三个二次问题
二次函数投篮问题(附答案)
二次函数投篮问题1．在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？﹣﹣×时，﹣x2．如图，一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最高度3.5米，篮筐中心到地面距离为3.05米，建立坐标系如图．该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，他跳离地面的高度为0.2米，问这次投篮是否命中，为什么？若不命中，他应向前（或向后）移动几米才能使球准确命中？，则该抛物线解析式为，时，时，+3.5=3.05，即3．（2011•宝山区一模）如图1，小杰在一个智能化篮球场的罚球区附近练习投篮，球出手前，他测得篮框A的仰角为16.7°、篮球架底端B的俯角为24.2°，又已知篮框距离地面约3米．（1）请在答题纸上把示意图及其相关信息补全，并求小杰投篮时与篮框的水平距离；（2）已知球出手后的运动路线是抛物线的一部分，若球出手时离地面约2.2米，球在空中运行的水平距离为2.5米时，达到距离地面的最大高度为3.45米，试通过计算说明球能否准确落入篮框．（注：篮球架看作是一条与地面垂直的线段，篮框看作是一个点；投篮时球、眼睛看作是在一条与地面垂直的直线上．备用数据：sin16.7°=0.29，cos16.7°=0.96，tan16.7°=0.30；sin24.2°=0.41，cos24.2°=0.91，tan24.2°=0.45；），∴4.．一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，根据经验，运动员起跳后的时间t（s）与运动员距离水面的高度h（m）满足关系式：h=10+2.5t﹣5t2，那么运动员最多有多长时间完成规定动作？﹣=5．（2013•婺城区一模）某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？．，或﹣，，x））×=，=6．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE=5m，CF=6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）到达距水面最大高度4m，规定：以CD为横轴，CB 为纵轴建立坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内如水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．[x﹣（≤]7．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（1）当h=1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．[x﹣（≤]。
三个二次问题
提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222>++mx x ．2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．5．若不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ，求实数p 与q 的值．6. 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54.7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足ax x 1021<<<. 当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<.8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mr m q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？15. 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a.且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 012<.16. 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.17. 设0232=++++=c b a .c bx ax )x (f 若,00>)(f ，01>)(f ,求证：(Ⅰ) a ＞0且－2＜ba ＜－1；(Ⅱ)方程0=)x (f 在（0，1）内有两个实根.18. 已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。
函数 三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题专题
三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)含参的恒成立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.解析 由6＋x －x 2≥0得－2≤x ≤3，则D 为[－2，3]. 故所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.答案 592.(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________. 解析 由2x 2－x<4，知x 2－x <2，解得－1<x <2，所以原不等式的解集为(－1，2).答案 (－1，2)3.(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 因为二次函数开口向上，在区间[m ，m ＋1]上始终满足f (x )<0， 所以只需⎩⎨⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0即可，由⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－22<m <22，－32<m <0，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0考 点 整 合1.“三个二次”的关系解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解. 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；(3)当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系. 3.四个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.(3)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . (4)存在f (x )<a 成立⇔a >f (x )min ， 存在f (x )>a 成立⇔a <f (x )max .热点一 含参一元二次不等式的解法【例1】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，①当a >1时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，所以x <2a 或x >2.②当a ＝1时，2a＝2，原不等式化为(x －2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2.③当0<a <1时，2a >2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，则x <2或x >2a .④当a <0时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，所以2a <x <2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <2. 探究提高 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练1】 (2017·上海十四校联考改编)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)x ，g (x )＝ax .解关于x 的不等式：f (x )≤g (x ).解 由f (x )≤g (x )得x 2＋(2a ＋1)x ≤ax ， 即x 2＋(a ＋1)x ≤0.当a <－1时，解得0≤x ≤－a －1； 当a ＝－1时，解得x ＝0； 当a >－1时，解得－a －1≤x ≤0.所以，当a <－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[0，－a －1]； 当a ＝－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为{0}； 当a >－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[－a －1，0]. 热点二 “三个二次”之间的关系【例2】 (2017·苏州调研测试)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 由x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1；当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－12≤x <1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .当0<a <2时，f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，0≤x <a ，x 2－ax ，a ≤x ≤2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，a 上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，f （2），而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，f (2)＝4－2a ，令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<f (2)，即a 24<4－2a ，解得－4－42<a <－4＋42， 所以当0<a <42－4时，F (a )＝4－2a ；令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≥f (2)，即a 24≥4－2a ，解得a ≤－4－42或a ≥－4＋42， 所以当42－4≤a <2时，F (a )＝a 24.当a ≥2时，f (x )＝－x 2＋ax ，当1≤a2<2，即2≤a <4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，2上是减函数，则F (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数， 则F (a )＝f (2)＝2a －4；综上，F (a )＝⎩⎨⎧4－2a ，a <42－4，a24，42－4≤a <4，2a －4，a ≥4.探究提高 “三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形.【训练2】 (2017·苏北四市一调)已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R.若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是________.解析 因为g (x )＝b (2－x ＋a )，所以f (x )≥g (x )， 即2x －1＋a ≥b2x ＋ab ，即(2x )2－2a (b －1)2x －2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2－2a (b －1)2x －2b ＝0的2x 的值分别为4，－b 2.因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以－b2≤0，即b ≥0.又因为4－b 2＝2a (b －1)，所以b ＝4（a ＋2）4a ＋1≥0，解得a ≤－2或a >－14.答案 (－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞热点三 恒成立问题与存在性问题 【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax －a ＋2.(1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若对于任意的x ∈[－1，1]，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，求实数x 的取值范围.解 (1)若对于任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立， 需满足Δ＝4a 2－4(－a ＋2)≤0，解得－2≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是[－2，1]. (2)由题知对称轴方程为x ＝－a ，当－a <－1，即a >1时，f (x )min ＝f (－1)＝3－3a ≥0， 解得a ≤1，与已知矛盾，舍去；当－a >1，即a <－1时f (x )min ＝f (1)＝3＋a ≥0， 解得－3≤a <－1；当－1≤a ≤1时，f (x )min ＝f (－a )＝－a 2－a ＋2≥0， 解得－1≤a ≤1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1].(3)对于任意的a ∈[－1，1]，x 2＋2ax －a ＋2>0恒成立，等价于g (a )＝(2x －1)a ＋x 2＋2>0， 所以⎩⎨⎧g （1）>0，g （－1）>0，即⎩⎨⎧x 2＋2x －1＋2>0，x 2－2x ＋1＋2>0，解得x ≠－1，所以x 的取值范围是{x |x ≠－1}.探究提高 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2017·江苏冲刺卷)若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题.则⎩⎨⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2， 故实数a 的取值范围是(2，＋∞).(2)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 (1)(2，＋∞) (2)[－1，4]1.在解一元二次不等式时，通常先将二次项的系数化为正数，然后利用“三个二次”的关系进行求解；在求解含参数的不等式时，则要注意对二次项系数及根的大小关系分类讨论，分别写出解集.2.(1)在解决不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.一、填空题1.(2017·苏中四校联考)若“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.解析 由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”是假命题，可得其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0”是真命题，则Δ＝4－4a <0，解得a >1. 答案 (1，＋∞)2.若对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2＋ax －3a .因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，所以⎩⎨⎧f （－1）＝1－a －3a <0，f （1）＝1＋a －3a <0，解得a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞3.(2017·南师附中调研)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2（x ＋3）·2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 答案 (－∞，22－3]4.(2017·镇江模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，所以当x ≤0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，不等式f (x )>x ⇔⎩⎨⎧x >0，x 2－4x >x 或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x >x ，解得x >5或－5<x <0，则不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞).答案 (－5，0)∪(5，＋∞)5.当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (－1，2)6.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意知f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ，因为f (x )在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f ′(x )在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0，1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0，1]上的值域为[－4，0)，所以a ≥0或a ≤－4.答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)7.若对任意实数x >1，y >12，不等式p ≤x 22y －1＋4y 2x －1恒成立，则实数p 的最大值为________.解析 令a ＝2y －1，b ＝x －1，则x 22y －1＋4y 2x －1＝（b ＋1）2a ＋（a ＋1）2b，问题转化为求（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b (a >0，b >0)的最小值.又（b ＋1）2a＋（a ＋1）2b≥2×（a ＋1）（b ＋1）ab＝2×ab ＋（a ＋b ）＋1ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋a ＋b ab ≥2×(2＋2)＝8，当且仅当a ＝b ＝1，即x ＝2，y ＝1时取等号. 答案 88.(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________.解析 令f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1，5]上，则⎩⎨⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f （1）＝1－2（a －2）＋a ≥0，f （5）＝25－10（a －2）＋a ≥0，解得4≤a ≤5.综上，故实数a 的取值范围是(1，5]. 答案 (1，5] 二、解答题9.(2017·南京、盐城调研)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0). (1)若不等式f (x )>0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)＝2，a >0，b >0，求1a ＋4b的最小值.解 (1)由题意得⎩⎨⎧f （－1）＝0，f （3）＝0，即⎩⎨⎧a －b ＋5＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)因为f (1)＝2，所以a ＋b ＝1， 所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9，当且仅当b ＝2a ＝12时取等号.10.已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ，c ∈N *)满足①f (1)＝5；②6<f (2)<11.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若对任意的x ∈[1，2]，都有f (x )－2mx ≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由题知5＝a ＋c ＋2，即c ＝3－a .又6<4a ＋c ＋4<11，所以－13<a <43. 又a ∈N *，所以a ＝1，c ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)由已知得2(m －1)≤x ＋2x在x ∈[1，2]上恒成立. 因为当x ∈[1，2]时，x ＋2x∈[22，3]， 所以2(m －1)≤22，即m ≤2＋1，所以实数m 的取值范围为(－∞，2＋1].11.(2015·浙江卷)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R).(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在区间[－1，1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在区间[－1，1]上存在零点，且0≤b －2a ≤1，求实数b 的取值范围. 解 (1)当b ＝a 24＋1时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1， 故其图象的对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2； 当－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1； 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2<a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1， 则⎩⎨⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b . 因为0≤b －2a ≤1，所以－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t <0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t 2t ＋2<0， 所以－3≤b <0.故b 的取值范围是[－3，9－45].。
二次函数的求和问题
二次函数的求和问题二次函数在数学中是一类非常重要且常见的函数，其表达式一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的求和问题是指在给定一系列二次函数的情况下，求出它们在特定范围内的和。
一、二次函数的基本形式为了更好地理解和解决二次函数的求和问题，我们首先来复习一下二次函数的基本形式及其性质。
一般二次函数的基本形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其关键点是顶点。
二、二次函数的求和公式在求解二次函数的求和问题时，我们可以利用特定的公式来简化计算过程。
下面给出二次函数求和的公式：设有n个二次函数，它们分别为f1(x)、f2(x)、...、fn(x)，我们需要求它们在区间[a, b]内的和S。
根据二次函数的性质，我们可以得到求和公式如下：S = ∫[a,b] (f1(x) + f2(x) + ... + fn(x))dx = ∫[a,b] f1(x)dx + ∫[a,b] f2(x)dx + ... + ∫[a,b] fn(x)dx其中，∫表示积分运算符，[a,b]表示积分的区间范围。
通过将多个二次函数逐个积分，并将结果相加，即可求得它们在区间[a, b]内的和S。
三、二次函数求和问题的例子为了更好地理解求和问题的具体操作，我们来看一个例子。
例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 4在区间[1, 5]内的和S。
解：根据求和公式，我们将函数f(x)逐个积分，并将结果相加，即可得到所求的和S。
∫[1,5] (2x^2 + 3x + 4)dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x | [1,5]将上限值（5）代入并减去下限值（1）代入，得到：S = [(2/3)*(5^3) + (3/2)*(5^2) + 4*5] - [(2/3)*(1^3) + (3/2)*(1^2) + 4*1]通过简化计算，可得到S的具体数值。
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。
邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。
一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。
只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题之阳早格格创做1、仄止于x轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用左侧端面的横坐标减去左侧端面的横坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、仄止于y轴的线段最值问题1）最先表示出线段二个端面的坐标2）用上头端面的纵坐标减去底下端面的纵坐标3）得到一个线段少闭于自变量的二次函数剖析式4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值3、既没有服止于x轴，又没有服止于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构制一个曲角三角形，并使此曲角三角形的二条曲角边分别仄止于x轴、y轴2）根据线段二个端面的坐标表示出曲角顶面坐标3）根据“上减下，左减左”分别表示出二曲角边少4）根据勾股定理表示出斜边的仄圆（即二曲角边的仄圆战）5）得到一个斜边的仄圆闭于自变量的二次函数6）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值7）根据所供得的斜边仄圆的最值供出斜边的最值即可二、二次函数周少最值问题1、矩形周少最值问题1）普遍会给出一面降正在扔物线上，从那面背二坐标轴引垂线形成一个矩形，供其周少最值2）可先设此面坐标，面p到x轴、y轴的距离战再乘以2，即为周少3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、利用二面之间线段最短供三角形周少最值1）最先推断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对于称性及二面之间线段最短找到二条变更的边，并供其战的最小值3）周少最小值即为二条变更的边的战最小值加上没有变的边少三、二次函数里积最值问题1、准则图形里积最值问题（那里准则图形指三角形必有一边仄止于坐标轴，四边形必有一组对于边仄止于坐标轴）1）最先表示出所需的边少及下2）利用供里积公式表示出头积3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值2、没有准则图形里积最值问题1）分隔.将已有的没有准则图形通太过隔后得到几个准则图形2）再分别表示出分隔后的几个准则图形里积，供战3）得到一个里积闭于自变量的二次函数4）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值或者1）利用大减小，没有准则图形的里积可由准则的图形里积减去一个或者几个准则小图形的里积去得到2）得到一个里积闭于自变量的二次函数3）将其化为顶面式，并根据a的正背及自变量的与值范畴推断最值。
三次分配存在的问题以及应对措施
三次分配存在的问题以及应对措施三次分配是指经济体中资源进行三次分配的过程，即国家收入的一次分配、二次分配和三次分配。
这个过程中可能会存在一些问题，下面我将逐一分析并提出相应的应对措施。
第一个问题是一次分配存在的问题。
一次分配是指国家对原始收入的分配，原始收入包括工资、利润、租金和利息等。
在这个过程中，可能存在以下问题：1.收入差距过大。
由于不同行业、不同企业之间的差异，一些企业和个人的收入水平可能会远远高于其他人。
这会导致贫富差距加剧，社会不公平问题凸显。
2.劳动者权益保障不足。
一些劳动者的工资水平偏低，工作条件恶劣，福利待遇较差，无法得到应有的权益保障。
这会导致社会不稳定，劳资矛盾加剧。
为了应对这些问题，可以采取以下措施：1.制定和完善相关法律法规。
建立健全的收入分配制度，加强对一次分配的监管，保护劳动者权益，维护社会公平正义。
2.完善劳动者保障制度。
提高最低工资标准，加强对劳动条件的监管，保障劳动者的基本权益，提升工资水平和生活质量。
第二个问题是二次分配存在的问题。
二次分配是指对一次分配结果进行再次调整和分配，主要通过税收、社会保障等手段来实现。
在这个过程中，可能存在以下问题：1.资源分配效率低下。
一些政府采取了高税收政策，导致企业和个人的负担过重，资源流动受到限制，影响了经济的发展和资源的合理配置。
2.社会保障不完善。
一些弱势群体得到的社会保障待遇较少，无法满足其基本需求，导致社会不稳定。
为了应对这些问题，可以采取以下措施：1.优化税收政策。
减少对企业和个人的税负，降低税收负担，促进经济发展和资源的合理配置。
2.完善社会保障制度。
增加对弱势群体的救助和保障力度，提高社会保障待遇，确保社会公平和稳定。
第三个问题是三次分配存在的问题。
三次分配是指通过社会消费支出来进行分配调整，主要包括政府的公共财政支出和个人的消费行为。
在这个过程中，可能存在以下问题：1.公共财政支出效果不佳。
一些地方政府的财政支出过多，但分配效果不明显，无法真正满足民众的需求。
二次相遇问题
二次相遇问题“二次相遇”问题是相遇问题中的一个难点,当速度不变时,两人所走的路程之和为三个全程,每人所走的路程是在一个全程中所走路程的3倍。
第一次相遇点第二次相遇点A B地典型例题1 华仔、香姑两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后继续前进到达对方目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55米处，求A、B两地相距多远？典型例题2 小智、小霖两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，往返于A、B之间，第一次相遇在距A地20千米处，之后两车继续以原速前进，各自到达对方出发点后立刻返回，第二次相遇在距A地40千米处，求A、B的距离。
典型例题3 宝马、奥迪两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站70千米的地方相遇之后，两车继续以原速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点西侧30千米处相遇。
两站相距多少千米？典型例题4 客货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原速前进。
到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米？1．小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又立刻返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。
问：甲、乙两地的距离是多少？2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处相遇。
它们各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。
求A、B两地相距多少千米？3．两辆汽车同时从东、西两站相向开出。
第一次离东站60千米的地方相遇，之后，两车继续以原来的速度前进，各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。
两站相距多少千米？4．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。
快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米，两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。
求甲、乙两地之间的路程。
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
二次方程的求解与分解技巧
二次方程的求解与分解技巧二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
在解决实际问题或进行数学推导时，我们常常需要求解或分解二次方程。
本文将介绍一些常用的二次方程的求解与分解技巧，帮助读者更好地理解和应用二次方程。
一、求解二次方程的基本方法1. 完全平方公式：对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过完全平方公式求解。
该公式的形式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
通过将二次方程转化为完全平方形式，我们可以直接求得方程的解。
2. 因式分解法：对于某些特殊形式的二次方程，我们可以使用因式分解法进行求解。
例如，对于x^2 + px + q = 0，如果我们能够找到两个数a和b，使得a + b =p且ab = q，那么我们可以将方程因式分解为(x + a)(x + b) = 0，从而得到方程的解。
3. 配方法：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果我们无法直接使用完全平方公式或因式分解法求解，可以尝试使用配方法。
配方法的基本思想是通过添加或减去一个合适的常数，将二次方程转化为完全平方形式或因式分解形式，从而求得方程的解。
二、二次方程的分解技巧1. 完全平方差公式：对于二次方程x^2 - y^2 = 0，我们可以使用完全平方差公式进行分解。
该公式的形式为(x + y)(x - y) = 0。
通过将二次方程转化为完全平方差形式，我们可以直接得到方程的解。
2. 平方差公式：对于二次方程x^2 + 2px - q^2 = 0，我们可以使用平方差公式进行分解。
该公式的形式为(x + p)^2 - (p^2 + q^2) = 0。
通过将二次方程转化为平方差形式，我们可以得到方程的解。
3. 完全立方公式：对于二次方程x^3 + y^3 = 0，我们可以使用完全立方公式进行分解。
该公式的形式为(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 0。
高一数学专题辅导讲义3“三个二次”问题
高一数学补充讲义3：“三个二次”问题基础练习：1、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t ，都有)()2(t f t f -=+，那么 （ ）（A ）)4()0()1(f f f << （B ）)4()1()0(f f f <<（C ）)1()4()0(f f f << （D ）)1()0()4(f f f <<2、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，那么实数∈a ；3、函数322+-=x x y 在区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是 ；4、方程)0(02>=++a c bx ax 的两根都大于1的等价条件是 （ ）（A ）0≥∆且0)1(>f （B ）0)1(>f 且2>-b a （C ）0≥∆且2>-a b ，1>a c （D ）0≥∆且0)1(>f ，2>-ab 例题分析：例1 已知函数1)(2+-=bx ax x f（1）若0)(>x f 的解集为)4,3(-，求实数b a ,的值；（2）若a 为整数，2+=a b ，且函数()0f x =在)1,2(--上恰有一个实根，求a 的值。
例2 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且2()2f x x x =+，（1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。
3设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值。
课后练习：1、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）（A ）3≥a （B ）3-≤a （C ）5≤a （D ）3-≥a2、已知函数2()f x x bx c =++且(1)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是 （ ）A ． (2)(0)(2)f f f -<<B ． (0)(2)(2)f f f <-<C ． (0)(2)(2)f f f <<-D ．(2)(0)(2)f f f <<-3、已知a 、b 、R c ∈，函数c bx ax x f ++=2)(，若)1()4()0(f f f >=，则（ ） A ．04,0=+>b a a B ．04,0=+<b a aC ．02,0=+>b a aD ．02,0=+<b a a4、已知函数2(0)()2(0)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式2()f x x ≥的解集为（ ）A. [－1,1]B. [－2,2]C. [－2,1]D. [－1,2]5、函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ） A. 54 B ． 45 C. 43 D. 346、已知二次函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +是偶函数，则实数a 的值为 （ ）A. －1B. 1C. －2D. 27、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ）A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <。
专题训练(三) 二次函数中的存在性问题
专题训练(三)二次函数中的存在性问题▶类型一构造特殊三角形1.如图1,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D 的坐标为(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.图12.如图2,直线y=-√3x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,3√3),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连结PB,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长.图2▶类型二构造特殊四边形3.如图3,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,A为x轴上方的抛物线上任意一点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,设点A的横坐标为m,当四边形ABOC为平行四边形时,m的值为.图34.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-43x+2(a≠0)过点B(1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标;(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ,求P,Q 两点的坐标.图45.如图5,在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标;(2)将抛物线L沿B,D所在的直线平移,平移后点B 的对应点为点B',点C的对应点为点C',点D的对应点为点D',当四边形BB'C'C是菱形时,求此时平移后的抛物线的表达式.图5▶类型三构造相等的角或特殊度数的角6.[2020·绍兴柯桥区期末]如图3-ZT-6,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,抛物线y=-x2+bx+c 经过B,C两点,与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的函数表达式.(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小,求符合条件的点E的坐标.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出PB2的值;若不存在,请说明理由.图6专题训练(三)教师详解详析1.(1+√2,2)或(1-√2,2)[解析] ∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形, ∴点P 在线段CD 的垂直平分线上.如图,作CD 的垂直平分线l 交抛物线于点P 1,P 2,交y 轴于点E ,则E 为线段CD 的中点.∵抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C , ∴C (0,3).而D (0,1), ∴点E 的坐标为(0,2), ∴点P 的纵坐标为2.在y=-x 2+2x+3中,令y=2,可得-x 2+2x+3=2,解得x=1±√2,∴点P 的坐标为(1+√2,2)或(1-√2,2).2.解:(1)∵直线y=-√3x+n 交y 轴于点C (0,3√3), ∴n=3√3,∴y=-√3x+3√3. 令y=0,得x=3, ∴A (3,0).∵抛物线y=23x 2+bx+c 经过点A ,交y 轴于点B (0,-2).∴c=-2,6+3b-2=0, ∴b=-43,∴抛物线的表达式为y=23x 2-43x-2.(2)∵点P 的横坐标为m ,且点P 在抛物线上, ∴Pm ,23m 2-43m-2. ∵PD ⊥x 轴,BD ⊥PD , ∴点D 的坐标为(m ,-2), ∴BD=|m|,PD=23m 2-43m-2+2.当△BDP 为等腰直角三角形时,PD=BD , ∴|m|=23m 2-43m , m 2=23m 2-43m 2,解得m 1=0(舍去),m 2=72,m 3=12,∴当△BDP 为等腰直角三角形时,线段PD 的长为72或12.3.2 [解析] 当x=0时,y=3, ∴点C 的坐标为(0,3),则OC=3.∵点A 的横坐标为m ,且点A 在抛物线上, ∴点A 的坐标为(m ,-m 2+2m+3).当四边形ABOC 是平行四边形时,AB=3,当AB=3时,-m 2+2m+3=3,解得m 1=0(舍去),m 2=2,∴m=2. 4.解:(1)将B (1,0)代入y=ax 2-43x+2,得a-43+2=0,∴a=-23,∴抛物线的函数表达式为y=-23x 2-43x+2.(2)当y=0时,-23x 2-43x+2=0,解得x 1=1,x 2=-3. 当x=0时,y=2,∴抛物线与y 轴的交点C 的坐标为(0,2),与x 轴的另一交点A 的坐标为(-3,0).(3)如图,过点P ,Q 分别作PH ⊥y 轴,QG ⊥x 轴,垂足分别为H ,G.∵四边形ACPQ 是正方形,∴易证△AOC ≌△QGA ≌△CHP , ∴AO=QG=CH=3,OC=GA=HP=2, ∴P (-2,5),Q (-5,3).5.解:(1)把A (-3,0)和B (1,0)代入抛物线L :y=ax 2+bx+3,得{9a -3b +3=0,a +b +3=0,解得{a =-1,b =-2,即抛物线L :y=-x 2-2x+3,化为顶点式为y=-(x+1)2+4,故顶点D 的坐标为(-1,4). (2)∵B (1,0),D (-1,4),由待定系数法可得直线BD 的表达式为y=-2x+2. 设平移后点B 的对应点B'的坐标为(x ,-2x+2), 则BB'2=(x-1)2+(-2x+2-0)2=5(x-1)2.∵抛物线L :y=-x 2-2x+3,∴点C 的坐标为(0,3),∴BC 2=12+32=10, ∴5(x-1)2=10,解得x 1=√2+1,x 2=-√2+1.∴点B'的坐标为(√2+1,-2√2)或(-√2+1,2√2).当点B'的坐标为(√2+1,-2√2),即点B 向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向右平移√2个单位,再向下平移2√2个单位,可得y=-(x+1-√2)2+4-2√2.当点B'的坐标为(-√2+1,2√2),即点B 向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得点B',∴抛物线L :y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4向左平移√2个单位,再向上平移2√2个单位,可得y=-(x+1+√2)2+4+2√2.综上所述,当四边形BB'C'C 是菱形时,此时平移后的抛物线的表达式为y=-(x+1-√2)2+4-2√2或y=-(x+1+√2)2+4+2√2.6.解:(1)直线y=-x+3与x 轴、y 轴分别交于B ,C 两点,则点B ,C 的坐标分别为(3,0),(0,3). 将点B ,C 的坐标代入y=-x 2+bx+c ,得 {-9+3b +c =0,c =3,解得{b =2,c =3,故抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图①,作点C 关于x 轴的对称点C',连结C'D 交x 轴于点E ,此时EC+ED 的值最小,则△EDC 的周长最小.抛物线的顶点D 的坐标为(1,4),点C'(0,-3).用待定系数法可求得直线C'D 的表达式为y=7x-3. 当y=0时,x=37,故点E 的坐标为37,0.(3)存在.①当点P 在x 轴上方时,如图②, ∵OB=OC=3,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45°=∠APB. 令y=0,则-x 2+2x+3=0, 解得x 1=-1,x 2=3, ∴A (-1,0),∴AB=4.过点B 作BH ⊥AP 于点H ,设PH=BH=a , 则PB=P A=√2a.由勾股定理得AB 2=AH 2+BH 2, 即16=(√2a-a )2+a 2, 解得a 2=8+4√2,则PB 2=2a 2=16+8√2. ②当点P 在x 轴下方时, 同理可得PB 2=16+8√2.综上可得,PB 2的值为16+8√2.。
一元二次不等式教案中职数学
一元二次不等式教案中职数学教学内容三维目标一、科学知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能够熟练地将分式不等式转变为整式不等式(组)，正确地谋出来分式不等式的边值问题；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.可以利用一元二次不等式，对取值的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式数学分析与二次函数的有关科学知识解题.二、过程与方法1.使用探究法，按照思索、交流、实验、观测、分析得出结论的方法展开启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，唤起学生的自学积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.加强学生应用领域转变的数学思想和分类探讨的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象化出来一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体内容的问题情景，体会至现实世界存有大量的不等量关系，并且研究了为不等式或不等式组在则表示实际问题中的左右关系。
总结下等比数列的性质。
生：略师：某同学必须把自己的计算机互连因特网，现有两种isp公司可以供选择，公司a每小时收费1.5元（严重不足1小时按1小时排序），公司b的收费原则就是第1小时内（不含恰好1小时，萨兰勒班县）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时增加0.1元（若用户一次玩游戏时间少于17小时，按17小时排序）那么，一次玩游戏在多少时间以内能确保挑选公司a的玩游戏费用大于等同于挑选公司b所需费用。
学生自己讨论点题，板书课题新课学习只有一个未知数，并且未知数的最低次数就是2的不等式。
2.三个“二次”之间的关系及一元二次不等式的解法师在前面我们已经自学过一元二次左右的数学分析，辨认出一元二次方程及对应的二次函数存有关系，那么同学们课本关上至p77填表格。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
三的二次方的相反数的二次方
三的二次方的相反数的二次方1.引言1.1 概述在引言部分，我们将对"三的二次方的相反数的二次方"这个主题进行概述。
"三的二次方的相反数的二次方"是一个数学问题，需要我们通过一系列的计算来找到答案。
这个问题涉及到一些数学概念和运算符号，如平方、相反数等。
首先，三的二次方意味着将数字3乘以自身，即3乘以3，得到结果9。
而相反数的概念是指一个数与其相反数相加等于0。
因此，3的相反数是-3。
接下来，我们需要计算-3的二次方。
负数的二次方也可以通过一系列运算来得到，即将负数的绝对值进行平方，再加上负号。
所以，-3的二次方就是将3的平方结果取负，即-9。
最后，我们可以得出结论，即"三的二次方的相反数的二次方"是-9。
本文旨在通过一个数学问题的分析与计算，展示了几个数学概念的应用，同时展示了计算过程中的一些数学运算符号的含义。
在接下来的正文部分，我们将详细讨论三的二次方和相反数的二次方，以及它们的应用和性质。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：文章结构部分的目的是为读者提供一个清晰的大纲和指引来帮助他们更好地理解和阅读整个文章。
通过这一部分，读者可以了解到文章的整体框架和主要内容。
首先，我们将简要介绍一下文章的大纲。
本文主要探讨的是三的二次方的相反数的二次方的问题。
我们将会从引言、正文和结论三个方面来展开讨论。
其次，我们将详细说明每个部分的内容和目的。
在引言部分，我们将对文章的背景和目的进行概括性介绍。
通过概述，读者可以了解到三的二次方的概念和相反数的概念，并对本文的研究内容有一个初步的了解。
接着，我们将介绍文章的结构，包括几个主要章节的内容和顺序。
最后，我们明确本文的目的，即通过研究三的二次方的相反数的二次方，探索其特性和可能的应用。
在正文部分，我们将详细阐述三的二次方和相反数的二次方的概念。
我们将介绍三的二次方的计算方法和结果，以及相反数的二次方的计算方法和结果。
三个二次的关系问题
x三个“二次”的关系问题一、二次函数的图象与性质1.设0b >，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下图所示之一，则a 的值为（ ）A 、1B 、－1 C、12- D、12-解：由0b >知对称轴不是y 轴排除1,2<><>，由3,4<><>知002ba a->∴<排除4<>，故()f x 的图象必为3<>，2(0)011f a a ∴=⇒=⇒=-或1（舍去）2.设2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0)f f -=，且(2)2f -=-则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ） A 、1 B 、2C 、3D 、4解：由(4)(0)f f -=且(2)2f -=-易求得2(2)2,0()2,0x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，作出()f x 的图象如图，显然它与直线y x =有三个交点。
3.无论m 取任何实数，方程23|32|(2x x m x -+=-的实根个数为（ ） A 、1B 、2C 、3D 、4解：易知22232,12()|32|(32),12x x x x f x x x x x x ⎧-+≤≥=-+=⎨--+<<⎩或，作出()f x 的图象如右，直线3()2y m x =-为过点3(,0)2A 除l 外的任一直线，容易看出总是有2个交点。
4.如图，抛物线与直线(4)y k x =-都经过坐标轴的正半轴上A 、B 两点，该抛物线的对称轴1x =-与x 轴相交于点C ，且90ABC ∠= ，（1）求直线析式解：（1）由已知得(4,0),(0,4),(1,0)A B k C --90,ABC BO AC ∠=⊥ 2BO CO OA ∴=⋅3)2-21(4)142k k ∴-=⨯⇒=±，如图知102k k <∴=-，故直线AB 方程为122y x =-+（2）设抛物线方程为2(1)(0)y a x c a =++<，将(4,0),(0,2)A B 代入得2052a ca c ⎧=⋅+⎨=+⎩解得125,1212a c =-=∴抛物线方程为2112126y x x =--+ 5.二次函数2y a x b x c =++的图象如图所示，记|||2M a b c a b =-+++，|||2|N a b c a b =+++-，试比较,M N 的大小。
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1.解关于 x 的不等式：(1) X 2-(a + 1)x + a< 0, (2) 2x 2+mx+2>_0 .3 .不等式(m 2— 2m-3)x 2- (m — 3)x —1< 0的解集为 R 求实数 m 的取值范围.1 14.已知二次函数y = X 2+ p x+ q ，当y < 0时，有-3 < X < 3，解关于X 的不等式q x 2+ p x+ 1>0.5•若不等式 丄X 2+qx + p > 0的解集为｛x| 2 e x •<4｝，求实数p 与q 的值. P7.(经典题型，非常值得训练)设二次函数f (X )= ax 2+ bx +c (a > 0 )，方程f (x )-x = 0的两个根x 1 ,x 21满足 0 C X 1 ■<X2 V —.当(0, X )时，证明 X < f (X )< X 1.a8.已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间 (一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求m 的范围.11.如果二次函数y= mx 2+(m- 3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.16.已知二次函数 f(X)= ax 2+bx +1 (a,b 亡R,a 》0)，设方程f(x)=x 的两个实数根为 x 1和x 2.(门如果X j c 2 V X 2 v 4，设函数f (x)的对称轴为X = x 0，求证：x 0 > -1 ;217.设 f (X) = 3ax + 2bx + c 若 a + b+c = O ,f(O)AO ， f(1)A 0,求证:(I ) a>0且一2< - <- 1;b(n)方程f(x) = 0在(0，1)内有两个实根-19.-为何值时，关于r 勺方程的两根:提升成绩题型训练一一三个二次问题(二次函数、不等式、方程)(2)如果 x i <2 ,X 2 -x i =2，求b 的取值范围.(1)为正数根；(2)为异号根且负根绝对值大于正根；(3)都大于1 ; ( 4 )一根大于2，一根小于2;( 5)两根在0, 2之间。
23.设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|a<x< p }(0<a< p ),求不等式cx 2+bx+av0的解集.答案: 1.解：(1)原不等式可化为：(X-a)(x-1) c 。
,若a> 1时，解为1 Vxv a,若a> 1时,解为av XV 1，若a=1时，解为2(2) △ = m -16.①当m 2-16 ：>0即m < /或m >4时,•••原不等式的解集为[x|x <~m ~J m 2p~或x> —m +J m 2—16①当m =±4时，△ =0，两根为洛=X2 =-—■4若m =4,则其根为—1,.・.原不等式的解集为 {x|x 亡R,且X H-1}若m = V,则其根为1 ,•••原不等式的解集为 {x|x €R,且X H 1}.②当一4v m<:4时，方程无实数根.•••原不等式的解集为R.2.解：A ={x |[x -(3k T)][ X-(k +1)] >C}，比较 3k —1, k +1 的大小,因为(3k -1) -(k +1) =2(k -1),(1)当 k> 1 时，3k — 1 >k + 1, A={ x|x>3k — 1 或 x<k+1}. ⑵当k=1时，X 忘R . (3)当 kv 1 时，3k — 1Vk + 1, A={x|x >k +1 或x <3k +1}.B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 A =4k 2 -4(k 2 +k) = -4k ,(1)当 k=0 时，也 <0,x 迂 R . (2) 当 k>0 时，△< 0, R .(3) 当 kv 0 时，也 >0, X 兰 k -A ■匚k 或 x^k +J^.△ > 0.方程2x 2+mx + 2 = 0有二实数根:X i —m - J m 2 -16—m + J m 2 -16— ,X 2 —故：当k >0时，由B=R，显然有A匸B ,bk -1 <k -上Tk当k V 0时，为使A C B，需要｛= k>—1，于是k>—1时，A G B.[k +1 > k +k>0或一1 <k <0.3..解：(1 )当 m2— 2m— 3= 0，即①若m= 3,原不等式解集为②若m =-1，原不等式化为(2 )若m2— 2m — 3工0，依题意有•••原不等式解集为｛ x I XV =，不合题设条件.即V m V 34..解R.…p= ,q=- ，•不等式 qx2 + px+ 1>0即一x+ 1> 0综上所述，k的取值范围是:m= 3 或 m=— 1 时,R4x— 1 V 022…X — X — 6 V 0，…一2v XV 3.即不等式qx 2+ px+ 1 >0的解集为{ X I- 2 V xv 3}.解得 p =_275,q =2J 2.26.解：••• f (一1 )= a —b +c, f (1 )= a +b +c, f (0 )= c ,1 1aw"I —2f sr (f(™,c f= -x 2 +x + 1 —(x-1)2 +5 乞52 4 47.证明：由题意可知f(x)-x =a(x-X 1)(x — X 2).0 <x <为 C X 2 <丄aa(x — x/x - X 2)》0 ,f UH f (1 芥X 2 +x + f (—1 苏 2X -X + f (0 审】1 -X 2 1 1 2 1 21当 0 <x <—1 时, 2和4是方程 1 1—X 2+qx + p = 0的两个实数根，且 一＜ 0 •(如图) Pp <0«2 +4 =_pq = p <0. 2 4 =p 2• f (x )=f (1/x2FI 2+ f (0)(1 —X 2)• •••当一1 <x <0时,X 2 +x—x 2—x X 2+x 2X 2—X+ 1 —X 2+12x -x+ |f (j 1-X 2X 2 -x2+ (1-+1)2+5 暑2 4 4X 2+x + 22x -x+ 1—X 2—X 2+x2+ (1 —5..解：由不等式的解集为{x|2£x c 4},得72—X2丿当X€(0,X1 )时，f(X)AX.又f(X)—捲=a(x — X jX x — X2) + X — X j =(X —捲)(ax —ax2 +1),X —X j c O, 且ax —ax2 +1〉1 —ax2 >0, /• f (x) cx1,综上可知，所给问题获证8.解：(1)条件说明抛物线得2 ,-,f(x)=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1, 0)和(1, 2)内，画出示意图,f(0) =2m+1 c O, « f(—1) =2〉0,* f(1) =4m + 2 c0, f(2) =6 m+ 5>01 m <-—2 m亡R,1 m <25 m > -65 1一一<m < —6 2f (0)》0,f (1)>0,⑵据抛物线与X轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组4,△ >0,0 < —m C111>--，(这里0< — m<1是因为对称轴x= — m应在区间(0, 1)内通过)>1 +『2或m <1 -72,m一1 c m c O.11.解：••• f(0)=1>0(1)当mv 0时，二次函数图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.a>0(2)当 m>0 时，贝U g—m 解得 0V mw 1i——>0I m综上所述，m的取值范围是{m|m< 1且0}.12.证明:(1) Pf Cr P[P(話)2+q Cr r]=p m[ p；^ q-r^ pm[ 丁2 - p2] (m+1)2m+1 m (m +1)2m+22 m(m+2)—(m+1)2=pm[爲m(1)由 a >0及 x j <2 C X 2 <4，可得 [4a +2b-1 C O [16a +4b -3 AO'= pm 2；，由于f(x)是二次函数，故 pM0,又m>0,所以,(m +1)2( m +2)⑵由题意，得 f(0)=r,f(1)= p+q+r ①当p V 0时，由(1)知f( )< 0m +1若 r>0,则 f(0)>0,又 f(^^)< 0,所以 f(x)=0 在(0, m +1—)内有解；m +1若 r w 0,则 f(1)= p+q+r= p+(m+1)=( — —p— )+ m +2 m「亠厶0,m+2 m又f(^^)< 0,所以f(x)=0在(^^,1)内有解. m +1m +1②当p<0时同理可证.13..解：(1)设该厂的月获利为 y, y=(160 — 2x)x — (500+30x)= — 2x 2+130x — 500由 y 》1300 知一2x 2+130x — 500> 1300 ••• x 2— 65x+900 w 0,••• (x— 20)(x — 45) w 0,解得 20wxw 45 •••当月产量在20~45件之间时，月获利不少于 1300元. 2 65 2 (2)由(1)知 y= — 2X+130X — 500= — 2(x —刁)+1612.5 ••• X 为正整数，••• x=32或33时，y 取得最大值为 •••当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612 元, 1612 元. 2 15.解：由题意 f(x)-x=ax +(b j)x + c . 它的对称轴方程为 x =b -1-2a由方程f (x )—x=0的两个根x 1,x 2满足Ocx j< x 2 <丄，可得a0 c xj C C X2 < ,且--X 1 -2a a -2a • b-1b-1 1 b-1-X 1 =X 2 一 <-2a -2a a -2a即--<X 1, 而 X 0 =-4a2aX 1=x2Xo V —.b —1 -2a16.解： 设 g(x) = f(X)-X =ax 22+(b -1)x +1，贝U g(x) =0 的二根为 x 1 和x 2.]g(2)<ol g(4) >0[ b 3[3+3 —-——< 0, 即； 2a 4ab 3-4 一 2 ”——+— < 0,2a 4al_ l_所以方程f （x ）=0在区间（0, -—）与（一一,1）内分别有一实根。