2019届人教B版(文科数学) 数列求和 单元测试
精选新版2019年高中数学单元测试试题-数列专题完整考试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。
已知a 2a 4=1, 37S =,则5S = （A ）152 (B)314 (C)334(D)172 （2010辽宁理6）2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ） （ ）A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100（2012大纲理）答案A3．等差数列｛n a ｝和｛n b ｝的前n 项的和分别为n S 和T n ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a （ ） A ．32B ．149C ．3120D ．1711（2005）4．已知,22,33x x x ++是一个等比数列的前三项，则其第四项等于 （ ）A ．272- B ．272C ．27D ．27-5．若一个数列的通项公式是an=kn+b (其中b,k 为常数)则下列说法中正确的是 A.数列｛an ｝一定不是等差数列 B.数列｛an ｝是以k 为公差的等差数列 C.数列｛an ｝是以b 为公差的等差数列 D.数列｛an ｝不一定是等差数列6．a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列，公比为q,则q+q 2+q 3=( ) A,1 B,2 C,3 D,4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．设n S 是等差数列{}n a *()∈N n 的前n 项和，且14a 1,a 7==，则9S = ．8． 对于数列{}n a ，定义数列{}n a ∆满足： )(1*+∈-=∆N n a a a n n n ，，定义数列{}na 2∆满足：)(12*+∈∆-∆=∆N n a a a n n n ，，若数列{}n a 2∆中各项均为1，且0201221==a a ，则1a =____☆____．9．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos )sin 22n n n n a a a a ππ+===+⋅+，则该数列的前10项的和为 ▲ ．10．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，则数列{}n a 的通项公式为 。
2019届北师大版(文科数学) 数列求和 单元测试
数列求和1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )A.n3n ＋2B.n6n ＋4C.3n6n ＋4D.n ＋1n ＋22．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项之和是( )A ．n (n ＋2)B.12n (n ＋4)C.12n (n ＋5)D.12n (n ＋7) 3．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13B ．－76C ．46D ．764．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( ) A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －15．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 6．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N )，求数列{b n }的前n 项和T n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n .9．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N )，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( ) A ．－3 016B ．－3 015C ．－3 014D ．－3 013 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ()1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案1．B 2.C 3.B 4.A 5.－6 6.2n7．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1， 所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).8．(1)证明 数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为a 1＋1＝2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}为等比数列， ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.9．C 10.A11.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·()43n －2， n ≥2。
2019届人教B版(文科数学)等比数列及其前n项和单元测试
2019届人教B版(文科数学)等比数列及其前n项和单元测试在199
xxxx年高考数学[新课程标准版][测试题]第6章系列
第03节几何级数及其前n项和
第1、多项选择题(这个大题有12项，每项有5分，在每项给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。
)
1。
5月[普通高中毕业班质量检查XXXX合肥市第一中学和安徽马鞍山市第二中学教育研究委员会]已知系列
，a答] A
B.
，则上述各段之和为C .
(D .
)
，和
把答案写在问题的横线上。
)13。
[适应问题]设Sn为几何级数{an}的前N项之和，如果2a1？3a2？1，a3？3a4，
2Sn？安？。
[答案]1
[分辨率]让几何级数的公比{an}为q，它是由q？a411？所以2a1？3a1？？1，得到a3331a1？So
3。
2019届高考(文)《数列求和》专题达标试卷(含答案)
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课时提升作业（三十一）数 列 求 和（45分钟 100分）一、选择题（每小题6分，共36分)1.设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n,S n =( )［：A.B 。
n [(‒1)n ‒1]2(-1)n ‒1+12C 。
D 。
(-1)n +12(-1)n ‒122。
(2018·天门模拟）已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n ｝的前n 项和,且9S 3=S 6，则数列的前5项和为( ){1a n}A.或5 B.或51583116C 。
D.31161583.已知定义在(0，1）上的函数f （x)，对任意m,n ∈（1，+∞）且m<n 时,都有f -f =f (1m )(1n ).记a n =f ,n ∈N ＊，则在数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 8=（ )(m ‒n 1‒mn )(1n 2+5n +5)A.fB.f (15)(14)C 。
f D.f (13)(12)4.(2018·西安模拟)若数列{a n ｝为等比数列,且a 1=1,q=2,则T n =++…+的结1a 1a 21a 2a 31a n a n +1果可化为（ )A.1-B 。
2019届北师大版(文科数学) 数列 单元测试
题型1 等差数列与等比数列的基本量1 (2018·新课标Ⅰ，理4)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a （ ）A ．12- B. 10- C. 10 D. 12 解析：4233S S S += 且n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.()111333246a d a d a d ∴+=+++，即0231=-d a ，又21=a ，3-=∴d ， ()10342415-=-⨯+=+=∴d a a ， 故选B【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及到五个量，1a ，n a ，d 或q ，n ，n S ，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用1a ，d 或q 建立方程是基本方法。
题型2 等差、等比数列的性质及其应用2.（2015全国Ⅱ，理4）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A.21B. 42C. 63D. 84解析：由题意可设等比数列的公比为q ，则由13521a a a ++=得，2411121a a q a q ++=.又因为13a =，所以4260q q +-=.解得22q =或23q =-（舍去），所以()235713521242a a a a a a q ++=++=⨯=.故选B.【解题技巧】（1）等比数列中常用的性质：m q =m n s t +=+，则m n s t a a a a =． （2）等差数列中常用的性质：m na a d m n-=-；若m n s t +=+，则m n s t a a a a +=+．（3）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，则：①数列m S ，2m m S S -，32m m S S -，…也是等差数列； ②{}nS n为等差数列； ③211()...()n n n n S n a a n a a +=+==+；21(21)n n S n a -=-；④若n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，则2121n nn nS a T b --=．题型3 证明数列是等差、等比数列3 （2016·新课标Ⅲ，理17）已知数列{}n a 的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0．(1) 证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； (2) 若53132S =，求λ． 解析：(1)1,0n n S a λλ=+≠，0n a ∴≠当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即()11n n a a λλ--=，0,0,10,n a λλ≠≠∴-≠即1λ≠，即()1,21n n a n a λλ-=≥-， ∴{}n a 是等比数列，公比1q λλ=-，当n =1时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴=⋅ ⎪--⎝⎭.（2）若53132S =， 则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=⎪-⎝⎭--， 1λ∴=-.题型4 数列求通项与数列求和4.（2015全国1理17）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 解析（1）由2243n n n a a S +=+① 可得2+1+1+1243n n n a a S +=+②式①－式②得()()+1+120n n n n a a a a +--=．又因为0n a >，所以+12n n a a -=． 当1n =时，2111243a a S +=+，即211230a a --=，解得13a =或11a =-（舍去）， 所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为=21n a n +． （2）由=21n a n +可得()()1112123n n n b a a n n +===++11122123n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 记数列{}n b 前n 项和为n T ，则12n n T b b b =++⋅⋅⋅+=11111111123557792123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()323n n +．【解题技巧】（1）利用n S 与n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，注意验证1n =是否满足；（2）裂项相消法求和是一种常见的数列求和方法，将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，从而达到求和的目的。
2019届北师大版(文科数学) 数列求和、数列的综合应用 单元测试
1.（2017兰州模拟）已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．6 【答案】 C【解析】 由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝1＋7＝8，所以S 6＋S 10＋S 15＝0. 考点：数列求和2．(2017东北八校联考)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C. 323(1－4－n)D. 323(1－2－n)【答案】C考点：等比数列求和3．(2017银川模拟)数列{a n }中，a n ＝1n n ＋，若{a n }的前n 项和为2 0152 016，则项数为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017 【答案】 B 【解析】a n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋1，令n n ＋1＝2 0152 016，得；n ＝2 015。
考点：裂项法求和4.（2017西安模拟）在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ） A. ()41m q +元 B. ()51m q +元C.()()411m q q q ⎡⎤+-+⎣⎦元 D. ()()511m q q q⎡⎤+-+⎣⎦元【答案】D考点：等比数列求和应用5.（2017河北衡水中学押题卷）已知数列11a =， 22a =，且()2221nn n a a +-=--， *n N ∈，则2017S的值为（ ）A. 201610101⨯-B. 10092017⨯C. 201710101⨯-D.10092016⨯【解析】由递推公式可得：当n 为奇数时， 24n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时， 20n n a a +-= ，数列{}21n a - 是首项为2， 公差为0的等差数列，()()2017132017242016S a a a a a a =+++++++11009100910084100822017101012=+⨯⨯⨯+⨯=⨯-。
2019届人教B版(文科数学) 数列求和 单元测试
第30讲 数列求和时间 / 45分钟 分值 / 100分基础热身1.[2017·遵义四中月考] 已知等差数列{a n }中,a 2+a 4=6,则数列{a n }的前5项和S 5= ( ) A. 5 B. 6 C. 15D. 302.[2017·临汾模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列{a n 2}的前n 项和T n =( )A. (2n -1)2B. 4n -1C.4n -1D. 4n +1-43.[2017·长沙二模] 已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n (3n-2),则a 1+a 2+…+a 10= ( ) A. 15 B. 12 C. -12D. -154.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),且a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21= .5.设f (x )=4xx ,若S=f 1 +f 2 +…+f 2018,则S= .能力提升6.已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对于任意的自然数n ,都有S n T n =2n -34n -3,则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=( )A.19 B.17C.715D.20417.[2017·徐水模拟] 数列{a n }的通项公式为a n =n cos 2nπ4-sin 2nπ4,其前n 项和为S n ,则S 10= ( )A. 10B. 15C. -6 D . 258.[2017·沈阳三模] 已知数列{a n }是等差数列,且满足a 1=1,a 3=7,设S n 为数列{(-1)n a n }的前n 项和,则S 2017= ( )A. -3025B. -3024C. 2017D. 97039.[2017·郑州模拟] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思是:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”请问第二天走了( )A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里10.[2017·宁波期中] 已知数列{a n }满足a 1=43,a n+1-1=a n 2-a n (n ∈N *),则m=1a 1+1a 2+…+1a 2017的整数部分是( )A. 1B. 2C. 3D. 411.[2017·延边模拟] 已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,其前n 项和为S n ,若直线y=a 1x+m 与在y 轴上的截距为1的直线x+2y-d=0垂直,则数列 1S n的前100项和为 .12.[2017·上海中学模拟] 如图K30-1所示,在杨辉三角中,斜线上方从1开始箭头所指的数组成一个锯齿数列1,3,3,4,6,5,10,….记其前n 项和为S n ,则S 19= .图K30-113.(15分)[2017·临沂三模] 已知数列{a n }中,a 1=2,对任意的正整数n ,都有a n+1-a n =2n . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =4n 2(log 2a n )2-1,求数列{b n }的前n 项和T n .14.(15分)[2017·大庆实验中学模拟] 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n-1-1)a n -2a n-1=0(n≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b 1=1,b 1+12b 2+13b 3+ (1)b n =b n+1-1(n ∈N *).(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .难点突破15.(5分)[2017·河南六市联考]已知数列{a n}是首项为32的等比数列,S n是其前n项和,且S6S3=6564,则数列{|log2a n|}的前10项和为.16.(5分)[2017·江西九江三模]已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,a n·a n+1=2S n,设b n=2a n-13a n,则数列{b n}的前n项和T n= .课时作业(三十)1. C[解析] 在等差数列{a n}中,由a2+a4=6,得2a3=6,即a3=3,∴数列{a n}的前5项和S5=5a3=5×3=15.2. C[解析] 由S n=2n-1可知数列{a n}为等比数列.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,当n=1时,a1=S1=1,上式也成立,故a n=2n-1,则a n2=4n-1,所以数列{a n2}的前n项和T n=4n-1.故选C.3. A[解析] 因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.4. 6[解析] 由a n+a n+1=1=a n+1+a n+2,得a n+2=a n,则a1=a3=a5=…=a21,a2=a4=a6=…=a20,∴S 21=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 20+a 21)=1+10×12=6.5. 1009 [解析] ∵f (x )=4x 4x +2,∴f (1-x )=41−x 41−x +2=22+4x ,∴f (x )+f (1-x )=4x 4x +2+22+4x =1. 由S=f1 +f2 +…+f 2018,① 可知S=f2018 +…+f 2 +f 1,② ①+②得2S= f 12019 +f 20182019 +f 22019 +f 20172019 +…+f 20182019 +f 12019 =2018, ∴S=2018=1009. 6. A [解析] 由题意知a 3+a 1539=2a 939=a 939,∴a 3+a 1539+a 3210=a 939+a 3210=a 9111+a 3111=a 3+a 9111=a 1+a 11111=11(a 1+a 11)211(b 1+b 11)2=S 1111=2×11−3=19,故选A .7. C [解析] ∵a n =n cos 2nπ4-sin 2nπ4 =n cos nπ2,∴当n=2k-1(k ∈N *)时,a 2k-1=0;当n=4k (k ∈N *)时,a 4k =4k ;当n=4k-2(k ∈N *)时,a 4k-2=-(4k-2).∴S 10=0-2-6-10+4+8=-6.故选C .8. A [解析] 由题意可得公差d=3,则a n =1+3(n-1)=3n-2,所以-a 2n-1+a 2n =3×2n-2-[3×(2n-1)-2]=3,所以数列{(-1)n a n }的前2017项和S 2017=3×1008-6049=-3025.故选A .9. A [解析] 由题意得,该人每天走的路程构成以1为公比的等比数列,设第一天所走路程为a 1,则a 1 1−1261−12=378,解得a 1=192,则a 2=96,故第二天走了96里,故选A .10. B [解析] ∵a 1=4,a n+1-1=a n 2-a n (n ∈N *),∴a n+1-a n =(a n -1)2>0,∴a n+1>a n ,∴数列{a n }是递增数列.由a n+1-1=a n 2-a n =a n (a n -1),得1a n +1-1=1a n (a n -1)=1a n -1-1a n ,∴1a n =1a n -1-1a n +1-1,∴m=11+12+…+12017=1a 1-1-1a 2-1 + 1a 2-1-1a 3-1 +…+ 1a 2017-1-1a 2018-1 =1a 1-1-1a 2018-1=3-1a 2018-1.∵a 1=4>1,且数列{a n }是递增数列,∴a 2=1+4,a 3=1+52,a 4=1+6916>2,…,a 2018>2,∴0<1a 2018-1<1,∴2<m<3,∴m 的整数部分是2,故选B .11.100101[解析] ∵直线y=a 1x+m 与在y 轴上的截距为1的直线x+2y-d=0垂直,∴a 1× -12 =-1,d 2=1,解得a 1=2,d=2,∴S n =2n+n (n -1)×2=n 2+n ,则1n =1=1-1,∴数列 1n 的前100项和为 1−1 + 1-1 +…+ 1100-1101 =1-1101=100101.12. 283 [解析] 设题中锯齿数列为{a n },可知a 1=1,a 3=3=1+2,a 5=6=1+2+3,…,a 19=1+2+3+…+10,且a 2=3,a 4=4,a 6=5,…,a 18=11,∴锯齿数列的前19项和S 19=[1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+10)]+(3+4+5+…+11)=283.13. 解:(1)由a n+1-a n =2n 知,当n ≥2时,a n -a n-1=2n-1, 则a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n-1+2n-2+…+2+2=2n-22−1+2=2n ,当n=1时,上式也成立,∴a n =2n . (2)由(1)知b n =4n 2(log 2a n )2-1=4n 24n -1=1+1 12n -1-1, ∴数列{b n }的前n 项和T n =n+12 1−13 + 13-15 +…+12n -1-12n +1=n+12 1−12n +1 =n+n2n +1.14. 解:(1)由a n 2-(2a n-1-1)a n -2a n-1=0可得(a n -2a n-1)(a n +1)=0,即a n =2a n-1或a n =-1,又数列{a n }的各项都为正数,∴a n =2a n-1,故数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,则a n =2n-1. 由题意知,当n=1时,b 1=b 2-1,故b 2=2.当n ≥2时,b 1+12b 2+13b 3+…+1n -1b n-1=b n -1, 可得1b n =b n+1-b n ,整理得b n =b n +1,∴b n =…=b2=1,∴b n =n ,当n=1时,b 1=1,也满足上式,∴b n =n.(2)由(1)知a n b n =n ·2n-1,∴T n =1+2×2+3×22+…+n ·2n-1,∴2T n =1×2+2×22+3×23+…+n ·2n , 两式相减得-T n =1+2+22+23+…+2n-1-n ·2n =-1+(1-n )·2n ,∴T n =(n-1)·2n +1.15. 58[解析] ∵数列{a n}是首项为32的等比数列,S63=65,∴32(1−q6)1−q32(1−q3)1−q=65,得1+q3=65,∴q=1,则a n=32·14n-1=27-2n,∴|log2a n|=|7-2n|,∴数列{|log2a n|}的前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.16. 1-n+13n[解析] ∵a n·a n+1=2S n,a1=1,∴当n=1时,a2=2,当n≥2时,a n-1a n=2S n-1,可得a n(a n+1-a n-1)=2a n≠0,∴a n+1-a n-1=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,其中a1=1,a2=2,∴当n为奇数时,a n=1+n+12-1×2=n,当n为偶数时,a n=2+n2-1×2=n.综上可得a n=n,故b n=2a n-13a n=2n-13n,则数列{b n}的前n项和T n=1+332+533+…+2n-1n,∴1T n=132+333+…+2n-3n+2n-13n+1,两式相减得23T n=13+2×132+133+⋯+13n-2n-13n+1=13+2×191−13n-11−13-2n-13n+1,即T n=1-n+13n.。
2019届人教B版(理科数学) 5.4 数列求和 单元测试
1．(2018·重庆调研)几位大 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家 习数 的兴趣，他们推出了“解数 题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数 问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110答案 A解析 设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋2t )＝2m(其中m ，n ，t ∈N,0≤t ≤n )，则有N ＝n (n ＋1)2＋t ＋1，因为N >100，所以n ≥13.由等比数列的前n 项和公式可得2n ＋1－n －2＋2t ＋1－1＝2m . 因为n ≥13，所以2n >n ＋2，所以2n ＋1>2n ＋n ＋2，即2n ＋1－n －2>2n ， 因为2t ＋1－1>0，所以2m >2n ＋1－n －2>2n ，故m ≥n ＋1， 因为2t ＋1－1≤2n ＋1－1，所以2m ≤2n ＋2－n －3， 故m ≤n ＋1.所以m ＝n ＋1，从而有n ＝2t ＋1－3，因为n ≥13，所以t ≥3. 当t ＝3时，N ＝95，不合题意；当t ＝4时，N ＝440，满足题意，故所求N 的最小值为440.故选A.2．(2017·湖北月考)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案 B解析 ∵等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1， ∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3.故选B.3．(2017·东城区期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则k ＝1n1S k ＝________.答案2n n ＋1解析 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n .∴前n 项和S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴k ＝1n 1S k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2×n n ＋1＝2n n ＋1. 4．(2018·河南质检)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N )，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N )．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3， 又因为q ＞0，所以q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n－1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， 上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8，得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.[重点保分两级优选练A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A.23 B.278 C ．7 D.214答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C. 6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n －1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N )．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N )与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015 B.20152016 C.20162017 D.20172018答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100答案 C解析 由题意，可得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.故选C.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －1081 解析 ∵a n ＝19(10n－1)，＝19[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1) ＝19[(10＋102＋…＋10n )－n＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤10(10n －1)9－n ＝10n ＋1－9n －1081. 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N )，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018. 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2 ， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n＋1)2， 所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋ ⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n2n ＋1，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2. 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N )．(1)求m 的值；(2)若数列{b n }满足a n 2＝log 2b n (n ∈N )，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n项和．解 (1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14，∴d ＝2.由S m ＝0，得ma 1＋m (m －1)2×2＝0，即a 1＝1－m ， ∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4，∴m ＝5.(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6，∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3，∴(a n ＋6)·b n ＝2n ·2n －3＝n ·2n －2.设数列{(a n＋6)·b n}的前n项和为T n，则T n＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①2T n＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②①－②，得－T n＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1＝2－1(1－2n)1－2－n×2n－1＝2n－1－12－n×2n－1，∴T n＝(n－1)×2n－1＋12(n∈N)．18．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<对任意n∈N恒成立，若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．解(1)设数列{a n}的公比为q，由题意可得a3＝16，a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以a n＝2n＋1.(2)b n＝log42n＋1＝n＋1 2，S n＝b1＋b2＋…＋b n＝n(n＋3)4.1S n＝4n(n＋3)＝43⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在＝3时，对任意的n∈N都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。
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31 数列求和1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3， 所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4.(1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n－4(n －1)＝2(1－2n)1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足．∴当n ∈N 时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2. 3．(2018·西安质检)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n ；数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎨⎧q (2＋d )＝6q ＋3＋3d ＝8，解得⎩⎨⎧d ＝1q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－43q ＝9(舍去)．故a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12n (n ＋1)， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)， ∵1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1) ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1. 4．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和为T n ，求证：1≤T n <3. 解析：(1)当n ＝1时，a 1＝2. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2－(2a n －1－2)，即a na n －1＝2(n ≥2，n ∈N )，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n (n ∈N )．(2)证明：令b n ＝n ＋1a n＝n ＋12n ，则T n ＝321＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n ＝222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n ＝32－n ＋32n ＋1，整理得T n ＝3－n ＋32n ，由于n ∈N ，显然T n <3.又令c n ＝n ＋32n ，则c n ＋1c n ＝n ＋42n ＋6<1，所以c n >c n ＋1，所以n ＋32n ≤c 1＝2，所以T n ≥1. 故1≤T n <3.5．(2018·武汉市武昌区调研考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49.解析：(1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1(11－2n )(9－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －111－2n ， ∴T n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.6．(2018·山东淄博模拟)已知数列{a n }是等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，且a 10＝19，S 10＝100；数列{b n }对任意n ∈N ，总有b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝a n ＋2成立．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)记c n ＝(－1)n 4n ·b n (2n ＋1)2，求数列{c n }的前n 项和T n . 解析：(1)设{a n }的公差为d ，则a 10＝a 1＋9d ＝19，S 10＝10a 1＋10×92×d ＝100.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 所以b 1·b 2·b 3·…·b n －1·b n ＝2n ＋1，①当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2n －1.② ①②两式相除得b n ＝2n ＋12n －1(n ≥2)．因为当n ＝1时，b 1＝3适合上式，所以b n ＝2n ＋12n －1(n ∈N )．(2)由已知c n ＝(－1)n 4n ·b n(2n ＋1)2， 得c n ＝(－1)n4n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1， 当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1；当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋(－1)n ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1－12n ＋1 ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.7．(2017·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n.解析：(1)设数列{x n }的公比为q .由题意得⎩⎨⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2，所以3q 2－5q －2＝0.由已知得q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1. 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n .由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n－1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1，所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。