1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1倍长中线法;构造中位线法
中考数学必考几何模型：中点四大模型
中点四大模型模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAFF ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．模型实例如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FECA1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC与△EDB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DEADBDEADCCDBD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12，∴4＜AD＜16，故AD的取值范围为4＜AD＜16．2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝41(AB2＋AC2)．NMD CA证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD ＝DC ， ∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ∴△BED ≌△CND （SAS ）． ∴BE ＝NC ． ∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线． ∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2， ∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°． ∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．ABCDDCBA模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，求MN 的长度．NM CB A解答： 连接AM ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3． ∵AB ＝5， ∴AM ＝4352222=-=-BM AB ．∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN ． 即：21×3×4＝21×5×MN ．∴MN ＝512跟踪练习1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．F证明：连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ， ∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ） ∴∠ADE ＝∠ADF ， ∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDC ．2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABDEFACDDCA解：（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点， ∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ， ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135° ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， ＝S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋21S △ABC ， ∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ．∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC ． 21ABCDE模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDDA模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDCBA解答如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点， ∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ．∴∠HFE ＝∠HEF ． ∵FH ∥MB ，HE ∥NC ，∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ． ∴∠BME ＝∠CNE ．练习：1.（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，连接DE ，求证：DE ∥BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？ （3）如图3，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，其他条件不变，DE 与BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.E D CBA图1G FEDCBA图2FED CBA图31.解答（1）如图①，分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌ △BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK .又∵HK =BK +BC +CH =AB +BC +AC . ∴DE =12（AB +AC +BC ）.（2）猜想结果：图②结论为DE =12（AB +AC -BC ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12HK . 又∵HK =BK +CH -BC =AB +AC -BC∴DE =12（AB +AC -BC ）GABCDEKHF 图2（3）图③的结论为DE =12（BC +AC -AB ） 证明：分别延长AE ，AD 交BC 或延长线于H ，K . 在△BAD 和△BKD 中，ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BAD ≌△BKD （ASA ） ∴AD =KD ，AB =KB .同理可证，AE =HE ，AC =HC . ∴DE =12KH . 又∵HK =BH -BK =BC +CH -BK =BC +AC -AB∴DE =12（BC +AC -AB ）.ABCD EKHF图32.问题一：如图①，在四边形ABCD 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论.问题二：如图②，在△ABC 中，AC >AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明.图1NMO F E DC BAE图2G ABCDF2.证明（1）等腰三角形（提示：取AC 中点H ，连接FH ，EH ，如图①）（2）△AGD 是直角三角形如图②，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF ，HE . ∵F 是AD 的中点， ∴HF ∥AB ，HF =12AB . ∴∠1=∠3.同理，HE ∥CD ，HE =12CD ， ∴∠2=∠EFC ， ∴AB =CD ， ∴HF =HE . ∴∠1=∠2.∵∠EFC =60°，∴∠3=∠EFC =∠AFG =60°. ∴△AGF 是等边三角形. ∴AF =FG . ∴GF =FD .∴∠FGD =∠FDG =30°.∴∠AGD =90°，即△AGD 是直角三角形.图2321G A BCDF H模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线DCBA模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA证明连接DE ，DF .BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DF =12BC ，DE =12BC .DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形. DM ⊥EF ，点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCDEFM练习：1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.1.解答取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角， ∴∠NDB =∠NMD +∠DNM .即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM . 又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN . ∴DM =5.N MD CBA2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MEDCBA2.证明延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形， ∴CE ∥BD .∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ， 且∠BMD =∠GME ， ∴△BMD ≌△GME . ∴BM =MG .∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF DCBA图2ABCDE FM图3ABCDF M3.解答∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点， ∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF . ∵DE =KDF ， ∴k =1. （2）∵CB =CA ， ∴∠CBA =∠CAB . ∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM . ∴AM =BM .∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ， ∴∠MEB =∠MF A =90°. 又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ） ∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ， 又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ） ∴DE =DF .（3）DE =DF .图1M F E DCB A如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH. ∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=12 BM.同理可得：DH∥AM，DH=12AM.∵ME⊥BC于E，H是BM的中点.∴在Rt△BEM中，HE=12BM=BH.∴∠HBE=∠HEB.∴∠MHE=2∠HBE.又∵DG=12BM，HE=12BM，∴DG=HE.同理可得：DH=FG. ∠MGF=2∠MAC.∵DG∥BM，DH∥GM，∴四边形DHMG是平行四边形.∴∠DGM=∠DHM.∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，∠MBC=∠MAC，∴∠MGF=∠MHE.∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.∴∠DGF=∠DHE.在△DHE与△FGD中DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHE≌△FGD（SAS）∴DE=DF.图2AB CDEFM。
中考数学几何辅助线：倍长中线法
中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。
常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。
它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。
也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。
逢中点，便倍长，全等观，平行现.倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。
在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线）典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF．名师指点：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．满分解答：证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ，∵AD 是△ABC 中线，∴CD ＝BD ，∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM，∴△ADC ≌△MDB （SAS ），∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ，∵AE ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AFE ，∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ，∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ．名师点评：倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠。
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
初中数学—中点辅助线做法(自编)
中考数学专题之中点辅助线做法在河南省中考中，与中点辅助线做法相关的题目考察是较多.经常出在填空题，四边形证明和类比探究。
且分值占比较重，是初中阶段必须攻克的问题之一。
中考中，对于中点辅助线做法考察常有四种：①倍长中线（类倍长）②三线合一③斜边中线④中位线对于不同题目，需要根据题干特点选择适合的辅助线做法。
有中线，做倍长，这是在全等三角形中常遇到的；等腰三角形中经常遇到三线合一的性质；直角三角形中如果出现斜边中点，常连接斜边中线，从而产生等腰三角形和一半特征；多中点问题构造中位线，一般在四边形和类比探究证明中出现，需要结合逆相似或轨迹解决问题。
在九年级学习圆的知识之后，看到弦的中点，考虑的是垂径定理，其实可算作等腰三角形三线合一的性质，所以不再单独介绍。
接下来，我们来逐个说明这四种辅助线做法。
1.倍长中线—利用中点构造全等2.特殊三角形的中点（三线合一与斜边中线）3.多中点类型（中位线）文档讲解视频已在本小店上传，请及时查看。
E DCBAEDC BADCB ADCBAEDC B AGFEDCBA典型例题1.如图，在△ABC 中，AB=9，AC =6，D 为边BC 的中点，求AD 的取值范围.2.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．3.如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF =2AD .DCBAF EDCBA FEDCBA4.如图，△ABC 中，BD =DC =AC ，E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.5.如图，在直角梯形ABCD 中，E 为AB 边的中点，若AD =2，BC =4，∠DEC =90°，则CD 的长为_______.6.已知△ABC ，AB =AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE =CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG =GF ．EDCB AED CBAE F GCBA7.如图，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，CD CE = DF CE ⊥于点F ，求证：F 是CE 的中点.8.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE AB ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若54AEF ∠=︒，则B ∠为多少度？9.如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，若AB =10，BC =15，MN =3，则ABC ∆的周长为多少？FEDCBAFE DCBA NMCBA10.已知ABC ∆中，2B C ∠=∠，M 是BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求证：12DM AB =11.如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB =5，CD =3，则EF 多长？12.如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H ，点G ，求证：AHE BGE ∠=∠.CBFE D CB AGH FEDCB A13.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且AC =BD ，求证：OM =ON .14.如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且BD =CE ，M ，N 分别是BE ，CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP =AQ .NMF EDCBANMQ PED C BA15.如图以ABC ∆的AB ，AC 边为斜边向外做Rt ABD ∆和Rt ACE ∆，其中ADB ∠和AEC ∠为直角，并且满足ABD ACE ∠=∠，点M 是BC 的中点，连接DM ，ME .求证：DM ME =.【河南中考】16．如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN ∆的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，请直接写出PMN ∆面积的最大值．MEDCBA。
通用版2022年九年级数学中考复习专题：与中点有关的辅助线做法
A F
E
BPD
C
九年级中考数学复习
2、如图等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，求证：PA2=AB2-PB×PC。 A
BP
C
九年级中考数学复习
3、如图，钝角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M,N分别是线段BC， DE的中点。求证：MN⊥DE。
ND EA
B
M
C
九年级中考数学复习
A
A
A
A
B
D
C
E
B
D
C
B
E
DCBDC NhomakorabeaF
E
要点诠释：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需再证一次 全三角形，即：“二次全等”。
类型三：构造中位线
已知三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；已知一边中点，可 以在另一边上取中点，连接构造中位线；已知一边中点，过中点作平行线可构成相 似三角形。如图1，任意三角形ABC两边的中点D、E连接后，可得DE∥BC，DE=1BC
E
A
F
B
D
C
九年级中考数学复习
7、如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB=CD，F是AD的中点，M为BC的中点， 连接MF并延长BA的延长线于点E
E j AG FD
B
M
C
九年级中考数学复习
8、如图在四边形ABCD
形面积的四分之一。
3、连接任意四边形四边的中点得到平行四边形，连接矩形四边的中点得到的是菱形
，连接菱形四边的中点得到的是矩形，连接正方形四边的中点得到的是正方形。
九年级中考数学复习
【例题精讲】
类型一：构造中线
完整)初中数学几何辅助线技巧
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
初中数学须掌握的几何辅助线技巧
初中数学必须掌握的几何辅助线技巧01几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，倍长中线得全等四边形平行四边形出现，对称中心等分点梯形问题巧转换，变为三角或平四平移腰，移对角，两腰延长作出高如果出现腰中点，细心连上中位线上述方法不奏效，过腰中点全等造证相似，比线段，添线平行成习惯等积式子比例换，寻找线段很关键直接证明有困难，等量代换少麻烦斜边上面作高线，比例中项一大片圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连切线长度的计算，勾股定理最方便要想证明是切线，半径垂线仔细辨是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全圆周角边两条弦，直径和弦端点连弦切角边切线弦，同弧对角等找完要想作个外接圆，各边作出中垂线还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦内外相切的两圆，经过切点公切线若是添上连心线，切点肯定在上面要作等角添个圆，证明题目少困难02由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180°。
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE。
初中几何辅助线口诀和秘籍
初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。
下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。
一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。
在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。
如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。
”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。
我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。
”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。
垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。
下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。
”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。
在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。
”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。
例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。
”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。
当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。
总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。
通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。
希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。
史上最全初中数学几何辅助线秘籍
史上最全初中数学几何辅助线秘籍
几何是初中数学的重难点题型，很多同学们在数学考试中拿不到高分，就是因为不会做几何题。
初中数学几何考验的是大家的抽象逻辑思维，除了掌握各种几何公式，更重要的一点是分析几何的类型和做辅助线
其实想要攻克初中数学几何题型，没有别的捷径，1方面是要牢记住各类几何图形的计算公式，另1方面一定要多练习，熟悉解题思路，掌握解题和做图的方法。
只有做的题多了，才能熟能生巧，在考试中才能灵活变通，运用自如一：由角平分线想到的辅助线
1截取构全等；2角分线上点向两边作垂线构全等；3三线合一构造等腰三角形；4角平分线+平行线
二：由线段和差想到的辅助线
1截长补短法
三：由中点想到的辅助线
1中线把三角形面积等分；2中点连中点得中位线；3倍长中线；4直角三角形斜边中线
四：由全等三角形想到的辅助线
1倍长过中点得线段；2截长补短；3平移变换；4旋转；5作中位线
五：由梯形想到的辅助线
1平移一腰:利用平移- -腰将梯形分割成三角形和平行四边形；
2平移两腰:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内
在初中数学几何题学习过程中，很多经验、技巧和思想上的差距在数学题里可能就体现在一个微小的点村你可能看到的就是差一条辅助线，但这一条辅助线恰恰就是初中数学平面几何的灵魂。
每条辅助线都不是没理由的凭空添在那个位置的:在哪添加，为何在那里添加辅助线背后都有着数学思想方法的支撑，光会一道题添加辅助线不好用的，需要数十甚至上百道题目的积累。
对初中几何中点模型的几点思考 祝林华
对初中几何中点模型的几点思考四川省邻水实验学校祝林华摘要：对于多数同学而言初中几何证明都是初中数学中最难的一块，虽然难但并非难得无底洞；我在长期的教学工作中发现，其实很多辅助线的做法都是有章可循的，对方法进行实时归纳总结，也能得到事倍功半的效果。
要想在最短的时间内完成一个较为复杂的证明题，必须明确以下一些知识。
辅助线是为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线，辅助线通常画成虚线；辅助线的原则是添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况；辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形。
三角形是初中几何的重要内容之一，也是很多省市中考的必考题型；其中三角形中点、中线、中位线及直角三角形斜边上中线的有关性质更是高频考点，是中考的必考内容。
很多题目会给出“点***是线段***的中点”这样的条件时，我们应该想到那些辅助线呢？本文就对初中几何中“中点模型”进行全面总结。
“中点模型”一：倍长中线法当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题；如图：辅助线作法：AD为△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用三角形全等解题。
“中点模型”二：倍长类中线法（与中点有关的线段）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题；如图：辅助线作法：ED为△ABC的类中线，延长ED到F，使ED=DF，连接BF，利用三角形全等解题。
“中点模型”三：直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常常考虑构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质解决问题；如图：辅助线作法：△ABC 是直角三角形，点D 为AB 的中点；连接CD ，利用直角三角形斜边上的中线性质解题。
（注意：等腰三角形中底边的中点也是一个易考点） “中点模型”四：中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
中点模型的构造、等积模型
几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线.典题精练E，若/ EMD = 3 / MEA .求证：BC=2AB.【解析】证法一：如右图(a),延长EM交CD的长线于点E，连结CMT AB // CD ,•••/ ME'D = / MEA .又AM = DM，/ AME = / DME'•△ AFM 也厶DE M .•EM =EM•/ AB // CD , CE丄AB,•EC 丄CD .•CM是Rt△ ECE斜边EE的中线，•ME =MC .•ME D E CM ,•/ EMC=2 ME D =2 / AEM .•••/ EMD =3 / MEA ,•/ CMD=/DCM,•MD=CD .•/ AD = 2DM , AB=CD , AD=BC ,•BC=2AB .【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点(a)1 / 7证法二：如右图（b）,过点M作MM // AB交BC于M，过点M作M E // ME交AB的延长线于点E，连接EM ••••点M 是BC 的中点，EE AB，E BM EAM，M E B MEA , M MD EAM E BM•••点M是Rt△ EBC斜边BC的中点，•M E BM , • BEM M BE ••- E BM 180 BEM ••••/ EMD = 3 / MEA , • M MD 2 MEA,• E BM 2 M EB1•- 180 BEM 2 M E B , M E B 90 — BEM •2• E EM E • • EM EE , • BM AB ••BC = 2AB.【例2】如图所示，分别以厶ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴ 求证：AM丄EG ;(2)求证：EG=2AM .【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N，使MN= AM,延长MA交EG于点P,连接BN、NC.•/ BM = CM ,•四边形ABNC是平行四边形.•BN = AC = AG .•••/ EAG + / BAC = 180 ,/ ABN +/ BAC = 180 ,•/ EAG = / ABN.•/ AE = AB,•△EAG◎△ ABN. •/ AEG =Z BAN.又•••/ EAB = 90 ,•/ EAP + / BAN = 90 .•/ AEP + / EAP = 90 .•MA丄EG.⑵ 证明：T △ EAG^A ABN , • EG = AN = 2AM .FEF题型二：平移及等积变换3 / 7典题精练【例3】已知：如图，正方形ABCD中, ⑴求证：FG = DE .⑵求证：FD + BG > . '2FG .【解析】延长GC到点P,使得GP = DF，连接EP, DP . ⑴••• DF // GP , GP = DF•••四边形DFGP为平行四边形••• FG = DP, FG // DP又••• FG 丄DE ,• DP 丄DE•••/ ADE = / CDP在厶ADE和厶CDP中DAE DCPDA DCADE CDP•△ ADE ◎△ CDP•DE = DP = FG⑵由⑴知道△ DEP为等腰直角三角形• EP 2DE 2FG在厶EGP 中，EG + DF = EG + GP > PE = 2 FG当EG // FD时，取到等号【例4】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△ PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.E是AB上一点，FG丄DE于点H【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当如右图, 连接CP、AP.可得:BCP ADP1ABCD2ABPS^ BDP ADP—S ABC D2所以BCD S^ ABP S^ BDP题型三：旋转典题精练【例5】已知△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，/ABC=Z ADE=90。
初中几何辅助线秘籍口诀
初中几何辅助线秘籍、口诀【导读】:人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，这就是辅助线的由来。
一、初中几何辅助线秘籍等腰三角形1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2. 作一腰上的高；3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如 AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条 AB 等长的线段，再证全等说明 AC+BD=另一条 AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。
二、解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交三、初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。
，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学的中点模型地构造及的应用
（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在 ABC中，D 为 BC中点，延长 AD 到 E 使 AD=DE，连接 BE，则有：
ADC≌ EDB。作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问
（五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线； 或出现一个
中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在 ABC中，D，E分别是 AB、 AC边中点，则有 DE BC ， DE = 1 BC 。 2
三、练习
（一）倍长中线法 1.（ 2014 秋 ?津南区校级期中） 已知：在△ ABC中， AD 是 BC边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE＝ AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF＝ EF．
精彩文案
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5.（ 2017?贵阳 ,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中， AB∥DC，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAD的平分线，试判断 AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法： 延长 AE交 DC的延长线于点 F，易证△ AEB≌△ FEC， 得到 AB＝FC，从而把 AB， AD， DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为 ____________； （ 2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD中， AB∥ DC， AF 与 DC 的延长线交于 点 F，E 是 BC的中点，若 AE 是∠ BAF的平分线，试探究 AB，AF，CF之间的等量 关系，并证明你的结论． （ 3）问题解决：如图③， AB∥CF， AE 与 BC 交于点 E，BE：EC＝ 2：3，点 D 在 线段 AE 上，且∠ EDF＝∠ BAE，试判断 AB、 DF、CF 之间的数量关系，并证明你 的结论．
初中数学几何专题- 辅助线专题(1)-中线倍长问题
A
C
MD
【拓】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 有公共的直角顶点 A，分别连接 CD、BE. （1）如图，若 N 为 BE 的中点，求证：2AN＝CD；
A
D
M
C
E
N
B
（2）如图，若 N 为 BE 的中点，点 M 为 AN 和 CD 的交点，求证：AM⊥CD； A
D
M
C
E
N
B
（3）如图，若 AM⊥CD 于点 M，点 N 为 MA 与 BE 的交点，求证：N 为 BE 的中点．
D
A
E
B
P
C
【家庭作业】 1、在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AB＝3，AD＝4，则 AC 长的取值范围是______________. 2、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AD 上，BE＝AC，延长 BE 交于 AC 于 F，求证：AF＝EF．
3、如图，在△ABC 中，AB＞AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证：BF＝CG．
（2）如图 2，△ABC 为一般三角形时线段 AM 与 ED 的关系是_________．试证明你的结论； （3）如图 3，若以△ABC 的边 AB、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABD 和△ACE，其它条件不变，
试探究线段 AM 与 DE 之间的关系，不要求证明你的结论．
D E
ED
A
A
A
C M
B MC 图1
B
D
E
C
【例 2】如图，△ABC 中， AC<AB ， AD 是中线．求证： DAB<DAC ． A
三角形中的“中点模型”方法总结（重点知识）
三角形中的“中点模型”方法总结（重点知识）三角形是初中数学必考的重要知识点，学好三角形是学好初中几何的关键。
而在三角形相关题目中出现最多的就是中点和角平分线，今天我们来总结一下，遇到中点都有那些处理方法。
掌握了这几种方法，应对三角形相关题目时，同学们将得心应手！类型一倍长中线或类中线类型二遇等腰三角形，构造“三线合一”类型三遇RT三角形斜边的中点，构造斜边的中线类型四遇多个中点，构造中位线例题分析：1、遇到中点，常想倍长中线法例题分析：如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是。
解:延长AD到E,使DE=AD,连接BE.∵ BD=CD AD=DE ∠CDA=∠BDE∴ △ADC≌△EDB (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)∴ AC=BE (全等三角形的对应边相等)∵ AC=BE AC=6∴ BE=6∵ BE=6 AB=10 AB-BE＜AE∴ 4＜AE∵ BE=6 AB=10 AE＜AB+BE∴ AE＜16∵ 4＜AE AE＜16∴ 4＜AE＜16∵ 4＜AE＜16 AD=12×AE∴ 2＜AD＜82、遇等腰三角形，构造“三线合一”如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E. F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.请说明：DE=DF；证明：连接AD,∵等腰直角三角形ABC，∴∠C=∠B=45°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠B AD=45∘=∠B,∠ADC=90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°,∠FDC+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE和△ADF中∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF.3、遇多个中点，构造中位线如图,四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=4,DC=2,则MN的长不可能是( )A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5解：如图,连接BD,取BD的中点G,连接MG、NG,∵点M，N分别是AD、BC的中点，∴MG是△ABD的中位线，NG是△BCD的中位线，∴AB=2MG，DC=2NG，∴AB+DC=2(MG+NG)，由三角形的三边关系，MG+NG>MN，∴AB+DC>2MN，∴MN<>∴MN<>故选：A.。
巧妙构造辅助线 解决与中点有关的问题
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２１ ３０巧妙构造辅助线解决与中点有关的问题巧妙构造辅助线㊀解决与中点有关的问题Һ车㊀帅㊀（中山纪念中学，广东㊀中山㊀５２８４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ初三数学中考复习面临时间紧㊁知识点多等问题，所以帮助学生建立知识体系是事半功倍的复习方法．添加适当的辅助线解决几何问题一直是教学的重点和难点，本文就遇到中点常作辅助线的方法做一下总结．ʌ关键词ɔ中线倍长；中位线；三线合一；垂径定理方法一：倍长中线，构造全等三角形基本图形㊀所谓倍长中线，就是把中线或过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，从而转移边角关系．如图１，Ｄ为ＢＣ中点，延长ＡＤ到Ｅ，使得ＡＤ＝ＤＥ，连接ＥＣ，可得到әＡＢＤɸәＥＣＤ⇒ＥＣ＝ＡＢ，øＥ＝øＢＡＥ，øＢ＝øＥＣＤ⇒ＡＢʊＥＣ．图１例１㊀如图２，әＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ中点，ＡＢ＝５，ＡＤ＝６，ＡＣ＝１３，求证：ＡＢʅＡＤ．分析㊀点Ｄ是ＢＣ的中点，想到中线倍长法构造全等三角形转移边角关系，利用勾股定理逆定理证明ＡＢʅＡＤ．证明㊀延长ＡＤ到Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＤ＝６．㊀图２ȵＤ是ＢＣ中点，ʑＢＤ＝ＤＣ．ȵøＡＤＣ＝øＢＤＥ，ʑәＡＤＣɸәＥＤＢ（ＳＡＳ），ʑＢＥ＝ＡＣ＝１３．ȵＡＢ＝５，ＡＥ＝１２，ʑøＥＡＢ＝９０ʎ，ʑＡＢʅＡＤ．例２㊀如图３，ＢＤ平分øＡＢＣ交ＡＣ于Ｄ，点Ｅ为ＣＤ上一点，且ＡＤ＝ＤＥ，ＥＦʊＢＣ交ＢＤ于Ｆ，求证：ＡＢ＝ＥＦ．分析㊀由ＡＤ＝ＤＥ，想到延长ＢＤ到Ｋ，使得ＢＤ＝ＤＫ，构造әＡＤＢɸәＥＤＫ，由平行线性质㊁角平分线性质㊁等量代换，得øＤＦＥ＝øＫ，最后由等角对等边证得ＥＦ＝ＡＢ．证明㊀延长ＢＤ到Ｋ，使得ＢＤ＝ＤＫ，连接ＫＥ．ȵＡＤ＝ＤＥ，øＡＤＢ＝øＫＤＥ，ＢＤ＝ＤＫ，图３ʑәＡＤＢɸәＥＤＫ（ＳＡＳ），ʑＡＢ＝ＫＥ，øＡＢＤ＝øＫ．ȵＢＤ平分øＡＢＣ，ʑøＡＢＤ＝øＤＢＣ．ȵＥＦʊＢＣ，ʑøＤＦＥ＝øＤＢＣ，ʑøＤＦＥ＝øＫ，ʑＥＦ＝ＥＫ，ʑＥＦ＝ＡＢ．注意，当遇到平行线和中点时，一般不选择中线倍长的方法，因为会涉及证明三点共线，此时可以选择延长线段，构造八字形．如图４，已知ＡＢʊＣＤ，Ｅ为ＢＣ中点，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｐ，则әＡＢＥɸәＰＣＥ⇒ＡＥ＝ＥＰ．图４例３㊀已知：梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤʊＢＣ，Ｅ是ＡＢ的中点，ＤＥʅＣＥ，求证：ＡＤ＋ＢＣ＝ＤＣ．分析㊀ 平行线＋中点 考虑构造八字形，通过证әＡＥＦɸәＢＥＣ，得到相等线段，利用中垂线性质证得结论．证明㊀延长ＣＥ交ＤＡ的延长线于点Ｆ，连接ＡＦ．㊀图５ȵＡＤʊＢＣ，ʑøＦ＝øＥＣＢ．ȵＥ是ＡＢ的中点，ʑＡＥ＝ＢＥ．ȵøＡＥＦ＝øＣＥＢ，ʑәＡＥＦɸәＢＥＣ，ʑＡＦ＝ＢＣ，ＥＦ＝ＥＣ．ȵＤＥʅＣＥ，ʑＤＥ是ＣＦ的中垂线，ʑＤＦ＝ＤＣ，ʑＤＣ＝ＤＦ＝ＡＤ＋ＡＦ＝ＡＤ＋ＢＣ．有时题中有中点但没有平行线，这时要作平行构造八字形，如图６，过Ｃ作ＣＤʊＡＢ，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｐ，则әＡＢＥɸәＰＣＥ⇒ＡＥ＝ＥＰ．图６例４㊀如图７，已知әＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＢＣ上的点，连接ＤＥ并延长与ＡＣ的延长线交于点Ｆ，若ＤＥ＝ＥＦ，求证：ＢＤ＝ＣＦ．分析㊀Ｅ是ＤＦ的中点，想到通过作平行线构造八字形⇒әＤＥＫɸәＦＥＣ⇒ＣＦ＝ＤＫ，再利用等角对等边得到ＢＤ＝ＤＫ，通过等量代换得到ＢＤ＝ＣＦ．㊀图７证明㊀过点Ｄ作ＤＫʊＡＣ交ＢＣ于点Ｋ．ȵＤＫʊＡＣ，ʑøＦ＝øＫＤＥ，øＡＣＢ＝øＤＫＢ．ȵＤＥ＝ＥＦ，øＤＥＫ＝øＦＥＣ，ʑәＤＥＫɸәＦＥＣ，ʑＣＦ＝ＤＫ．ȵＡＢ＝ＡＣ，ʑøＡＢＣ＝øＡＣＢ．ʑøＡＢＣ＝øＤＫＢ，ʑＤＢ＝ＤＫ＝ＣＦ．方法二：知一中点，找另一中点构造三角形中位线基本图形㊀如图８，在әＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ中点，可找另一边ＡＣ的中点构造三角形中位线，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半去解决线段相等及平行等问题．图８例５㊀如图９，在әＡＢＣ中，ＡＤ为ＢＣ边上的中线．已知ＡＣ＝５，ＡＤ＝４，求ＡＢ的取值范围．分析㊀已知Ｄ是ＢＣ中点，可找ＡＣ的中点Ｅ构造三角形中位线，利用三角形三边关系求出ＤＥ的取值范围，再利用三角形中位线等于第三边的一半求出ＡＢ的取值范围．㊀图９解㊀取ＡＣ中点Ｅ，连接ＤＥ．ȵＥ是ＡＣ中点，ʑＡＥ＝１２ＡＣ＝５２．ʑ３２＜ＤＥ＜１３２．ȵＤ是ＢＣ中点，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ʑＤＥ是әＡＢＣ的中位线．ʑＡＢ＝２ＤＥ，ʑ３＜ＡＢ＜１３．方法三：中点遇等腰三角形，莫忘 三线合一基本图形㊀如图１０，当等腰三角形ＡＢＣ中有底边中点Ｄ时，常连底边中线，利用等腰三角形底边中线㊁顶角平分线㊁底边高重合去解决垂直㊁角相等等问题．图１０例６㊀如图１１，在әＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，Ｅ为ＢＣ边上的中点，若ＥＦʅＡＣ于点Ｆ，求ＥＦ的长．分析㊀ 等腰＋中点 考虑三线合一，所以连接ＡＥ得到ＲｔәＡＥＣ，进而用等面积法求直角三角形斜边上的高．㊀图１１解㊀连接ＡＥ．ȵＡＢ＝ＡＣ，Ｅ为ＢＣ中点，ʑＡＥʅＢＣ，ＣＥ＝１２ＢＣ＝６．由勾股定理，得ＡＥ＝８．ȵＥＦʅＡＣ，由等面积法，得ＡＥ㊃ＣＥ＝ＡＣ㊃ＥＦ，ʑ６ˑ８＝１０ＥＦ，ʑＥＦ＝２４５．方法四：中点遇直角三角形，考虑直角三角形斜边中线等于斜边一半基本图形㊀如图１２，当Ｄ是ＲｔәＡＢＣ的斜边中点时，连接ＡＤ⇒ＡＤ＝１２ＢＣ⇒ＡＤ＝ＣＤ＝ＢＤ⇒әＡＢＤ和әＡＤＣ是等腰三角形．图１２例７㊀如图１３，在әＡＢＣ中，øＡＣＢ＝９０ʎ，Ｍ是ＡＢ的中点，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ延长线上的点，且ＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ，求øＥＭＦ的度数．分析㊀由Ｍ是直角三角形斜边上的中点，想到连接ＣＭ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半⇒ＣＭ＝１２ＡＢ，因为ＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ⇒әＣＥＭ和әＣＦＭ是等腰三角形⇒øＦ＝øＦＭＣ和øＥ＝øＥＭＣ，进而利用外角可求得øＥＭＦ㊀图１３的度数．解㊀连接ＣＭ．ȵøＡＣＢ＝９０ʎ，Ｍ是ＡＢ中点，ʑＣＭ＝１２ＡＢ．ȵＣＥ＝ＣＦ＝１２ＡＢ，ʑＣＭ＝ＣＦ＝ＣＥ．ʑøＥ＝øＣＭＥ，øＦ＝øＣＭＦ．ȵøＡＣＭ＝øＦ＋øＣＭＦ，øＭＣＢ＝øＥ＋øＣＭＥ，ʑøＦＭＥ＝øＣＭＦ＋øＣＭＥ＝１２øＡＣＢ＝４５ʎ．方法五：遇到中点，过中点作平行线，得到相似三角形基本图形㊀如图１４，Ｄ是ＡＢ中点，过Ｄ作ＤＥʊＢＣ交ＡＣ于点Ｅ⇒әＡＤＥʐәＡＢＣ⇒ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ，根据Ｄ是ＡＢ中点⇒ＡＥＡＣ＝ＡＤＡＢ＝１２⇒Ｅ是ＡＣ中点⇒ＤＥ是әＡＢＣ的中位线．方法五和方法二可以互相推得，在应用时可以选择最合适的添加辅助线的方法．图１４例８㊀如图１５，已知ＡＤ，ＢＥ分别是әＡＢＣ的中线和角平分线，ＡＤʅＢＥ，垂足为点Ｆ，ＡＤ＝ＢＥ＝４，求ＡＣ的长．分析㊀过ＢＣ中点Ｄ作ＤＫʊＡＣ，可巧妙地构造一组相似三角形әＢＤＫ，әＢＣＥ和一组全等三角形әＡＢＦ，әＤＢＦ，运用相似三角形㊁全等三角形的性质，可得到ＡＣ与ＡＥ的数量关系以及ＤＦ，ＫＦ的长，运用勾股定理求出ＤＫ，进而求出ＡＣ的长．㊀图１５解㊀过点Ｄ作ＤＫʊＡＣ，交ＢＥ于点Ｋ．ȵＡＤʅＢＥ，ʑøＡＦＢ＝øＤＦＢ＝９０ʎ．ȵＢＥ平分øＡＢＣ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＥ．ȵＢＦ＝ＢＦ，ʑәＡＢＦɸәＤＢＦ．ʑＡＦ＝ＤＦ．ȵＤＫʊＡＣ，ʑøＡＥＫ＝øＤＫＥ，øＫＤＦ＝øＥＡＦ，ʑәＤＫＦɸәＡＥＦ，ʑＫＦ＝ＦＥ，ＤＫ＝ＡＥ．ȵＤＫʊＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ʑＫ是ＢＥ的中点，ʑＤＫ是әＢＣＥ的中位线，ʑＣＥ＝２ＤＫ，ʑＡＣ＝３ＤＫ．ȵＢＥ＝ＡＤ＝４，ʑＤＦ＝２，ＫＦ＝１．由勾股定理，得ＤＫ＝５，ʑＡＣ＝３５．方法六：圆中遇到弦㊁弧中点，考虑垂径定理及其推论㊁圆心角定理㊁圆周角定理基本图形㊀如图１６，当点Ｆ为弦ＡＢ的中点时，连接ＯＦ并延长交圆于点Ｃ，Ｄ，则直径ＣＤ平分弦ＡＢ所对应的优弧和劣弧，且垂直于ＡＢ．如图１７，当点Ｂ是ＣＤ(的中点时，可知ＣＢ＝ＢＤ，øＣＯＢ＝øＢＯＤ，øＣＡＢ＝øＢＡＤ．图１６㊀㊀㊀图１７例９㊀如图１８，已知Ｆ，Ｇ分别是弦ＡＢ，ＣＤ的中点，ＡＢ＝ＣＤ，求证：øＡＦＧ＝øＣＧＦ．分析㊀连接弦心距ＯＦ，ＯＧ，得到øＯＦＡ＝øＯＧＣ＝９０ʎ，由ＯＦ＝ＯＧ，得到øＯＦＧ＝øＯＧＦ，最后用等式的基本性质推出答案．证明㊀连接弦心距ＯＦ，ＯＧ．㊀图１８ȵＡＦ＝ＢＦ，ＤＧ＝ＣＧ，ʑＯＦʅＡＢ，ＯＧʅＣＤ．ʑøＯＦＡ＝øＯＧＣ＝９０ʎ．由勾股定理，得ＯＦ＝ＯＧ，ʑøＯＦＧ＝øＯＧＦ．ʑøＯＦＡ－øＯＦＧ＝øＯＧＣ－øＯＧＦ，ʑøＡＦＧ＝øＣＧＦ．以上是对遇到中点常作辅助线方法的一个总结，这几种辅助线添加方法不是相互独立的，有些是可以相互推导的，所以，做题过程中究竟添加何种辅助线，或是添加几条辅助线更合适，要因题而异，灵活应对．有些题可能添加辅助线的方式不止一种，究竟添加哪一种更合适，需要大家对这几种辅助线添加方法的实质理解清晰㊁透彻．. All Rights Reserved.。
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学生姓名学生年级学校
上课时间辅导老师科目
教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法）
教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线
开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格
新
课
导
入
知识点归纳
1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已
知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；
３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；
4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.
新
课
内
容
做辅助线思路一：倍长中线法
经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围．
【课堂训练】
1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论：
①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是
( ）
A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④
第1题图第２题图
2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1，
BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（)
Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5
3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ）
①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。
A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ．
５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ.
6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ．
F
G
E D B C A
F D
B C A
E G
F
B C A D E
7．如图所示,在Rt △ABC 中，∠BAC=９０°，点D 为BC 的中点，点Ｅ、Ｆ分别为AB 、A Ｃ上的点,且ED ⊥F Ｄ.以线段B Ｅ、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？
8．四边形ABCD 是矩形，E 是ＢC 边上的中点，△ABE 沿着直线ＡE 翻折,点Ｂ落在点F 处，直线AF 与直线C Ｄ交于点G ，请探究线段AB 、AG 、ＧＣ之间的关系．
９.如图所示,△ABC 中,点D 是BC 的中点,且∠ＢA Ｄ=∠DA Ｅ，过点C 作CF//ＡＢ，交AE 的延长线于点Ｆ,求证:A Ｆ+CF=A Ｂ．
F
D A B C E
G F E D B C A F
D B C A E。