51.三角函数的诱导公式(新高三每日一题系列)

51.三角函数的诱导公式

高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆

【典例】 已知π1sin 123α⎛⎫-

= ⎪⎝

⎭，则5πcos 12α⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值等于

A ．

1

3

B ．

2

3 C ．13

-

D ．22

【练习】 1．cos （52π

3

-

）等于 A ．3

B ．12

-

C ．

12

D ．

32

2．若π4sin 65⎛⎫-=

⎪⎝⎭α，则πcos 3⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

α等于 A ．

4

5

B ．4

5-

C ．35

D ．3

5

-

3．已知πtan()5a =-，7πtan()5b =，π

sin()5

c =-，则有

A ．a b c >>

B ．c b a >>

C ．c a b >>

D ．b c a >>

【参考答案】C 【试题解析】

5ππππ1cos cos sin 12122123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=-+=--=-

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 【解题必备】（1）在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、

“小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系，如5πππ12122αα⎛

⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭，π7ππ12122αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 7π5ππ1212αα⎛⎫⎛⎫

-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系． （2）六组诱导公式

角 函数 2k π＋α（k ∈Z )

π＋α −α π−α 2

π

−α 2

π

＋α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切

tan α

tan α

−tan α

−tan α

——

——

对于角“

2

α±”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当

α为锐角时原函数值的符号”.

（3）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． （4）巧用相关角的关系能简化解题的过程：

常见的互余关系有

π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π

4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π

4

θ-等.

1．【答案】B 【解析】cos （52π3-

）＝cos （﹣17ππ3-）＝cos （17ππ3+）＝cos （ππ

3+）＝﹣cos π312=-．

2．【答案】A 【解析】因为π4sin 65⎛⎫-=

⎪⎝⎭α，则πcos 3⎛⎫+= ⎪⎝⎭αsin （ππ23--α）π4

sin 65⎛⎫=-= ⎪⎝⎭α，故

3．【答案】D 【解析】π

πtan()tan

0,5

5a =-=-<7π22

tan()tan(ππ)tan π0,555b ==+=> ππsin()sin 055c =-=-<，πtan 151,ππsin cos 55

a c -==>-而0c a c <⇒<，（也可由三角函数线判断a ，c

的大小