第八讲+弹性力学基础第一部分

法国科学家拉梅(Lamè ，1795—1870 年)在得到上述方程后，自己当时并 不知道这方程有什么应用价值，很多年后，这方程才用于解题。 （1）静力边界条件使用位移表示 （2）位移边界条件
应力边界条件：用位移表示
b. 应力解法
• 满足平衡微分方程、应力协调方程和应力边界条件
存在体力
此式为Beltrami-Michell 于1899 年导出的应力形式表示的协调方程。
1. 弹性力学(弹性理论)，是固体力学的一 个分支学科，主要研究弹性体由于受外 力、边界约束或温度改变等原因而引起 的应力、变形或位移。
2. 研究对象——弹性体。主要研究其应力、 变形或位移等效应。
3. 引起变形等效应的原因：外力作用；边 界约束（固定约束、弹性约束和边界上的 强迫位移等）；温度变化。
位移边界条件是
例2：半空间体在边界上受法向集中力
设有半空间体，体力不计，在 水平边界上受有法向集中力 P。 这是一个轴对称的空间问题， 而对称轴就是力P 的作用线。 因此，把z 轴放在P 的作用线 上，坐标原点就在P 的作用点。 建立极坐标系统。
位移解法：
拉梅方程：
体积应变
1885 年，法国力学家布西涅斯克(J· Boussinesq)找到了方程的两组特 解，即
在体力为零或常量时，早在1892年就被意大利科学家贝尔特拉密所导出：
6 个应力分量满足平衡微分方程，满足应力相容方程，并在边界上满足 应力边界方程。
例1 （位移解法）
半无限体（密度为 ）受均布力q作用，求应力场 和位移场。 q
x
z
根据问题的对称性，位移应只是z的函数 u=0, v=0, w=w(z) 体积应变是
u v w dw x y z dz
代入拉梅-纳维方程
G w ( G) Z0 z
2
d 2w 2G 2 g 0 dz
1 1 2 2 w g z A B 2E 1
应力是
4.2 弹性力学的发展简史
• 体系形成(1880-1950) • 代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学 理论的论述”，该部著作的问世同时标志 着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹 性力学。 • 弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于 铁木辛柯。他在弹性地基梁、铁木辛柯梁 、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨 大的贡献。
yz = Gyz zx = Gzx
x y z
由位移表示的平衡微分方程
G u ( G) X 0 x 2 G v ( G ) Y0 y G2 w ( G) Z0 z
2
拉梅-纳维方程
2 2 2 u v w 其中 2 是 Lplace 算子， ii u j , j 2 2 2 x y z x y z
• 变形协调方程(或位移单值连续) • 位移边界条件
物理方程
或本构方程
a. 位移解法
平衡方程 几何方程方程
以位移作为未知数
x yx zx X 0 x y z
u u v xy x y x x
xy y zy Y 0 x y z
第四章 弹性力学基础
胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
提纲
• • • • • • 4.1 弹性力学的研究内容 4.2 弹性力学的发展简史 4.3 弹性力学的基本假设 4.4 弹性力学的求解方法 4.5 弹性力学的有限元实现 4.6 弹性力学的应用实例
4.1 弹性力学的研究内容
4.4 弹性力学的求解方法
(1) 弹性力学的基本方程
弹性力学的基本方程 • 平衡方程
• 几何方程
x yx zx X 0 x y z
u x x
u v xy y x
yz v w z y
xy y zy Y 0 x y z
4.2 弹性力学的发展简史
• 大师耕耘(1700-1880)
• 1821年，纳维尔发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的 论文，给出了弹性体位移的控制方程形式。 • 1829年，法国科学家泊松考虑了单向拉伸时的横向收缩问 题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被 命名为泊松比。 • 1822年，柯西在三维情况下规范了应力的概念。其他贡献 包括：提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理， 提出主应力和主应变的概念，推广了胡克定律，以及建立 了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件。
4.2 弹性力学的发展简史
• 分支发展(Since 1950)
• 二十世纪的后半期，弹性力学的各个分支 蓬勃发展。比如，弹性稳定性理论、断裂 力学、有限元方法、损伤力学、细观力学 和复合材料力学等等。
4.3 弹性力学的基本假设
• （1）连续性假设——弹性体是一种密实的连续介 质，在整个变形过程中保持连续性。物体内的一 些物理量，如应力、应变和位移等可用坐标的连 续函数表示它们的变化规律。

* ij , j
0, n j 0, u 0
* ij * i
• 即对应于弹性体处于无体力、无面力的 自然状态，因此必有 (1) ( 2) * • 即 0
ij
பைடு நூலகம்
ij
ij
• 由本构方程知应变也相等。仅有应力边 界条件时，应力和应变解具有唯一性。 在另两类问题（位移边界和混合边界） 中，位移也是唯一的。
S(X,Y,Z)
(2) 弹性力学问题分类
按边界条件分类
(X,Y,Z)
• a. 位移边界问题
Su
• b. 静力边界问题
• c. 混合边界问题
圆筒受内外水压力作用（静力边界问题）
重力坝受水压力作用（混合边界问题）
(3) 弹性力学的基本解法
求解物理量
应力
变形(位移与应变)
• 平衡微分方程 • 静力边界条件
4.2 弹性力学的发展简史
• 柯西还给出了几何方程。在十九世纪的中后期，1853年， 他提出了半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转 问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定假设简化下 得到的近似解的准确程度。此外，他提出了著名的圣· 维南 原理， • 电磁学的奠基人之一，物理学家基尔霍夫多才多艺，在弹 性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学” ，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形——板 ，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出 了控制方程。随着板和壳结构出现在土木和机械工程领域 ，这一理论得到了广泛的应用。 • 电磁学的另一奠基人，亥姆霍兹在弹性力学领域同样功勋 卓著。他建立了弹性自由能的概念，还利用亥姆霍兹变换 得到无限大弹性体中的应力波解。
因此，拉梅方程的通解为：
考虑几何方程和本构方程
应力：
应力边界条件：
地表：
z=0
z=0
位移解
应力解
(1) 水平边界上任一点的沉陷为
(2) 当z=0，R=r 时
解的性质
• 存在性：可从物理现象上理解 • 唯一性：假设两组不同的解，比较它们的差别 可证明。 • 假设在同一条件下存在两组不同的解 •
• 唯一性定理的重要意义：为逆解法和半逆解法 提供了理论依据。 • 逆解法就是预先选取一组位移或应力函数，验 证是否满足基本方程和边界条件，如果满足， 就是问题的正确答案。
• 半逆解法就是先假设一部分未知量为已知，然 后利用基本方程和边界条件，确定其余的未知 量。
圣维南原理
（1）局部作用原理 作用在物体局部表 面的自平衡力系， 仅对局部范围产生
( , , u )
(1) ij (1) ij (1) i
和
(
( 2) ij
,
( 2) ij
,u )
( 2) i
• 考虑两组解的差值：

* ij * ij (1) ij (1) ij
( 2) ij ( 2) ij
u u
* i
(1) i
u
( 2) i
• 将它们对应的平衡方程、静力边界条件和 位移条件也相减，得到：
4.2 弹性力学的发展简史
• 大师耕耘(1700-1880)
• 伯努利兄弟（瑞士）引入了应力和应变的概念。 • 1727年，欧拉（瑞士）给出应力、应变之间的线性关系， 即σ=Eε。 • 1807年，托马斯· 杨发展了一个类似的概念，因此，现在通 常称比例系数E为杨氏模量。 • 1774年，欧拉还分析了压杆失稳问题。作为表明弹性力学 历史地位重要性的经典例子，压杆失稳的弹性力学分析触 发了两个重要的数学概念。其一是“变分原理”；其二是 “分岔”的概念，它是非线性分析的中心内容。
v w v y yz z y y
w w u z zx x z z
几何方程求应变
xz yz z Z 0 x y z
本构方程
物理方程求应力
x=2Gx +
y=2Gy + z=2Gz +
xy = Gxy
v y y
w z z
xz yz z Z 0 x y z
• 本构方程
w u zx x z
x=2Gx +
y=2Gy + z=2Gz +
xy = Gxy
yz = Gyz zx = Gzx
x y z
显著影响。
（2）静力等效原理： 静力等效的两套力系，物体应力只在力作用 附近有显著差别
P P/2 P
P/2 P/A
P/A
叠加原理
• 两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位
移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。 • 叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所 决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形， 弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。
X
X'
X
X'
X
X+X'
X'
地震断层同震位错反演
Shen et al., NATURE GEOSCIENCE, 2009
几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴） 方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面 都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支 承条件沿z方向也相同。 载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体 积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。
离散系统
4.3 弹性力学的基本假设
• （2）完全（线）弹性假设——物体完全弹性的， 服从Hooke定律：应力应变关系是线性的（成正 比），弹性常数不随应力或形变的大小而变化。
4.3 弹性力学的基本假设
• （3）均匀性假设——物体由同一材料组成，不同 点处的弹性性质处处相同，物体的弹性不随位置 坐标而变化。 • （4）各向同性假设——物体内同一点的弹性性质 在所有方向上都相同。 • （5）小变形假设——位移和形变是微小的，可用 变形前的尺寸代替变形后的尺寸，考察物体的应 变和位移时，可略去高阶小量。
4.2 弹性力学的发展简史
• • • • 启蒙时代(1600-1700) 大师耕耘(1700-1880) 体系形成(1880-1950) 分支发展(Since 1950)
北京航空航天大学讲义 北京航空航天大学成立于1952年
4.2 弹性力学的发展简史
• 启蒙时代(1600-1700)
• 弹性力学早期根植于数学和物理研究中，自牛顿 时代以来逐渐分离出来。最初研究的动机是为了 能够理解断裂行为并进行有效的控制。弹性关系 的概念最先为英国科学家胡克提出，胡克定律， 即“拉力与伸长成正比”发现于1660年，发表于 1678年。胡克定律建立了线弹性的概念，但尚未 表达为应力和应变的形式。
与其它学科的关系
• 理论力学——研究刚体的静、动力学（约束 力、速度、加速度）。 • 材料力学——研究杆状构件在拉、压、剪、 弯、扭状态下的应力和位移。 • 弹性力学——一般平面问题、板、壳和实体 结构等的应力、变形和位移分析。 • 弹性力学是学习后续课程：工程振动、塑性 力学、断裂力学和有限元方法等课程的重要 基础。
x=y=
g(z+A) 1
z= g(z+A)
xy=yz=zx=0
应用边界条件求待定常数 l=m=0, n=-1
X Y 0
Z q
A=q/g
边界条件是：-zz=0=q
解得：
1 1 2 2 w g z A B 2 E 1