运筹学与最优化方法建模

v - min [ - cT x, max q j x j ]
1≤ j ≤ n
s. t.
Ax ≤ b x≥0
• 化为多目标线性规划模型： 化为多目标线性规划模型：
v - min [ - cT x, xn +1 ] s. t. Ax ≤ b q j x j ≤ xn +1 ; j = 1,⋯ , n x≥0
SST
• 移项后两边开方，解得： x =150±15 移项后两边开方，解得： • 由（2）知 x = 165 为增根（ f ′(x) ≠ 0 ） ） 为增根（
（3） ）
x = 135 为唯一驻点
• • • • 答案： 应设在距钢厂 答案：站 D 应设在距钢厂 A 135km处。 处 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 数学建模竞赛题： 数学建模竞赛题：道路改造项目中碎石运输的设计 相关网站： 相关网站： 中国电机工程学会杯” “中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛 http://www.cseem.org/
y B（150，20） （150，20）
●
o
●
x
●
150
●
x
A
SST
D
C
建模与求解 • 建立模型： 建立模型： • 设：坐标系 xoy，铁路线在 ox- 轴上，点A 位于坐标原点 o， 轴上， ， ， 位于（ 位于（ 点B位于（150，20）,点C位于（150，0）,站D选在 x 处， 位于 ， ） 点 位于 ， ） 站 选在 运费为 f (x)。 。 m f (x) in • 模型： 模型： （min--minimize） ） （1） ） x∈R 其中： 其中： • 求解：应用导数求极值 求解：
SST
• 例5. 数据拟合问题
• 设某系统中变量 x, y 满足： 满足： y = f (x) • 已获得系统数据： 已获得系统数据： ( xi , yi ) , i = 1, 2 , ··· , m • 确定 f (x) 的参数，例如： 的参数，例如：
◎
y
f1 ( x) = a0 + a1 x + ⋯ + an x f 2 ( x) = a0 + a1 x e
m 2πrh + 2πr2 in s.t. πr2h =V or πr2h −V = 0 r, h ≥ 0 • s.t. --- subject to (满足于 约束条件 满足于): 满足于 • 令 x =[r, h]; f (x) = 2πrh + 2πr2
（4） ）
g(x) = x ; h(x) = πr2h −V
• 例2. 罐头盒问题
• 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 • 假设：1.不考虑折边及铁皮厚度； 假设： 不考虑折边及铁皮厚度； 不考虑折边及铁皮厚度 2.底半径 r，高 h； 底半径 ， ； 3.容积为常数 。 容积为常数V 容积为常数
SST
r
h
• 建立最优化模型： 建立最优化模型：
v - min [ - c T x, xT Vx ] s. t. Ax ≤ b x≥0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考 全国建模赛题） 风险投资问题（参考98全国建模赛题 全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目， 风险损失q 将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失 j 。 • 建立多目标优化模型： 建立多目标优化模型：
SST
⋯⋯
• 令 X = [x1, x2, ···, xn ]T ; c = [c1, c2, ···, cn ]T ; b = [b1, b2, ···, bn ]T ; A = [ aij ]mxn T • LP： LP： Max c x
s. t. Ax ≤ b x≥0
• 问题扩展 a. 若 c1, c2, ···, cn 不是固定的，c 是随机变量， 不是固定的， 是随机变量， 平均值 c = [ c1 , c 2 , ⋯ , c n ]T ，协方差矩阵 V 。 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型： 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
• 一商人欲到 n 个城市推销， 个城市推销， • 城市 i 到城市 j 相距 dij , • 求走遍所有城市的最短路。 求走遍所有城市的最短路。
A ○
B ○
C ○
• 模型： 模型：
min ∑ d ij xij
i≠ j n
E ○
（走出城市 i 一次） （进入城市 j 一次）
D ○ F ○
s. t. ∑ xij = 1 , i = 1 , 2 , ⋯, n
a2 a3 x + a 4 x 2
n
0
·x x
◎
· ·
◎
·
◎
····
◎ ◎
(xi , yi )
··
◎ ◎
1
2
xi
◎
◎
··
◎ ◎
x
xm
f 3 ( x) = a0 + a1 sin (a2 x + a3 )
• 最优化模型： 最优化模型： （最小二乘） 最小二乘）
min ∑ ( f ( xi ) − yi ) 2
• 最优化问题一般模型： 最优化问题一般模型：
min f ( x) s.t. g i ( x) ≤ 0 ; i = 1,2, ⋯, m ⇔ g ( x) ≤ 0 h j ( x) = 0 ; j = 1,2, ⋯, l ⇔ h( x) = 0
SST
• 2.最优化问题实例： 2.最优化问题实例： 最优化问题实例
j =1
∑x
i =1 i , j∈s
n
ij
= 1 , j = 1 , 2 ,⋯, n
∑x
ij
≤ s − 1 , 2 ≤ s ≤ n − 2 , s ⊂ { 1 , 2 ,⋯ , n }（不形成回路）
其中 s 表示集合 s 中元素的个数。
SST
• 计算复杂性概念
• n个城市的旅行商问题-TSP，固定一个城市，采用枚举法需 个城市的旅行商问题 个城市的旅行商问题 ，固定一个城市， (n-1)! 个枚举。 个枚举。 枚举时城市数与计算时间的关系 城 市 数 24 25 26 27 28 29 30 31
• 例4. 生产计划问题 某工厂有 m 种资源 B1 , B2 , ⋯ Bm , 某一时段的数量 b 分别为： 分别为：1 , b2 , ⋯ bm , 可用来生产 n 种产品 A1 , A 2 , ⋯ A n , 每生产一单位 A j 消耗 Bi 为 aij , 利润为 c j 。如何安排 生产可获最大利润？ 生产可获最大利润？ • 设：计划生产 x j 单位 A j , 建立线性规划模型 • LP（Linear Programming） LP（ Programming） • Max c1x1+ c2x2+ ⋯⋯ + cnxn s. t. a11 x1+ a12x2+ ⋯⋯ + a1nxn≤b1 am1 x1+ am2x2+ ⋯⋯ + amnxn ≤bm x1, x2, ⋯ , xn ≥ 0
i =1
m
• 其中决策变量为 (x) 的参数 a0 , a1 , ⋯ an 其中决策变量为f
SST
• 例6. 指派问题（0-1规划） 指派问题（ 规划）
有 m 项任务 B1 , B 2 , ⋯, Bm 可派 m 个人A1 , A 2 ,⋯ , A m 完成，每人承担其中一项，第 i 人完成第 j 项任务 所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时间最少？ 1 , 指派 A i 完成 B j 建模： 设 xij = 0 , 否则 模型： min s. t.
• 模型（4）可写成 与（1）类似的形式 模型（ ） ）
min f ( x) s.t. g ( x) ≥ 0 h( x ) = 0
• 不考虑不等式约束时，模型（4）可用 不考虑不等式约束时，模型（ ）可用Lagrange乘子法求解 乘子法求解
SST
• 令 L(x, λ) = L(r, h, λ) = 2πrh + 2πr2 − λ(πr2h −V) • 求解方程组 ∂L = 2πh + 4πr − 2πλ = 0 rh ∂r ∂L = 2πr −πλ 2 = 0 r ∂h ∂L = −πr2h +V = 0 ∂λ
SST
• 经典优化问题一般模型： 经典优化问题一般模型： a.无约束问题： 无约束问题： 无约束问题
min f ( x) or max f ( x) x∈R n x∈R n n 可省去； 其中的 x ∈ R 可省去； max ⇔ max imize
b.条件极值： 条件极值： 条件极值
min f ( x) s. t. h j ( x) = 0 ; j = 1,2,⋯, l
SST
参考网站
• [1] 全国大学生数学建模竞赛网： 全国大学生数学建模竞赛网 http://www.mcm.edu.cn • [2] 美国：数学及其应用联合会网站： 美国：数学及其应用联合会网站 http://www.comap.com/undergraduate/ • [3] 中国数学建模网站： 中国数学建模网站： http://www.shumo.com/ • [4] “中国电机工程学会杯”全国大学生电 中国电机工程学会杯” 中国电机工程学会杯 工数学建模竞赛网： 工数学建模竞赛网： http://www.cseem.org/
2 代入（ ） • 由 r > 0,及（6）解得 λ = r ，代入（5） 及 ）
(5) (6) (7)
2πh + 4πr − 4πh = 0 ⇒ h = 2r , r = 3
π
V
• 结论：高与直径相等时用料最省。 结论：高与直径相等时用料最省。 • 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ • 作 业 题：建立易拉罐的优化设计模型。 建立易拉罐的优化设计模型。
最优化方法
建模·原理·算法
SST 哈尔滨工业大学
尚寿亭
• 教材与参考
• [1] 吴祈宗 运筹学与最优化方法 北京：机械工业出版社， 吴祈宗. 运筹学与最优化方法. 北京：机械工业出版社， 2003.8 • [2] 薛嘉庆 最优化原理与方法（修订版）. 北京：冶金工业 薛嘉庆. 最优化原理与方法（修订版） 北京： 出版社， 出版社，1992.8 • [3] 解可新，韩立兴，林友联. 最优化方法 天津：天津大学 解可新，韩立兴，林友联 最优化方法. 天津： 出版社， 出版社，1997.1 • [4] 萧树铁，姜启源等 数学实验，北京：高等教育出版社， 萧树铁，姜启源等. 数学实验，北京：高等教育出版社， 1999.7 • [5] 邢文训，谢金星 现代优化计算方法 北京：清华大学出 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法. 北京：清华大学出 版社， 版社，1999.8 • [6] 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 ），哈尔滨工业 • 出版社，1998 出版社，
f (x) = 3x +5 (150− x)2 + 202
f ′(x) = 3− 5(150 − x) (150 − x) + 20
2 2
• 令 f ′(x) = 0 ，即 • 由（2） ）
3 (150 − x) + 20 = 5(150 − x)
2 2
（2） ）
9((150 − x)2 + 400) = 25(150 − x)2
∑ ∑c x
i =1 j =1
m
m
ij ij
∑cBaidu Nhomakorabeax
j =1
m
ij ij
= 1 , i = 1 ,⋯ , m (每人完成一项任务) = 1 , j = 1 , ⋯ , m (每项任务一人完成)
SST
∑c x
i =1
m
ij ij
xij = 0 or 1
• 例7. 旅行商问题-TSP（组合优化） 旅行商问题-TSP（组合优化）
SST
• 最优化方法
实际问题与建模
SST
1.经典极值问题 1.经典极值问题
• 例1.车站选址问题 车站选址问题 一直线铁路经过钢厂A， 一直线铁路经过钢厂 ，矿区 B 位于距铁路最 相距150km。计划在铁路上 近处 C 为20km，A C 相距 ， 。 之间筑一条直线公路， 设一站 D，在A D之间筑一条直线公路，若矿石运 ， 之间筑一条直线公路 费铁路为3元 费铁路为 元/km·t，公路为 元/km·t。 ，公路为5元 。 问题：D 站选在何处最好。 问题： 站选在何处最好。
计算时间 1s 24s 10min 4.3h 4.9d 136.5d 10.8a 325a • 可以看出 个城市时枚举法已很费时，27个以上可采用启发 可以看出27个城市时枚举法已很费时， 个以上可采用启发 个城市时枚举法已很费时 式算法(heuristic algrithm)，参见： [5] 式算法 ，参见： （邢文训，谢金星. 现代优化计算方法 ） 邢文训，谢金星 现代优化计算方法. • 问题扩展 ：多旅行商问题 • 98全国建模赛题 ： B. 灾情巡视路线 全国建模赛题