二次函数分类汇编及答案解析

二次函数分类汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．11
【答案】B
【解析】
【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，
∴△FEH ∽△EBA ，
∴ ,HF HE EF AE AB BE
== G Q 为BE 的中点，
1,2
FE GE BE ∴== ∴ 1,2
HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==
∴HF 1,4,2
x EH =
= ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-
11111(8)8(4)422222x x x x =
++⨯--⨯• 2141644
x x x x =+---
2116,4x
x =-+ ∴当12124
x -=-
=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．
【点睛】
本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．
2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）
A ．原数与对应新数的差不可能等于零
B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m ，则新数为
21100
m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100
y m m m m =-
=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100
-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．
当y ＝21时，21100
m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．
故答案选：D ．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )
A ．﹣4＜P ＜0
B ．﹣4＜P ＜﹣2
C ．﹣2＜P ＜0
D ．﹣1＜P ＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．
∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a
-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．
∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，
∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．
∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．
故选A ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
4．如图，抛物线2119
y x =
-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）
A ．2
B ．322
C ．52
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=
12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】 ∵2119
y x =-， ∴当0y =时，21019x =
-， 解得：=3x ±，
∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O 点为AB 的中点，
又∵圆心C 坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC 长度2205OB C +=，
∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，
即：OE=12
BD ， ∵D 点是圆上的动点，
由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，
∴BD 的最小值为4，
∴OE=12
BD=2，
即OE的最小值为2，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（）
A．﹣1＜x＜1 B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
所以答案为：D．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.
6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（1
3
，
8
3
）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x>1
4
时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；
A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；
B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m
， |x 2﹣x 1|=
32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32
，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．
D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m
-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14
右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
故选D ．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
7．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；
根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：-
2b a
=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
8．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．0＜t ＜5
B ．﹣4≤t ＜5
C ．﹣4≤t ＜0
D ．t ≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线x ＝2，
∴b ＝﹣4，
∴y ＝x 2﹣4x ，
关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，
∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，
∴﹣4≤t ＜5；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
9．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）
A ．12≤m ＜1
B ．12＜m ≤1
C ．1＜m ≤2
D ．1＜m ＜2 【答案】B
【解析】
【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围
【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．
由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．
①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．
由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42
x x ==-
≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．
∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】
答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）
②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．
将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝
12． 此时抛物线解析式为y ＝12
x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122
y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x ＝3时，得13923122y =
⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12
时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴m ＝
12不符合题． ∴m ＞12
． 综合①②可得：当
12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，
故选：B ．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.
10．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
【详解】
解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩
解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴二次函数的解析式为：2
21212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-
时，y 的最小值为2536
-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2
13y x =-+
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得 1201b b c
⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩
∴2
23y x x =--
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ．
【点睛】
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．
11．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）
A ．13x =-，21x =-
B ．11x =，23x =
C ．11x =-，23x =
D ．13x =-，21x = 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
∵二次函数2
2y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有
一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
12．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可求m ＜﹣2，即可求解．
【详解】
∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，
∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0
∴m ＜﹣2
∴函数y ＝的图象在第二、第四象限，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．
13．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）
A ．010t ≤≤
B ．210t ≤≤
C ．28t ≤≤
D ．210t <<
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；
【详解】
解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，
得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩
解得32n m =⎧⎨=⎩
∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，
设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），
当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，
当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，
当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，
解得：2≤t≤10．
故应选B
【点睛】
此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．
14．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）
A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3
B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点
C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数
D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运
算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*
（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+1
2
）2+
3
4
＞0，由此即可判定选项C；根据
题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.
【详解】
∵a*b＝ab﹣a+b，
∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，
∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；
∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，
∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；
∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+1
2
）2+
3
4
＞0，
∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；
∵（x﹣2）*3＝5，
∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，
解得，x＝3，故选项D错误；
故选D．
【点睛】
本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.
15．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.
【详解】
∵抛物线y=x2+2x，
∴x=-1，
而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），
∴B离对称轴最近，A次之，C最远，
∴y2＜y1＜y3．
故选:C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次
函数的性质是解此题的关键．
16．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1
x
（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次
函数的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．
【详解】
解：（1）y=x是一次函数，符合题意；
（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；
（3）y=1
x
是反比例函数，不符合题意；
（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；
（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；
故是一次函数的有3个．
故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）
A．①⑤
B．②④
C．②③④
D．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．
【详解】
解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；
②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；
③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；
⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；
故选D ．
【点睛】
考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y 的值．
18．已知二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k 的图象如图所示，直线y ＝ax +hk 的图象经第几象限（ ）
A ．一、二、三
B ．一、二、四
C ．一、三、四
D ．二、三、四
【答案】D
【解析】
【分析】 根据二次函数的图象和性质可得a ＜0，h ＜0，k ＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．
【详解】
解：由函数图象可知，
y ＝a （x ﹣h ）2+k 中的a ＜0，h ＜0，k ＞0，
∴直线y ＝ax +hk 中的a ＜0，hk ＜0，
∴直线y ＝ax +hk 经过第二、三、四象限，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关
键．
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．
【详解】
解：Q 抛物线开口向下，
0a ∴<，
Q 对称轴12b x a
=-=， 0b ∴>，
Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，
0c ∴>，
0abc ∴<，故①错误；
Q 抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->，故②正确；
Q 对称轴12b x a
=-
=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；
根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．
20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】
解：由方程组
2
y ax bx
y bx a
⎧=+
⎨
=-
⎩
得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行
分析，本题中等难度偏上．。