2019届人教B版(文科数学) 数列求和 单元测试
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31 数列求和
1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1
＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，
因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3， 所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.
从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1
＝3n －12.
2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1
＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.
(1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .
解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4
＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.
∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…
＋2n
－4(n －1)＝2(1－2n
)1－2
－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.
又当n ＝1时，上式也满足．
∴当n ∈N 时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
.
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.
依题意有⎩⎨
⎧
q (2＋d )＝6q ＋3＋3d ＝8
，
解得⎩⎨⎧
d ＝1q ＝2，或⎩⎪⎨
⎪⎧
d ＝－43
q ＝9
(舍去)．
故a n ＝n ，b n ＝2n －1.
(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝1
2n (n ＋1)， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∵1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1) ＝2(1－
1
n ＋1)＝2n n ＋1
. 4．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n ＋1a n 的前n 项和为T n ，求证：1≤T n <3. 解析：(1)当n ＝1时，a 1＝2. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，
所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)，即a n
a n －1＝2(n ≥2，n ∈N )，
所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n (n ∈N )．
(2)证明：令b n ＝n ＋1a n
＝n ＋1
2n ，
则T n ＝321＋322＋4
23＋…＋n ＋12n ，①
①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋1
2n ＋1，②
①－②，得12T n ＝32－n ＋3
2n ＋1，整理得T n ＝3－n ＋32n ，
由于n ∈N ，显然T n <3.
又令c n ＝n ＋32n ，则c n ＋1c n ＝n ＋4
2n ＋6<1，所以c n >c n ＋1，
所以n ＋3
2n ≤c 1＝2，所以T n ≥1. 故1≤T n <3.
5．(2018·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤4
9.
解析：(1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．
又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，
解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .
(2)证明：由(1)，得1
a n a n ＋1＝1
(11－2n )(9－2n )＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫19－2n －111－2n ， ∴T n
＝12⎣⎢⎡
⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
15－17＋…＋
⎦
⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －111－2n ＝12