点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)

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点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)一.点与抛物线的位置关系：已知点P (x o, y o )和焦点为 (1 )点 (2 )点 (3 )点 (x o,y o ) (x o,y o ) (x o,y o ) 在抛物线在抛物线在抛物线 F 抛物线 2y =2px 2 y =2px y =2px y 2=2px (p>0) 内 (P>O) (P>O) (P>0) 2 y o <2p X o 2 y 。

=2px o 2(P>0) (P>0)y o >2p X o ( p>0) 二.直线和抛物线线之间的关系：已知抛物线 C: y 2=2px (p>0)直线 I : Ax+By+C=0 抛物线C 和直线I 相离：(1)抛物线C 和直线I 相离抛物线C 和直线I 无交点方程组得关于X 的方程设为 A 2x 2+2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去x 得关于y ⑵) 别式方程(1)(或方程(2)无解) 0.) 方程(1)中的判别式2y 2PX 无解，消去yAx By C=02的方程,Ay +2pBy+C=0•-<0(方程(2)中的判抛物线 C 和直线I 相切 (2)抛物线C 和直线I 相切抛物线C 和直线I 有唯一交点方程组I 2y 2px 组解方程组I 消去y 得关于X 的方程设A 2x 2+2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去程Ay 2+2pBy+C=0…⑵)有两个相等的实数解方程(1)的判别式 0 0. C 和直线I 相交抛物线C 和直线I 相交抛物线C 和直线I 相交有一个交点或两个交点判别式抛物线 (1) 2 y 2px 有一解或两解抛物线 Ax By C=0C 和直线I 相交: 分类为：1.直线和双曲线有一个交点程设为mf+nx+p=O (1)方程 .直线和双曲线有两个交点有一Ax By C =0X 得关于y 的方(或方程(2)的方程组 y 22px 有一解消去y 得关于X 的方Ax By C=0(1)中的m=0且方程nx+p=0有解；方程组 2y 2p x 有两组不同实数解 Ax By C=0(1 )方程(1 )有两个不同的实数根方程方程组消去y 得关于x 方程设为mx+nx+p=0 判别式 >0. 若抛物线C 和直线I 有两个交点 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2)) 方程(1)中的m 0. 的斜率k AB P y o 2X 22y 2当直线I 斜率是k 时 ABJ (1 k 2)(X 2 为)2I y直线I 倾斜角为时 AB I 为 X 21{1 tan 21*1 •C X o ,y o 是AB 的中点，则直线y 21 ~~cot 2AB三.解题技巧:2(1)抛物线y 22px 上的动点可设为P (—, y )或P(2p t 2,2 pt) P (X o ,y 。

考点102直线与抛物线的位置关系

考点102直线与抛物线的位置关系一、课本基础提炼1．研究直线与抛物线的位置关系,一般是联立两曲线方程,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用．2．有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式二级结论必备过抛物线焦点的动直线与抛物线交于点A,B,则该抛物线在点A,B处的两切线的交点轨迹是抛物线的准线.1.直线与抛物线相交时的弦长问题若直线过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用|AB|＝x1＋x2＋p；若直线不过抛物线焦点,则求直线被抛物线截得的弦长|AB|,常用,对于此类问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,另外注意与面积有关的问题,常用到弦长公式.例1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值．【解析】(1)由题可知F,则该直线方程为代入y2＝2px(p＞0),得设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8,∴x1＋x2＋p＝8,即3p＋p＝8,解得p＝2,∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线l的方程为y＝x＋b,代入y2＝4x,得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵l为抛物线C的切线,∴Δ＝0,解得b＝1.∴l的方程为y＝x＋1.设P(m,m＋1),则＝(x1－m,y1－(m＋1)),＝(x2－m,y2－(m＋1)),∴＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.由(1)可知：x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴(y1y2)2＝16x1x2＝16,y1y2＝－4.,＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14,当且仅当m＝2,即点P的坐标为(2,3)时,的最小值为－14.例2.抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M、N两点,求△AMN面积最大时直线l的方程,并求△AMN的最大面积.【解析】由题意,可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ,①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N,∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5,0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m,x1•x2=m2,点A到直线l的距离为,从而=4(1－m)(5+m)2,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1,△AMN的最大面积为2．抛物线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.例3．已知抛物线y2=4x的一条弦的斜率为3,它与直线交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为_______．【解析】设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2),弦PQ的中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0=1,y1+y2=2y0,又两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)即2y0(y1-y2)=4(x1-x2),∴点M的坐标为3.抛物线的切线问题由于抛物线x2=2py(p≠0),可转化为函数,因此我们可以借助导数的几何意义来研究抛物线的切线.例4. 已知抛物线x2＝2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________．【解析】由x2＝2y,得,∴y′＝x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1),又∴切线方程为,同理可得过点Q的切线方程为,两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为,易知直线l的斜率存在,可设直线l的方程为,由,得x2－2mx－1＝0,所以x1x2＝－1,所以4．面积问题求三角形或四边形的面积最值是高考中的常见问题,解决这类问题的基本方法是把面积表示为某一变量的函数,再转化为函数求最值,或利用基本不等式求最值.例5．(2014•高考四川卷)已知F为抛物线y2＝x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA→•OB→＝2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A．2 B．3【解析】设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图),A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1x2＋y1y2＝2.∴y1y2＝－2.联立得y2－ny－m＝0, ∴y1y2＝－m＝－2,∴m＝2,即点M(2,0)．又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO当且仅当时,等号成立．例6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.【解析】(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,则有∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而当a有最大值时,S有最大值为5.对称问题根据圆锥曲线上存在不同两点关于某直线对称求参数范围，是一类典型问题，解决此类对称问题,要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点,故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出参数范围.例7.已知抛物线y＝ax2－1(a≠0)上总有关于直线x＋y＝0对称的相异两点,求a的取值范围.解：设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线y＝ax2－1上的关于直线x＋y＝0对称的两相异点,则两式相减,得y1－y2＝a(x1－x2)(x1＋x2).再由x1≠x2,得设线段AB的中点为M(x0,y0),则由M点在直线x＋y＝0上,得∴直线AB的方程为联立直线AB与抛物线的方程并消去y,得依题意,上面的方程有两个相异实根,∴a的取值范围是1.(2014•潍坊模拟)过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为的直线l与抛物线y2＝4x交于A,B两点,则|AB|的值为( )【答案】A【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的焦点为(1,0),则直线l的方程为,代入抛物线方程得3x2－10x＋3＝0.根据抛物线的定义,可知|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2．已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C:y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )【答案】D【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,由|FA|=2|FB|知x A+2=2(x B+2) 联立方程用根与系数关系可求3．抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0解方程组,得ax2－kx－b=0,可知,代入验证即可.4.已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_______．答案】y2=4x【解析】设抛物线为y2＝kx,与y＝x联立方程组,消去y,得：x2－kx＝0, x1+x2＝k＝2×2,故y2=4x.1.设抛物线x2＝12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则|AF|＋|BF|＝( )A.12B.10C.6D.8 【答案】D【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1＋y2＝2×1＝2,|AF|＋|BF|＝(y1＋3)＋(y2＋3)＝(y1＋y2)＋6＝8.故选D.2.已知双曲线(a＞0,b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p＝( )A.1 C.2 D.3 【答案】C【解析】由双曲线的离心率.∴双曲线的渐近线方程为.由题意可设得p＝2或－2(舍去).故选C.3.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( )A．48 B．56 C．64 D．72 【答案】A【解析】由题不妨设A在第一象限,联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6),B(1,－2),而准线方程是x＝－1,所以|AP|＝10,|QB|＝2,|PQ|＝8,故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)•|PQ|＝48.4.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则这样的直线有条_______．注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填2.5.设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若FQ＝2,则直线l的斜率等于_______．【答案】±1【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y＝k(x＋1),联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0,x1＋x2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝,设Q(x0,y0),则,又F(1,0),,解得k＝±11.（2015福建文19）已知点F为抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1,0) ,延长AF交抛物线E于点B,求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直GB相切．【答案】（1）y2=4x；（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义得．因为|AF|=3,即,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x．（2）解法一：因为点A(2,m),在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),所以所以k GA+K GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．解法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E：y2=4x上,所以,由抛物线的对称性,不妨设由,F(1,0)可得直线AF的方程为,得2x2-5x+2=0.解得x=2或,从而又G(-1,0),故直线GA的方程为从而又直线GB的方程为所以点F到直线GB的距离这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2.设不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y＝2x2上,l是AB的垂直平分线.(1)当且仅当x1＋x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.【查看答案】【答案】(1) x1＋x2＝0 ；(2)【解析】(1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A,B两点到抛物线的准线的距离相等,∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0,∴上述条件等价于∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1＋x2＝0,即当且仅当x1＋x2＝0时,l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为由y＝2x2,得过A,B的直线方程为∵直线AB与抛物线有两个不同交点,∴联立得32x2＋8x＋5－16b＝0,Δ＝－9＋32b＞0,.因此直线l在y轴上截距的取值范围是3.如图,已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0)．(1)若动点M满足,求点M的轨迹C；(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．(1) 以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆；(2)【解析】(1)由x2＝4y,得∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1,故直线l的方程为y＝x－1,∴点A坐标为(1,0)．设M(x,y),则由得整理得∴动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆．(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零,设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0),①将①代入整理,得(2k2＋1)x2－8k2•x＋(8k2－2)＝0,由Δ＞0得设E(x1,y1),F(x2,y2),由此可得,且0＜λ＜1.由②知(x1－2)•(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4又∵0＜λ＜1,∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是。

直线与抛物线的位置关系说课稿

直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。

2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。

3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。

2.判断直线与抛物线位置关系的方法。

3.实际应用案例。

三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。

3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。

四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。

2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。

3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。

4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。

5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。

五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。

2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。

3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。

如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系

谈学论教在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到判断直线与抛物线位置关系的问题.此类问题侧重于考查直线的方程、弦长公式、点到直线的距离公式、抛物线的方程、一元二次方程的根的判别式、韦达定理等.判断直线与抛物线的位置关系，主要有代数法和几何法两种方法.本文主要探讨一下如何用代数法判断直线与抛物线的位置关系.一、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切、相离.如下图所示.其中相交的有两种情况，即相交于一点（当直线与抛物线的对称轴平行或重合时）、相交于两点.相交于一点相交于两点相离相切于一点二、用代数法判断直线与抛物线的位置关系的思路设抛物线的方程为y 2=2px (p >0),直线l 的方程为：y =kx +b ,则直线与抛物线的位置关系有如下几种情况：1.当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +b ,将此方程代入抛物线的方程y 2=2px (p >0),得k 2x 2+(2kb -2p )x+b 2=0()1，由于方程（1）的二次项系数中含有字母k ，因此方程的最高次数可能是2，也可能是1.若k =0，则方程（1）可化为-2px +b 2=0，由于p >0,所以方程（1）是一元一次方程，此时方程有1个解x =b 22p.由于k =0，所以直线l 与x 轴平行或重合，由图形知，直线与抛物线相交于一点.若k ≠0,则方程（1）是关于x 的一元二次方程.若∆>0，则方程有2个解x 1,x 2(x 1≠x 2)，此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，则方程有1个解x 1=x 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，则方程无解，此时直线与抛物线相离.2.当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =n ,将此方程代入到抛物线的方程，得y 2=2pn ()2,这是关于y 的一元二次方程.若∆>0，即2pn >0，则方程（2）有2个解y 1,y 2(y 1≠y 2),此时直线与抛物线相交于两点；若∆=0，即2pn =0，则方程（2）有1个解y 1=y 2,此时直线与抛物线相切于一点；若∆<0，即2pn <0，则方程（2）无解，此时直线与抛物线相离.综上所述，不管直线的斜率是否存在，要判断直线与抛物线的位置关系，只需将直线的方程代入抛物线的方程中，若得到的方程是一元一次方程，则直线与抛物线必相交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合；若得到的方程是一元二次方程，则需分三种情况进行讨论.当∆>0时，直线与抛物线相交于两点；当∆=0时，直线与抛物线相切于一点；当∆<0时，直线与抛物线相离.这也就是说，当k =0时直线与抛物线相交于一点⇔k =0;当k ≠0时直线与抛物线相交于两点⇔{k ≠0,Δ>0;直线与抛物线相切于一点⇔{k ≠0,Δ=0;直线与抛物线相离⇔{k ≠0,Δ<0.例题：已知直线l 的方程为y =kx +1和抛物线C 的方程为y 2=4x ,请讨论直线l 与抛物线C 的公共点的个数.分析：直线与抛物线的公共点个数有三种情况：（1）2个公共点.即直线l 与抛物线C 相交于两点；（2）1个公共点.即直线l 与抛物线C 相交或相切于一点；（3）没有公共点.即直线l 与抛物线C 相离.这些位置关系与所得的一元二次方程的二次项系数及∆有关.解：将直线的方程代入抛物线的方程中得k 2x 2+(2k -4)x +1=0,若k =0，则l 与C 相交于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2=0，即当k =1时，l 与C 相切于一点；若{k ≠0,(2k -4)2-4k 2>0，即当k <1,且k ≠0时，l 与C 相交于两点；当{k ≠0,(2k -4)2-4k 2<0，即k >1时，l 与C 相离.综上所述，当k =0,或1时，l 与C 有1个公共点；当k <1,且k ≠0时，l 与C 有2个公共点；当k >1时，l 与C 无公共点.利用代数法判断直线与抛物线的位置关系，关键是要构造出关于x 或y 的一元二次方程，讨论其二次项的系数和判别式.只要抓住了这个关键点，就能顺利解题.（作者单位：陕西省神木市第七中学）55。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。

情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。

难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。

三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。

学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。

四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。

2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。

3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。

4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。

五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。

注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。

六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。

直线与抛物线的位置关系

,
汇报人：
目录
交点个数
直线与抛物线相交的个数取决于直线的斜率和抛物线的
开口方向
当直线斜率存在且与x轴不垂直时直线与抛物线最多有两
个交点
当直线斜率不存在（垂直于x 轴）时直线与抛物线有一个
交点
当直线斜率不存在（垂直于x 轴）且过抛物线顶点时直线与抛物线有无
数多个交点
交点坐标
当夹角达到90度时直线与抛物线相切
夹角的变化还会影响交点的个数以及与对称轴的关系
汇报人：
交点性质
交点个数：直线与抛物线可能有一个或两个交点交点位置：交点位于抛物线的对称轴上或对称轴的一侧交点坐标：通过联立方程求得交点的坐标交点性质的应用：判断直线与抛物线的位置关系求解相关问题
直线与抛物线平行无交点
平行
直线与抛物线平行交点在无穷远处
直线与抛物线平行交点在抛物线上
直线与抛物线平行交点在直线两侧
交点坐标的求法：联立直线与抛物线的方程解得交点的x 坐标和y坐标。
交点的性质：交点是直线与抛物线的公共点满足两个方
程。
交点的几何意义：交点是直线与抛物线的交点也是它们
相切的点。
交点与切线的关系：在切点处切线的斜率等于该点的导
数值。
交点与参数关系
当参数为0时直线与抛物线交于原点当参数不为0时直线与抛物线交于两点与参数的正负有关参数的正负决定了交点的位置和数量参数的变化会影响交点的位置和数量
抛物线开口大小变化对位置关系的影响
开口大小变化：影响抛物线的位置关系
开口向上：抛物线与x轴交点随开口增大而增多
开口向下：抛物线与x轴交点随开口减小而减少
开口大小变化对直线与抛物线位置关系的影响：开口增大时直线与抛物线交点增多；开口减小时直线与抛物线交点减少

高中数学专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系教案 1数学教案

直线与抛物线的位置关系【教学目标】1．知识与技能目标：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法2．过程与方法目标：（1）让学生学会联立方程组的解析法与坐标法（2）在推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神.（2）培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1.教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法．2.教学难点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法的应用．【教学过程】☆情境引入☆上节课我们学习了抛物线的几何性质，熟练掌握抛物线的几何性质是解答抛物线基本问题的法宝，这节课我们继续运用抛物线的几何性质研究抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系.☆探索新知☆新知导学1．直线与抛物线公共点的个数可以有_______________．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_______，若Δ>0，则直线与抛物线_______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_____个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问题．答案：0个、1个或2个，相切，相交，没有公共点，一，根考点一：直线与抛物线的位置关系已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0．(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4．由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点； k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点； 1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． [方法规律总结] 判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法，要特别注意，平行于抛物线轴的直线与抛物线有且仅有一个公共点．考点二：弦长问题顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________ __________________．[方法规律总结] 直线与抛物线相交弦长问题，一般将直线与抛物线方程联立，消元化为一元二次方程，用根与系数的关系求解．若斜率为k 的直线与抛物线两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|．考点三：对称问题已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧ k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1，y 1＋y 22＝k f(y 21＋y 222－1＋1.)得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k ，y 1y 2＝k 22＋1k －12. ∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0．故实数k 的取值范围是－2<k <0．针对训练：1.已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝6x .得y 2＝0．因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝6x .由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0 ①当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2．当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k ．由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0．因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2．2.已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝________． 3.已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，求A 、B 两点间的距离．[分析] 本题考查抛物线上的对称问题，可利用A 、B 两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解． ☆课堂小结☆ ☆课后作业☆练习5 A 组 6,7题 ☆课后作业☆练习 A 组 1-3题。

直线与抛物线的位置关系

第3课时直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点．例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。

初三抛物线定理知识点归纳总结

初三抛物线定理知识点归纳总结抛物线是数学中的一个重要概念，对于初三学生来说，理解和掌握抛物线定理是必不可少的。

本文将对初三抛物线定理的相关知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和应用这一知识。

一、什么是抛物线定理抛物线定理是指抛物线上一点的切线与该点到焦点的连线之间的夹角等于切线与对称轴的夹角的一半。

这个定理主要用于求解与抛物线相关的几何问题，如切线问题、位置关系等。

二、抛物线的基本方程抛物线的基本方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

这个方程可以描述抛物线的形状、位置和特性。

根据a的正负和大小的不同，抛物线可以开口向上（a > 0）、开口向下（a < 0）或与x轴平行（a = 0）。

三、抛物线的顶点及坐标1. 顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。

顶点的横坐标可以通过求解方程y' = 0得到，其中y'表示抛物线的导函数。

2. 顶点坐标：顶点的坐标表示为(Vx, Vy)，其中Vx为顶点的横坐标，Vy为顶点的纵坐标。

四、抛物线的对称轴及方程1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点且垂直于x轴的一条直线。

2. 对称轴方程：对称轴的方程可以通过将抛物线的基本方程中的x表示为关于y的函数形式得到，即x = h，其中h为对称轴的横坐标。

五、抛物线与切线的关系在抛物线上一点处，可以求出该点处的切线方程。

根据抛物线定理，切线与该点到焦点的连线的夹角等于切线与对称轴的夹角的一半。

这个定理在求解与抛物线切线相关的问题时经常被使用。

六、抛物线与直线的位置关系抛物线与直线的位置关系主要有以下三种情况：1. 相离：直线与抛物线没有交点。

2. 相切：直线与抛物线有且只有一个交点。

3. 相交：直线与抛物线有两个交点。

七、抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，其中一些常见的应用包括：1. 投射问题：抛物线的形状可以描述投射物在重力作用下的轨迹。

直线和抛物线的位置关系(上课)

2p 2p 4p
令y 0得 y y1 y2 2 px 2 px1
2 1
因为y21 2 px1，y1y2 =-2ps代入上式得 x s 直线AB必过点（s， 0）
B
l
M
y2=2 px
x
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
y
A’
A O F
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到
由抛物线的定义可知
准线l的距离分别为 d A , dB .
B’ B p AF d A x1 x1 1, 2 p BF d B x 2 x 2 1, 2 所以 AB AF BF x1 x2 2 8
x 2 2x C 0
由 Δ (2)
2
()
又由（）得 x=1，∴y=1.
4 (C) 0
得 C=-1
故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
yx
2
y
p
O
x
2x-y-4=0
互动练习
1.过点(0,2)与抛物线 y 点的直线有( C）（A）1条 (B)2条 (C)3条 P (D)无数多条
y2 4x
{
k 2 x 2 (2k 4)x+1 0
2 2 (2 k 4) 4 k 16(1 k ) 当K ≠ 0时，该方程是一元二次方程,所以
（1）当 0，即k 1时，直线与抛物线相交
（2）当 0，即k 1时，直线与抛物线相切（3）当 0，即k 1时，直线与抛物线相离

直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)

直线与抛物线的位置关系一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长问题4）韦达定理应用二、教学过程1、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？解：设直线方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得 244(21)0ky y k -++=当0k =，一个公共点，当0k ≠，0∆=即11,,2k or k =-=时一个公共点，当0k ≠，0∆>即11,02k k -<<≠时两个公共点当0k ≠，0∆<即1-1,2k k <>时无公共点说明：1）联立方程后，消元时，可以选择将抛物线方程代入直线方程2）判断位置关系用∆方法，当需注意二次项的系数的讨论，其中二次项系数为零对应的直线与抛物线的对称轴平行3）直线与抛物线的位置关系仍分相交、相切、相离三种情形，但当相交时有可能为一个或两个公共点，也即一个公共点不一定相切配套练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程参考答案：2,,10y or x y =+-=2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+ 配套练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．参考答案：4x －y －15＝0.3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.∴|AB |＝＝145（a 2－8a ）a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．分析1：设直线AP ：12(1)y k x -=-，联立抛物线方程24y x =可知，1142y k =-，同理2142y k =--，则1221p k y y ==-+ 分析2：设AB ：y kx m =+，联立抛物线方程24y x =可知，2440ky y m --= 又121244022k k y y +=+=++，则1244y y k +=-=，所以1k =- 配套练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证直线AB 过定点参考：过定点(2,0)p直线与抛物线的位置关系讲义一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长公式4）韦达定理应用二、教学过程2、直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证：直线AB 过定点。

直线与抛物线的位置关系复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

解法三化简得 x2 6x 1 0.
由韦达定理得
x1 x2 6,
于是 | AB | AF BF
AA' BB'
( x1
p) 2
( x2
p) 2
x1 x2 2 8 .
y
A A`
OF
B` B
x
图2.3 4
小结：求解抛物线与过焦点旳直线相交旳弦长
措施1：利用弦长公式
AB (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
64x 3y
m
0
y2 16
3y
m
0
由 0得 : m 36
46 36
d min
5
2
思索4、：抛物线y2 x和圆(x 3)2 y2 1上上任意一点Q
PQ
| PQ || PA |
.
OF
A
•C
x
| PQ | 最小值时，连线必经过圆心
X
直线与抛物线旳
位置关系复习
复习回忆直线与圆、椭圆、双曲线旳位置关系
复习回忆
直线与圆、椭圆、双曲线旳位置关系旳判断措施：
几何法代数法
1、对于封闭图形（圆、椭圆），可根据几何图形直接判断
2、直线与圆锥曲线旳公共点旳个数
Ax+By+c=0
解旳个数
f(x,y)=0(圆锥曲线
方程)
探究：直线与抛物线旳位置关系
解法二：由题意可知，直线l斜率一定存在，故可设A(x1, y1), B(x2 , y2（) x1 x2）, 则x1 x2 4, y1 y2 2
即k 2 由yy1222
4x1 4x2
y1 y2 x1 x2
4 y1 y2

直线与抛物线位置关系

【学习目标】直线与抛物线的位置关系及判断方法（1）直线和抛物线有三种位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）。

（2）直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：,m kx y +=抛物线方程：,22px y =两方程联立消去y 可得方程：222(22)0k x km p x m +-+=222(22)0k x km p x m +-+=，一般形式为20,Ax Bx C ++=若A=0，则直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交且只有一个交点；若A 0≠其判别式为∆=24B AC -当∆>0时，直线与抛物线相交且直线和抛物线有两个交点；当∆=0时，直线与抛物线相切且只有一个交点；当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点。

（注意：把直线和圆锥曲线的方程联立后得到方程20,ax bx c ++=它不一定是一元二次方程，要分析2x 的系数a ，才能确定。

如果不能确定，要分类讨论）。

（3）中点弦问题：在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.考向一：直线与抛物线的位置关系例1 已知抛物线24y x =过定点A(-2, 1)的直线l 的斜率为k,下列情况下分别求k 的取值范围：（1）l 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）l 与抛物线恰有两个公共点；（3） l 与抛物线没有公共点.考向二：弦长及中点弦问题例2、已知抛物线x y 22=，过点)1,2(Q 作一直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。

2.4.3直线与抛物线的位置关系（第1课时，共1课时）考向三、对称问题例3：已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．考向四定点与定值问题①定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

直线和抛物线的位置关系整理

直线和抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切(2)若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB = 2.焦点弦问题：设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ，直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切题型一：交点个数问题例1. 抛物线C:x 4y 2=，直线L 过点P(0,1)，若L 与C 只有一个公共点，求直线L 的方程。

变式练习：已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围题型二：弦长问题例2.过抛物线x 2y 2=的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点，则线段AB 的长是多少？变式练习：已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案第一章：直线与抛物线的定义及性质一、教学目标：1. 了解直线的定义及其性质。

2. 了解抛物线的定义及其性质。

3. 掌握直线和抛物线的图形特点。

二、教学内容：1. 直线的定义及性质。

2. 抛物线的定义及性质。

3. 直线和抛物线的图形特点。

三、教学步骤：1. 引入直线的定义及性质，引导学生理解直线的特点。

2. 引入抛物线的定义及性质，引导学生理解抛物线的特点。

四、教学评价：1. 学生能准确描述直线的定义及其性质。

2. 学生能准确描述抛物线的定义及其性质。

3. 学生能识别直线和抛物线的图形特点。

第二章：直线与抛物线的交点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的位置关系。

2. 学会求直线与抛物线的交点。

3. 掌握交点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的位置关系。

2. 求直线与抛物线的交点的方法。

3. 交点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的位置关系，引导学生理解它们之间的关系。

2. 讲解求直线与抛物线交点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的交点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的位置关系。

2. 学生能运用求交点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析交点的性质和应用。

第三章：直线与抛物线的切点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的切点概念。

2. 学会求直线与抛物线的切点。

3. 掌握切点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的切点概念。

2. 求直线与抛物线的切点的方法。

3. 切点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的切点概念，引导学生理解切点的含义。

2. 讲解求直线与抛物线切点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的切点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的切点概念。

2. 学生能运用求切点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析切点的性质和应用。

第四章：直线与抛物线的交点个数一、教学目标：1. 了解直线与抛物线交点个数与参数的关系。

高中数学选择性必修一(人教版)《3.3.2第二课时直线与抛物线的位置关系及应用》课件

(1)若 k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若 k2≠0，当 Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 Δ<0 时，直线与抛物线相离，无公共点．
[对点练清] 1．已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)，则 ( )
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB： x＝my＋1(m≠0)，
联立yx2＝＝m4xy＋，1，消去 x，得 y2－4my－4＝0. 于是，有 yM＝y1＋2 y2＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即 M(2m2＋1,2m)．同理，Nm22＋1，－m2 . 因此，直线 MN 的斜率 kMN＝2m2＋21m－＋mm222＋1＝m2m－1，
(2) 设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，与抛物线方程联立得
x＝my＋1， y2＝4x，
消去 x，得 y2－4my－4＝0，
所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ m2＋1|y1－y2|
＝ m2＋1· y1＋y22－4y1y2
解：(1)因为抛物 C：y2＝4x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上，所以条件 ①适合，条件②不适合．又因为抛物线 C：y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，所以条件④ 不适合题意．当选择条件③时，|MF|＝xM＋1＝1＋1＝2，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线 C 的方程是 y2＝4x.
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1，0)．因为线段 AB 的中点在直线 y＝2 上，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，由yy1222＝＝44xx12，，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以 2y0k＝4. 又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1.

初二数学直线与抛物线关系分析

初二数学直线与抛物线关系分析直线和抛物线是数学中常见的曲线形状，它们在几何和代数的研究中都起到重要的作用。

本文将对初二数学中的直线和抛物线之间的关系进行深入分析，探讨它们的共同点和特殊之处。

1. 直线的基本概念和性质直线是最简单的几何图形之一，可以由一个点和一个方向向量唯一确定。

直线具有以下特点：- 直线上的任意两点可以确定一条直线，即直线的唯一性；- 直线上的任意两点之间的距离是恒定的，即直线的长度是无穷的；- 直线上的任意一点到其他的点的距离都是最短的，即直线上的点之间的最短路径是直线。

2. 抛物线的基本概念和性质抛物线是一种平面曲线，也可以通过基准点和焦点来确定。

抛物线具有以下特点：- 抛物线上的任意一点到基准点的距离等于该点到焦点的距离；- 抛物线对称于基准线，即抛物线两侧的点关于基准线有镜像对称关系；- 抛物线的顶点是其凸面方向的极值点。

3. 直线与抛物线的关系直线和抛物线之间存在一些重要的数学关系：- 直线可以与抛物线相切或者相交；- 当直线与抛物线相切时，它们在切点处有相同的斜率；- 当直线与抛物线相交时，它们会在交点处交叉。

4. 直线与抛物线的求解方法在数学解题中，直线与抛物线经常会一起出现，需要采取相应的方法进行求解：- 利用直线的方程和抛物线的方程，可以通过联立方程的方式求解直线与抛物线的交点；- 利用直线的斜率和抛物线的切线方程，可以求解直线与抛物线的切点。

5. 直线与抛物线的实际应用直线和抛物线的关系不仅仅局限于数学理论中，它们在实际生活中也有广泛的应用：- 在建筑设计和工程建设中，直线和抛物线的特性常用于设计几何形状和构造建筑物；- 在物体运动和力学问题中，抛物线可以描述物体的轨迹，而直线可以描述物体的速度和加速度。

综上所述，直线和抛物线是初二数学中重要的概念，它们具有不同的特点和性质，并且有着密切的关联。

通过深入分析它们的共同点和特殊之处，我们可以更好地理解和应用这两个曲线形状，提高数学问题的解决能力。

点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)