谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
谓词公式与翻译(精)
（4）谓词
P（x）为P（a）= 0，P（b）= 1；
Q（x，y）为Q（a，a）= 0，Q（a，b）= Q（b，a）= Q（b，b）
= 1；
L（x，y）为L（a，b）=L（b，a）= 0，L（a，a）= L（b，b）=
1。
求下列公式在解释I下的真值
2）x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））；
在解释I下
5
2.3 谓词公式与翻译
由例可知，对于命题翻译成谓词公式时，机动性很大，由于对个 体描述性质的刻划深度不同，就可翻译成不同形式的谓词公式。
例如：这只大红书柜摆满了那些古书
解法1：
解法2：
设：F(x,y): x摆满了y
设：F(x,y): x摆满了y
R(x): x是大红书柜
x（ P（f（x））∧Q（x，f（x）））
=（ P（f（a））∧Q（a，f（a）））∨（ P（f（b））∧Q（b，f
（b）））
=（ P（b）∧Q（a，b））∨（ P（a）∧Q（b，a））
=（ 1∧1）∨（ 0∧1）
= 1∨0
= 1 2019/6/3
10
【例2.2.1】给定解释I如下
（1）U =｛a，b｝；
人总是要犯错误的。
解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符
号化为：
(a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例2】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。
解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号 化为：
2019/6/3 x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
2019/6/3
7
2.3 谓词公式与翻译
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
4.2 一阶逻辑公式及解释
简单起见，谓词公式简称为公式。
5
定义4.5（量词的辖域） 在公式xA和xA中，称x是指导变元，A为
相应量词的辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束
出现 A中不是约束出现的变项均称为是自由出现的
说明：量词的辖域以量词后第一个括号的范围为准
6
例4.6 指出下列公式中的指导变元，各量词的 辖域，自由出现以及约束出现的个体变项：
（3）但可以利用代换实例的相关性质来判断 某些特殊的公式。而对于一般的公式只能通过构 造解释的方法来判断。
16
定义4.9（代换实例） 设A0是含命题变项p1，p2，…，pn的命题公式，
A1，A2，…，An是n个谓词公式，用Ai（1≤i≤n）处处 代替A0中的pi ，所得公式A称为A0的代换实例。 例如 F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)
4
定义4.4（谓词公式）
谓词公式也称为合式公式，其递归定义如下： （1）原子公式是谓词公式 （2）若A谓词公式，则┐A也是谓词公式 （ 3 ） 若 A，B 是 谓 词 公 式 ， 则 A∧B，A∨B，A→B，
AB也是谓词公式 （4）若A是公式，则xA，xA也是谓词公式 （5）只有有限次使用（1）-（4）生成的符号串才是谓
在谓词逻辑中，项起的是名词的作用，不是句子。
原子公式是谓词逻辑公式的最小单位，最小的句子单位
3
例：D是个体名称的集合， x,y（∈D）为个体变项，a：张三，b：李四 所以x，y，a，b是项 假设f(x):x的父亲，F(x,y):x是y的父亲 f(a), f(f(a)), F(a,b), F(f(f(a)),b) 则f(a):张三的父亲，是项 f(f(a)):张三的祖父，是项 而F(a,b):张三是李四的父亲，是原子公式 F(f(f(a)),b):张三的祖父是李四的父亲，是原子公式
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第二章谓词逻辑
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
第二章谓词逻辑(1)
第二章 一阶逻辑(1/2)
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联 系和数量关系.因而命题逻辑具有局限性，甚至无法 判断一些简单而常见的推理. 考虑下面的推理: 凡偶数都能被2整除；6是偶数.所以，6能被2整除. 这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性.因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为 p， q，r，将推理的形式结构符号化为 (p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性.
(3)令H(x):x登上过木星.命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x)) (2.9) 到目前为止，对于任何一个人(含已经去世的人) 都还没有登上过木星，所以对任何人a， M(a)∧H(a)均为假，因而 x(M(x)∧H(x))为假， 所以(2.9)表示的命题为真.
(4)令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲 人.命题(4)符号化形式为 ┐ x(F(x)→G(x)) (2.10) 这个命题也为真.
有时候将不带个体变项的谓词称为0元 谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a1,a2,…,an)等 都是0元谓词.当F，G，P为谓词常项时，0 元谓词为命题.这样一来，命题逻辑中的命 题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题 看成特殊的谓词.
例2.1.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化， 并讨论它们的真值:
(第5讲)谓词逻辑
W
质，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
U
0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。
3) 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的
S
个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就
T
成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体
域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值
有很大的影响。
XDC
C
S
其他定义
T
由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生
个体词 a1:张红 a2:王南 a3:李华
例： 张红是一个西南科技大学的学生； P(a1)
XDC
C
S
例
|
设有如下命题：
P：上海是一个现代化的城市；
S
Q：甲是乙的父亲；
W
R：3介于2和5之间。
T：李兰与高翔是同班同学。
U
S
解：设有如下谓词：
则上述命题可表示为：
S
也可以理解为“说‘存在一个x，x是自然数且对
T
一切自然数y，x均大于y’是不对的”。
符号化为：x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。
XDC
C
S
|
注意：不可以用最大来直接定义谓词。
S
设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。
W
以上命题可以表示为：x(N(x) ∧B(x))
S
而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称
为全总个体域。
T
4) 设D为非空的个体域，定义在Dn(表示n个个体都在个
体域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函数，称为n
元 谓 词 , 记 为 P(x1,x2,…,xn) 。 此 时 ， 个 体 变 量 x1,x2,…,xn的定义域都为D，P(x1,x2,…,xn)的值域为 {0，1｝。
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式数理逻辑（mathematical logic）是研究形式逻辑（formal logic）的一个分支，它运用数学方法来研究逻辑的基本原理与推理规则。
在数理逻辑中，谓词函数和谓词公式是非常重要的概念。
本文将介绍谓词函数与谓词公式的概念、性质及其在数理逻辑中的应用。
一、谓词函数的定义与性质在数理逻辑中，谓词函数（Predicate Function）是一种将一组变量映射到真值的函数。
它通过变量的赋值将谓词的真值确定下来。
谓词函数的定义可以用集合和映射来描述。
1.1 谓词函数的定义设P是一个谓词，n是一个正整数，X1, X2, ..., Xn是n个变量，则称(P, n)为一个n元谓词，也称为谓词函数。
通常用P(x1, x2, ..., xn)来表示一个具体的n元谓词函数。
1.2 谓词函数的性质（1）真值集合：对于给定的变量赋值，谓词函数的结果是一个命题（proposition），即取值要么为真，要么为假。
谓词函数的真值集合可以用集合来表示。
（2）变元：谓词函数中的变量称为变元（arguments）。
变元的个数决定了谓词函数的元数（arity）。
（3）布尔函数：谓词函数可以看作是一种特殊的布尔函数，即输入是布尔值，输出也是布尔值的函数。
（4）值域：谓词函数的取值范围称为值域（range）。
值域通常是真值集合{真, 假}。
二、谓词公式的定义与性质谓词公式（Predicate Formula）是由谓词函数和逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含、等价等）通过逻辑运算得到的复合命题。
谓词公式可以描述系统中的关系、属性和规则等。
2.1 谓词公式的定义谓词公式由谓词及其变元，逻辑连接词和量词（如全称量词∀、存在量词∃等）组成。
谓词公式可以使用自由变量或约束变量形式来表示。
2.2 谓词公式的性质（1）合法公式：符合数理逻辑规则的谓词公式称为合法公式，也称为良构公式。
（2）可满足性：对于合法公式，如果存在一种变量赋值使该谓词公式成为真命题，则称该谓词公式是可满足的。
离散数学习题课-谓词逻辑
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
11
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
谓词公式及解释
一个是在马路上散步的“李勇”，
为了避免这种“误会”出现，要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解：尽管x在公式x(F(x)G(y))出现，又在
y(H(x)L(x,y,z))出现，但两个x不是一回事， 只是恰巧二个名字相同而矣，
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现，出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z，各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元：xA和xA中的x 量词辖域：xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现：指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现：不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解：
与变元约束情况
解：x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z))， x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr， 将与前一个同名约束变元xs，则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同，究竟 如何确定一个公式的真值呢？
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义：个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项， (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式：
离散数学题型梳理-第7章谓词逻辑
离散数学常考题型梳理第7章谓词逻辑一、题型分析本章主要介绍谓词逻辑的基本概念、基本定理与方法等．经常涉及到的题型有：7-1谓词公式的翻译7-2求辖域、约束变元、自由变元、变元换名7-3在有限个体域下消去量词7-4谓词推理演算因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．谓词用以描述个体的性质或个体间关系的语法模式称为谓词．谓词命名式是谓词与个体和个体变元结合的表示形式．谓词命名式也简称为谓词．谓词一般用大写字母P、Q、R等表示，个体一般用小写字母a、b、c等表示，个体变元就一般用小写字母x、y、z等表示．谓词可以写成P(x，y)、H(x，y，z)、F(x)等形式．2．量词将表明个体取值量上的词“任意”、“所有的”、“全部”、“凡是”、“一切”等称为全称量词．全称量词用∀表示．将表明个体取值量上的词“存在”、“有的”、“有些”、“至少有”等称为存在量词．存在量词用∃表示．在书写谓词时，通常将个体变元的个体域定义为全总个体域，然后根据需要对各个不同的个体应用描述个体特性的谓词（称为特性谓词）来加以约束限制．在谓词形式中，特性谓词的加入有两条规则：(1) 对全称量词，特性谓词作为蕴含式（条件式）的前件加入．(2) 对存在量词，特性谓词作为合取项加入．即在命题符号化时要注意：使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧．设G(x)是一元谓词，个体域为D．则命题∀xG(x)的真值：∀xG(x)取1值当且仅当对任意x∈D，G(x)都取1值．∀xG(x)取0值当且仅当有一个x0∈D，使得G(x0)取0值．命题∃xG(x)的真值：∃xG(x)取1值当且仅当有一个x0∈D，使得G(x0)取1值．∃xG(x)取0值当且仅当对任意x∈D，G(x)都取0值．3．谓词公式谓词公式可由下述各条规则组成：(1) 原子公式是合式公式．(2) 若A是合式公式，则⌝A是合式公式．(3) 若A与B均是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)是合式公式．(4) 若A是合式公式，x是A中出现的任何变元，(∀x)A与(∃x)A均是合式公式．(5) 仅有限次应用规则(1)至(4)构成的公式为合式公式．由上定义知，命题演算公式也是谓词合式公式．4．变元的约束对于(∃x)P(x) 或(∀x)P(x) 形式的公式，∃或∀后面所跟的个体变元x称为相应量词的指导变元．紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域．在量词的辖域内指导变元的一切出现均称为变元的约束出现．约束出现的变元称为约束变元．在公式中，变元的非约束出现称为变元的自由出现．自由出现的变元称为自由变元．约束变元的换名规则：对约束变元进行换名，即将量词辖域中出现的某个约束变元和相应的指导变元，换成另一个辖域中未曾出现过的变元符号，公式中的其余部分不变．自由变元的代入规则：对自由变元进行代入，即对自由变元用与原公式中所有变元不同的符号去代替，并且处处代替．5．在有限个体域下消去量词当个体域为有限集合{a1，a2，…，a n}时，消去量词的规则为：(∀x)P(x)⇔P(a1)∧P(a2)∧…∧P(a n)(∃x)P(x)⇔P(a1)∨P(a2)∨…∨P(a n)6．推理理论谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等价式，重言蕴含式以及P规则、T规则、CP规则在谓词演算中仍然适用．谓词逻辑中几个常用的等价式：⌝(∀x)P(x)⇔(∃x)⌝P(x)⌝(∃x)P(x)⇔(∀x)⌝P(x)(∀x)(A(x)∨B)⇔(∀x)A(x)∨B(∀x)(A(x)∧B)⇔(∀x)A(x)∧B(∃x)(A(x)∨B)⇔(∃x)A(x)∨B(∃x)(A(x)∧B)⇔(∃x)A(x)∧B（注：子公式B中不出现约束变元x）(∀x)(A(x)∧B(x))⇔(∀x)A(x)∧(∀x)B(x)(∃x)(A(x)∨B(x))⇔(∃x)A(x)∨(∃x)B(x)谓词逻辑的推理演算新增加了添加与消去量词的四条规则：(1) 全称指定规则（全称量词消去规则），表示为US，即：(∀x)P(x)P(c)此规则是对量词约束的变元任意指定一个个体，其逻辑含义是，如果(∀x)P(x)成立，则可以任取个体域中某个任意的个体c，而P(c)也是成立的．(2) 全称推广规则（全称量词附加规则），表示为UG，即：P(c)(∀x)P(x)此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广，其逻辑含义是，如果对于个体域中任意的个体c，有P(c)成立，则(∀x)P(x)也成立．(3) 存在指定规则（存在量词消去规则），表示为ES，即：(∃x)P(x)P(c)此规则是对量词约束的变元指定一个个体，其逻辑含义是，如果(∃x)P(x)成立，则个体域中有某个个体c使得P(c)成立．(4) 存在推广规则（存在量词附加规则），表示为EG，即：P(c)(∃x)P(x)此规则是对使得谓词P成立的个体c进行推广，其逻辑含义是，如果对于个体域中存在某个个体c，使P(c)成立，则(∃x)P(x)也成立．二、常考知识点分析常考知识点1：命题公式的翻译（历年考核次数：5次，本课程共考过6次；重要程度：★★★★★）（2008年7月试卷第13题）将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．[解题过程]设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课．则语句“有人去上课．”翻译成谓词公式为x P x Q x∃∧．()(()())易错点：有同学会误表示为(∃x)(P(x)→Q(x))．提示：用存在量词“∃”来表明个体的取值量，对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)来加以约束限制时，特性谓词作为合取项加入．（2009年1月试卷第13题）将语句“所有的人都学习努力．”翻译成谓词公式．[解题过程]设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力．则语句“所有的人都学习努力．”翻译成谓词公式为(∀x)(P(x)→Q(x))．易错点：有同学会误表示为(∀x)(P(x)∧Q(x))．提示：用全你量词“∀”来表明个体的取值量，对各个不同的个体应用描述个体特性的特性谓词P(x)来加以约束限制时，特性谓词作为条件式的前件加入．常考知识点2：量词辖域、约束变元、自由变元（历年考核次数：3次，本课程共考过6次；重要程度：★★★）（2008年9月试卷第16题）设谓词公式)yxzQyzxPx↔→∃，试∀∧∀yRy,,))(),()Fz(y(,(（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．[解题过程] （1）量词∃的辖域为)),,(),((z x y zQ y x P ∀→，第1个量词∀的辖域为),,(z x y Q ，第2个量词∀的辖域为),(z y R ．（2）)),,(),((z x y zQ y x P ∀→与)(y F 中的y ，以及),(z y R 中的z 为自由变元． )),,(),((z x y zQ y x P ∀→中的x ，),,(z x y Q 中的z ，以及),(z y R 中的y 为约束变元．易错点：求辖域容易出错，要注意式中括号的配对．提示：紧跟量词后面的个体变元为该量词的指导变元，在该量词的辖域中与指导变元相同的变元为约束变元，与指导变元不同的或不在任何量词的辖域中的变元为自由变元。
谓词逻辑——精选推荐
第二章谓词逻辑在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。
因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些简单的推理。
例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底是要死的。
我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。
设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。
则“苏格拉底三段论”可符号化为（p∧q）→r。
显然（p∧q）→r不是重言式。
因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。
2.1 谓词逻辑的基本概念2.1.1 个体与谓词我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。
定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立存在的客体。
谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。
个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。
例2.1-1⑪海水是咸的。
⑫张强与张亮是兄弟。
⑬无锡位于上海与南京之间。
⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“…是咸的”、“…与…是兄弟”和“…位于…与…之间”都是谓词。
⑪中的谓词描述了一个个体的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。
依次类推，我们将描述n个个体之间关系的谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。
为方便起见，将命题称为零元谓词。
例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。
这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。
P(x)、Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。
然而，仅仅一个谓词，即使是谓词常元，也不能构成一个命题。
1第2章谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词....
第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。
谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。
一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。
离散数学 第三章 一阶逻辑
在引入特性谓词后， 5. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存 在量词符号化的形式是不同的。 在量词符号化的形式是不同的。
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数. 解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数 (2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
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例1(续) 续
2 (2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 是无理数 3 在一阶逻辑中, 是无理数, 在一阶逻辑中 设F(x): x是无理数 G(x): x是有理 是有理 数 F ( 2 ) → G( 3 )
F ( 2 ) → G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 如果 ，
符号化为
在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, ： ， ： 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
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在不同的个体域中, 4. 在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样 将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 例：将命题符号化: 凡有理数均可表成分数, 个体域是有理数集合. (1) 个体域是有理数集合. (2) 个体域是实数集合 解(1)∀xA(x) 其中A(x)：x可表成分数
(2)∀x( R(x)→A(x) ) 其中 R(x)：x是有理数， A(x)：x可表成分数
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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 兔子比乌龟跑得快 (2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
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离散数学自考第二章
定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 辖域（ 辖域 作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 指导变元（作用变元） 指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 约束变元： 约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。 自由变元： 自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题 函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 代入规则： 代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
代数结构-谓词逻辑
符号串才是谓词公式。
2.2.1 谓词公式与翻译
•
由定义可知，谓词公式是由原子公
式、命题联结词、量词以及圆括号按照上
述规则组成的一个符号串。因此，命题逻
辑中的命题公式是谓词公式的一个特例。
•
为叙述方便，我们下面讨论只含
体变元的顺序影响命题真值，不能随意改动。
2.1.3 量词
• 定义2.7 表示个体常元或变元之间数量关系的词叫
量词；表示“全部”，“所有的”，“一切的”，“每 一个”，“任意的”等数量关系的词叫全称量词，用符 号“”表示；表示“存在一些”，“有一些”，“至 少有一个”等数量关系的词叫存在量词，用符号“” 表示；表示“存在惟一”，“恰有一个”等数量关系的 词叫存在惟一量词，用符号“！”表示。
R。这里的谓词是二元谓词，属于谓词变 元。
2.1.2 谓词
• 例2.2 用个体，谓词表示下列命题。
• （1）张华是大学生。
• 解 令a：张华； S(x)：x是大学生。整个命题 可表示为：S(a)。
• 说明：
•
①若x的个体域为某大学计算机系的全体学生，则
S(a)为真；
•
②若x的个体域为某中学的全体学生，则S(a)为假；
• （1）所有的整数都是有理数。 • （2）有些整数是奇数。 • （3）存在着惟一的偶素数。 • 解 （1）令P(x)：x是有理数，则命题可表示
为：xP(x)。 • （2）令Q(x)：x是奇数，则命题可表示为：
xQ(x)。 • （3）令R(x)：x是偶数，S(x)：x是素数，则
命题可表示为！x(R(x)S(x))。
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
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基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
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例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑基本概念 2.2 谓词逻辑合式公式及解释 2.3 谓词逻辑等值式与前束范式
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词 谓词 量词 谓词逻辑中命题符号化
2
命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论： p：凡是人都会死的. q：苏格拉底是人. r：所以苏格拉底是会死的. 这是一个正确的推理，但是在命题逻辑中无法得到 证明（ (p∧q)→r并非重言式），因为此推理的正 确性与原子命题的内部结构有关，而命题逻辑中 研究的推理，其正确性完全取决于原子命题之间 的复合关系。
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例(续)
(3) ∀xF(x)→(∀xF(x)∨∃yG(y))；
重言式p→(p∨q)的代换实例, 是逻辑有效式. (4) (F(x,y)→R(x,y))∧R(x,y)； 矛盾式(p→q)∧q的代换实例, 是矛盾式.
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例(续)
(5) ∀x∃yF(x,y)→∃x∀yF(x,y). 取解释I：个体域N, F(x,y)为x=y. 公式被解释为∀x∃y(x=y)∃x∀y(x=y)，其值为假. 解释I′: 个体域N, F(x,y)为xy, 得到一个新的 在I′下,
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谓词逻辑中命题符号化(续)
例 在谓词逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x))
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基本概念——个体
在“苏格达拉是人”这句话中，苏格拉底是主语， 也是判断或陈述指向的对象，逻辑学上称为个体 个体: 表示个别的事物（对象），独立存在的客体 个体常元：具体的事物，用a, b, c表示 个体变元：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域 : 个体变元的取值范围，即其所有可能值 的集合 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物的集合
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基本概念——量词
量词: 用来对个体变元的取值施加某种量的规定 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的（个 体） 。 如 x 表示个体域中任意的x 存在量词: 表示存在, 有的, 某个，至少有一个 （个体）。 如 x 表示在个体域中存在x
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谓词逻辑中命题符号化
例 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在谓词 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p 在谓词逻辑中 , 设 a ：墨西哥， F(x) ： x 位于 南美洲, 符号化为F(a) 由此例可见，同一简单命题，在谓词逻辑中符号化 以后，可表示出其内部结构，而在命题逻辑中不能
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原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
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合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式. 如 x0, x (F(x)G(x)), xy(x+y=1)
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2.2 谓词逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变元的自由出现和约束出现 解释与赋值 公式分类
永真式，矛盾式, 可满足式
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字母表
定义 字母表包含下述符号： (1) 个体常元：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 个体变元：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 (4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
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基本概念 —谓词及其常/变元
在“苏格达拉是人”这句话中，“…是人”是谓语， 表示苏格拉底具有的性质，逻辑学上称为谓词 谓词: 表示个体的性质、状态或个体间关系的词 谓词常元：具体或特定的谓词。例如 “…是人”是一个具体的谓词，即谓词常元， 可用 F 来表示它，将 F 作用于个体 x ，记为 F(x) ，则表 示“x是人”，前面那句话可表示为 F(苏格拉底) 谓词变元：抽象或泛化的谓词。 例如 F(x)：x具有性质F 注：若x为个体变元，我们将F、 F(x)都称作谓词， 就像f 为函数，含有变量的 f(x)也称为函数一样. 5
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公式的解释与分类
给定闭式 A=x(F(x)G(x)) 取个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A=x(x>2x>1) 真命题
给定非闭式 B=xF(x,y) 取个体域N, F(x,y): xy 代入得B=x(xy) 不是命题 令y=1, B=x(x1) 假命题
闭式只需要解释, 如(4),(5)
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公式的分类
永真式(逻辑有效式):在任何解释和赋值下为真命题 矛盾式(永假式):在任何解释和赋值下为假命题 可满足式：存在成真的解释和赋值
说明： 永真式为可满足式，但反之不真 谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判 定的
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代换
定义 设A是含命题变元p1, p2, …,pn的命题公式， P1,P2,…,Pn是n个谓词公式，用Pi处处代替A中的pi (1in) ，所得公式A'称为A的代换实例.
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解释和赋值
定义 解释I由下面4部分组成：
(a) 非空个体域DI
(b) 对每一个命题常元a 指定一个 a DI (c) 对每一个函数符号f指定一个DI上的函数 f (d) 对每一个谓词符号F指定一个DI上的谓词 F 赋值：对每一个自由变元x指定一个值(x)DI 公式 A 在解释 I 和赋值 下的含义： 取个体域 DI, 并将公式中出现的a、f、F 分别解释成 a 、 f 、 F , 把自由出现的x换成(x)后所得到的命题. 在给定的解释和赋值下, 任何公式都成为命题.
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实例
例 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 以及赋值：(x)=0, (y)=1, (z)=2. 说明下列公式在 I 与下的涵义,并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),y) x(2x=1) 假命题
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项
定义 项的定义如下： (1) 个体常元和个体变元是项. (2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.
个体常元、变元是项，由它们构成的n元函数和复 合函数还是项
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个体变元的自由出现与约束出现
定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相 应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都 称为约束出现，A中不是约束出现的其他变元均称 为是自由出现. 例如, 在公式 x(F(x,y)G(x,z)) 中, A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现， y与z均为自由出现. 闭式: 不含自由出现的个体变元的公式.