高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解

第一章集合与函数概念

知识架构

第一讲集合

★知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；

3.集合中元素与集合的关系：

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A

B ={}x x A x B ∈∈或;

③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}

x x U x A ∈∉且

{|B x x ={|B x x =

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合

的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法

（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{}

)(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：

问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

则M N=（ ）

A. Φ；

B. {})2,0(),0,3(；

C. []3,3-；

D. {}3,2

[错解]误以为集合M 表示椭圆

14

922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B

[正解] C ； 显然{}

33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M

(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用

Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆

（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 4．集合的运算性质

（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；

（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =

②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征

[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设

{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）

A ．0；

B ．2；

C ．3；

D ．6

[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，

xy 在值就是A B *的元素

[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知

A B *={}4,2,0，故应选择D

【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系

[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）

A ．X Y ；

B ．Y X ；

C ．Y X =；

D ．Y X ≠

[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。

[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练]

1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A ．

B A ⊆ B.

C B ⊆ C.C B A = D. A C B = [解析]

D ；因为全集为A ，而C B =全集=A

2．(2006•山东改编）定义集合运算:{

}

B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 2

2,设集合

{}1,0

A =,{}3,2=

B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为

[解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果

{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于

[解析] {}31<

)1,1(1-=<=x x Q ，所以

)3,1(=-Q P

4．研究集合{

}42

-==x y x A ，{

}42

-==x y y B ，{

}

4),(2

-==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B

A ；因为{}

42-==x y x A 表示

42-=x y 的定义域，故R A =；{}

42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，

),4[+∞-=B ；{}

4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，B

A ，而A

与C ，B 与C 都无包含关系 考点二：集合的基本运算

[例3] 设集合{

}

0232

=+-=x x x A ，{

}

0)5()1(22

2=-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A ，求实数a 的值；

（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，

[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为{}

{}2,10232

==+-=x x x A ，

（1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即

0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a

当1-=a 时，{}

⎣⎦2,2042

-==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{}

{}20442

==+-=x x x B ，满足条件

所以1-=a 或3-=a

（2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a 因为A B A = ，所以A B ⊆

①当0<∆，即3-