北大理论力学课件第三章 空间力系

静力学
理论力 学
第三章 空间力系 空间力系：在空间上任意作用的力系。 §3-1 力对点之矩与轴之矩关系
一、力的投影 1).一次投影法 已知：F、夹角 求:Fx、Fy、Fz。
Fx F Fy F Fz F
2
a
2 2
a b c b a b c c
2 2
, , .
2
a b c
2 2
y
M3
300
M2 5 3N m
理论力学
例3－6：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔 所受的切削力偶矩均为80 N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y， z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力 偶矩矢表示，并平移到A点。 可得
Fy F1
FZ F1
M2
3 111.41N 29 Mx=(yFz–zFy)= –0.4· 111.41–0= –44.56N· m
3 M 2 34.28N m; 5 4 M z (xF y yF x ) M 2 16N m ; 5 M y (zF x xFz )
FAZ FAY
FAX F
FBZ
FBX
BZ
y
1 0 FBZ AB - P AB Fsin30 CD 0 2 P x Fix =0, FAX +FBX–Fcos300cos600=0, F =86.6N, AX
Fiy =0, FAY– Fcos2300=0, Fi z=0, FBZ +FAZ–P+Fsin300=0, 校核: MDB =0。 FAY=150N, FAZ=100N,
空间力偶力系平衡方程
空间平行力系平衡方程
Mix=0，
Miy =0，
理论力学
例3－3：重量P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定 在同一墙上，求：杆AD、绳DB，DC的约束内力。 FDC
解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点，
FDB [D] P
Fix 0; FDB
BE CE FDC 0 DB DC
合力偶矩矢的方向余弦
cos M , i 0.6786 cos M , j 0.2811 cos M,k 0.6786
理论力学


例3－7：三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为F， 已知：F=10kN,W=8kN,求：各轮约束反力值。
解：这是空间平行力系，六个平
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
理论力学
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
M0 M x i M y j M z k
M0 r F
i
j y Fy
k z Fz
( yFz zF y )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
Mx= (yFz-zFy)，
力对轴之矩(代)与
力对点之矩(矢)关糸
My= (zFx-xFz)， Mz=M0cosg
10
= 5 10
F
F’
5
理论力学
§3-2 简化与平衡 一、 简化
F1 z F1 A2 A1 0
简 化 中 心
z
z F2 M1 M2 F2 0 Fn Mn x y FR 0
附加力偶
主矢，主矩
M0
y
x
An FN
y
x
主矢： FR Fi , 主矩： M0 Mi M0 ( Fi ),
M 0 M ix i M iy j M iz k
Mix=0 ， Miy =0， Miz=0，
空间任意物 体具有六个 平衡方程可 解六个未知 量。
理论力学
Fix=0 ，
空间汇交力系平衡方程
Fiy =0，
Fiz =0，
Mix=0 ， Miy=0， Miz =0， Fiz=0 ， 具有 三个 平衡 方程 可解 三个 未知 量。
2
Fx=F cosa,
z c F
Fy=F cosb,
Fz=F cosg。
a x
g
b
a
b y
理论力学
2).合成 已知： Fx、Fy、Fz，求F、夹角。 cosα Fx ,
F Fx2 Fy2 Fz2 ,
cosβ F Fy F Fz cosγ 。 F
z
,
3).二次投影法 已知：F、夹角q，g,求： Fx、Fy、Fz 。 Fx=Fxycosq=Fsing cosq Fy=Fsing sinq Fz=Fcong
450 F BA
450
–2FBDcos450sin450+FBCsin750=0,
Fiz=0, –2FBDsin450– FBA+FBCcos750=0, 450 FBD=FBE
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
例3－4A：起重机起吊重量P=1kN，求：立柱AB、绳BC，BD， x’ BE的拉力。 解：B点有四个未知力汇交，
[B] 空间汇交力系
450
z 750
B FBC
C FCB
300
450 P P
FCA
Fix=0, FBDcos2450一FBEsin2450=0, Fiy=0,
E
FBE
FBD 450
FR 2.622 3.982 2.372 4.93 kN
z F2 F1 5 y `
a 57.890 , b 36.160 ,g 61.260
Fy Fz Fx cosα , cosβ , cosγ 。 F F F
x
4
3
理论力 学
二、力对点之矩与轴之矩关系
M x r xi yj zk , 0 Fx F Fx i Fy j Fz k ,
FB=4.93kN，
FC=8.27kN；
理论力学
例3－8：直角三棱柱上有作用力：F1=200N,F2=F’2=100N， 求：所有力对各轴投影值与力矩值。
解：空间力偶矢M2=F2· 0.2=100N · m
Fx F1 2 200 74.28N 2 2 2 29 0.2 0.3 0.4 4 148.56N 29 0.2
柱AB受压。
理论力学
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M2 M1
M3= –10N· m,
Mz=0, M2+M3 cos300=0,
2 ix 2 iy 2 iz
FRy FRx FRz cosa , cos b , cosg FR FR FR
Mx=Mix ， My=Miy ， Mz=Miz，
M0 M M M
2 ix 2 iy 2 iz
合力矩投影定律
My Mx M ' cosa , cos b , cosg z M0 M0 M0
理论力学
主矢： FR Fix i Fiy j Fiz k
FRx=Fix ， FRy=Fiy ， FRz=Fiz ，
合力投影定律
FR F F F 主矩： 0 M ix i M iy j M iz k M
BE=CE,DB=DC,则：FDB=FDC
FDA
Fiy 0; FDB
DO DO DO FDC FDA 0 DB DC DA
DB 20 3 , DA 20 5;
Fiz 0; FDB 2
FDA
EO AO FDA P0 DB DA
3 P 745N, FDB=FDC=289N。 3
衡方程仅有三个独立的，而 Fix0， Fiy0， MZi0，
Mix =0,
y
z
(200–80)W–200· A =0； F FA=4.8kN， Miy =0，
Fiz=0 ，
FC FA
x
FB
60W+(60–20)F–60· A–2· FB =0； F 60· FA +FB+FC–W–F=0；
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
理论力学
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
z F3 FR
j F2 i F 1
F4
k
y `
x 力的矢量分解式 F4 F3 F2
FRx=Fix , FRy=Fiy, FRz=Fiz,
F1
FR2
FR1
理论力学
例3-1:巳知:F1=3kN,F2=2kN,求合力值。 解：
32 42 52 6.32
3 3 Fix F1 F2 2.62k N 5 6.32 5 Fiz F1 2.37k N, 4 4 6.32 Fiy F1 F2 3.98k N 6.32 5
Baidu Nhomakorabea
g q
x
F
y `
Fxy
Fxy=Fsing
理论力 学
4)、合力投影定理 FR1 F1 F2 , FR2 FR1 F3 , FR FR2 F4 F1 F2 F3 F4 Fi ,
FR FRx i FRy j FRz k ,
z
F B b A
a
y
0
x
x=0,y=18,z=20,
My=(zFx-xFz)，
Mz= (xFy-yFx)
理论力学
三、空间力偶 ' M A rAB F MB rBA F
F’ 右手法 则为正
A
M
rAB
B
F
kN· m
大小、转向
M
等效条件 1).任意搬动(水平、垂直) 2).力偶矩矢
193.1 N m M y M 2 80 N m
M z M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
2 2 2 所以合力偶矩矢的大小 M M x M y M z 284.6 N m
M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45
'
理论力学
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
理论力学
例3－9：均质矩形板重P=200N,板用球形铰链A、蝶形铰B与 绳CE固定在墙上，若a=300，求：所有约束力值。 z 解：这是空间力系，有六个平衡方程 Miz =0, FBX=0, F=200N
0 Miy =0, P 1 BC Fsin30 BC 0 2 Mix =0, F =0
理论力学
例3－4：起重机起吊重量P=1kN，求：立柱AB、绳BC，BD， BE的拉力。
z
C
解：B点有四个未知力汇交， 故先从C点求解，
E
B 450
300
450
450 450
P
[C] 平面汇交力系
450 D
A
y
Fix’=0, FCBsin300一Psin450=0, FCB=1.414 P，
x
理论力学
理论力 学
例3-2：拖拉机摇手柄OAB在oxz平面内，在A处作用一个力F, 已 知：F=50N,0A=20cm,AB=18cm,a=450,b=600, 求各轴之矩。
解： Fx=Fcosb cosa =17.7 N Fy=Fcosb sina =17.7 N Fz=Fsinb =43.3 N Mx=18· 43.3-20· 17.7=426 N· m My=20· 17.7=354 N· m Mz= –18· 17.7=-318 N· m Mx= (yFz-zFy)，
理论力学
例3－10：水平圆盘绕AB转轴，A点为轴承，B点止推轴承， 已知：P=100kN，r1=0.2m,r2=0.5m,a=1m,a =300， b =600， z 求：平衡时F力与所有约束力值 F