第9讲 平面直角坐标系与函数
第9讲平面直角坐标系与函数
第9讲平面直角坐标系与函数平面直角坐标系与函数是数学中的基础概念，也是建立数学模型的重要工具。
掌握了这些概念，我们就能更好地理解和描述平面上的各种数学现象，为解决实际问题提供更准确的方法和思路。
平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴(x轴和y轴)组成的。
我们可以把x轴看作水平方向的数轴，y轴看作垂直方向的数轴。
平面上的任意一个点都可以用有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
这样，我们可以通过坐标轴上的刻度来确定点在平面上的位置。
函数是研究数学关系的一种工具，它可以描述一个数与另一个数之间的依赖关系。
在平面直角坐标系中，我们可以用函数来描述一条曲线上的点的位置。
具体地，函数f(x)表示自变量x与因变量y之间的关系，即y=f(x)。
在函数的图象上，每个x对应着一个唯一的y值，也就是说，平面上的每个点都只属于一个函数的图象。
函数的图象在平面上的表示方式可以有很多种：点列法、显式函数法、隐式函数法、参数方程法等。
在点列法中，我们可以通过计算一系列的点，然后将这些点用直线或曲线连接起来，得到函数的图象。
显式函数法是指通过解方程y=f(x)来得到函数的图象，也就是将y表示为x的函数。
隐式函数法是指通过解方程F(x,y)=0来得到函数的图象，也就是将x和y同时视为自变量。
参数方程法是指通过用参数表示x和y，而不是直接用x和y表示函数的图象，常用于描述曲线。
函数的性质与变化是函数研究的重点内容。
函数的定义域是指所有自变量能够使函数有意义的取值范围，值域是指因变量能够取到的值的范围。
函数的奇偶性是指函数在坐标系上的对称性，即f(x)=f(-x)为偶函数，f(x)=-f(-x)为奇函数。
函数的单调性是指函数在一些区间上的增减性，可以通过函数的导数来判断。
函数的最值是指函数在一些区间上的最大值和最小值。
函数的周期性是指函数在一些区间上具有重复性。
平面直角坐标系与函数在实际问题中的应用非常广泛。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系综合讲义
平面直角坐标系综合讲义一、【知识点拨】1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应；2.点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，• 到y 轴距离为│a │， 到原点距离为22a b +；3.各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ）， P 在第一象限⇔a>0且b>0， P 在第二象限⇔a<0，b>0， P 在第三象限⇔a<0，b<0， P 在第四象限⇔a>0，b<0；4.点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=b ； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ； 5.点A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔x 1=－x 2，y 1=y 2； A ，B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2； AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2；AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）． 6点的平移：在平面直角坐标系中，教师寄语：对那些有自信心而不介意于暂时成败的人，没有所谓失败！对怀着百折不挠的坚定意志的人，没有所谓失败！对别人放手，而他仍然坚持；别人后退，而他仍然前冲的人，没有所谓失败！对每次跌倒，而立刻站起来；每次坠地，反会像皮球一样跳得更高的人，没有所谓失败！——雨果将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
二、【例题评析】例1（2011贵州贵阳，10分）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．【运用】如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；例2，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．三【综合能力训练】1.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），•点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，•求点C的坐标．2.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，•点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△DAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t•的取值范围）．3.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，•OA=6，OC=10．（1）如图所示，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；（2）如图所示，将矩形变为矩形OA′B′C′，在OA′，OC′边上选择取适当的点E′，F′，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B′边上的D′点，过D′作D′G•∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′．（3）在图的条件下，设T（x，y）：探求：y与x之间的函数关系式。
八年级秋季班第9讲：平面直角坐标系1-教师版
平面直角坐标系是七年级第15章的内容，本节主要学习了平面直角坐标系的有关概念，点与坐标的对应关系，坐标系作为一个平台，利用数形结合的思想来研究数学问题．知识点1：点的坐标的概念与应用1、在平面内取一点O，过点O画两条互相垂直的数轴，且使它们以点O为公共原点，这样，就在平面内建立了一个直角坐标系．一般地，水平放置的数轴，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作x轴），铅直放置的数轴，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作y轴）．横轴、纵轴统称坐标轴，点O叫做坐标原点．2、在平面直角坐标系中，点P所对应的有序实数对（a，b）称为点P的坐标，记作P（a，b），其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，原点O的坐标为（0，0），在直角坐标平面内，所有的点与所有的有序实数对是一一对应的．平面直角坐标系内容分析知识结构模块一：点的坐标的概念与应用知识精讲【例1】 （1）数轴上的所有点与实数的全体之间有_______的关系；（2）直角坐标平面上的所有点与所有有序实数对之间具有________的关系． 【难度】★【答案】（1）一一对应；（2）一一对应．【解析】根据数轴及直角坐标系的性质可知都是一一对应的关系． 【总结】考查数轴及直角坐标系的概念．【例2】 如图，在直角坐标平面内写出各点的坐标．（小方格的边长为1） 【难度】★【答案】()()()()30300202A B C D --，；，；，；，； ()()()()22332233E F G H ----，；，；，；，． 【解析】准确找到原点，根据坐标的特征即可写出各点的坐标． 【总结】考查坐标的概念及书写．【例3】 已知P （a ，b ），（1） 若点P 在原点，则a =_______，b =___________； （2） 若点P 在x 轴上，则a =_______，b =___________； （3） 若点P 在y 轴上，则a =_______，b =___________． 【难度】★【答案】（1）0,0a b ==；（2）a 为一切实数，0b =；（3）0a =，b 为一切实数． 【解析】原点()00，，x 轴上的点特征是纵坐标为0，即()0a ，，y 轴上的点特征是横坐标 为0，即()0b ，． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的坐标特征．例题解析AB C DE FGHO xy【例4】 在直角坐标平面内，点P 的坐标是（a ，b ），如果ab =0，那么点p 在_______上． 【难度】★ 【答案】坐标轴【解析】000ab a b =∴==，或，则点在y 轴上或x 轴上． 【总结】考查坐标系中特殊位置的点的特征．【例5】 如图，点P 的坐标是_______，点P 到x 轴的距离等于___________；到y 轴的距 离等于__________点Q 的坐标是___________，点Q 到x 轴的距离等于_________，到y 轴的距离等于___________．【难度】★★【答案】()34P ，；4；3；()52Q --，；2；5．【解析】第一象限内点的符号特征()++，，第三象限内点的符号 特征()--，，到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标的概念，注意对点到坐标轴的距离的准确理解．【例6】 如图，写出矩形ABCD 各顶点的坐标：A ：_________，B ：__________，C ：____________，D ：___________． 【难度】★★【答案】()()()()32424434A B C D ----，；，；，；，． 【解析】根据点的坐标特征可得各点坐标．【总结】考查写点的坐标特征，注意每个象限的符号特征．【例7】 在直角坐标平面内，点M 的坐标为（-3，y ），点N 的坐标为（x ，4），如果M 、N 两点表示同一点，那么x =_______，y =________． 【难度】★★【答案】34x y =-=，．【解析】表示同一点，则横坐标和纵坐标都相等． 【总结】考查坐标系中相同的两个点的坐标特征．P QO yx34 --2ABCD O xy11【例8】 在直角坐标平面内一点A 的横坐标是3，纵坐标是2，那么点A 的坐标是_______；如果点B 的横坐标是2，纵坐标是3，那么点B 的坐标是_______．这样．点A 与点B 是表示__________的两点．（填写“相同”或“不同”） 【难度】★★【答案】()()3223A B ，；，；不同． 【解析】根据坐标的表示方法即可写出A B 、两点坐标，横、纵坐标不同，则表示的点不同． 【总结】考查坐标的概念与书写．【例9】 （1）已知在平面直角坐标系中点A （2，y ）到x 轴的距离为3，求y 的值； （2）若在平面直角坐标系中有一点B （a ，b ），求点B 到y 的距离． 【难度】★★【答案】（1）3y =±；（2）点B 到y 轴的距离为a ．【解析】到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值． 【总结】考查坐标系中点到坐标轴的距离的概念及运用．【例10】 下列判断中：①在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；②坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；③在直角坐标平面内（x ，y ）与点(y ，x )表示不同的两点；④原点O 的坐标是（0，0），它即在x 轴上，又在y 轴上，其中错误的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】A【解析】①正确；②错误，坐标平面内所有的点与所有有序实数对之间是一一对应的； ③正确；④正确．故选A【总结】考查直角坐标系的概念及坐标系中点的坐标的概念．【例11】 在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （2，0），C （3，1）．在图中进行如下操作：（1） 画△ABC ；（2） 画一个△DEF ，使△ABC ≌△DEF ． 【难度】★★ 【答案】略【解析】（1）按照坐标描出各点，再联结各点组成三角形． （2）将ABC 平移即可得DEF ． 【总结】考查根据已知点的坐标进行画图．【例12】 在平面直角坐标系中，如果点P 到x 轴的距离等于4，到y 轴的距离等于5，这样的点P 共有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★★ 【答案】D【解析】根据到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，故可得P 点的坐标为：()()()545454(54)----，；，；，；，，故选D【总结】考查点到坐标轴的距离与坐标间的关系，综合性较强，注意多种情况的考虑．【例13】 如图，在直角坐标平面内有两点A 、B ，连接AB ，如果AB 是正方形ABCD 的一条边，请画出正方形ABCD ，并写出它的各顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】()()()()24224244A B C D ----，；，；，；， 或()()()()24228284A B C D ------，；，；，；，． 【解析】根据正方形四边相等的特征，描出C D 、两点， 顺次联结即可画出正方形ABCD【总结】考查对正方形的理解及点的坐标的综合运用， 注意进行分类讨论，综合性较强．ABxyO 1 1xyOABCDEF【例14】 在直角坐标平面内，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形，如图，给出直角坐标系，设格点A （-2，1），请画出一个格点三角形，使A 在它的内部且这个三角形的面积最小，并写出这个三角形的各个顶点的坐标． 【难度】★★★【答案】格点三角形不唯一，面积最小的三角形顶点坐标为：()()()302013---，；，；，，此时面积为32．【解析】以一个小正方形的对角线的长为底，两个小正方形的 对角线长为腰，这样的格点三角形面积最小． 【总结】考查直角坐标系中作图．【例15】 在直角坐标平面内，已知点A （x ，y ）的坐标满足22(2)(4)0x y -+-=，点B （x ，y ）的坐标满足2(2)|2|0x y -+-=，点C （x ，y ）的坐标满足220x y +=． 连接AB 、BC 、CA ，试问：△ABC 是一个怎么的三角形?说明你的理由． 【难度】★★★ 【答案】钝角三角形．【解析】22(2)(4)024x y x y -+-=∴==，，， ()24A ∴，； 2(2)|2|022x y x y -+-=∴==，，，()22B ∴，；()2200000x y x y C +=∴==∴，，，，在直角坐标系中画出ABC 可知，ABC 为钝角三角形．【总结】本题综合性较强，一方面考查非负数的和为零的基本模型的运用，另一方面考查点 的坐标在坐标系中的表示．xyO1．坐标平面由两条坐标轴和四个象限构成， 如图1，可以看成坐标平面的六个区域：x 轴，y 轴，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限．2. 点P （a ，b ）到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |．3. 特殊位置的点的坐标的特征： （1）坐标轴上的点：① 点P 的坐标为（a ，0）⇔点P 在x 轴上； ② 点P 的坐标为（0，b ）⇔点P 在y 轴上； （2）各象限内的点：① 点P ()a b ，在第一象限⇔00a b >>，； ② 点P （a ，b ）在第二象限⇔00a b <>，； ③ 点P （a ，b ）在第三象限⇔00a b <<，； ④点P （a ，b ）在第四象限⇔00a b ><，．模块二：平面直角坐标系知识精讲【例16】 （1）()P x y ，在第一象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第二象限内，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在第三象限内，则x y 、满足 ， ()P x y ，在第四象限内 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）00x y >>，；00x y <>，；（2）00x y <<，；00x y ><，． 【解析】根据点在各象限内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查各个象限内点的坐标特征．【例17】 （1）()P x y ，在x 轴上，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴上，则x y 、满足 ；（2）()P x y ，在y 轴左边，则x y 、满足 ，()P x y ，在y 轴右边，则x y 、满足 ；（3）()P x y ，在x 轴上方，则x y 、满足 ， ()P x y ，在x 轴下方， 则x y 、满足 ． 【难度】★【答案】（1）x 为一切实数，0y =；0x =，y 为一切实数；（2）0x <，y 为一切实数；0x >，y 为一切实数； （3）x 为一切实数，0y >；x 为一切实数，0y <． 【解析】根据点在直角坐标系内的坐标特征：可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．例题解析【例18】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy=，那么()M x y ，的位置可能是 ； （2）点()M x y ，的坐标满足0yx=，那么()M x y ，的位置可能是 ．【难度】★【答案】（1）除原点外的y 轴上；（2）除原点外的x 轴上． 【解析】（1）000xx y y=∴=≠，，，M ∴在除原点外的y 轴上； （2）000yy x x=∴=≠，，，M ∴在除原点外的x 轴上． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例19】 （1）点()M x y ，的坐标满足0xy =，则M 在 上； （2）点()N x y ，的坐标满足0xy <则点()N x y ，在 象限． 【难度】★【答案】（1）坐标轴；（2）第二或第四象限内． 【解析】（1）000xy x y =∴==，或，M ∴在x 轴或y 轴上；（2）0xy <，x y ∴、异号，N ∴在第二或第四象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例20】 在直角坐标平面内，如果点O 的坐标是（0，0），那么点O 叫做______点，x 轴上的点的坐标特征是___________坐标为零；y 轴上的点坐标特征是_______坐标为零． 【难度】★★【答案】（1）原点；纵；横 【解析】根据坐标特征可得答案． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例21】 若点P （x ， y ）在第二象限，且|1|2x -=，|3|5y +=，则点P 的坐标为（A ．（－1，2）B ．（3，－8）C ．（2，－1）D ．（－8，3）【难度】★★ 【答案】A ．【解析】|1|2313528x x x y y y -=∴==-+=∴==-，或；，或，P 在第二象限，∴横坐标为负，纵坐标为正，()1212x y P ∴=-=∴-，，，，故选A ． 【总结】考查第二象限内点的坐标特征．【例22】 （1）已知点A （m ，n ）在第四象限，那么点B （n ，m ）在第 象限； （2）若P (a ，－b )是第二象限内的点，则Q (－a ，ab )是第 象限内的点． 【难度】★★【答案】（1）二；（2）一． 【解析】（1）()A m n ，在第四象限，00m n ∴><，，()B n m ∴，在第二象限；（2）()P a b -，在第二象限，00000a b b a ab ∴<->∴<∴->>，，，，， ()Q a ab ∴-，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例23】 解下列各题：（1） 如果点A （m ，3-m ）是第二象限的点，那么m 应满足什么条件? （2） 已知点P （a ，b ）在y 轴的负半轴上，写出a ，b 的取值范围；（3） 已知点P （x ，y ）的坐标满足2(2)|4|0x y +++=，那么点P 在第几象限? 【难度】★★【答案】（1）0m <；（2）0a =，0b <；（3）P 在第三象限． 【解析】（1）()3A m m -，在第二象限，030030m m m m m ∴<->∴<<∴<且，且，；（2）()P a b ，在y 轴的负半轴上，00a b ∴=<，；（3）2(2)|4|024x y x y +++=∴=-=-，，，P ∴在第三象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【例24】 直角坐标系中，等边三角形的一个顶点的坐标是A （0，），另两个顶点B 、C都在x 轴上，求B 、C 的坐标．【难度】★★【答案】()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【解析】因为等边三角形，又()03A ，，所以1BO CO ==， 所以()()1010B C -，，，或()()1010C B -，，，． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征及三角形的性质，本题综合性较强，建议老师选择性的讲解．【例25】 请在直角坐标平面内画出四条直线x =3，x =-4，y =4，y =-2．（1） 这四条直线所围成的四边形是一个怎样的四边形?（2） 现有点A 2，3），B （5，-1），C （2，3，D （-3，5），E 6，2）， F （10-2），请问：哪些点在这个四边形的内部?各在什么象限? 【难度】★★★【答案】（1）围成的是长方形；（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点，可知：A B C E F 、、、、在四边形内部；第一象限内的点：D 、F ；第二象限内的点：A ；第三象限内的点：B ；第四象限内的点：C E 、．【解析】（1）根据3,4,4,2x x y y ==-==-画出图形可知，围成的四边形是长方形．（2）如图可得：在直角坐标系中描出各点， 可知：A B C E F 、、、、在四边形内部 第一象限内的点：D 、F ； 第二象限内的点：A ； 第三象限内的点：B ； 第四象限内的点：C E 、．【总结】考查直角坐标系内点的坐标．3【例26】 （1）在第二，四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ；（2）在第一，三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标和纵坐标之间的关系是 ．【难度】★★★【答案】（1）互为相反数；（2）相等．【解析】解：（1）二、四象限角平分线为y x =-，横、纵坐标互为相反数；（2）一、三象限角平分线为y x =，横、纵坐标相等； 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行归纳总结．【例27】 若点P (3a -9，1-a )是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a = ． 【难度】★★★ 【答案】2a =．【解析】解：()391P a a --，是第三象限内的点，39010a a ∴-<-<，；，3113a a a ∴<>∴<<，；，横、纵坐标都是整数，2a ∴=． 【总结】考查第三象限的点的坐标的符号特征，注意对整数的理解．【习题1】 （1）直角坐标平面内的横轴与纵轴是互相_________的，而且交点就是________点，它的坐标是__________；（2）第_______象限内的点的横纵坐标都是负数；第________象限内的点的横纵坐标异号；横纵坐标相等的点在________________；横纵坐标互为相反数的点在______________．【难度】★【答案】（1）垂直，原点，()00，；（2）三，二或四，一、三象限的角平分线上， 二、四象限的角平分线上．【解析】（1）根据直角坐标系的概念可知；（2）根据直角坐标系内点的坐标的特征可知． 【总结】考查直角坐标系的概念以及点的概念及坐标特征．随堂检测【习题2】 在x 轴上的点的纵坐标是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．实数【难度】★ 【答案】C【解析】x 轴上点的特征(),0m ，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题3】 如果0mn>且0m n +>，那么P （m ，n ）在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★【答案】A【解析】0mm n n >∴，、同号，又()00m n m n P m n +>∴>>∴，0，，，在第一象限． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题4】 如果点A （m ，n ）在第二象限，则点B （-m +1，3n +5）在第______象限 【难度】★★ 【答案】一 【解析】解：()A m n ，在第二象限，00m n ∴<>，，10350m n ∴-+>+>，， ()135B m n ∴-++，在第一象限内． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题5】 横坐标为3的点一定在（）．A ． 与x 轴平行，且与x 轴的距离为3的直线上B ． 与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上C ． 与x 轴正半轴相交，与y 轴平行，且与y 轴的距离为3的直线上D ． 与y 轴正半轴相交，且与x 轴的距离为3的直线上 【难度】★★ 【答案】C【解析】点的横坐标为3，则这个点为()3m ，，根据坐标特征，故选C ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意进行总结．【习题6】 已知：两点A （11x y ，），B （22x y ，），当坐标满足什么条件时，才能使点A 、B 都在平行于y 轴的某一直线上，该条件是（）．A ．12x x =B ．12y y =C ．12||||x x =D ．12||||y y =【难度】★★ 【答案】A【解析】横坐标相等，两点的连线垂直x 轴，平行于y 轴，故选A ． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．【习题7】 已知：点P （x ，y ），且x ，y 是方程24(2)(5)0x y ++-=的解，那么点P在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★★ 【答案】B【解析】解：24(2)(5)025x y x y ++-=∴=-=，，，()25P ∴-，在第二象限，故选B ．【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意非负数的和为零的模型的运用．【习题8】 如图，（1）A 、B 、C 、D 四点的横坐标不变，将它们的纵坐标都除以-1，得到E 、F 、G 、H ，再将它们对应的点联结起来，写出这八个点的坐标；（2）将A 、B 、C 、D 四点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，得到M 、N 、P 、Q ，请画出四边形MNPQ ，并写出各点的坐标． 【难度】★★【答案】（1）()()()()33312112A B C D ----，、，、，、，， ()()()()33312112E F G H --------，、，、，、，； （2）()()()()33312112M N P Q ，、，、，、，，画图略． 【解析】（1）根据图形中点所处的位置得到A 、B 、C 、D 四点的坐标， 然后再根据规定的计算得到相应的坐标． 【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征．OA B CD xy1 -1-11【习题9】在直角坐标平面内，已知点A（-2，1），另有一点B，且直线AB平行于x轴，如果A、B两点距离是4，那么B的坐标是_________．【难度】★★【答案】()61B-，．B，或()21【解析】//-，、距离为4，当B在A左侧时，横坐标为6 AB x轴，∴纵坐标相等，A B()B21∴，．61∴-，；当B在A右侧时，横坐标为2，()B【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题10】在直角坐标平面内有直线l∥x轴，直线l上有两点A、B，已知点A的坐标），且与A、B两点的距离等于3，求点B的坐标．【难度】★★★【答案】3B．B或3【解析】//AB x轴，∴纵坐标相等，A B、距离为3，当B在A3，3∴，B当B在A3，3B∴．【总结】考察坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【习题11】已知：点A（a，-3），B（-4，b），若A、B两点的连线平行于x轴，a，b应满足什么条件?【难度】★★★【答案】3a≠-．b=-且4【解析】解：//a≠-．∴=-且4bAB x轴，∴纵坐标相等，3【总结】考查直角坐标系内点的坐标特征，注意A、B是不同的两点．【作业1】已知点A 的坐标是（m ，n ），如果m ≠0且n =0，那么点A 在（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．x 轴上，但不能包括原点D ．y 轴上，但不能包括原点【难度】★ 【答案】C【解析】解：0n =，A ∴在x 轴上，0m ≠，A ∴不在原点上，故选C ． 【总结】考查坐标系内点的特征．【作业2】已知B （a ，b ）在第三象限，那么点A （-a +2，b -1）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【难度】★ 【答案】D【解析】()B a b ，在第三象限，00a b ∴<<，，2010a b ∴-+>-<， ()21A a b ∴-+-，在第四象限，故选D 【总结】考查各象限内的点的符号特征．【作业3】（1）如果点P （m ，n ）在第三象限两坐标轴夹角的平分线上，那么m 、n 应该满足的条件是__________；（2）在平面直角坐标系xoy 中有点M （-4，4），连接MO ，那么∠MOx =________． 【难度】★★【答案】（1）相等，（2）45︒．【解析】（1）一、三象限的角平分线上的点特征为：横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点的特征为：横、纵坐标互为相反数．（2）∵M （-4，4），∴点M 在二四象限的角平分线上， ∴∠MOx =45︒． 【总结】考查直角坐标系内各象限内的点的坐标特征．课后作业【作业4】在平面直角坐标系中有点A （0，3），B （0，-2），C （6，-2），那么△ABC是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【难度】★★ 【答案】C【解析】∵A （0，3），B （0，-2），，A B ∴、在y 轴上，且5AB =，∵B （0，-2），C （6，-2），BC y ∴⊥轴，且6BC =，ABC ∴是直角三角形． 故选C【总结】考查点的坐标的特征与几何图形的综合应用．【作业5】在直角坐标平面内，已知点P （-2，1），另有一点Q ，且直线PQ 平行于y 轴．如果P 、Q 两点的距离是6，那么点Q 的坐标是_________． 【难度】★★【答案】()27Q -，或()25Q --，． 【解析】//PQ y 轴，∴横坐标相等，P Q 、距离为6，当Q 在P 上方时，纵坐标为7，()27Q ∴-，；当Q 在P 下方时，纵坐标为5-，()25Q ∴--，． 【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要分类讨论．【作业6】在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），在y 轴上有点Q ，它到点P 的距离等于3，求点Q 的坐标． 【难度】★★【答案】()05Q ，或()01Q -，． 【解析】当点Q 在点P 上方时，纵坐标为5，()05Q ∴，； 当点Q 在点P 下方时，纵坐标为1-，()01Q ∴-，【总结】考查坐标的性质及点的移动、点之间的距离，注意要考虑分类．【作业7】在如图所示的平面直角坐标系中画出与△ABC 全等的所有三角形，已知每个三角 形的顶点坐标均为整数，请写出每个三角形的顶点坐标． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】由图可知：()()()133244A B C ----，、，、，． ①当把每个点向左平移一个单位时，得： ()()()111234234A B C ----，、，、，； ②当把每个点向上平移一个单位时，得： ()()()222143143A B C ----、、，，，； ③ A B C 、、三点关于y 轴对称得： ()()()333133244A B C ---、，、，，； ④A B C 、、三点关于x 轴对称得： ()()()444133244A B C ---、，、，，；⑤111A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()555234234A B C ---、，、，，； ⑥111A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()666234234A B C ---、，、，，； ⑦222A B C 、、三点关于y 轴对称得：()()()777143143A B C ---、，、，，； ⑧222A B C 、、三点关于x 轴对称得：()()()888143143A B C ---、，、，，； 故以上的点都满足题意．【总结】考查点的移动及点的对称的特征，综合性较强，注意从多个角度去考虑．【作业8】在直角坐标平面内有一个圆，圆心是A （2，0），该圆与x 轴有一个交点是B （5，0），那么这个圆的周长等于________，圆的面积等于________． 【难度】★★ 【答案】69ππ、． 【解析】解：()()2050A B ，、，，3r AB ∴==，2269C r S r ππππ∴====，．【总结】考查两点距离与圆的周长及面积公式的综合运用．ABCOxy【作业9】在△ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，顶点A 在原点，AB 边在x 轴上，且AB =6，求点C 的坐标． 【难度】★★【答案】()66C ，或()66-，或()66--，或()66-，． 【解析】A 在原点，AB 边在x 轴上，6AB =，()60B ∴，或()60-，90B ∠=︒，C ∴的横坐标为6或6-，AB BC =，()66C ∴，或()66-，或()66--，或()66-，【总结】考查点的距离与特征结合直角三角形的综合应用．【作业10】在直角坐标平面内，有一点C （a ，b ），垂直于x 轴的直线AB 经过点C ，已知点A （5，-2），ab 的值是154，a 与b 的值各是多少?【难度】★★★ 【答案】21520a b ==，． 【解析】AB x ⊥轴，点C （a ，b ）在AB 上，A （5，-2），112155554420a ab b b ∴==∴=∴=，，，． 【总结】考查点的坐标的特征，注意进行合理计算．【作业11】已知点M 为平行于x 轴且到x 轴的距离为5的直线上的一点，它到y 轴的距离是6，且M 的坐标． 【难度】★★★【答案】()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，．【解析】∵点M 到x 轴的距离是5，∴点M 的纵坐标的绝对值是5， ∴点M 的纵坐标为5±．∵点M 到y 轴的距离是6，∴点M 的横坐标的绝对值是6， ∴点M 的纵坐标为6±，∴点M 的坐标为()65M ，或()65-，或()65-，或()65--，． 【总结】考查坐标系内点坐标的特征，注意距离与坐标之间的关系．。
高考数学一轮复习9 第9讲 函数与方程
第9讲函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点的交点零点x1，x2x1无常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．常见误区1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是()A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.函数y ＝f (x )的零点，即函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，因此B ，D 正确，A ，C 错误．3．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.4．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f 解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．答案：35．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为() A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】 B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象1．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析：选 B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．2．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：选D.令f (x )＝0得13x ＝ln x . 作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．函数零点个数的判断(一题多解)函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 方法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2－2x ＋3x ＝0或⎩⎨⎧x>0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.2．函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B.由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0，1)内连续不断，所以f (x )在区间(0，1)内有一个零点．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象．如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.故选C.函数零点的应用(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ex ， x≤0，ln x ， x>0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a<0，4－1－a>0，解得0<a <3，故选C.2．若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．(0，＋∞)C ．(3，4)D ．(3，＋∞)解析：选C.令g (x )＝|2x －4|，其图象如图所示，若f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a ∈(3，4)．思想方法系列6 破解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一 嵌套函数零点个数的判断(2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0<x≤2f （x －2）＋1，x>2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 因为当x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x >2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 C破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数． 类型二 求嵌套函数零点中的参数函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （－x －1），x<－1，2x ＋1，x≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 设t ＝f (x )，令g (x )＝f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一平面直角坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)，则t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点．【答案】 [－1，＋∞)(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y ＝f (t )的图象，确定t 1，t 2的取值范围，进而由t ＝f (x )的图象确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg|x －2||，x≠2，0，x ＝2.若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有( )A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个解析：选C.由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数即为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．作出函数f (x )的图象如图所示，结合图象可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根．故选C.[A 级 基础练]1．(2021·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．(2021·重庆模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －15x 的零点位于区间( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )在R 上为减函数，其图象为一条不间断的曲线． 因为f (1)＝12－15＝310>0，f (2)＝14－25＝－320<0，所以f (1)·f (2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f (x )的零点位于区间(1，2)．故选B.3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x2，|x|≤1，|x|，|x|>1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a >1C ．0≤a <1D ．a <0解析：选A.方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，即直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.4．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1x C ．2－x 2＝lg |x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD.对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合题意；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合题意；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又h (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合题意；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时，cos x ＝x ＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合题意．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤0，1x ，x>0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：选D.当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－127．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x2＋2x ，x>0，4x ＋1，x≤0的零点个数是________．解析：当x >0时，作出函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x >0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0，得x ＝－14. 综上，f (x )有3个零点． 答案：38．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x≤0，ln x ，x>0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点．令f (x )＝0，得a ＝2x .因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是(0，1]．答案：(0，1]9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．(2)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同的实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．[B 级 综合练]11．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14B ．18C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C 项．12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1解析：选BCD.由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－2x ，x≤0，|log2x|，x>0，作出其函数图象：由图可知，x 1＋x 2＝－2，－2<x 1<－1； 当y ＝1时，|log 2x |＝1，有x ＝12，2，所以12<x 3<1<x 4<2；由f (x 3)＝f (x 4)，有|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即log 2x 3＋log 2x 4＝0， 所以x 3x 4＝1，则x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－(x 1＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD. 13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx 的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝2得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋2. (2)g (x )＝x 2－(2＋m )x ＋2，若g (x )的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （2）<0，g （4）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧5＋m>0，2－2m<0，10－4m>0，解得1<m <52.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. 14．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x>0，x ＋1，x≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.[C 级 创新练]15．已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f (x )＝2x ＋1⊗(2－4x )，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)∪(2，3)C ．(0，2)D ．(0，3－1)∪(3－1，2)解析：选A.若2x ＋1－(2－4x )≤1，则(2x )2＋2×2x －3≤0，即2x ≤1，解得x ≤0；若2x ＋1－(2－4x )>1，则(2x )2＋2×2x －3>0，解得2x >1或2x <－3(舍去)，即x >0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≤0，2－4x ，x>0.作出函数f (x )的图象和y ＝c 的图象如图所示．因为y ＝f (x )－c 有两个零点，所以f (x )＝c 有两个解，所以0<c <1.故选A.16．定义：设不等式F (x )<0的解集为M ，若M 中只有唯一整数，则称M 是最优解．若关于x 的不等式|x 2－2x －3|－mx ＋2<0有最优解，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，74B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，－2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74 解析：选D.|x 2－2x －3|－mx ＋2<0可转化为|x 2－2x －3|<mx －2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )＝|x 2－2x －3|，g (x )＝mx －2的图象，如图所示．易知m ＝0时不满足题意．当m >0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥g （2），f （3）<g （3），f （4）≥g （4），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥2m －2，0<3m －2，5≥4m －2，解得23<m ≤74. 当m <0时，要存在唯一的整数x 0，满足f (x 0)<g (x 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≥g （0），f （－1）<g （－1），f （－2）≥g （－2），即⎩⎪⎨⎪⎧3≥－2，0<－m －2，5≥－2m －2，解得－72≤m <－2. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－72，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤23，74.故选D.。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数与方程
第九讲函数与方程知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．重要结论1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( √)(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( ×)(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( ×)[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．题组二走进教材2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5f(x) －4 －2 1 4 7在下列区间中，函数f(x)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点，故选B．3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375，1.437 5)内，故选C．题组三走向高考5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析]y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一,函数的零点考向1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( D )A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(3)(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点位于区间可能为( BC )A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0，4)内有零点．故选D．(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C．解法二：数形结合函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)·(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考向2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．7D ．0(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点个数为5．[解析] (1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝12，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝12时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.名师点拨 MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0，则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是( A )A ．5B ．4C ．3D ．6[解析] (1)由已知得y ＝f(x)＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，1＋1x＋3x ，x>0.令x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.令1＋1x ＋3x ＝0(x>0)可得3x 2＋x ＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x 2＋x ＋1＝0无实根．所以y ＝f(x)＋3x 的零点个数是2.(2)f(x)＝e x＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－52<0，f(1)＝e －2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C ．(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝23和f(x)＝2的根．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝23和f(x)＝2共有5个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点． 考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝x －log 12x ，h(x)＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 2>x 1>x 3C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f(x)＝2x＋x ＝0，g(x)＝x －log 12x ＝0，h(x)＝log 2x －x ＝0，得2x＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0，0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( C ) A ．[－1，0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)[解析]令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．由图知－a≤1，∴a≥－1.名师点拨 MING SHI DIAN BO 1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x ，g(x)＝log 3x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．a>b>cD ．c>a>b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x≤0，2x －1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1][分析] (1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1，∴a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＋13＝－23，g(1)＝1，∴b∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，显然c ＝0，∴a<c<b，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a<c<b ，故选B ．解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b 最大，选B ．(2)∵当x>0时，f(x)＝2x －1， 由f(x)＝0得x ＝12，∴要使f(x)在R 上有两个零点， 则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]． 故所求a 的取值范围是(0，1]．考点二 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)．(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2． (3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7．[解析] (1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0，0.5)；第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f(0.25)．(2)区间(1，2)的中点x 0＝32，令f(x)＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. (3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64，27＝128，知n ＝7. 名师点拨 MING SHI DIAN BO1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数零点的综合问题例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x≤0－x 2＋x ，x>0，若函数g(x)＝f(x)－a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 [解析] 解法一：显然x≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a 2(a≥0)，当x>0时－x 2＋x＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a>0，即a<14，从而－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0且x 2x 3＝a.∴x 1x 2x 3＝－a 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0，故选A ．解法二：作出y ＝f(x)及y ＝a 的图象，显然0<a<14，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－132.故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．〔变式训练3〕(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x≤0，|lg x|，x>0.若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围． 设四个根依次为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)， 则－2≤x 1<－1，－1<x 2≤0，x 1＋x 2＝－2， 由|lg x 3|＝|lg x 4|，得－lg x3＝lg x4，则lg x3＋lg x4＝lg(x3x4)＝0，∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)．故选B．。
2013年全品人教版中考夺分 第三单元 函数与图像
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
11．下列图象不是函数图象的是( C
)
A
B 图9－2
C
D
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
考点4
பைடு நூலகம்
函数图象的应用
函数图象 作函数图 象的一般 步骤 把一个函数的自变量x和函数的值y分别作 为横、纵坐标，描出点，所有这些点所组 成的图象就是函数图象
列表 作函数图象的一般步骤为_______、 连线 _______和________ 描点
1．[2012· 宿迁]在平面直角坐标系中，点M(－2，3)在( B A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
2．如图9－1，已知棋子“車”的坐标为(－2，3)，棋子 “馬”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为( A )
A．(3，2) C．(2，2)
第10讲┃ 一次函数的图象与性质
考点2
一次函数的图象与性质
(1)图象 正比例函数 一次函数
图象关系
是经过点(0，0)和点(1，k)的一条直线 b －k b 是经过点(0，________)和(________，0) 的一条直线 一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数 y＝kx的图象平移得到，b>0，上移b个单 位；b<0，下移|b|个单位
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
15．星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅 游，匀速行驶1.5小时的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人 在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原速继续前行，行 驶1小时到达目的地．请在图9－7的平面直角坐标系中画出符合他 们行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数图象．
第9讲-平面直角坐标系及函数
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数 Nhomakorabea3．在如图 9－ 12 所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近 似地刻画如下 a， b 两个情景： 情景 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返 回家里找到了作业本再去学校； 情景 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以 更快的速度前进．
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
11． [2012· 杭州] 如图 9－10，平面直角坐标系中有四个点， 它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移 动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并 且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 (－1，1)，(－2，－2)，(0，2)，(－2，－3) ． ____________________________________________
数 学
新课标（RJ）
第9讲 平面直角坐标系及函数
第10讲 一次函数 第11讲 反比例函数 第12讲 二次函数
第9讲
平面直角坐标系及函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 平面直角坐标系
1．在平面直角坐标系中，已知点 P(2，－3)，则点 P 在 ( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知 y 轴上的点 P 到 x 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为( C ) A．(3，0) B．(0，3) C．(0，3)或(0，－3) D．(3，0)或(－3，0)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
[ 解析] 因为水面高度开始增加的慢，后来增加的快，所 以容器下面粗，上面细．只有选项 B 符合题意，故答案选 B.
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
┃考题自主训练与名师预测┃
中考第一轮复习第9讲平面直角坐标系及函数的基础知识
第三单元 函数及其图象第9讲 平面直角坐标系及函数的基础知识,知识清单梳理)平面直角坐标系1．定义：平面内，两条互相__垂直__、原点__重合__的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面内的点与__有序__实数对一一对应．2．特殊点的坐标特征(1)各象限内点的坐标的符号特征3．点P(x ，y)坐标的几何意义(1)点P(x ，y)到x 轴的距离是__|y|__． (2)点P(x ，y)到y 轴的距离是__|x|__． (3)点P(x ，y)到原点的距离是．函数的有关概念,云南省近五年高频考点题型示例)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(2019曲靖中考)在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点P′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(1，5)C ．(1，－3)D ．(－5，5) 【解析】点平移规律：左减右加，上加下减． 【答案】B1．(2019红河中考)在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(－1，－2)，则点P 关于原点对称的点的坐标是( C )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(1，2)D ．(2，1) 2．(2019昭通中考)已知点P(2a －1，1－a)在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是( C )函数自变量的取值范围【例2】(2019云南中考)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围为( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≤2 D ．x ≠2【解析】分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数，即x －2≠0，x ≠2. 【答案】D3．(2019大理等八地州联考)在函数y ＝x ＋1x中，自变量x 的取值范围是__x≥－1且x≠0__． 4．(2019云南中考)函数y ＝x －7的自变量x ．5．(2019曲靖中考)如果整数x ＞－3，那么使函数y x 的值是__0__．(只填一个)6(2019内江中考)在函数y ＝1x －3＋x －2中，自变量x 的取值范围是__x≥2且x≠3__．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点无2．创新题【例】(2019佳木斯中考)如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )ABCD【解析】先注甲池速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升．【答案】D,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.在平面直角坐标系中，已知点P(2，－3)，则点P在( D )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【方法总结】根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)可以得到答案．2．(2019西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为( B )A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)【方法总结】点平移，横坐标左减右加，纵坐标上加下减．关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数．3．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法总结】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．4．函数y ＝21－x ＋1x 中，自变量x 的取值范围是__x<1且x≠0__．【方法总结】(1)分式函数，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；(2)偶次根式函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负实数．5．当x ＝__－2__时，函数y ＝3x 2－12x －2的值为零．【方法总结】函数的值和分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，解分式方程时要注意检验． 6．(2019河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是__12__．【方法总结】考查函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 请完成精练本第9页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD 与一正方形CEFG ，其中E 点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（ ）A ．50B ．55C ．70D ．752．下列等式一定成立的是（ ） A ．a 2+a 3=a 5B ．（a+b ）2=a 2+b 2C ．（2ab 2）3=6a 3b 6D ．（x-a ）（x-b ）=x 2-（a+b ）x+ab3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤ c+8a ＜0.正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），对角线BD 与x 轴平行，若直线y ＝kx+5+2k （k≠0）与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是（ ）A.3243k -≤-… B.223k --剟C.324k --剟D.﹣2≤k≤2且k≠05．已知反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是（ ） A ．图像必经过点()1,2-B ．y 随着x 的增大而增大C ．图像分布在第二，四象限内D ．若1x >，则20y -<<6．如图，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．35B ．45C ．55D ．657．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为2110(014)2h t t t =-≤≤. 若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ） A ．042a ≤≤B ．050a ≤<C ．4250a ≤<D ．4250a ≤≤8．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE+DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF ＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题不正确的是（ ）A ．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形B ．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D ．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 10．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,0),(3,0)A B -.有下列结论：①20a b c ++<； ②当1x >时，随x 的增大而增大；③当0y >时，13x -<<；④当2m x m <<+时，若二次函数的最小值为4a -，则m 的取值范围是11m -<<。
中考第一轮复习讲义 第九讲 一次函数的图象与性质
第九讲 一次函数的图象与性质一.考点分析考点一.一次函数的图象和性质例题1.一次函数24y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A.B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积是（ ）A.2B.4C.6D.8例题2.若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y ax b =+的图象可能是（ ）A B C D例题3.已知点A （11,x y ），B （22,x y ）是一次函数25y x =-+图象上的两点，当12x x ＞时，1y 2y .（填“＞”，“=”或“＜”）例题4.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（m ，3），（3m-1,3），若线段AB 与直线21y x =+相交，则m 的取值范围为 .考点二.一次函数解析式的确定（待定系数法）例题1.一次函数图象经过（3, 5）和（-4，-9）两点.求（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值.例题2.已知一次函数的图象与12y x =-的图象平行，且与y 轴交点（0，-3），求此函数关系式.例题3.已知点A（3，0），B（0，-3），C（1，m）在同一条直线上，求m的值.考点三.一次函数图象的平移例题1.直线y kx b=+是由直线2y x=-平移得到的，且经过点P（2，0），求k+b的值.例题2.将直线8y x=-+向下平移m个单位后，与直线36y x=+的交点在第二象限，求m的取值范围.考点四.一次函数与方程（组）、不等式的关系例题1.直线3y kx=+与3y x=-+的图象如图所示，则方程组33y kxy x=+⎧⎨=-+⎩的解为 .例题2.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .例题3.若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为 .例题4.如图，函数12y x=-与23y ax=+的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式23x ax-+＞的解集是（）A.x＞2B.x＜2C.x＞-1D.x＜-1例题5.如图，已知直线l1：24y x=-+与直线l2：(0)y kx b k=+≠在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A（-2，0），则k的取值范围是（）A.-2＜k＜2B.-2＜k＜0C.0＜k＜4D.0＜k＜2二.同步练习1.已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ） A.y=8x B.y=2x+6 C.y=8x+6 D.y=5x+32.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） A.一象限 B.二象限 C.三象限 D.四象限3.已知直线y=kx+b 经过点(-5，1)和点(3，4)，那么k 和b 的值依次是（ ）A.323,88k b ==B.323,88k b =-=C.323,88k b ==-D.323,88k b =-=-4.直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A.4 B.6 C.8 D.165.若甲，乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A.y 1＞y 2B.y 1=y 2C.y 1＜y 2D.不能确定6.设b ＞a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）A B C D7.若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（ ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四8.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范是( )A.34m <B.314m -<< C.1m <- D.1m >-9.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ） A.y 随x 的增大而增大 B.y 随x 的增大而减小 C.图像经过原点 D.图像不经过第二象限10.无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.要得到3-42y x =-的图像，可把直线3=-2y x （ ）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向上平移4个单位D.向下平移4个单位 12.如果21(1)a a y a x--=+是正比例函数，那么a 的值是（ ）A.-1B.2C.-1或2D.0或113.已知一次函数211()()2k k y k xk +-=+为整数. (1)k 为 时，函数是正比例函数；(2)k为时，正比例函数的图象经过第二、四象限；(3)k为时，正比例函数值y随着x的增大而减小.14.已知一次函数y=-3x+6.(1)直线与x，y轴交点坐标分别为，；(2)求出直线与坐标轴所围成的三角形的面积是；(3)x 时，y＜0；x 时，y=0；x 时，y＞0；(4)若-3≤x≤3,则y的范围是；(5)若-2≤y≤2，则x的范围是 .15.当b为时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上.16.若三点(1，3)，(2，p)，(0，6)在同一直线上，则p的值是 .17.已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是 .18．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 .19.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是 .20．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，•则点P的坐标为 .21.过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为 .22.23y x=与y=-2x+3的图像的交点在第象限.23.如图，若一次函数2y x b=-+的图象与y轴交于点A（0，3），则不等式组的解集-23 -20x bx b+⎧⎨+⎩≤＞的解集为 .24.如图，点A的坐标为(-2,0)，点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 .（第23题图）（第24题图）25.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．26.已知y=p+z ，这里p 是一个常数，z 与x 成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1． （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果x 的取值范围是1≤x ≤4，求y 的取值范围.27.正比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+（k ≠0）的图象交于点A （m ，2），一次函数的图象经过点B （-2，-1）.（1）求一次函数的解析式；（2）求不等式-1＜kx+b ＜2x 的解集.28.求直线y=2x+6，y=-2x-8与y 轴所围成图形的面积.29.已知一次函数()0y kx b k =+≠图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式.30.已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B 在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．31.如图，一束光线从y 轴上的点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），求光线从A 点到B 点经过的路线的长．三.拓展提高一.选择题1.若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜13B.13＜k ＜1C.k ＞1D.k ＞1或k ＜132.若一次函数()()2122236y m x m m y m x m =++-=++-与的图象与y 轴交点的纵坐标互为相 反数，则m 的值为（ ）A.-2B.3C.-2或3D.-33.过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（ ） A.4条 B.3条 C.2条 D.1条4.已知abc ≠0，而且a b b c c ac a b+++===p ，那么直线y=px+p 一定通过（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 5.当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y ＜10，则常数a 的取值范围是（ ） A.-4＜a ＜0 B.0＜a ＜2 C.-4＜a ＜2且a ≠0 D.-4＜a ＜26.在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个7.在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个8.如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按照如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线(0)y kx b k =+＞和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A.1(21,2)n n --B.-11(21,2)n n -+C.(21,21)n n --D.(21,)n n -9.若k ，b 是一元二次方程x 2+px-│q │=0的两个实根（kb ≠0），在一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（ ） A.第一、二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限10.若一次函数y=kx+b ，当-3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 .11.设直线kx+(k+1)y-1=0（k 为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k （k=1，2，3，……，2008），那么S 1+S 2+…+S 2008= . 12.如图，一次函数1y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点M 在x 轴上要使△ABM 是以BM 为底边的等腰三角形，那么点M 的坐标是 .13.在直角坐标系x0y 中，一次函数223y x =+的图象与x 轴，y 轴，分别交于A ，B 两点，点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图象经过B ，D 两点的一次函数的解析式．14.已知，如图一次函数y=12x-3的图象与x 轴，y 轴分别交于A.B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D ，E 的坐标．15.已知直线y=43x+4与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，又P ，Q 两点的坐标分别为P （•0，-1），Q （0，k ），其中0＜k ＜4，再以Q 点为圆心，PQ 长为半径作圆，则当k 取何值时，⊙Q 与直线AB 相切？16.画出函数32y x x =+-的图象，利用图象回答： (1)x 在哪个范围，y 随着x 的增大而减小？(2)函数图象上最低点的坐标是什么？函数y 的最小值是多少？17.由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？。
中考数学第一轮复习 第章第讲 平面直角坐标系ppt(共20张PPT)
技法点拨►在平面直角坐标系中，解决点所处的象限与坐标符号之间的关系问题，综合各象限的坐标特征，经常利用不等式(组)解答．
技法点拨C►．应(用2函0数1图1，象解2题)的三D步．骤：(2(10)找1：0，找清0图)象的横、纵坐标各自具有的含义；
典型例题运用 类型1 平面直角坐标系中点的坐标
(【3)思点路P(分x，析y【A】)到．根原例据点第每1的一】一距A段离函象等数若于图限⑤象点_的__A倾_(B斜a．程＋度第，1反，二映b象了－水限面1上)升在速第度的二快慢象，限再观，察则容器点的粗B(细－，作a出，判断b．＋2)在(
)
．第三象限 ．第四象限 C D (2)点P(x，y)在第二、四象限角平分线上⇔x＋y＝0
提示
确定位置常用的方法一般有两种：(1)用有序实数对(a，b)表示；(2)用方向和 距离表示．
考点2 点的坐标特征
象限内的点 第一象限：x>0，y>0； 第二象限：x<0，y>0；
第三象限：x<0，y<0; 第四象限：x>0，y<0
(1)点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；
坐标轴上的点
(2)点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数； (3)点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x＝y＝0，即点
B 以时间为点P的下标．观察，发现规律：P0(0，0)，P1(1，1)， P2(2，0)，P3(3，－1)，P4(4，0)，P5(5，1)，…，∴P4n(4n，0)，P4n ＋1(4n＋1，1)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－1)．∵2017＝ 504×4＋1，∴第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)．
第9讲 平面直角坐标系与函数
第三章函数第9讲平面直角坐标系与函数1.(2022贵港)若点A(a,-1)与点B(2,b)关于y轴对称,则a-b的值是( A )A.-1B.-3C.1D.22.(2022雅安)一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段后开始匀速行驶.过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上、下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶.下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况( B )A B C D3.(2022自贡)如图所示,菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合,点A(-2,5),则点C的坐标是( B )A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)第3题图4.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值,则下列函数中存在零点的是( D )A.y=x2+x+2B.y=√x+1D.y=|x|-1C.y=x+1x5.已知点P的坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,点P 的坐标为( D )A.(3,3)B.(3,-3)C.(6,-6)D.(6,-6)或(3,3)6.(2022桂林)桂林作为国际旅游名城,每年吸引着大量游客前来观光.现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点,乙大巴全程匀速驶向景点.两辆大巴的行程s(km)随时间t(h)变化的图象(全程)如图所示.依据图中信息,下列说法错误的是( C )第6题图A.甲大巴比乙大巴先到达景点B.甲大巴中途停留了0.5 hC.甲大巴停留后用1.5 h 追上乙大巴D.甲大巴停留前的平均速度是60 km/h7.(2022马鞍山二模)若点P坐标可表示为(m+3,-m+1),其中m为任意实数,则点P不可能在( C )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022哈尔滨)在函数y=x5x+3中,自变量x的取值范围是x≠-35.9.(2021达州)如图所示的是一个运算程序示意图,若开始输入x的值为3,则输出y值为 2 .10.在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1对称的点的坐标是(-2,2) .11.某企业用货车向乡镇运送农用物资,行驶2 h后,天空突然下起大雨,影响车辆行驶速度,货车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)的函数关系如图所示,2 h后货车的速度是65 km/h.12.某湖边健身步道全长1 500 m,甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行.甲先到达终点后立刻返回,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(m)与出发的时间x(min)之间的关系如图中折线OA—AB 所示.(1)用文字语言描述点A的实际意义;(2)求甲、乙两人的速度及两人相遇时x的值.解:(1)20 min时,甲、乙两人相距500 m.=75(m/min),(2)v甲=150020v乙=1500-500=50(m/min).20依题意,可列方程为75(x-20)+50(x-20)=500.解这个方程,得x=24.答:甲的速度是75 m/min,乙的速度是50 m/min,两人相遇时x的值为24.13.(2022甘肃)如图①所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,动点P从点A 出发,沿折线AD→DC→CB方向匀速运动,运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数图象如图②所示,则AB的长为( B )①②A.√3B.2√3C.3√3D.4√314.(2022苏州)一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3 min时,再打开出水管排水,8 min时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,则图中a 的值为293.15.如图所示,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,…的坐标依次为A 1(0,1),A 2(1,1),A 3(1,0),A 4(2,0),A 5(2,1),A 6(3,1),…,按此规律排列,则点A 2 022的坐标是 (1 011,1) .16.点P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P 向x 轴、y 轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P 叫做“垂距点”.如图所示,点P(1,3)是“垂距点”.(1)在点A(-2,2),B(12,-52),C(-1,5)中,是“垂距点”的是 ;(2)若点D(32m,52m)是“垂距点”,求m 的值.解:(1)根据题意,对于点A 而言,|2|+|2|=4,∴点A 是“垂距点”;对于点B 而言,|12|+|-52|=3≠4,∴点B 不是“垂距点”;对于点C 而言,|-1|+|5|=6≠4,∴点C 不是“垂距点”. 故答案为A.(2)由题意可知|32m|+|52m|=4.①当m>0时,4m=4,解得m=1;②当m<0时,-4m=4,解得m=-1,∴m=±1.17.一艘游轮从杭州出发前往衢州,线路如图①所示.当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时,一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为20 km/h,游轮行驶的时间记为t(h),两艘轮船距离杭州的路程s(km)关于t(h)的图象如图②所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变).(1)写出图②中C点横坐标的实际意义,并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长.(2)若货轮比游轮早36 min到达衢州.问:①货轮出发后几小时追上游轮?②游轮与货轮何时相距12 km?①②解:(1)C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23 h.游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23-(420÷20)=23-21=2(h). (2)①280÷20=14(h),货轮全程所用时间为23-3660-14=425(h).∴货轮的速度为420÷425=50(km/h).货轮出发后追上游轮所用时间为 (280-2×50)÷(50-20)+2=8(h). ②游轮出发后被货轮追上的时间为 14+8=22(h);游轮与货轮相距12 km 用时为 12÷(50-20)=0.4(h),∴相遇之前相距12 km 的时间为 22-0.4=21.6(h);相遇之后相距12 km 的时间为 22+0.4=22.4(h).∴游轮出发后21.6 h 或22.4 h,游轮与货轮相距12 km.。
人教版七年级数学下册第七章《平面直角坐标系》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第9讲有答案
第9讲平面直角坐标系1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
（1）记作（a ，b）；（2）注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
a,）（3）、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b 一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；（4）、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；2、平面直角坐标系平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
构成坐标系的各种名称：水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）横坐标轴上的点：（x ，0）纵坐标轴上的点：（0，y ）1、平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；2、平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
3、第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；4、第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
（1）在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ；（2）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ；（3）各象限的角平分线上的点的坐标特点：若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
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思路点拨： （1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互 为相反数解答； （2）根据平面直角坐标系写出即可；
考点 2 ．求自变量和函数的取值范围
C ） A．x ＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1 思路点拨： 考查了函数自变量的取值范围， 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5.能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范 围，并会求出函数值． 6.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系． 7.结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测．
⊙命题趋势⊙
Hale Waihona Puke 2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 2010 2011 2012 2013 试题类型 解答题渗透 解答题渗透 知识点 写出点的坐标、函 数 角坐标系、确定象 限、函数 未考 未考 分值 4分 4分
2 3．（2013 郴州）函数 y= 3 x 中自变量 x 的取值范围是（ C ）
A．x ＞3 B．x ＜3 C．x≠3 D．x≠-3 ．
2x 4．（2013 营口）函数 y= x 5 中，自变量 x 的取值范围是 X≠5
5．（2013 潍坊）用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和 注水时间的关系的大致图象是（ C ）
0 0 0 (－x，－y)
3．坐标轴上的点的特征：
4.常量与变量： 在某个变化过程中数值保持不变的量是常量， 数值发生变化的量是变量， 常量与变量是相对的． 5.函数：设在某个变化过程中有两个变量 x，y，对于 x 在某一范围内的每一个值，y 都 有唯一确定的值与之对应，我们说 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 也叫因变量．
初三数学专题复习教案第9讲：平面直角坐标系及函数.
第9讲平面直角坐标系与函数一、教学目标：1．掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，会求一个点关于坐标轴和原点对称的点的坐标；会用平面直角坐标系下点的平移规律解决实际问题2．会求一个函数的自变量的取值范围，会根据实际问题情境分析函数的大致图象二、教学重难点：重点：特殊点的坐标特征难点：函数自变量的取值范围及函数值，函数图象的分析三、教学用具：多媒体四、学情分析：“平面直角坐标系”作为“数轴”的进一步发展,实现了认识上从一维空间到二维空间的跨越,构成更广范围内的数形结合、数形互相转化的理论基础。
是今后学习函数、函数与方程、函数与不等式关系的必要知识。
五、教学方法：启发引导法、归纳分析六、教学资源：课本、PPT七、教学过程：考点一平面直角坐标系及点的坐标特征平面直角坐标系的有关概念在平面内由两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴为x轴或①,竖直方向的数轴为y轴或②,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点坐标轴上的点x轴、y轴上的点不属于任何象限对应关系坐标平面内的点与有序实数对是③对应的平面内点P(x,y)的坐标特征(1)各象限内点的坐标的特征:点P(x, y)在第一象限⇔④点P(x, y)在第二象限⇔⑤点P(x, y)在第三象限⇔⑥点P(x, y)在第四象限⇔⑦(2)坐标轴上点的坐标的特征:点P(x, y)在x轴上⇔⑧点P(x, y)在y轴上⇔⑨;点P(x, y)既在x轴上,又在y轴上⇔x,y同为0,即点P的坐标为(0, 0)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1）平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相同,横坐标为不相等的实数(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相同,纵坐标为不相等的实数各象限的角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的角平分线上的点:第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标⑩(2)第二、四象限的角平分线上的点:第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标【思政元素】：通过复习平面直角坐标系知识，介绍法国数学家笛卡尔在数学中的卓越贡献，激发学生学习数学的热情，树立远大的学习目标考点二点到坐标轴的距离到x轴的距离点P(a,b)到x轴的距离等于点P的①即到y轴的距离点P(a,b)到y轴的距离等于点P的②即到原点的距离点P(a,b)到坐标原点的距离为考点三平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标用坐标表示平移平移规律在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或向左)平移a个单位长度,可以得到对应点①(或②);将点(x,y)向上(或向下)平移b个单位长度,可以得到对应点③(或④)某点的对称点的坐标关于x轴对称点P(x,y)关于x 轴对称的点P 1的坐标为规律可简记为:关于谁对称谁不变,另一个变号,原点对称都变号关于y轴对称点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为关于原点对称点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为考点四函数的有关概念1.常量与变量:在一个变化过程中,我们称数值发生①的量为变量,数值始终②的量为常量.如s=vt,当v一定时,v是常量,s,t都是变量.2.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,我们就说x是自变量,y是x的函数.3.自变量的取值范围:(1)函数解析式有意义的条件;(2)实际问题有意义的条件.4.函数值:对于一个函数,如果当自变量x=a时,因变量y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值.5.函数的三种表示法:③法、④法和⑤法.6.描点法画函数图象的一般步骤:(1)⑥; (2)⑦; (3)⑧.例1.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是; 关于y轴对称的点的坐标是; 关于原点对称的点的坐标是; 把点A向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到的点的坐标是; 把点A绕着原点顺时针旋转90°后的点的坐标是.探究三函数图象例2如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的( )A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时的路程相等D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度【思政元素】：生活中的行车安全，注意遵守道路交通规则，不超速，文明行车例3.[2017·北京] 小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程D.小林在跑最后100 m的过程中,与小苏相遇2次例4.[2017·丽水] 在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象.下列说法错误的是( )A.乙先出发的时间为0.5小时B.甲的速度是80千米/小时C.甲出发0.5小时后两车相遇D.甲到B地比乙到A地早小时八、布置作业：九、板书设计：平面直角坐标系与函数1.知识点2.例题十、教学反思：。
中考一轮复习--第9讲 平面直角坐标系与函数的概念
A.(-1,1) B.(3,1) C.(4,-4) D.(4,0)
解析:∵将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长
度,得到点B,
∴点B的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,∴B的坐标为(-1,1).故
选A.
考法1
考法2
பைடு நூலகம்
考法3
对应练3(2019·安徽庐江期末)如图为正方形网格中的一片树叶,
点O是这两条数轴的原点,这样建立的两条数轴构成平面直角坐标
系.
考点梳理
自主测试
3.平面直角坐标系中点的坐标
各象限点
坐标的符
号特征
坐标轴上
点的坐标
特征
象限角平
分线上点
的坐标特
征
x 轴上的点的纵坐标为 0 ,y 轴上的点的横坐标为
0,原点的坐标为(0,0)
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等;第
二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反
答案:D
解析:∵点A(-3,0),点P(a,b),点B(m,n)为弦PA的中点,
-3+
0+
∴m= 2 ,n= 2 .
∴a=2m+3,b=2n.
又a,b满足等式:a2+b2=9,
∴(2m+3)2+4n2=9.故选D.
考法1
考法2
考法3
对应练1(2018·四川攀枝花)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(a,1-b)在( D )
间的距离为|y2-y| .
考点梳理
自主测试
5.坐标系中的距离公式
(1)点P(a,b)到x轴的距离是|b|
(2)点P(a,b)到y轴的距离是|a|
第9讲 平面直角坐标系 2023年中考数学一轮复习专题训练(浙江专用)(含解析)
第9讲平面直角坐标系 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3，1)，(4，-2)，下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校2．（2022·桐乡模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两端点的坐标分别为A(3，0)，B(2，2)，以点P(1，0)为位似中心，将线段AB放大得线段CD，若点C坐标为(7，0)，则点D的坐标为（）A．(3，6)B．(4，6)C．(5，6)D．(6，6) 3．（2022·萧山模拟）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴/m⁄，y 轴/n⁄，点P的坐标为(−1，2)，点Q的坐标为(−3，−1)，则坐标原点为（）A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（2022·仙居模拟）如图，已知点A，B的坐标分别为(1，1)，(-2，-1)，四边形ACDB是平行四边形，点C的坐标为(4，1)，则点D的坐标为()A．(1，−1)B．(2，1)C．(2，−1)D．(−2，3)5．（2022·临海模拟）如图，已知点A，B的坐标分别为(1，1)，(−2，−1)，四边形ACDB是平行四边形，点C的坐标为(4，1)，则点D的坐标为（）A．(1，−1)B．(2，1)C．(2，−1)D．(−2，3)6．（2022·临安模拟）在平面直角坐标系中，点A(m，2)是由点B(3，n)向上平移2个单位得到，则（）A．m=3，n=0B．m=3，n=4C．m=1，n=2D．m= 5，n=27．（2022·温岭模拟）如图，网格格点上三点A，B，C在某平面直角坐标系中的坐标分别为（a，b）、（c，d）．（a+c，b+d），则下列判断错误的是（）A．a<0B．b=2d C．a+c=b+dD．a+b+d=c8．（2022·杭州模拟）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（）A．北偏东30°B．钱塘明月4号楼301室C．金惠路97号D．东经118°，北纬40°9．（2021·南湖模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为(−1，1)，现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为23的位似图形△A′B′C′，则B′的坐标为（）A．(−23，23)B．(23，−23)C．(−23，23)或(23，−23)D．(−23，23)或(−23，−23)10．（2021·西湖模拟）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）.点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5 √2；④OC＝12.其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④11．（2021·海曙模拟）在平面直角坐标系中，点P(m,2m−2)，则点P不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（2021·临海模拟）平面直角坐标系中，把点A(－3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（）A．（－3，0）B．（－3，4）C．（－5，2）D．（－1，2）13．（2021·丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3，5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位14．（2021·普陀模拟）如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（1，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）二、填空题15．（2021·杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC∠DAE（填“>”、“=”、“<”中的一个）16．（2021·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．17．（2021·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣3，3），点B在x 轴上，若△OAB是直角三角形（O为原点），则线段AB上任意一点可表示为.18．（2021·西湖模拟）矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为.19．（2022·丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（﹣√3，3），则A点的坐标是20．（2022·上城模拟）已知点A和点B为平面直角坐标系内两点，且点A的坐标为(1，1)，将点A向右平移3个单位至点B，则线段AB上任意一点的坐标可表示为.21．（2022·滨江）在平面直角坐标系中，将点A(−3，4)向左平移3个单位后所得的点的坐标是.22．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝35，则点F的坐标是.23．（2020·新昌模拟）在平面直角坐标系中，如果一个图形向右平移1个单位，再向上平移3个单位，称为一个变换，已知点A（1，-2），经过一个变换后对应点为A1，经过2个变换后对应点为A2，…经过n个变换后对应点为A n，则用含n的代数式表示点A n的坐标为。
17秋-初一数学联赛班-全国版-第9讲-平面直角坐标系与简单函数三
答案见解析解析由待定系数法可得，.作图略知识点根据两点求解析式试题来源17秋-初一数学联赛班-全国版-第9讲-平面直角坐标系与简单函数三模块1：一次函数与一次方程（组）的关系知识剖析I D :6973 一次函数与一次方程组的关系例题例题1：材料ID:88122 已知直线经过原点和点(，)，直线经过点(，)和点(，)．1. ID:870849 (主观)求及的函数关系式，并作出图象．2. ID:870848 (主观)若两直线相交于，求点的坐标．=x +y 1k 1b 1−2−4=x +y 2k 2b 28−215y 1y 2=2x y 1=−x +6y 2M M答案解析，，画图略 ①当时， ；当时，② 当，；当时，知识点一次函数与二元一次方程（组）一次函数与一元一次不等式试题来源备选题模块3：一次函数与一次不等式（组）知识剖析I D :6976 一次函数与一次不等式组例题例题7： ID:870840 (主观)方程组的解为 ，由此可知直线与的交点坐标为．在同一直角坐标系中画出与的图象，通过观察图象，填空： ① 当时，，当 时，② 当 时，，当 时，，例题8： ID:608697 (主观)如图，直线经过，和，两点，则满足不等式组的的取值范围为 ．{y =−x −1y =x +2=−x −1y 1=x +2y 2y 1y 2x ⩾0y 1x <0y 2x >y 1y 2x −1<<y 1y 2{x =−32y =12(−32)12x ⩽−1x <−2x <−32−<x <032{x =−32y =12(−32)12x ⩽−1⩾0y 1x <−2<0y 2x <−32>y 1y 2−<x <032−1<<y 1y 2y =kx +b A (−2−1)B (−30)x <kx +b <012x材料ID:88120 阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面直角坐标系中，示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的图象，它也是一条直线，如图⑴．观察图⑴可以得出：直线与直线的交点的解，所以这个方程组的解为； x =12x −y +1=0x +1x =1y =2x +1P {x =1y =3⎧⎩⎨x⩾−2y⩽−2x+2 y⩾0在下面的直角坐标系中，用阴影表示所围成的区域．一次函数与一元一次不等式3. ID:870836 (主观)如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： ．，也就是说方．到直线的距离3a =+=x 2y 2()+(x −0)2(y −0)2−−−−−−−−−−−−−−−√2∵O l d ==S △OAB⋅AB 12OA ⋅OB 12⋅AB 12。
中考1轮总复习第9讲 平面直角坐标系、函数及其图象(教师版)
第9讲《平面直角标系、函数及其图象》达标检测卷时间：45分钟 满分：100分一、单选题（共7题，每题4分；共28分）1．（2017•湘潭）函数y ＝2x 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2 B ．x ＜－2 C ．x≥0 D ．x≠－2【分析】．根据自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：x ＋2≥0，解得x≥－2．故选A ．2．（2018·咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4 分钟，在整个步行过程中，甲 、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了32分钟；③乙用 16分钟追上甲； ④乙到达终点时，甲离终点还有300米 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】．由函数图象进行解答．【解答】解：由图象知，甲4分钟步行了240米，∴甲步行的速度为2404＝60（米/分），∴结论①正确；∵乙用了16－4＝12分钟追上甲，乙步行的速度比甲24012＝20（米/分），∴乙的速度为60＋20＝80米/分，从而结论③不正确；∵甲走完全程需要240060＝40分钟，乙走完全程需要240080＝30分钟；∴乙到达终点时，甲用了34分钟，甲还有40－34＝6分钟到达终点，离终点还有60×6＝360米，∴结论②④不正确．故选A3．（2018·抚顺）已知点A 的的坐标为（1，3），点B 的的坐标为（2，1）．将线段AB 沿某一方向平移后点A 的对应点的坐标为（－2，1）．则点B 的对应点的坐标为（ ）A .(5,3)B .(-1,-2)C ．（－1、－1)D .(0,-1)【分析】根据A 点的坐标及对应点的坐标可得线段AB 向左平移了3个单位，向下平移了两个单位，然后可得B 点对应点的坐标．【解答】解：点A （1，3）平移后变为（-2，1），所以点A 向左平移了3个单位，向下平移了两个单位，将点B （2，1）向左平移了3个单位，向下平移了两个单位得到（-1，-1） 故选C4．（2018·贵港）若点A （1＋m ，1－n ）与点B （－3，2）关于y 轴对称，则m ＋n 的值是（ ）A ．－5B ．－3C ．3D ．1【分析】根据关于y 轴对称，横纵坐标变成相反数纵坐标不变转化为方程可得答案．【解答】解：∵点A （1＋m ，1－n ）与点B （－3，2）关于y 轴对称，∴1＋m ＝3，1－n ＝2，解得：m ＝2，n ＝－1，则m ＋n 的值是：2＋（－1）＝1故选D5．（2018·扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．（3，－4）B ．（4，－3）C ．（－4，3）D ．（－3，4）【分析】到y 轴的距离等于横坐标的绝对值,到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值可求解【解答】解：设M 的坐标为（x ，y ），∵点M 在第二象限内，则x ＜0，y ＞0；点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，∴x ＝﹣4，y ＝3．故选C6．（2018·东营）在平面直角坐标系中，若点P (m －2，m ＋1) 在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1B ．m ＞2C ．－1＜m ＜2D ．m ＞－1【分析】由各象限内点的坐标符号特征转化为不等式组求解【解答】解：由已知得2010m m -⎧⎨+⎩＜＞，∴－1＜m ＜2 故选C ．7．（2018·孝感）如图，在中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点以B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）AC B PQ【分析】本题考查数形结合，根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，求出函数解析式后不难得到答案．【解答】解：由题意可得：PB=3﹣t，BQ=2t，则△PBQ的面积S=12PB•BQ=12（3﹣t）×2t=﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下，答案：C．二、填空题（共3题，每题4分；共12分）8．在坐标平面内P(-2019,-2020)到y轴的距离等于．【分析】直接利用坐标平面内点到坐标轴的距离求解．【解答】由题意得，P(-2019,-2020)到y轴的距离等于横坐标的绝对值即为2019故答案：20199．（2018·长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3）．若直线y＝2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）【分析】直接用特殊点进行临界分析可求解．【解答】解：把y＝3代入y＝2x得3＝2x，∴x＝32，∴当n≥32时，直线y＝2x与线段AB有公共点，∴n的值可以是2．．故答案：2（答案不唯一，只要不小于32即可）．10．（2018·咸宁）如图，将正方形OEFG放在平而直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2,3），则点F的坐标为________．【分析】：过点E作x轴的垂线，垂足为点N，过点F作y轴的垂线FM交EN于点M，交于点H，通过Rt△OEN≌Rt△EFM进行线段长度与坐标值的转化．【解答】解：过点E作x轴的垂线，垂足为点N，过点F作y轴的垂线FM交EN于点M，交于点H，则∠ONE＝∠EMF＝90°，∴∠OEN＋∠EON＝90°；∵四边形OEFG是正方形，∴OE＝EF，∠OEF＝90°，∴∠OEN＋∠FEM＝90°，∴∠EON＝∠FEM；∴Rt△OEN≌Rt△EFM；∵点E的坐标为（2,3），∴ON＝EM＝2，EN＝FM＝3，∴点F的坐标为（－1,5）．MN故答案：（－1,5）．三、解答题（共6题，每题10分；共60分）11．已知点P（3m﹣9，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大12；（4）点P在过点A(﹣2018，8)，且与y轴垂直的直线上．求AP长【分析】考查特点点的坐标特征,转化为方程即可求解【解答】解：(1)依题意，得：3m﹣9=0，解得m=3，∴m+1=3+1=4，∴点P的坐标为（0，4）；(2)依题意，得：m+1=0，解得m=﹣1，∴3m﹣9=3×(﹣1)﹣9=﹣12，∴点P的坐标为（﹣12，0）；(3)依题意，得：m+1﹣（3m﹣9）=12，则-2m=2,解得m=-1，∴3m﹣9=3×（-1）﹣9=﹣12，m+1=-1+1=0，∴点P的坐标为（﹣12，0）；（4）依题意，得：m+1=8，解得m=7，∴3m﹣9=3×7﹣9=12，∴点P的坐标为（12，8）又AP垂直y轴，即AP平行于x轴，∴AP=|12-（-2018）|=203012．在平面直角坐标系中,A（0,20）,B在原点,C（26,0）,D(24,20),动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点从点C开始沿CB以3cm/s的速度向B运动,P、Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts,问t为何值时：(1)四边形PQCD是平行四边形?并写出P、Q的坐标；(2)四边形形PQCD 是等腰梯形?并写出P 、Q 的坐标.【分析】(1)利用对平平行且相等的四边形是平行四边形,设元后转化为方程即可求解．(2)利用梯形定义,作垂直构造全等三角形转化为方程【解答】解：(1)若PQCD 是平行四边形,而由已知A （0,20）,D(24,20),C （26,0）,D(24,20)可得PD ∥QC,故只要PD=QC,即PD=AD-AP=24-t QC=3t;∴24-t=3t ∴t=6 P(6,20) Q(8,0) 故当t=6时,有PD=QC,又PD ∥QC,则PQCD 是平行四边形,综上,当t=6时,PQCD 是平行边形形时,此时P(6,20) Q(8,0), (2)等腰梯形 即不平行的两边相等 ∴PQ=CD 过D 向x 轴作垂线DF 过P 向x 轴作垂线PE ,∴DFC PEQ ∆≅∆,∴CF=QE=2, ∴P 、Q 两点横坐标差为2∴t-(26-3t)=2 ∴t=7 P(7,20) Q(5,0)13．(2018·黄石)如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6cm ，矩形ABCD 中AB ＝2cm ，BC ＝10cm ，点C 和点M 重合，点B 、C (M )、N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y ， 求y 与x 的的函数关系式并大致画出其函数图象N (M)PD C B A【分析】．先求出两种临界情形,即D 在PM 或PN 上时,分别求得t ＝2t ＝4.,再分0＜t ＜2时，2＜t ＜4时，4＜t ＜6情形分可求得函数关系式，【解答】解:当点D 位于PM 上时，此时t ＝2.当0＜t ＜2时，y ＝12t 2； 当点D 位于第PN 时，此时t ＝4.当2＜t ＜4时，y ＝2＋2×(t －2)＝2t －2；当4＜t ＜6时，y ＝2＋4＋12(t －4)2＝12(t －4)2＋6. x y268246o14．已知：平面直角坐标系中，已知A （1，0）、B （﹣2，3）、且C 点是由B 沿坐标轴向下平移3个单位后再向左平移一个单位得到．（1）求△ABC 的面积是多少？（2）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上时，且S △ACP =4S △ABC ，求点P 的坐标？（3）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上时，且S △BCQ =4S △ABC ，求点Q 的坐标？【分析】利用平移规律和点的坐标值与线段值,利用面积转化为方程求解【解答】解:（1）∵A （1，0），B （﹣2，3），C （﹣3，0），∴AC=1﹣（﹣3）=1+3=4，点B 到AC 的距离为3，∴△ABC 的面积=21×4×3=6； （2）∵S △ACP =4S △ABC =24，∴以AC 为底时，△ACP 的高OP ＝24×2÷4=12，点P 在y 轴正半轴时，P （0，12）；点P 在y 轴负半轴时，P （0，﹣12）； （3）∵S △BCQ =4S △ABC ，=24，∴以CQ 为底时，△BCQ 的高为3，底边CQ=24×2÷3=16，∴点Q 在C 的左边时，Q （﹣3﹣16，0），即Q （﹣19，0）；点Q 在C 的右边时，Q （﹣3+16，0），即Q （13，0）15．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y1）与P 2（x 2，y 2）的“相对偏差距离”，给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1（x 1，y1）与点P 2（x 2，y 2）的“相对偏差距离”为|x 1﹣x 2|； 若|x 1﹣x 2||＜|y 1﹣y 2|，则P 1（x 1，y1）与点P 2（x 2，y 2）的“相对偏差距离”为|y 1﹣y 2|；（1）若M （一2018，2020），N （一2017，2018），则M ，N 的相对偏差距离为_____（2）已知点A （﹣2017，0），B 为y 轴上的动点，①若点A 与B 的“相对偏差距离为”2018”，写出满足条件的B 点的坐标．②直接写出点A 与点B 的“相对偏差距离”的最小值（3）已知C 点坐标为C （m ，4m+2017），D （0，2020），求点C 与D 的“相对偏差距离”的最小值及相应的C 点坐标．【分析】以新定义题型考查点的坐标的理解和运用【解答】解:（1）2（2）①（0，2018）或（0，﹣2018）；②“相对偏差距离”的最小值是2017；（3）|m ﹣0|=|4m+2017﹣2020|，解得m=1或53， 当m=1时，“相对偏差距离”为1；当m=53时，“相对偏差距离”为53. 所以，当m=53时，“相对偏差距离”最小值为3/5，此时对应C 点的坐标为（53，522019）． 16． （2018·无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为（6，4）（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC ，它与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和点C ，且使∠ABC =90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①当△ABC与△AOC全等且拼成矩形，可通过作垂线构造矩形的方法，也可找OB中点画圆的方法找到AC两点，再作直线AC；②当△ABC与△AOC全等且拼成筝形时，作OB的垂直平分线即可；（2），当△ABC与△AOC全等且拼成筝形时，先借助勾股定理列方程求出OA和OC的长，从而得A、C的坐标，在用待定系数法求AC的解析式；当△ABC与△AOC全等且拼成矩形，直接利用待定系数法求AC得解析式．【解答】解：（1）方法一：过B作BA⊥x轴于A，过B作BC⊥y轴于C，作直线AC（如答图①）；方法二：连接OB，作OB的垂直平分线交OB于D，以D为圆心，DO为半径作圆D，交x 轴于A，交y轴于C，作直线AC（如答图②）；方法三：连接OB，作OB的垂直平分线交x轴于A，交y轴于C，作直线AC（如答图③）；①②③④（2）不唯一，①当∵△AOC ≌△ABC 时，过B 作BC ⊥y 轴于E ，过B 作BA ⊥x 轴于F （见答图④），则四边形OEBF 是矩形，∴OE =6，OF =4，设OA =a ，则AE =6-a ，∵OA =BA =a ，AB 2=AE 2+BE 2 ，∴a 2=（6-a ）2+42，解得a =313，∴A （313，0）；同法，设OC =c ，CF =c -4， ∵CO =CB =c ，CB 2=CF 2+BF 2， ∴c 2=（c -4）2+62，解得c =213，∴C （0，213），设AC 解析式为y =kx +b ，把A （313，0）、C （0，213），代入得1303132k b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得32132k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，∴AC 得表达式为31322y x =-+；②当∵△AOC ≌△CBA 时（见答图①），可得∴OA =6，OB =4，点A 的坐标为（6，0），C （0，4），设AC 解析式为y =kx +b ，把A 、C 代入得604k b b +=⎧⎨=⎩，，解得234k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴AC 得表达式为243y x =-+.。
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点的坐标先读横坐标(x 轴)， 再读纵坐标(y 轴).
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
2. 点 的 坐 标
特征
点 P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点 P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
（1）坐标轴上的点不属于任
点 P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；
何象限.
点 P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.
诀是过点向 x 轴、y 轴作垂 线，从而将其割补成可以直
M（x,y）
M1(x+a,y)
接计算面积的图形来解决.
M2(x+a,y+b)
3. 坐 标 点 的
距离问题
（1）点 M(a,b)到 x 轴，y 轴的距离：到 x 轴的距离为|b|；)到 y 轴的距离为|a|． （2）平行于 x 轴，y 轴直线上的两点间的距离： 点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点 M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
进一步寻找求这个图形面积
（4）点 P（a,b）的对称点的坐标特征：
的因素，若找不到，就要借
①关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为(a，－b)；②关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为(－a，b)； 助割补法，割补法的主要秘
③关于原点对称的点 P3 的坐标为(－a，－b)． （5）点 M（x,y）平移的坐标特征：
点 M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点 M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．
平行于 x 轴的直线上的点纵 坐标相等；平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等.
知识点二：函 数
4.函数的相关
概念
失分点警示 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量
（2）பைடு நூலகம்面直角坐标系中图形
（2）坐标轴上点的坐标特征：
的平移，图形上所有点的 坐标变化情况相同.
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.
（3）平面直角坐标系中求图
（3）各象限角平分线上点的坐标
形面积时，先观察所求图形
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
是否为规则图形，若是，再
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第 9 讲 平面直角坐标系与函数
一、 知识清单梳理 知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次 y= x 3 中自变量的取值范 x5
根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 围是 x≥-3 且 x≠5.
5.函数的图象
（1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
个区间上的函数图象是一条 平行于 x 轴的线段.
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（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为 t（或线段长为 x），找因变量与 t(或 x)之间存在的函数关系，用含 t(或 x)的
读取函数图象增减性的技 巧：①当函数图象从左到右 呈“上升”（“下降”）状态时， 函数 y 随 x 的增大而增大（减 小）；②函数值变化越大，图 象越陡峭；③当函数 y 值始 终是同一个常数，那么在这
函数解析式，同时有几个代 叫做变量．
数式，函数自变量的取值范 （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一确
围应是各个代数式中自变量 定的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．函数的表示方法有：列表法、
的公共部分. 例：函数 图像法、解析法.