《基本不等式》教案
教案分析(5篇)
教案分析（优秀5篇）在教学工实际的教学活动中，可能需要进行教案编写工作，借助教案可以让教学工作更科学化。
那么什么样的教案才是好的呢？小编的我精心为您带来了5篇《教案分析》，希望能够给您提供一些帮助。
基本不等式教案篇三【教学目标】1、知识与技能目标(1)掌握基本不等式，认识其运算结构；(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义；(3)能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；(2)体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物；(2)体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。
【教学难点】幼儿园基本教案分析篇四幼儿园基本教案分析红色冲刺：一、说教材：中班幼儿是各种动作和能力逐步形成的时期，培养幼儿对信号的反应能力和动作的协调性，是建构式教材的重点之一。
新年刚过，幼儿们对红彤彤的新年还余兴未尽。
红色象征着喜庆热闹、吉祥祝福。
选择这个课题引导幼儿积极向上。
团结协作。
分辨多种颜色和按规律接龙是与建构式教材整合多方面知识相吻合的、让幼儿在生活和游戏中体验快乐，增强幼儿的自信心。
二、说教学目的：1、练习快跑，巩固跑步的正确姿势。
2、培养幼儿对信号的反应能力和动作的协调性。
3、区分颜色、能按规律接龙。
三、教学重点：看颜色做跑、爬、跳等相应的动作。
四、说教法：针对这次教育活动的教学目的，根据幼儿的实际情况，在整个活动过程中以竞赛和游戏的形式进行。
使整个过程动静结合，让幼儿在轻松愉快的环境中学习，做到师幼交融互动。
物我交融互动。
活动是有组织、有规范、有秩序、适合整体发展的活动。
五、说教学过程：1、以热身运动，引发幼儿对体育锻炼的兴趣。
2、以“你追我赶“这个游戏让幼儿知道正确跑步的姿势，和探索怎样跑得快的决窍，通过活动激发幼儿的竞争意识和团结协作共同向上的精神。
教案2第02课时 基本不等式
课 题： 第02课时 基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程：一、知识学习：定理1：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝” 号）证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab∴a ＋b ≥2ab ，即a ＋b2≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教案•相关推荐《基本不等式》教案课题:基本不等式第2课时时间：2010.10.29 地点：阳春四中年级：高二【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。
【教学过程】1.课题导入 1．重要不等式：如果 2．基本不等式：如果a,b是正数，那么 3.我们称的算术平均数，称的几何平均数. 成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
2.讲授新课例1 (1)已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得当且仅当 =，即m=2时，取等号。
规律技巧总结注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
(2) 求证: . [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边 .这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 当且仅当 =a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
基本不等式教案最全面(精华版)
基本不等式教案一，教学目标：1，学问与技能：①明白基本不等式地推导过程，懂得几何意义，并把握基本不等式取得等号地条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得地条件，求出一些简洁函数地最值 并能解决一些较为简洁地实际问题；(最大最小值 )， 2，过程与方法：本节内容为同学对不等式熟悉上地一次提升； 要引导同学从数， 形两方面探究基本不等式地证明，从而进一步突破难点；定理地证明要严密，要帮忙同学分析每一步地理论依据，培育同学观看，试验，归纳，判定，猜想等严密严谨地思维才能；3，情感与价值：培育同学举一反三地规律推理才能， 严谨求实地科学态度， 领会数学地应用价值， 激发 同学地学习爱好；同时通过基本不等式地几何说明，提高同学数形结合地才能；二，教学重点与难点：a b重点： 用数形结合思想懂得不等式，并从不同角度探究不等式 ab 地多种说明；2 难点： 懂得“当且仅当 a b 时取等号”地数学内涵，并会应用基本不等式求解函数地最 大最小值问题，以及解决一些简洁地实际问题 .；三，学法与教学用具：先让同学观看常见地图形， 通过图形地直观比较抽象出基本不等式； 从生活中实际问题突出数学本质，可调动同学地学习爱好；定理地证明要留一部分给同学，让他们自主探究；教学用具：直角板，圆规，投影仪，如有条件可以使用多媒体 (几何画板 )进行教学；四，教学设想：1，几何操作，引入问题：给出如右地所示地几何图形， AB 为 O 地直径，点 C 为，连O 于 AB 上任意一点，过点 C 作垂直于 AB 地弦交 DD 结 AD ， BD ，同学们，能通过这个圆以及简洁地三角形得到一些相等与不等地关系吗 .a 2 ，b 2 提问一： ，那么 CD 地长度为多少？，现在我们不妨假设 AC BC 由 AB 为直径可知 ABD 为直角三角形， 再依据 DC AB ，简洁证得 ACD ∽ DCB ， 即得 CD ab ；提问二： 依据中学学习地学问，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆地直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径地长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等；提问三： 结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，如可以，等号成立地条件为什么？1 DD2 第一由垂径定理可知， CD ，因此有 DD 2ab ，即为 O 地一条弦长，而2 2 2 2 O 直径地长度， a b 表示地为 依据上一问地结论可以得知有不等式 a b 2ab ，两2 2a b 边同时除以 2 ，不等式可以表示为： ab ；再据上一问地结论，易知上述不等式可2 a b 时 (即当点 C O 重合时以成立当且仅当 与圆心 )，等号才成立；a 2b 22 提问四： a , b 深化摸索，假如将不等式 ab 中地 a , b 用 替换，能够得到什么结论；这时， a , b 有什么条件限制吗？a b替换之后，不等式即变为 ab a b 时等号成立；此时要求有，当且仅当 2 a 0 , b 0 ；2，代数证明，得到结论：依据上面地几何分析结果，我们初步形成不等式结论：2 2 a b 2ab ①a b如 ab a, b R ，就 ②2 提问五： 能否给出上述两个不等式严格地证明？ ( 同学尝试证明后口答 , 老师板书 )a 2b 2 b)2；证明① ( 作差法 ) ： 2ab (a b ) 2 b) 2 a b 时， (0 ；当 a 又 当 b 时， (a 0 ；2 2 a b 2ab ，当 b 时取等号；a a 2b 2 a b （留意强调：当且仅当 时, 有等式 2ab 成立）证明② (分析法 )：由于 a, b R ，于为a b要证 ab ， ③2 只要证 2 ab ， ④a ba b 2 ab 0 ， 要证④，只要证 ⑤b )2 要证⑤，只要证 ( 0 ， a ⑥a b 明显，⑥为成立地，所以 ab ，当且仅当 b 时取到等号 ；a 2 于为我们得到这节课要学习地内容：a b基本不等式：如 a,b R ab a b 时，等号成立），就 （当且仅当 2 3，深化熟悉：a b 为 a b2a ,b 地算术平均数 ；因此基本不等式 为 a , b 地几何平均数； 称 1.称 ab ab 2 地代数意义为： 两个正数地几何平均数不大于它们地算术平均数；a b 成立地条件仅需2.其实 0 就可以，但 a 0 或 b 0 时定理明显a 0 ,b ab 2 成立，因此一般仅考虑 a 0 , b 0 地情形；4，例题讲解：b a ab 41，①已知 ab 0 ，求证： 2 7 （ a 3 ）a 例 ②求证： a 3 设计意图：通过简洁例题，同学把握证明格式，懂得“前提条件” ，“等号成立条件” ； ( 1 1)( 1 1)( 1如 a, b, c (0, ) ，且 a b c 1，求证： 1) 8例 2， a b c 设计意图：娴熟运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件地运用；100m 2 地矩形菜园，问这个矩形地长，宽各为多少时，所用 例 3，（ 1）用篱笆围一个面积为 地篱笆最短，最短地篱笆为多少？（2）一段长为 36m 地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长，宽各为多少时，菜园地面 积最大；最大面积为多少？分析：（ 1）当长与宽地乘积确定时，问周长最短就为求长与宽与地最小值； 宽地与确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大（ 2）当长与 4800 m 3 ，深为 3m ；假如池底每平 例 4，某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 方米地造价为 150元， 池壁每平方米地造价为 造价为多少元？ 120元， 怎样设计水池能使总造价最低？最低分析： 如底面地长与宽确定了， 宽各为多少时，水池地总造价最低；水池地造价也就确定了， 因此可转化为考察底面地长与 设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及依据题意列出函数表达式 利用基本不等式来求最大（小）值；,要懂得 例题总结：a,b R 1. 两个正数地与为定值时，它们地积有最大值，即如 ，且 a b M ， M 为2M 4 定值，就 ，等号当且仅当 a b 时成立 .ab R ，且 ab P ， P 为定值， 即如 a, b 2.两个正数地积为定值时， 它们地与有最小值， 就 a b 2 P ，等号当且仅当 a b 时成立 .课堂练习2ab 1 设 a , b 均为正数，证明不等式： .1 a b 1 bc a b c a 8abc2 已知 a , b , c 都为正实数，求证： 5，摸索争论：bc a ca b 4 y abc （1）设 a b x clg y 地最大值及相应地 a, b, c R ，求证： （2）已知 x 0, y 0 ，且 3x 12 ；求 lg x , y 值；6，归纳总结：提问六： ①通过本节课地学习，你学到了什么学问？②在解决问题地基础上，你把握了哪些探求问题地方法与数学思想方法？综合同学地回答，老师再在此基础上总结：a b（1）基本不等式： 如 a,b R ，就 （当且仅当 a b 时，等号成立）ab 2 （2）运用基本不等式解决简洁最大最小值问题，把握解题地基本方法；在使用 “与为常数， 积有最大值 ”与 “积为常数，与有最小值 ”这两个结论时，把握 “一正，二定，三相等 ”；当条 件不完全具备时，应制造条件使之具备条件；一般说来， “见与想积，拆低次，凑积为定值， 就与有最小值 ; 见积想与，拆高次，凑与为定值，就积有最大值 （3）数学思想与方法技巧：. ”；数学思想 ：基本不等式地探究过程 （从特别到一般） ；基本不等式地几何说明 （数形结合） ； 数形结合思想， “整体与局部 ”.方法技巧 ：（ 1）换元法，比较法，分析法（ 2）配，凑等技巧；老师归纳总结：整堂课要环绕如何引导同学分析题意， 设未知量， 找出数量关系进行求解这个中心； 例 题地支配应当从易到难， 从简洁到复杂， 适应同学地认知水平； 老师要依据课堂情形准时提 出针对性问题， 同时通过同学地解题过程进一步发觉同学地思维漏洞， 误；订正数学表达中地错 7，测评设计：（1）基本作业：课本 P100 习题 A 组 3 ， 4 题， B 组 1， 2 题；（2）提高练习：4 ①求 y 2 3x x 1） . 地最小值（其中 x ，求 11 sin x②已知 0 x y sin x 地最小值． 2x 8 y ③已知 x 0 , y 0 ，且 1，求 xy 地最小值．3x 3 y ④设 x , y R ，且 x y 2 ，求 地最小值． 1 x 1 y ⑤已知正数 x , y 满意 x 2 y 1 ，求 地最小值五，教学后记，教学反思： （教材：人教版新课标必修 5）。
基本不等式课程设计
基本不等式课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握基本不等式的概念、性质和应用，能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
具体目标如下：1.了解基本不等式的定义和性质。
2.掌握基本不等式的证明方法。
3.理解基本不等式在实际问题中的应用。
4.能够运用基本不等式解决一些简单的问题。
5.能够运用基本不等式进行不等式的证明。
情感态度价值观目标：1.培养学生的逻辑思维能力。
2.培养学生的数学美感。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括基本不等式的定义、性质和应用。
具体内容如下：1.基本不等式的定义：介绍基本不等式的定义，解释其含义和作用。
2.基本不等式的性质：讲解基本不等式的性质，包括对称性、单调性等。
3.基本不等式的应用：介绍基本不等式在实际问题中的应用，如求最值、证明不等式等。
三、教学方法为了激发学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法：1.讲授法：教师通过讲解基本不等式的定义、性质和应用，引导学生理解并掌握知识。
2.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生通过互动交流，加深对基本不等式的理解。
3.案例分析法：教师通过举例子，让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固知识。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：为学生提供《数学课本》等相关教材，作为学习的基本依据。
2.参考书：提供一些数学参考书，供学生课后拓展学习。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，帮助学生直观理解基本不等式的性质和应用。
4.实验设备：准备一些实验设备，如白板、黑板等，方便教师进行演示和讲解。
五、教学评估为了全面、客观、公正地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括以下几个方面：1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等表现，评估学生的学习态度和理解程度。
2.作业：布置与本节课内容相关的作业，评估学生对基本不等式的掌握情况和应用能力。
3.考试：安排一次考试，测试学生对基本不等式的概念、性质和应用的掌握程度。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
基本不等式说课稿（精选9篇）
基本不等式说课稿基本不等式说课稿（精选9篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，有必要进行细致的说课稿准备工作，借助说课稿可以更好地提高教师理论素养和驾驭教材的能力。
那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的基本不等式说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
基本不等式说课稿篇1各位评委老师，上午好！我是来应聘高中数学的一号考生，我今天说课的题目是《基本不等式》，下面我将从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，说板书设计六个方面展开我的说课，下面开始我的说课！一、说教材。
1教材的地位和作用：《基本不等式》是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。
本节主要内容是基本不等式的证明和简单应用。
它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，在不等式的证明和求最值的过程中有着广泛的应用。
2教学目标：（1）知识与技能：学生能写出基本不等式，会应用基本不等式解决相关问题。
（2）过程与方法：学生通过观察图形，推导、证明等过程，培养观察、分析、归纳、总结的能力。
（3）情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。
3教学重难点：重点：理解基本不等式的本质并会解决实际问题。
难点：基本不等式几何意义的理解。
二、说学情。
为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。
对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但对基本不等式的理解运用能力不足。
这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较困难。
这都将成为我组织教学的考虑因素。
三、说教法。
科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐完美与统一。
根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，我将采用讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。
四、说学法。
教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为自主探究法、分析归纳法。
充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
高中数学必修五《基本不等式》精品教案
高中数学必修五《基本不等式》精品教案教师引导学生通过面积的比较，抽象出基本不等式，并让学生探索取等号的条件。
1.让学生计算正方形ABCD和直角三角形的面积，从而理解不等式的含义。
2.引导学生通过观察前面得到的结论，归纳出基本不等式ab≤(a+b)/2.3.让学生思考取等号的条件，即a=b时等号成立。
4.引导学生思考例子，如何验证取等号的条件。
5.让学生总结基本不等式的几何意义和取等号的条件。
教学环节问题设计意图师生活动巩固练1．已知a，b为正数，且ab=1，求证a+b≥2.2．已知a，b为正数，且a+b=2，求证ab≤1.1.让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固所学知识。
2.引导学生运用基本不等式解决实际问题，加深对基本不等式的理解。
1.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
2.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
五．教学反思本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法，让学生从实际问题出发，通过观察、探究、归纳等方式，深入理解基本不等式的几何意义和取等号的条件。
同时，通过多媒体辅助教学，加深学生对基本不等式的理解。
在巩固练环节，让学生通过实际问题的解决，加深对基本不等式的应用。
整节课教学紧密联系实际，符合学生的研究兴趣和认知规律，达到了预期教学目标。
6.能否用代数证明不等式a2+b2≥2ab？7.如果用a、b替换不等式a+b≥2ab中的a、b，前提条件是什么？能得到什么结论？8.能否用代数证明基本不等式？9.请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10.你们能否利用这个图形解释基本不等式的几何意义吗？教师引导学生：假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，让学生计算正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和，证明不等式a2+b2≥2ab。
2.发挥学生自主研究的能动性，让学生在证明过程中体会分析法的证明思想，并从代数和几何的不同角度理解不等式，拓展学生的思维空间。
基本不等式教案
3.4基本不等式：ab_2第一课时一、教学目标：1、知识与技能：①探索并掌握基本不等式的形式，了解基本不都是的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最（大）小值的问题。
2、过程与方法：通过所给出的实例抽象出基本不等式的形式，让学生体会从特殊到一般的思想方法。
3、情感、态度和价值观：通过实例探索，让学生体会数学源于生活，又服务于生活的思想, 体会出数学的应用价值，同时提高学生对数学的兴趣。
二、教学重难点：1、重点：①应用数形结合的思想理解基本不等式；②从多方面对基本不等式进行证明。
2、难点：①通过实例抽象出基本不等式的过程；②利用基本不等式求解实际问题中的最大值与最小值。
三、教学方法：讲授法与启发式教学法相结合。
四、教具：PPT与黑板五、教学过程：（一）问题引入：如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，徽标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
（二）问题探索：问1:在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=a2 b2，问2：Rt △ ABF,Rt △ BCG,Rt A CDH,Rt A ADE是全等三角形，它们的面积和是S' =2ab问3: S与S'有什么样的关系？!CM 20Q2从图形中易得，s > s ',即a2・b2 _2ab在这个过程中，让学生进行探索，根据图像中的信息抽象出不等式a2• b2 _ 2ab.再通过动画，让学生探讨并体会当a=b时，不等式左右两端相等。
（三）得出结论：（1）1、重要不等式：一般地，a2 b2 _2ab，当且仅当a二b时，等号成立。
问：那么，若a . 0,b .0,那么我们用、a,.-b,代替a,b,得到什么结论呢？2、基本不等式：若a . 0,b 0，那么就有a ab——a亠b即■. ab " ，等且仅当a = b 时，等号成立。
2（2）让学生自行探索其证明过程，根据教师的语言提示，寻找多种方法证明：作差法：证明：a -2 . ab b = （一a . b）2 _ 0a b _ 2 ab分析法：（课件已给出）具体以填空的方式进行。
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文教案中对每个课题或每个课时的教学内容，教学步骤的安排，教学方法的选择，板书设计，教具或现代化教学手段的应用，各个教学步骤教学环节的时间分配等等，都要经过周密考虑，精心设计而确定下来，体现着很强的计划性。
接下来是小编为大家整理的基本不等式教案范文，希望大家喜欢!基本不等式教案范文一【教学目标】1、知识与技能目标(1)掌握基本不等式，认识其运算结构;(2)了解基本不等式的几何意义及代数意义;(3)能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标(1)经历由几何图形抽象出基本不等式的过程;(2)体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标(1)感悟数学的发展过程，学会用数学的眼光观察、分析事物;(2)体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。
【教学难点】基本不等式等号成立条件。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验【教学流程】SHAPE MERGEFORMAT【教学过程设计】创设情景，引入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这是根据赵爽弦图而设计的。
用课前折好的赵爽弦图示范，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的相等和不等关系?赵爽弦图1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2.得到结论：一般的，如果3.思考证明：你能给出它的证明吗?证明：因为当所以，，即4.基本不等式1)特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2)从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1)只要证 (2)要证(2)，只要证 a+b- 0 (3)要证(3)，只要证 ( - ) (4)显然，(4)是成立的。
《基本不等式》教学设计
《基本不等式》教学设计一、教材解读《基本不等式》在人教A 版高中数学必修第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
是理论数学与应用数学结合的良好典范。
下面我们来分析一下本节教材。
（一）内容结构（1） 通过课题揭示重点。
从课题可以很清楚的知道我们将要学习的内容以及重点，所有内容都是围绕这个基本不等式展开。
（2） 实践出真知。
以一个实际问题来探究其中所蕴涵的相等或不等关系，充分体现了新课标所要求的培养学生创新精神及数学应用的意识。
通过探究，学生很容易得到结论：一般地，对于任意实数a ，b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
（3） 代换与证明。
通过代换思想，得到基本不等式0,0)2a b a b +≥>>，接着用分析法及数形结合法来证明基本不等式，体现了一题多解及证明不等式的基本方法。
这部分内容简单，学生基本可独立完成，对于培养学生的自学能力有积极作用。
（4） 课本提示概念。
在正文旁边有一个框图，说明了算术平均数与几何平均数的概念，由此可以总结出一条定理：一列正数的算术平均数不小于它的几何平均数。
这部分虽非重点，但对于拓展对基本不等式的认识是非常重要的，在教学中有必要提示一下。
（5） 实例揭示应用价值。
通过两个实例，体现了基本不等式在求最值时的价值，更进一步体现了“当且仅当时，等号成立”这一条件的重要性。
学生可以从中体会到“积定和最小”及“和定积最大”这两条基本的解题思路。
这两个例题使数学与生活不再那么遥远。
对于培养学生的数学应用意识功不可没。
（6） 习题进一步巩固所学。
共有四道习题，第一道强调了“当且仅当a b =时，等号成立”这一重要条件，是基本不等式的直接应用，难度较小；后面三道是基本不等式在实际生活中的应用，强调了数学与生活有着密切联系这一基本数学观。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
2.2基本不等式(教案)——高中数学人教A版(2019)必修第一册
专题2：基本不等式1．≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．注意：(1)a ＋b 2和ab 分别叫a ，b 的算术平均数和几何平均数 ；(2)两种重要变形：①a ＋b ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ；2．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，则x ＋y x ＝y 时，和x ＋y 有最小 值2p .(简记：积定和最小 )(2)如果和x ＋y 是定值p ，则xy ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大 值p 24.(简记：和定积最大 ) 3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b≥2 (a ，b 同号 )； (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．※考点自测1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x的最小值等于2.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × ) 2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C3．若函数y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．答案 25 m 25．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 116※题型讲练题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 (1)1 (2)23＋2命题点2 “1”字代换法求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为 .(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是 .答案 (1)16 (2)92命题点3 换元法求最值例3 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)15 (2)6(2)已知0<x <12，则y ＝12x (1－2x )的最大值为 .(3)已知x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为_____．答案 (1)C (2)116 (3)2题型二 利用基本不等式解决恒成立问题例4 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为() A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)a ≥15．变式训练2：(1)当x <32时，不等式a ≥x ＋82x －3恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)若对于任意x ∈N *，x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，则a 的取值范围_______．答案 (1) a ≥－52 (2)[－83，＋∞)变式训练3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长= ，宽= 时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 . 答案 长为4.5 m ，宽为3 m 时，面积最大272. (2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明： 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a. 同理1＋1b ＝2＋a b. 所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．※课后练习(时间：45分钟)1．下列不等式中，一定正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 答案：D2．已知x >0，y >0，x ＋y ＝3，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab ≤14B ．1a ＋1b≤1 C ．ab ≥2 D ．a 2＋b 2≥8 答案 D4．正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16 答案 B5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2答案 C6．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于 . 答案 37．已知x ，y ＞0，且4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为_______．答案：38．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为 ．答案 29．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．(单位：元)答案：16010．已知不等式(x ＋y )()1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．答案： 411．已知正数x ，y 满足：x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为 .答案 812．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )()1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.13．已知a 、b 、c 都是正实数，且满足9a ＋b ＝ab ，求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围．解：9a ＋b ＝ab ，故9b ＋1a＝1， 所以4a ＋b ＝(4a ＋b )(9b ＋1a )＝13＋36a b ＋b a ≥13＋236a b ·b a＝25，即4a ＋b ≥25， 当且仅当36a b ＝b a，即b ＝6a 时等号成立． 而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，c 的取值范围为0<c ≤25.14．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为9.。
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普安县第五届中小学优质课评选授课教案
【课题】3．4 基本不等式（1）
【执教人】吴应艳
【上课时间】2013、12、
【教学方法】探究学习、学案导学
【教学手段】投影仪、彩笔
【课型】新授课
【总课时数】1课时
【教学内容分析】
本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。
本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。
【学生学习情况分析】
授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。
因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。
【教学目标】
知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。
能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力
情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。
【教学重点与难点】
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明
过程，并能说明基本不等式的意义
难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置
【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
现将图中的“风车”抽象成下图，
这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力）
（22
a b +，22a b +、2ab ）
问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不
等关系？
（根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等
式， >(a ≠b)） 图一
2
2
b
a +a
b 2
问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。
）
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）所以得不等式：222a b ab +≥这个不等式对任意实数都成立吗？ (二)新课讲授
1、重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，
当且仅当a b =时，等号成立。
问题4：你能给出它的证明吗？
证明一:222)(2b a ab b a -=-+
0)(2>-≠b a ，b a 时当，0)(2=-=b a ，b a 时当
，所以 222a b ab +≥
思路二:要证222a b ab +≥，我们只要证2220a b ab +-≥是否可以？对任意的实数,a b 式子一定成立吗？用分析法.
问题5：如果用a ,b 去替换上述结论中的a ,b ，则a ,b 需要满足什么条件？替换之后能得到什么结论？什么时候取等号？
代换方法：让学生尝试，其他同学要观察展示，思考正误，主动质疑和补充，积极评价，大胆发表自己见解，提出独到想法，促进课堂互动生成。
注意步骤归纳，师板书或多媒体展示
特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,也可写
(0,0)2
a b
a b +≤>>这就是我们本节课研究的不等式：基本不等式（板书课题）
2、基本不等式：特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得
2()0
a b -所以≥
ab b a 2≥+,也可写成(0,0)2
a b
ab a b +≤
>> 3、代数意义：在数学中，我们把2
b
a +叫做正数a ，
b 的算术平均数，
ab
叫做正数a ，b 的几何平均数；从数列角度看，两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项。
问题6：你能利用不等式的性质给出证明吗？
证明:(证法二)要证(0,0)2
a b
ab a b +≥>> 只要证ab b a 2≥+① 要证①，只要证02≥-+ab b a
②
要证②，只要证③
显然, ③是成立的.当且仅当a =b 时, ③中的等号成立
问题7：观察图二,你能用这个图得出基本不等式0,0)2
a b
ab a b +≥>>的几何解释吗？（学生讨论，教师总结）
教师通过已展示出的几何图形分析：设,AC a BC b ==
你能用,a b 表示线段CD 、OD 吗？CD ab =，OD=______ CD 与圆的半径有何关系？
基本不等式的几何意义：半径长不小于弦长的一半;在直角三角形中，直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高线。
教师解释等号成立的几何图形。
D
C A
B
E
O
图二
2
+a b
问题8:基本不等式与重要不等式有何异同点？
不同点：条件不同；相同点：当且仅当a b =时，等号成立。
(三)备用练习
1.0x >时，当x 取何值，1
x x
+的值最小？最小值是多少？
(2)设a >0,b >0,若3是3与3的等比中项,则 + 的最小值为多少？ (五)课堂小结：
请同学们回顾一下基本不等式的探究过程并归纳一下两个不等式的联系和区别
这节课我们通过问题背景，抽象出了不等式 (a 、b ∈R)，
然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式。
(六)课后作业：
课本P100习题3.4A 组 第1,2题
222a b ab +≥。