3-5 -可分离变量型方程及其解法

2.1 可分离变量型方程的解法

[教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法.

[教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标]

1. 会熟记、记准导数公式和积分公式;

2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分;

3. 知道齐次方程的形式

)x

y

f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为

变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数

方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.

1. 导数公式和积分表的意义

小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表）

练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式.

（2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2

e e ch x x

x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表

示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2

2

=-==.

2. 求导法则和积分法则

碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的，

(x)' f dx

dy

=(x)dx ' f dy =⇔，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分

法则. 设g(x) v f(x),

u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）⎰⎰⎰+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=⋅, dv u du v v)d(u +=⋅；于是相应地有

（2）

⎰⎰⎰+=⋅dv u du v v)d(u ;

(x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx

d

=，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有

（3）

⎰⎰⎰==(x)dx g' (g(x))' f dv (v)' f d(f(g(x)))（从左往右，从右往左，不同思路,

都要会）

例18. 求下列积分 (a) ⎰

+++=6)

5x (x 3)dx (2x I 21; (b) ⎰-++=221))(x 1(x 3)dx

(2x I ; (3) 教材P32例3.

解：(1) (a) 记=

f(x)3)

2)(x (x 3)

(2x 6)5x (x 3)(2x 2

+++=+++，将f(x)分解为简单分式的和: 3x B 2x A f (x)+++=

, 其中,13x 32x A 2x -=++=-= 32

x 3

2x B 3x =++=-=， 于是， C |2x |ln |3x |3ln dx 3x 3

dx 2x 1I 1++-+=+++-=⎰⎰. (b) 记=

g(x)21))(x 1(x 3)(2x -++，2

32

11)

(x A 1x A 1x A g(x)-+-++=，其中 ,4/11)(x 3

2x A 1x 21=-+=

-= ,2/51)

(x 32x A 1

x 3=++=

= 系数2A 确定如下，取x=0(不同于-1,1)，

则1

5/2

1A 11/43g(0)2+-+==，解得1/4A 2-=. 因此，C 1)

(x 125|1x |ln 41|1x |ln 41I 2+----+=

. 例19. 求下列积分(a) ⎰=dt ln t t I 3; (b) ⎰=dt sin t t I 4

; (c) ⎰=dt e

t I t

a 5

.

(2)解：(a)C 4

t -ln t 2t dt t 12t -ln t 2t ln t) d(2t -ln t 2t /2)d(t ln t I 2

222222

3+=⋅===

⎰⎰⎰

.

(b) ⎰⎰

=-==

...d(sin t)2

t sin t 2t )2t d(sin t I 2

224 此路不通！

⎰⎰⎰++=+-=--==C sin t t cos -t tdt cos t cos t t)d(t)(-cos t)cos t( t)d(-cos t I 4.

(c) 作为练习.

例20. 求下列积分(a) ⎰

+++=

3/2

266)

3x (x 3)dx

(2x I ; (b) ⎰-=dx x 1I 27. 解：(a) 令 3)dx,2x (dv 6,3x x v 2

+=++=于是有 C 2v C v 1

3/21dv v v v d I 1/2

13/23/23/26+-=++-===

-+--⎰⎰

. (从右往左) (b) 令dt t cos dx sin t,

x ==， 于是有