二向应力状态分析

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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

2.作应力圆 主应力为 1 , 3 ,并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3.分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等, 但一为拉应力,另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低,圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系,如下图所 示,(注意选好比例尺) 在坐标系内画出点A( x, xy)和B(y,yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y ( ) xy 2 2 2
解法2—解析法:分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体:
①dx、dy、dz(微小的正六面体) ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力,τ =0 A——纯剪切, σ =0
D
D——既有 σ ,又有τ

二向应力状态下的应力分析(应力圆)

二向应力状态下的应力分析(应力圆)
(
x
-s y )2
2
+
t
2 x
当斜截面随方位角 a 变化时, 其上的应力 σα , τ α 在
s - t 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴
(
s

)上,离原点的距离为
sx
+sy
2
半径为
此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
s
(
x
2
s
y
)2
+
t
2 x
(sa
-sx
+s
2
y )2
+ ta2
A1 s
α o 确定后, s1 对应的主平面方位即确定。
tg(-2a 0 )
=
B1D1 CB1
=
2t x (s x -s
y)
再根据应力圆判断α0的
合理范围
由此可定出主应力s1 所 o 在平面的位置。由于A1A2 为 应力圆的直径, 则s2 所在的另 一主平面与s1 所在的主平面 垂直 。
t
σ2
A2 B2
σy
t
o
B2
sy
D2
sx
量取 OB2=sy , B2D2= ty ,
得D2 点
(b)
D1
B1 s
连接D1D2两点的直线与 s 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
t
(b)
D1
o
B2
B1
C
s
sy
D2
sx
t
该圆的圆心 C 点到 坐标

第七章应力状态及应变状态分析

第七章应力状态及应变状态分析

第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。

应力又分正应力σ和剪应力τ两种。

前面各章的知识表明,受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同,如7-1(a )中a 、b 两点分别在两个截面上,其应力是不同的。

同一截面上的各点,如图7-1(b )中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。

同一点不同方向的应力也是不同的。

过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态....,应力状态分析就是要研究杆件中某一点(特别是危险点)各个方向上的应力之间的关系,确定该点处的最大正应力和最大剪应力,为强度计算提供重要依据。

研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元..体.。

如图7-1(a )中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。

单元体三个方向的边长很小且趋于零,则该单元体代表一点,即a 点,互相平行的平面上的正应力相等,剪应力也相等。

杆件在任意荷载作用下,从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力,如图7-2所示。

当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时,这种面叫做特殊平面,并定义为主平面...。

该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力...,用,,,321σσσ表示(,321σσσ≥≥),如图7-3所示。

各面均为主平面的单元体,称为主单元体....。

三个主应力中若有两个等于零一个不等于零,该单元体称为单向应力状态......,如图7-4(a );三个主应力中有一个等于零,两个不等于零,该单元体称为二向应...力状态...,如图7-4(b );三个主应力均不等于零,该单元体称为三向应力状态......,如7-3。

单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态,三向应力状态属空间应力状.....态.。

材料力学第8章应力状态分析

材料力学第8章应力状态分析

点。设想以A点为中心,用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体,我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化,围绕同 一个点,可以截取出无数个不同的单元体,
图8.1(b)为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1(c)为其平面图形式),而 图8.1(d)为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时,横 截面上只有正应力,且与杆件轴向平行的截面没有应力,因此,图8.1(b) 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1(d)中的单元体, 根据拉压杆斜截面应力分析(2.3节)可知,其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A,B,C三点截取单元体如图8.2(d)所示,单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面,在这些面上没有应力,左右两面为横截面的 一部分,根据切应力互等定理,单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此,单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2(d)各单元
体前后面上均无应力,因此也可用其平面视图表示(见图8.2(e))。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后,运用截面法和静力平衡条件, 可求出单元体任一斜截面上的应力,从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体,则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义,称为主平面;主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下,过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面,因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力(见图 8.3
( a ))。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α (斜截面 ac 称 为 α 截面),并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正

刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(应力和应变分析强度理论)【圣才出品】

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平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1.三向应力圆 如图 7-1-4 所示,以三个主应力表示的单元体,由三个相互垂直的平面分别作应力圆, 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆,如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意:作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例:在滚珠轴承中,滚珠与外圈接触点处的应力状态,可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1.解析法 如图 7-1-1(a)所示,一单元体 abcd 处于平面应力状态,采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象,如图 7-1-1(b)所示。
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图 7-1-3(a)
图 7-1-3(b) ③求主应力数值和主平面位置 a.求主应力数值的方法 如图 7-1-3(b)所示,点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力,其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态:过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体,其特征为:①单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀 分布;②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中,单元体上切应力为零的面称为主 平面,主平面上的正应力称为主应力。 说明:一点处必定存在一个单元体,使得三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3,且规定按代数值大小的顺序来排列,即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 (1)单向应力状态:也称为简单应力状态,三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例:简单的拉伸或压缩。 (2)平面(二向)应力状态:三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例:薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 (3)空间(三向)应力状态:和平面应力状态统称为复杂应力状态,三个主应力 σ1、 σ2、σ3,均不等于零。

二向应力状态分析—图解法

二向应力状态分析—图解法
§7–4 二向应力状态分析—图解法
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
1、 莫尔圆的概念
(
x
y 2
)2
2
(x
y )2 2
2 x
(
x
y 2
)2
2
(x
y 2
)2
2x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。
圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center)
y
xm
900
t
450
k
D
y
xm
900
t
450
k
D
y
3
τ max
x
τ max
k
450
1
解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示
可求得
y 1 max 80MPa
x 3 max 80MPa
z 0
k点处的线应变 x , y 为
y
x
1 E
(x
y )
1 E
(max
z
x
二、纯剪的本构关系
xy
xy
G
i 0 ( i x,y,z ) yz zx 0
y
xy
z
x
三、复杂状态下的本构关系
y
依叠加原理,得
y
z
z
x
xy
x
x
x
E
y
E

二向等拉应力状态

二向等拉应力状态

二向等拉应力状态二向等拉应力状态引言在工程设计和实际应用中,结构件的受力状态是非常重要的。

其中,二向等拉应力状态是一种常见的受力状态,其特点是在两个方向上都存在同样大小的拉力。

本文将深入探讨二向等拉应力状态的概念、特点、计算方法以及在实际应用中的注意事项。

概念二向等拉应力状态指的是,在一个平面内,某一结构件或零件同时受到两个方向上同样大小的拉力作用。

这种受力状态也称为“正交拉伸”或“均匀张伸”。

特点1. 拉伸方向相互垂直:在二向等拉应力状态下,两个方向上的拉伸相互垂直,即使其中一个方向上出现了变形或破坏,也不会影响到另一个方向。

2. 可以通过简单计算确定最大应力值:由于该受力状态下两个方向上的应力相同且相互垂直,因此可以通过简单计算确定最大应力值。

3. 适用范围广泛:由于该受力状态具有均匀性和对称性,在实际工程中广泛适用于各种结构件和零件的设计和制造。

计算方法在二向等拉应力状态下,最大应力值可以通过以下公式进行计算:σ = F / A其中,σ为应力值,F为作用于结构件上的拉力大小,A为结构件横截面积大小。

由于该受力状态下两个方向上的应力相同且相互垂直,因此在计算时只需考虑其中一个方向即可。

注意事项1. 结构件需要具有对称性:由于该受力状态具有对称性,因此结构件需要具有对称性才能保证两个方向上的拉伸大小相同。

2. 结构件需要足够强度:在实际应用中,结构件需要具有足够的强度才能承受两个方向上的拉伸力。

3. 避免过度设计:由于该受力状态下可以通过简单计算确定最大应力值,因此在设计时要避免过度设计,否则会造成资源浪费和成本增加。

4. 注意材料特性:不同材料的特性不同,在实际应用中需要根据材料特性进行合理选择和使用。

结论二向等拉应力状态是一种常见的受力状态,在工程设计和实际应用中广泛适用。

其特点是拉伸方向相互垂直、可以通过简单计算确定最大应力值、适用范围广泛等。

在实际应用中需要注意结构件的对称性、足够强度、避免过度设计以及材料特性等问题。

《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析

《材料力学 第2版》_顾晓勤第09章第2节 二向应力状态分析

第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1)若x>y,则所求的两个角度0 和 90º+0 中, 绝对值较小的一个确定max 所在的平面;
2)若x <y,则所求的两个角度0 和 90º+0 中, 绝对值较小的一个确定min 所在的平面;
2

2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到:
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得 de 斜截面上的正应力和切
设 de 斜截面面积为 dA,则 ae 面的面积为 dAsin , ad面的面积为 dAcos 。取 t 和 n 为参考轴,建立棱
柱体 ade 的受力平衡方程如下:
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
y
2
2 x
105 MPa
第 2 节 二向应力状态分析 第九章 复杂应力状态和强度理论
0
1 2
arctan(
2 x x

一般二向应力状态下求解主应力方法

一般二向应力状态下求解主应力方法

一般二向应力状态下求解主应力方法1.引言二向应力状态是指材料在受力情况下同时受到两个不同方向的应力作用。

在工程实践中,很多材料都会出现二向应力状态,因此如何准确求解在这种情况下的主应力是非常重要的。

本文将介绍一般二向应力状态下求解主应力的方法。

2.二向应力状态的概念在材料受力的情况下,如果同时存在两个不同方向的应力作用,就形成了二向应力状态。

一般来说,二向应力状态可以分为各向同性的和各向异性的两种情况。

各向同性是指材料在各个方向上的性能均相同,而各向异性则是指材料在不同方向上的性能存在差异。

在工程实践中,需要根据具体情况来判断材料的二向应力状态,以便正确求解主应力。

3.一般二向应力状态下求解主应力方法一般二向应力状态下求解主应力的方法可以分为数学方法和实验方法两种。

3.1 数学方法数学方法是通过数学推导和计算来求解主应力的方法。

在一般二向应力状态下,可以采用坐标变换的方法将二向应力状态转化为主应力状态。

具体步骤如下:(1)确定材料受力情况并获取二向应力状态的数值;(2)根据材料的各向同性或各向异性特点,选择合适的坐标系,进行坐标变换;(3)利用坐标变换后的应力矩阵,通过数学运算求解出主应力的数值。

3.2 实验方法实验方法是通过实验手段来求解主应力的方法。

在一般二向应力状态下,可以采用应变片法或光栅法来进行主应力的实验测量。

具体步骤如下:(1)利用应变片或光栅在材料表面进行应力测量;(2)根据实验测量结果,计算出主应力的数值。

4.应用举例为了更好地理解一般二向应力状态下求解主应力的方法,我们可以举一个具体的应用例子。

某种材料同时受到水平和垂直方向的应力作用,需要求解主应力。

可以采用数学方法进行坐标变换,将二向应力状态转化为主应力状态,再通过数学计算求解主应力的数值。

5.总结一般二向应力状态下求解主应力是工程实践中的重要课题。

通过数学方法和实验方法的结合,可以准确求解出材料在二向应力状态下的主应力,为工程设计和材料应用提供重要依据。

二向应力

二向应力
2
(a)当 (a)当σx>σy时,
− 2τ xy 2α0 = arctg σ −σ y x
此时, 2α = 2α0 +180° 得到 σmin (主应力) 主应力)
σmin
σx +σ y = − 2
σx −σ y 2
2 +τ xy
f
t
t

∑n = 0

可得
σα dA − (σxdAcosα)cosα + (τ xdAcosα)sin α −
(σ ydAsin α)sin α + (τ ydAsin α) cosα = 0
σα = σ x cos2 α +σ y sin 2 α − 2τ x sin α cosα
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α) 2
α1 = ±45°
具体是正负可由力的合成定理直接判断. 具体是正负可由力的合成定理直接判断.
(1)最小主应力及作用平面 由
σx +σy σx −σy σα = cos 2α −τ xy sin2α + 2 2
作三角变换得
σx +σ y σα = + 2

σx −σ y 2
二、主应力和主平面 主平面: 主平面 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主应力 主平面上的正应力称为主应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 说明 一点处必定存在这样的一个单元体 三个相互垂直 的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 σ1 ,σ2 , σ3 的面均为主平面 且规定按代数值大小的顺序来排列 即 且规定按代数值大小的顺序来排列, 值大小的顺序来排列

工程力学第2节 二向应力状态分析

工程力学第2节 二向应力状态分析

例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示,
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解:按正负号规定则有:
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得:


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的,且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的,且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体,x=100MPa,x= –20MPa,
y=30MPa。试求:1) = 40º的斜截面上的 和 ; 2)确定A点处的max、max和它们所在的位置。


x
y
2
sin 2
x
cos2

121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0:
d d


x

2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y,并利用三角关系:
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到:


x
y
2

x
y
2

材料力学第9章应力分析强度理论

材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图,设ef 面积为dA
F
n
0
F 0

dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆:D点顺时针转2α0到A1点
单元体:x轴顺时针转α0到主平面法线
证明:
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值,为剪 应力的极大、极小值。 证明:
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论: ⑴若代数值σx≥σy,则α0、α0中,绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角,且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ,则α0 、α0 中,绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角,且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)

材料力学

材料力学

50 100 50 100 cos60 70sin 60
2
2
73.1MPa
30
x
y 2
sin 2
xy cos2
50 100 sin 60 70cos60 2
30MPa
(2)主应力及主平面的方位

max m in


0
tan 21


x 2 xy
y
上式可求出相差900的两个角a 1,对应两个互相垂直的极值切应力截 面。

m
ax

min



x

2
y
2


2 xy
比较公式 可见 所以有
tan 20



2 xy x
y
tan
21


x xy
y

max min


x
y
2


x

2
y
2

2 xy
三、最大切应力及其作用平面的位置


x
y
2
sin 2
xy cos 2
令 1 时

d 0 d
d d
( x
y ) cos21 2 xy sin 21
tan 2 0


1
tan 21
2a1

2a0

π 2
,
a1

a0

π 4
例 图a所示为受力构件内单元体各面上的应力,试用

第十四章应力状态分析与强度理论

第十四章应力状态分析与强度理论
得到以下结论:
2t x tan2 a0 sx s y
1) 切应力为0的平面上,正应力为最 大或最小值; 2) 切应力为0的平面是主平面,主平 面上的正应力是主应力,所以主应力 就是最大或者最小的正应力。
将a0代入sa的计算公式,
计算得到最大和最小正应力
2
s max s x s y sx s y 2 t x 2 s min 2
s1 s3
s2
xy 0
yz 0
zx 0
1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。
14.4
材料的破坏形式
1、材料破坏的基本形式
Ⅰ. 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂; Ⅱ. 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
2.应力状态对材料破坏形式的影响
试验证明:
同一种材料在不同的应力状态下,会发生不同形式的破坏。 压应力本身不能造成材料的破坏,而是由它所引起的切应力等因素在对 材料的破坏起作用;构件内的切应力将使材料产生塑性变形。 在三向压缩应力状态下,脆性材料也会发生塑性变形;拉应力则易于使 材料产生脆性断裂;而三向拉伸的应力状态则使材料发生脆性断裂的倾向 最大。 变形速度和温度对材料的破坏形式也有较大影响。
cos2a t xsin2 a
2 50 1.429 0 70
sa
sx sy
s max
2 2 26MPa (a 27.5) s min 96MPa (a 117.5)

sx s y
代入 a 0 27.5 or 117.5
I
t t s A s t t
sy t
sx
B
sx t
t sy

复杂应力状态分析2应力圆法

复杂应力状态分析2应力圆法

O
px A
OBC的面积为mdA
pz C
(A) OCA的面积为ndA
3
OAB的面积为ldA
z
2 1
x
y B
py
1 O
pz C
(B)平衡方程
X 0 px dA 1 mdA 0
2
Y 0 p y dA 3 ndA 0
px
Ax
Z 0 pz dA 2 ndA 0
(C)
p2
则E 点坐标: E(52.3,-18.7)
50
σ2
20 σ1
D′(50,20)
30 x A
C
σ1
σ2 0
20
B
3、主应力及主单元体
D(30,-20)
C(40,0) r 22.4 o 31.7o B点: 1 40 22.4 62.4(MPa)
A点: 2 40 22.4 17.6(MPa) 3 0
( n
2
3 )2
2
2 n
(
2
3
)2
2
(
n
3
2
1
)2
2 n
(
3
2
1
)2
(
n
1
2
2
)2
2 n
(
1
2
2
)2
结论:
σ3 σ2
σ1
任意斜截面上的应力,都落在图示阴影部分内,既阴影部 分内每一个点与一个截面上的应力相对应。
三、一点处应力状态中的 最大剪应力
max
1
3
2
★与二向应力状态中最大剪应力的区别:
与x轴的夹角为a,则
推论:
1
2

二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析的解析法

二向应力状态分析的解析法二向应力状态分析的解析法[知识回顾]基本变形下的强度条件:(板书)FNmax1、拉压 ,,,[,]maxA 正应力强度条件Mmax2、弯曲 ,,,[,]maxW*FSsz ,,,[,]maxbIz3、扭转剪应力强度条件T,,,[,]max Wt[教学导入]特点:以上强度条件考虑了危险点上只有正应力或只有剪应力的情况,即单向应力状态;当考虑的点上既有正应力又有剪应力时,就不能用单向应力状态理论来建立强度条件,需要用强度理论来建立强度条件[新课教学]材料力学教案力学教研室于月民二向应力状态分析的解析法一、应力状态的概述(一)一点处的应力状态(ppt)1、不同截面上,各点的应力不同F2F ,,,,12AA2、横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明:同一横截面上,不同点的应力各不相同,此即应力的点的概念。

3、F横截面上: ,,,,0AF22,,cos,,,cos,,斜截面上: A,F,,sin2,,sin2,, 2A2同一点在不同方位截面上,它的应力也是各不相同的,此即应力的面的概念。

点的应力状态:(State of the Stresses of a Given Point)通过受力构件内某一点的不同方向面上的应力的集合,称之为这一点的应力状态1材料力学教案力学教研室于月民 (二)点的应力状态的表示(板书)1、单元体:围绕所考查的点,取三方向上尺寸无穷小的正六面体。

特点:1、各面上应力均匀分布2、相互平行的面上应力值相等如:轴向拉伸杆中过A取单元体,1)横、纵取F左右二面是杆横截面的一部分: ,,xA,,0上下和前后面都平行轴线:2)若与横纵成α角截取四个侧面与轴线即不平行也不垂直是斜截面,其上有正应力和剪应力2,,,cos,,x,x ,,sin2,,2由此可见:单元体的应力状态实质上代表一个点的应力状态,研究研究过一点的不同截面上应力变化情况,就是应力分析的内容。

取单元体的方位不同,表示出的形态不同,但二者等价。

材料力学--第2讲

材料力学--第2讲

所以:上述的9个应力分量就变成了6个应力分量
4、应力状态分类

三向应力状态:亦称空间应力状态,是最一般最复杂的; 二向应力状态:单元体只有两对面上承受应力并且作用线均在同一 平面内,另外一对面上没有任何应力,亦称平面应力状态;

单向应力状态:当平面应力状态中切应力为0,且只在一个方向上 有正应力作用时,称为——


而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应
力状态。
2.3 一点的应力状态 切应力互等定律

1、单元体:(对连续均匀介质用极限的概念)来要描述构件上 一点a,就围绕a取一微小的六面体,当三个垂直的棱边趋近于0 时的极性时,即点a,称此微小六面体为——; 用截面外法线方向来命名截面,x面是指该截面的外法线法线沿x 轴,或者说该截面垂直于x轴;

斜面ABC上总应力矢量pn在x,y,在, 三个方向分量为:
pnx,pny,pnz,四面体处于平衡状态,在x轴方向则有:

斜面ABC上正应力
为总应力矢量pn在法线N上的投影,即是
pn的三个分量pnx,pny,pnz,在法线N上的投影的代数和:

2、主应力与主方向
过点O的斜面A*B*C*就是主平面,其方向余弦l* 、 m* 、 n*就是一 个主方向。因为主平面无切应力,则A*B*C*面上的全应力就是正 应力分量。该面上的全应力在坐标轴上的投影为:
△P
p称为总应力或全应力。
应力求法
常用的表示方法是把p分解为两个分量:
垂直于截面的分量:正应力,用σ表示 沿截面的切向分量:切应力,用τ表示
正应力或法向应力σ : 剪应力或切应力τ :
总结:

K点的总应力p与截面方向有关。过K点在另外方向取 一截面,可定义另外一个不同的总应力矢量。过K点 可以有无限多个不同方向的截面,相应可得无限多个 不同的总应力矢量。 仅有一个方向截面的应力矢量,不能全面描述一点的 应力特性。

二向应力状态分析-解析法

二向应力状态分析-解析法
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy cos2
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
材料力学
目录
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二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
已知 x 60MPa, xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求(1) 斜面上的应力; (2)主应力、主平面; (3)绘出主应力单元体。
y xy
x
材料力学
目录
材料力学 材料力学
二向应力状态分析-解析法
解:(1) 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
3
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
45
1
此现象称为纯剪切
材料力学
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二向应力状态分析程序代码function varargout = erxyl(varargin)% ERXYL M-file for erxyl.fig% ERXYL, by itself, creates a new ERXYL or raises the existing% singleton*.%% H = ERXYL returns the handle to a new ERXYL or the handle to% the existing singleton*.%% ERXYL('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in ERXYL.M with the given input arguments. %% ERXYL('Property','Value',...) creates a new ERXYL or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are% applied to the GUI before erxyl_OpeningFcn gets called. An% unrecognized property name or invalid value makes property application% stop. All inputs are passed to erxyl_OpeningFcn via varargin.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help erxyl% Last Modified by GUIDE v2.5 05-Jan-2011 17:46:09% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @erxyl_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @erxyl_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before erxyl is made visible.function erxyl_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin command line arguments to erxyl (see VARARGIN)% Choose default command line output for erxylhandles.output = hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes erxyl wait for user response (see UIRESUME)% uiwait(handles.figure1);% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = erxyl_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) % varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT); % hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = handles.output;function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)handles.X=str2double(get(hObject,'String'));guidata(hObject,handles);% hObject handle to edit1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit1 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit2_Callback(hObject, eventdata, handles)handles.T=str2double(get(hObject,'String'));guidata(hObject,handles);% hObject handle to edit2 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit2 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit2 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit2 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');function edit3_Callback(hObject, eventdata, handles)handles.Y=str2double(get(hObject,'String'));guidata(hObject,handles);% hObject handle to edit3 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit3 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit3 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit3_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit3 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit4_Callback(hObject, eventdata, handles)handles.A=str2double(get(hObject,'String'));guidata(hObject,handles);% hObject handle to edit4 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit4 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit4 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties.function edit4_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit4 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit5_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit5 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit5 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit5 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit5_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit5 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit6_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit6 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit6 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit6 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit6_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit6 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit7_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit7 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit7 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit7 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit7_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit7 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit8_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit8 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit8 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit8 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit8_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit8 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit9_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit9 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit9 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit9 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit9_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit9 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit10_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit10 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit10 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit10 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit10_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit10 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit11_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit11 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit11 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit11 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit11_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit11 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit12_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit12 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit12 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit12 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit12_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit12 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit13_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit13 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit13 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit13 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit13_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit13 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit14_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit14 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit14 as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of edit14 as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function edit14_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to edit14 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end% --- Executes on button press in pushbutton1.%显示应力圆,蓝线代表斜截面上应力,绿线代表主切应力,水平黑线代表主应力function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)R=(((handles.X-handles.Y)/2)^2+handles.T^2)^(1/2);x1=-100:100;y1=0*x1;y2=-100:100;x2=0*y2;a=0:1/1000000:2*pi;x=(handles.X+handles.Y)/2+sin(a)*R;y=cos(a)*R;xx=(handles.X+handles.Y)/2+(handles.X-handles.Y)/2*cos(2*handles.A)+h andles.T*sin(2*handles.A);tt=handles.T*cos(2*handles.A)-((handles.X-handles.Y)/2)*sin(2*handles .A);aa=[(handles.X+handles.Y)/2,xx];bb=[0,tt];xmax=(handles.X+handles.Y)/2+(((handles.X-handles.Y)/2)^2+handles.T^2 )^(1/2);xmin=(handles.X+handles.Y)/2-(((handles.X-handles.Y)/2)^2+handles.T^2 )^(1/2);tmax=(xmax-xmin)/2;tmin=-tmax;MM=[(handles.X+handles.Y)/2,(handles.X+handles.Y)/2];NN=[tmax,tmin];plot(x1,y1,'black',x2,y2,'black',x,y,'black',aa,bb,'b-',MM,NN,'g-','L ineWidth',1.5);title('Ó¦ Á¦ Ô²');% hObject handle to pushbutton1 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% --- Executes on button press in pushbutton3.%显示计算结果function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)x1=(handles.X+handles.Y)/2+(handles.X-handles.Y)/2*cos(2*handles.A)+h andles.T*sin(2*handles.A);t1=handles.T*cos(2*handles.A)-((handles.X-handles.Y)/2)*sin(2*handles .A);xmax=(handles.X+handles.Y)/2+(((handles.X-handles.Y)/2)^2+handles.T^2 )^(1/2);xmin=(handles.X+handles.Y)/2-(((handles.X-handles.Y)/2)^2+handles.T^2 )^(1/2);tmax=(xmax-xmin)/2;tmin=-tmax;Tmax=num2str(tmax);Tmin=num2str(tmin);Xmax=num2str(xmax);Xmin=num2str(xmin);T1=num2str(t1);X1=num2str(x1);set(handles.edit5,'String',X1);set(handles.edit6,'String',T1);set(handles.edit7,'String',Xmax);set(handles.edit8,'String',Xmin);set(handles.edit11,'String',Tmax);set(handles.edit12,'String',Tmin);dA=2*handles.T/(handles.X-handles.Y);A=atan(dA);judge1=(handles.X+handles.Y)/2+(handles.X-handles.Y)/2*cos(A)+handles .T*sin(A);judge2=(handles.X+handles.Y)/2+(handles.X-handles.Y)/2*cos(A+pi)+hand les.T*sin(A+pi);AA1=num2str(A/2);AA2=num2str((pi+A)/2);if judge1>=judge2set(handles.edit9,'String',AA1);set(handles.edit10,'String',AA2);set(handles.edit13,'String',num2str(A/2-pi/4));set(handles.edit14,'String',num2str(A/2+pi/4));elseset(handles.edit9,'String',AA2);set(handles.edit10,'String',AA1);set(handles.edit13,'String',num2str((pi+A)/2-pi/4));set(handles.edit14,'String',num2str((pi+A)/2+pi/4));end% hObject handle to pushbutton3 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)运行截图程序说明本程序运行方式:将m代码在matlab中打开,点击运行符号即可(不要用fig文件运行)。

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