图形与几何变形讲解

如图，△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长 线上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D =90° ，则△ABC≌△CDE .
同时弱化条件“线段相等”和“直角”， 则结 论由全等弱化为相似。
• 这里条件为“三个角相等”，至于等于多少度，并无要 求，这就将特殊化为了一般，因而该结论在中考命题中 应用更为广泛。
一个基本图形的变式与应用
引例 ：
6、如图，在Rt△CAB和Rt△ECD中， AC=CD，点E在边BC的延长线上，且∠ACD =∠B = ∠E = 900. 求证：△CAB ≌ △DCE.
一题多变的策略与途径： 1、条件的弱化或强化； 2、基本图形的变化拓展； 3、基本图形的构造与应用
弱化条件“线段相等”则结论由 三角形的全等弱化为三角形相似。
• 提出问题： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O， • 求证：AE=DH； • 类比探究： （2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上， 若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； • 综合运用： （3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求 图中阴影部分的面积．
4.基本图形的应用
• 几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合 而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成， 因而，在解决综合性问题时，教师应引导学生 从复杂图形中寻找基本模型；从而将复杂化简 单，将一般化特殊，化难为易；培养学生的图 形分解能力，转化思想意识。
寻找基本图形巧解规律探究题：
17、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已 知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置 的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2 ＋S3 ＋S4 ＝ .
然后运用类比的思想提出了如下命题； 3）如图(3)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM 与CN相交于点O，若∠BON = 1080，则BM=CN。 任务要求 （1）请你从1）、2）、3）三个命题中选择一个进行证明； （2）如图(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，EA上的点， BM与CN相交于点O，若∠BON = 1080，请问结论BM=CN是否还成立？ 若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由。
类比迁移
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动态几何问题的变化途径是： 静态变动态 特殊变一般 动态几何问题的解题策略是： 动态化静态 一般变特殊 复杂变简单
一叶知秋意,一树识菩提
• 不折腾、不闹腾 • 不走火入魔、不难为学生 • 适合的才是最好的
不配引玉之砖，权当击水之石。 谢谢倾听，欢迎交流，祝您幸福！
中考题
教材中典型的例、习题，具有一定的代表性和 典型性，是数学问题的精华，教师在平时教学 和总复习时要重视典型例习题的作用，教学中 要“借题发挥”，“小题大做”；引导学生对 典型例、习题作必要的演伸与拓展。这对激发 学生学习的兴趣，培养学生的发散性思维，都 将起到积极的作用。
小题不小、规律来找，一题多变、举一反三
22、（2013平邑县教师技能大赛14题）
23、2013临沂25题
24题
25、（2014•临沂25题）
• 【问题情境】 • 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点， AE平分∠DAM． • 【探究展示】 • （1）证明：AM=AD+MC； • （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理 由． • 【拓展延伸】 • （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2， 探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要 证明．
2.强化条件
• 针对基本问题中的线段、角等几何元素，通过 给定其已知数据（长度、角度等），或设计成 实际应用问题等手段强化问题的条件，变化为 一组新题，通过练习。培养学生综合应用知识 解决问题的能力。
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13、如图，在笔直的公路L的同侧有A、B两个村庄，已知
A、B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。现要在公路 上建一个汽车站P，使该车站到A、B两村的距离相等， （1）试用直尺和圆规在图中作出点P； （2）在（1）的条件下，若连接AP、BP，测得∠APB=90°，求 A村到车站的距离.
y
A
O D
x
踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫。 “他强由他强，清风拂山岗，他横任他横，明月照 大江”。 现在看来“基本图形”已达到这种境界，不管题目 如何复杂，如何来的就如何去！
三、动静结合、迁移转化 ---巧解动态几何压轴题
题型概述：25题 命制方法：静态变动态，特殊化一般
解题策略：动静结合
•
1 2 3
S3 S4
S1
S2
利用基本图形，巧解压轴题
18、（2010年临沂25题）
构建基本图形，巧解综合题
19、（2014浙江金华）如图，有一矩形纸板ABCD，长 AD=10cm，宽AB=4cm，将你手中足够大的透明三角板PHF 的直角顶点P落在线段BC上（不与B、C重合）移动。 （1）若三角板的两直角边分别通过点A与D， 求证：△ABP∽△PCD. （2）若三角板的一直角边PH始终通过点D，另一直角边 PF与BA延长线交于点Q，与AD交于点E，能否使AE=2cm？ 若能，请你求出CP的长；若不能，请说明理由。
7、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上 一点，AP⊥PC，则△ABP ∽ △PDC。请说明理由。
当一个命题成立的条件较为丰 富时，可考虑减少其中一两个 条件，或将其中一两个条件一 般化，并确定相应的命题结论， 从而加工概括成新的命题。
8、2014日照市中考20题
D E A
C
B
若弱化条件“直角”，则“全等三角形” 结论仍然成立。
• • •
• •
21.（07临沂）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直 角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为 DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。 ①证明DM＝DN； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边 形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求 出其面积； (2)继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？ 请写出结论，不用证明。
• 一道典型的课本例题的变式与拓展（八上p78）
变式一：交换其中一个条件和结论的位置
变式二：交换另一个条件与结论的位置：则 有：“等腰+角平分线=平行”
题后反思：
• 模糊感受：等腰三角形、角平分线、平行线三 者之间似乎存在一定的联系 • 反思结论：“等腰三角形、角平分线、平行线” 往往“知二推一”。
3.图形的变式与延伸
• 结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如 将习题中两个三角形相向移动交叉重叠，即可得到一个 新的基本图形；如图所示。
2014年广西钦州20题
• 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的 点，且DF⊥CE． • 求证：CE=DF．
15、2014•丽水第23题
Ｂ
Ｃ
12、2014年江西抚州22题
无论如何变换，本 质是三个角相等， 应用三角形相似 （全等）来解决。
AP=CP ∠B=∠APC=∠D=90° △ABP≌△PDC
∠ACE=∠B=∠D=90° △ABP∽△PDC
∠ACE=∠B=∠D △ABP∽△PDC
AP=CP
∠B=∠APC=∠D △ABP≌△PDC
F F A B H D A Q E 4 H D 4 8-x
P
C
B
G
P x C
构建基本图形，巧解压轴题
20、（2011年济南25题）如图， 已知平面直角坐标系中，点A （m，6），B（n，1）为两动点， 其中0<m<3，连结OA⊥OB，。 （1）求证：mn=－6； （2）当S△AOB=10时，抛物线 经过A，B两点且以y轴为对称轴， 求抛物线对应的二次函数的关 系式； （3）在（2）的条件下，在AB B 的上方抛物线上是否存在一点P 使得三角形APB面积最大，若存 C 在，求出点P的坐标，若不存 在，，请说明理由
11、（2014南昌市21题） 如图，在梯形ABCD中， AD//BC，AB=DC=AD=6，∠ABC＝60°，点E，F分别 在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF ＝120°，设AE=x，DF=y （1）求y与x的函数解析式 （2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
Ａ Ｅ Ｄ Ｆ
基本图形的再演变
∠BON =900
∠BON =？
∠BON =？
16、（2013年常州中考21题） 问题背景 某课外学习小组在一 次学习研讨中，得到了如下两个命题： 1）如图(1)，在正△ABC中，M，N分别是AB，AC上的点，BN与CM相 交于点O，若∠BOM = 600，则BN=CM； 2 ）如图 (2) ，在正方形 ABCD 中， M ， N 分别是 CD ， AD 上的点， BM 与 CN相交于点O，若∠BON = 900，则BM=CN；
图形与几何优秀试题的分析与变形
平邑县教研室祝福胜 2014年12月
数学题目浩如烟海，面对书山题海 我们数学教师应该采取怎样的教学策略？
“熟”真的能生“巧”吗？
变式教学---打开学生思维大门的金钥匙
一、借助教材典型例习题一题多变
中考题哪里来？
化归 来 源
拓展引申、类比迁移、图形变换
如何去解？
课本例题或习题
触类旁通（串题练习）
1、P79课后练习2：
2、P82课后习题2：
变式练习：
3.P83课后习题：
4、（2011年临沂市22题）
F
A
D
B
C
E
5、2014年泰州中考23题
6、2014年山东菏泽第16题
A
E
B D
C
在数学的天地里，重要的不是我 们知道什么，而是我们怎么知道什 么！
——毕达哥拉斯
二、变式基本图形，构建几何模 型