕因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了局部光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量〔单位：小时〕光照控制仪最多可运行台数 3 2 1假设某台光照控制仪运行，那么该台光照控制仪周利润为5000元；假设某台光照控制仪未运行，那么该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值到达最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：．【答案】(1) ；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕算出样本中心点的坐标，利用公式求得，由可得，即可得回归方程，再将时代入即可得结果；〔Ⅱ〕分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比拟即可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，所以关于的线性回归方程为，当时，百斤＝550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，那么这种改进黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．〔Ⅱ〕记商家总利润为元，由条件可知至少需安装1台，①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，②安装2台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为4200 100000.2 0.8所以元，③安装3台光照控制仪的情形：当时，一台光照控制仪运行，此时元，当时，两台光照控制仪运行，此时元，当时，三台光照控制仪都运行，此时元，故的分布列为3400 9200 150000.2 0.7 0.1所以元，综上，为使商家周总利润的均值到达最大应该安装2台光照控制仪．【方法点晴】此题主要考查线性回归方程及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，假设，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．【答案】(1) ；〔2〕证明见解析.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕的最小值等价于点到直线的距离，∴，解得，从而可得结果；〔Ⅱ〕设，由可得，由中点坐标公式以及斜率公式可得的斜率，直线的方程可化为，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，那么，其最小值为点到直线的距离，∴，解得〔舍去负值〕，∴抛物线的方程为．〔Ⅱ〕设，由可得，那么，所以∴的中点的坐标为，同理可得点的坐标为，那么直线的斜率，那么，那么直线的方程可化为，即，令可得，∴直线恒过定点．【方法点睛】此题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.函数〔，为自然对数的底数〕在点处的切线经过点．〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕假设，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) 当时，函数在上单调递减；当时，函数在上递减，函数在上单调递增；〔2〕.【解析】试题分析: 〔Ⅰ〕求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；〔Ⅱ〕原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕因为，所以过点的直线的斜率为，而，由导数的几何意义可知，，所以，所以．那么，当时，，函数在上单调递减；当时，由得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．〔Ⅱ〕不等式恒成立，即不等式恒成立，设，假设，那么，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．22.设，，，，是5个正实数〔可以相等〕．证明：一定存在4个互不相同的下标，，，，使得．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设，那么，，，，都属于区间，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．试题解析：不妨设，考虑以下5个分数：，，，，，①它们都属于区间．把区间分成两个区间：和，由抽屉原理知，区间或中一定有一个区间至少包含①中的3个数〔记这3个数依次为，，〕．将①中的5个数依次围成一个圆圈，那么①中任意三个数中都有两个数是相邻的〔与是相邻的〕，即，，中至少有两个数是相邻的．假设与相邻，那么．另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同．于是，、对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求．因此，结论成立．23.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，在极坐标系中，直线的方程为：，直线的方程为．〔Ⅰ〕写出曲线的直角坐标方程，并指出它是何种曲线；〔Ⅱ〕设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．【答案】(1) 以为圆心，为半径的圆；〔2〕.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用平方法可消去参数，从而可得曲线的直角坐标方程，进而得它是何种曲线；〔Ⅱ〕设，，曲线的方程化成极坐标方程，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕由〔为参数〕消去参数得：，∴曲线是以为圆心，为半径的圆．〔Ⅱ〕设，，∵三点共线，那么①，将曲线的方程化成极坐标方程得：，∴，代入①得：，用代得：又∵，∴，∴，∵，∴。
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A B C E F O 长沙市雅礼中学理科实验班招生试题 数 学 考生注意：本卷满分120分，考试时间150分钟。
一、填空题（请将最后答案填写在横线上。
每小题3分，本大题满分60分）
1.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC ；②∠ABE=∠DCE ；③AE=DE ；④∠A=∠D ；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC 不能构成等腰三角形的概率是______________.
2．如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF 的长为________ ______.
3. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两个动点，且CD ∥AB,若半圆的半径为1,则梯形ABCD 周长的最大值是 。
4. 已知2152522＝－－－x x ，则221525x x －＋－的值为 。
5. 一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点P （1，4），且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于点A ，B ． 点O 为坐标原点．当△AOB 面积最小时，k 和b 的值分别为 。
6. 如图，直线b kx y +=1过点A （0，2），且与直线mx y =2交于点P （1，m ），则关于
x 的不等式组mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是______________。
7. 已知实数a 满足2008a -＋2009a -＝a ，那么a －20082值是 。
8. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于 。
9.设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．
B A O x y
10. 在Rt △ABC 中,∠C ＝900,AC ＝3,BC ＝4.若以C 点为圆心, r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点,则r 的取值范围是___________ ． 11. 已知a 、b 、c 满足
2a b c a b 6102b 2⨯＋＋＋（＋1）（－）＋－＝，则代数式a ＋c 的值是 。
12．如果三位数abc (表示百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c 的三位数),且满足b ＜a 或b ＜c ，则称这个三位数为“凹数”。
那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是
13. 如图，已知在圆O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及圆O 上，并且∠
POM=45°，则AB 的长为 .
14. 直线)0(>=a ax y 与双曲线x y 3=
交于),(11y x A 、),(22y x B 两点,则代数式122134y x y x -的值是 .
15. 设0>>b a ，且ab b a 322=+，b
a b a -+那么的值为_________。
16. 如图,△ABC 中,BE,DC 是△ABC 的内角平分线,DE=3,A,D,F,E 四点共圆,则△DEF 的内接圆半径为______。
17. 如图, 正方形ABCD 中, AB=AG ,EF ⊥AG , 若EG=4, FG=6, BM=23, 则MN=__ ____。
18. 设i=1,2,3,...,n, 且0<i x <1, i i x x x x x x ++++=+++...19...2121, 则n 的最小整数解为______。
19. 抛物线c bx ax y ++=2, 交y 轴于一点A(0,1),交x 轴于M(0,1x ),N )0,(2x , 且210x x <<,过点A 的直线交x 轴于点C, 交抛物线于另一点B,且AMN BMN S S △△2
5=
. 若△CAN 为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为______。
20. 29222=++y xy x 的整数解共有______组。
二、解答题（请写出详细的解答或证明过程。
本大题共4小题，满分60分）
21.（本小题满分10分）已知关于x 的方程02=++a cx x 的两整数根恰好比方程02=++b ax x 的两根都
大1，求c b a ++的值。
22.（本小题满分10分）如图(6),已知抛物线C :422+-=x x y 和
直线l :82+-=x y .直线)0(>=k kx y 与抛物线C 交于两个不同
的点A 、B ,与直线l 交于点P ,分别过A 、B 、P 作x 轴的垂线,
设垂足分别为111,,P B A .
(1)证明: 1
11211OP OB OA =+; (2)是否存在实数k ,使811=+B B A A ,如果存在,求出此时k 的值,
如果不存在,请说明理由.
23.（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正数，且满足如下两个条件：
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-++-+=++4132ab c b a ac b a c bc
a c
b
c b a
证明：以a 、b 、c 为三边长可构成一个直角三角形．
24.（本小题满分15分）已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．
求证：CD ＝GF ．
25.（本小题满分15分）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交轴于点N (如图).
（1）求边AB 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论；
（3）当旋转角θ为多少度时，△OMN 的面积最小，并求出此时△BMN 内切圆的半径.
A F
G C E B O D。