第17讲 特殊三角形

第17讲特殊三角形【测控导航表】知识点题号等腰三角形的性质和判定2,5,11,13等边三角形10,15,16直角三角形和勾股定理1,3,4,7,8,9,12,14线段的垂直平分线 6A层(基础)1.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( D )(A)5 (B) (C) (D)5或解析:当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为5;当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为.故选D.2.(2015南宁)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( A )(A)35°(B)40°(C)45°(D)50°解析:∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°,∴∠B=∠ADB=70°,∴∠ADC=180°-∠ADB=110°,∵AD=CD,∴∠C=(180°-∠ADC)÷2=(180°-110°)÷2=35°,故选A.3.(2015大连)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( D )(A)-1 (B)+1(C)-1 (D)+1解析:∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴DB=DA=,在Rt△ADC中,DC===1;∴BC=+1.故选D.4.小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC,则AC边上的高是( C )(A)(B)(C)(D)解析:AC==,S△ABC=S正方形-3个直角三角形面积=4-×2×1×2-×1×1=,设AC边上的高为h,·AC·h=,h=,h=.故选C.5.(2015陕西)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( D )(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:根据已知条件分别求出题图中三角形的内角度数,可以发现等腰三角形有△ABC,△BCD,△BDE,△EAD,△DAB共5个,故选D.6.(2015黄冈)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( C )(A)6 (B)6(C)9 (D)3解析:∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠DAE=∠B=30°,∴∠ADC=60°,∴∠CAD=30°,∴AD为∠BAC的角平分线,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=CD=3,∵∠B=30°,∴BD=2DE=6,∴BC=9,故选C.7.(2015北海)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= 8 .解析:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,∵∠CAE=15°,∴∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,∴AE=2AD=8.8.(2015株洲)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD 和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么AH等于 6 .解析:∵AB=10,EF=2,∴大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,∴四个直角三角形面积和为100-4=96,设AE为a,DE为b,即4×ab=96,∴2ab=96,a2+b2=100,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,∴a+b=14,∵a-b=2,解得a=8,b=6,∴AE=8,DE=6,∴AH=8-2=6.9.(2015曲靖)如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,过D 作DE⊥AC于点E,若DE=a,则△ABC的周长用含a的代数式表示为(6+2)a .解析:∵∠C=30°,∠BAC=90°,DE⊥AC,∴BC=2AB,CD=2DE=2a,∠B=60°,∵AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAC=90°-60°=30°=∠C.∴AD=CD=2a,∴BD=AB=AD=2a,∴BC=4a,∴AC===2a,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2a=(6+2)a.10.已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .解析:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵BD为中线,∴∠DBC=∠ABC=30°,∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠E+∠CDE=∠ACB,∴∠E=30°=∠DBC,∴BD=DE,∵BD是AC边上的中线,CD=1,∴AD=DC=1,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC=1+1=2,BD⊥AC,在Rt△BDC中,由勾股定理得BD==,即DE=BD=.11.(2014菏泽)在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE,∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°,∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,∴∠ABD=∠BDE,∴DE=BE,∵AB=5,∴DE=BE=AE=AB=2.5.12.(2014泰安)如图,∠ABC=90°,D,E分别在BC,AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.(1)求证:∠FMC=∠FCM;(2)AD与MC垂直吗?并说明理由.(1)证明:由题意知△ADE是等腰直角三角形,F是AE中点,∴DF⊥AE,DF=AF=EF,又∵∠ABC=90°,∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余,∴∠DCF=∠AMF,在△DFC和△AFM中,∴△DFC≌△AFM(AAS),∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM.(2)解:AD⊥MC,理由:由(1)知,∠MFC=90°,FD=EF,FM=FC,∴∠FDE=∠FMC=45°,∴DE∥CM,又∵AD⊥DE,∴AD⊥MC.B层(能力)13.(2015黑龙江)正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点,点E是正方形边上的一点,若△PBE是等腰三角形,则腰长为2或或.解析:分情况讨论:(1)当BP=PE时,如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠BCD=∠D=90°,∵P是AD的中点,∴AP=DP=2,根据勾股定理得BP===2.(2)当BE=PE时,E在BP的垂直平分线上,与正方形的边交于两点,即为点E;①当E在AB上时,如图2所示:则BM=BP=,∵∠BME=∠A=90°,∠MBE=∠ABP,∴△BME∽△BAP,∴=,即=,∴BE=;②当E在CD上时,如图3所示:设CE=x,则DE=4-x,根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,PE2=DP2+DE2,∴42+x2=22+(4-x)2,解得x=,∴CE=,∴BE===;同理BP=BE时,BP=2.综上所述:腰长为2或或.14.(2015南昌)如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2 .解析:分情况讨论:(1)当∠APB=90°时(如图1),∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB·sin 60°=4×=2.(2)当∠ABP=90°时,(如图2),∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP===2,在直角三角形ABP中,AP==2.(3)∠APB=90°,(如图3)∵AO=BO,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△APO为等边三角形,∴AP=AO=2.15.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动.(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)点M,N运动几秒时,可得到等边△AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形?若存在,请求出此时M,N运动的时间.解:(1)设点M,N运动x秒时,M,N两点重合,x×1+12=2x,解得x=12;∴M,N运动12秒时,M,N两点重合.(2)设点M,N运动t秒时,可得到等边△AMN,如图①,AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t,∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4,∴点M,N运动4秒时,可得到等边△AMN.(3)存在.当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知12秒时M,N两点重合,恰好在C处,如图②,假设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,设当点M,N在BC边上运动时,M,N运动的时间为y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,y-12=36-2y,解得y=16.故假设成立.∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形,此时M,N运动的时间为16秒.16.(1)如图(1),已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.求证:△ABP≌△ACQ;(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图(2),把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置,点M是边EF′与边FG的交点,点N在边EG′上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.解:(1)∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形,∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ,∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,∴∠BAP=∠CAQ,∴△ABP≌△ACQ.(2)过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线GN的垂线,点K为垂足,在△EFG中,EH==12.同(1)可证明△EFM≌△EGN,∴∠EFM=∠EGN,可证明△EFH≌△EGK,∴EH=EK.∴点E到直线GN的距离是12.16年最有可能考到的知识点(1)等腰三角形的边,角的分类讨论;(2)直角三角形的性质结合折叠与勾股定理考查;(3)等腰三角形的性质与线段的垂直平分线结合考查;(4)直角三角形与线段的垂直平分线结合考查;(5)等腰直角三角形与全等三角形结合考查.1.(2016预测)已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( C )(A)40°(B)100°(C)40°或100°(D)70°或50°解析:当40°是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°;当40°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-40°×2=100°.故选C.2.(2016预测)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( B )(A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)5 cm解析:∵AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB=10 cm,由题意知AE=6 cm(折叠的性质),∴BE=4 cm,设CD=x,则在Rt△DEB中,42+x2=(8-x)2,∴x=3 cm.故选B.3.(2016预测)如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为13 .解析:∵△ABC为等腰三角形,∴AB=AC,∵BC=5,∴2AB=2AC=21-5=16,即AB=AC=8,而DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,故BE+EC=AE+EC=AC=8,∴△BEC的周长=BC+BE+EC=5+8=13.4.(2016预测)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=DC.∵∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)解:由(1)得∠EAC=∠DBC=45°,又∠BAC=45°,∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,即△EAD是直角三角形,∴DE===13.。