运筹学与最优化方法建模
应用数学中的最优化理论和运筹学
应用数学中的最优化理论和运筹学随着计算机技术和数学理论的不断发展，最优化理论和运筹学在应用数学中起着日益重要的作用。
这两个领域不仅在生产、管理和决策等方面发挥着不可替代的作用，也在社会发展中起到了巨大的作用。
本文将探讨最优化理论和运筹学在应用数学中的应用和价值。
一、最优化理论在应用数学中的应用最优化理论指的是在特定条件下寻找最优解的一种数学方法。
它通过建立数学模型来描述具体问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
最优化理论广泛应用于经济学、物理学、工程学、金融学、环境科学和人工智能等领域。
1.经济学在经济学领域，最优化理论被广泛应用于计算机辅助决策和计算机辅助规划。
比如在生产计划中通过最优化方法计算出最少的成本和最大的利润，可以帮助经理人员做出更加精确的决策。
此外，最优化理论在资源分配、投资决策和货币政策方面也有着广泛的运用。
2.物理学在物理学领域，最优化理论通常被用于分析非线性问题和优化控制。
比如，在飞行器设计中，需要利用最优化理论来计算飞行速度和高度，以及航空公司的利润最大化。
此外，最优化理论还在能源领域、物理实验和机器人控制中有广泛的应用。
3.工程学在工程学领域，最优化理论被广泛应用于设计和优化流程。
比如在生产线上通过最优化方法分析时间和成本，可以帮助减少生产成本和提高生产效率。
此外，在建筑设计中也有着广泛的应用。
二、运筹学在应用数学中的应用运筹学是指应用数学、统计学和计算机来解决最大化或最小化问题的方法。
它主要研究决策过程和资源分配问题，通过建立数学模型来描述实际问题，然后运用数学工具进行求解，得出最优解。
运筹学在经济学、管理学、计算机科学、制造业和物流管理等领域中起着非常重要的作用。
1.经济学在经济学中，运筹学主要应用于小型企业和中型企业的管理问题。
比如在企业的生产和运输中通过运筹学的方法来优化生产成本和配送成本，可以帮助企业节约时间和成本，提高效率。
2.管理学在管理学领域，运筹学主要应用于制定决策模型来解决管理问题。
运筹学中的优化理论和决策分析
运筹学中的优化理论和决策分析运筹学是一种科学理论和方法论，主要研究如何制定最优决策，以实现效益最大化。
它主要通过数学模型和计算机仿真等手段，对复杂系统进行优化分析和决策支持，以达到最优化的结果。
优化理论作为运筹学的核心竞争力，是运用数学、工程等学科的方法来解决最优化问题的理论体系，旨在实现最佳决策的目的。
本文将围绕运筹学中的优化理论和决策分析展开讨论。
一、优化理论优化理论是指通过数学分析和计算机仿真等手段，对具有一定复杂性的系统进行分析，从而实现最优化的结果。
优化问题是指在一定的限制条件下，寻求某种指标或目标函数的最优值。
如何处理约束条件和目标函数之间的相互制约关系，是优化问题研究中的核心难题。
因此，优化理论主要通过建立数学模型和算法设计等手段，实现最优决策的目标。
1. 建立数学模型建立数学模型是优化理论的核心。
数学模型通常包括决策变量、目标函数、约束条件等要素。
决策变量是指决策者的选择变量，而目标函数则是指要优化的指标或目标。
约束条件则是指决策制定过程中需要考虑的各类限制因素。
通过将系统建模，可以得到系统的优化方案，并为制定最优决策提供途径。
2. 算法设计算法设计是实现最优化的核心。
常见的算法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划等。
不同种类的算法在面对不同的优化问题时，具有各自的优缺点。
因此，在实际应用中，需要根据优化问题特征选择相应的算法进行求解。
3. 求解方法求解方法是指实现算法的具体操作过程，包括求解器、迭代算法、搜索算法等。
求解方法的选择与算法种类密切相关。
通过对数学模型建立算法，并运用求解方法进行求解，可以在有限的时间内得到最优化结果。
二、决策分析决策分析是指对决策问题进行全面、系统地分析，从而为制定最优决策提供支持。
决策分析主要涵盖了决策建模、风险分析、方案评估和数据挖掘四个方面。
1. 决策建模决策建模是指对问题进行抽象、形式化的过程，将现实问题映射到数学模型中进行分析和求解。
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来实现最优决策的学科。
在运筹学中，优化算法是一种关键工具，它可以帮助我们找到最佳的解决方案。
本文将重点介绍运筹学中的优化算法与算法设计。
优化算法是一种数学方法，通过计算机模拟和运算，解决最优化问题。
最优化问题通常包括了一个待优化的目标函数和一组约束条件。
优化算法的目标就是找到目标函数的最小值或最大值，同时满足约束条件。
在运筹学中，优化算法的应用非常广泛，例如在生产调度、资源分配、路径规划等领域都有重要的作用。
优化算法主要分为数学规划和启发式算法两大类。
数学规划是一种基于数学模型的优化方法，其核心思想是将问题转化为数学形式，通过数学方法求解最优解。
常见的数学规划方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
这些方法在理论上非常严谨，能够保证找到全局最优解，但在实际问题中往往由于问题的规模较大而难以求解。
相比之下，启发式算法是一种更加灵活和高效的优化方法，它通过模拟生物进化、物理过程或者人工智能等方法，尝试寻找最优解。
启发式算法通常不保证找到全局最优解，但在解决大规模问题时具有很好的效果。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、粒子群算法等。
算法设计是优化算法中至关重要的一环，良好的算法设计可以显著提高算法的效率和性能。
在算法设计中，需要考虑如何选择合适的搜索策略、参数设置、停止准则等关键因素。
合理设计算法的复杂度可以有效减少计算时间，提高算法的适用性和可靠性。
总的来说，优化算法在运筹学中扮演着重要角色，它们为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
无论是数学规划还是启发式算法，都有着各自的优势和不足，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法来解决。
在未来，随着信息技术的不断发展和算法设计的进步，优化算法将在运筹学中发挥更加重要的作用。
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题是指在特定的条件下，如何合理地分配资源以达到最优化的解决方案的问题。
这类问题可以用数学模型来描述和解决。
在运筹学中，分配问题通常涉及到有限的资源和不同的需求或约束条件。
在建模时，可以使用线性规划、整数规划、动态规划或网络流等方法来求解。
以一个简单的分配问题为例，假设有三个项目（A、B、C）需要分配有限的资源（如人力、时间或资金）。
每个项目会产生不同的效益（如收益或效率），同时存在一些约束条件（如人力资源的限制或时间的限制）。
我们的目标是在满足约束条件下，最大化总体效益。
为了建模这个问题，我们可以定义以下变量和参数：
令x1、x2、x3分别表示项目A、B、C的分配比例；
令c1、c2、c3分别表示项目A、B、C的效益；
令r表示可用资源的数量；
令a1、a2、a3分别表示项目A、B、C所需资源的数量。
然后，我们可以建立以下数学模型：
目标函数：maximize Z = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3
约束条件：a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 <= r
x1 + x2 + x3 = 1
x1, x2, x3 >= 0
这个数学模型可以被解释为：我们要最大化总体效益（Z），
但同时要满足资源约束条件（第一个约束条件），并且项目的分配比例之和为1（第二个约束条件）。
当我们求解这个数学模型时，可以得到最优的分配比例，从而实现最大化总体效益。
这只是一个简单的示例，实际的运筹学分配问题可能更加复杂，可以根据具体情况进行进一步的建模和求解。
运筹学在项目管理中的决策与优化方法
运筹学在项目管理中的决策与优化方法项目管理是一项复杂而庞大的任务，涉及到资源调配、进度控制、任务分配等众多方面。
为了更好地完成项目，提高效率，运筹学为项目管理提供了一些决策与优化的方法。
本文将探讨运筹学在项目管理中的应用，并介绍一些常见的决策与优化方法。
一、项目排程优化项目排程是项目管理中的关键环节，合理的排程可以有效地提高项目完成的效率。
运筹学为项目排程提供了多种优化方法，如关键路径法、资源限制条件优化等。
关键路径法是一种基于网络图的项目排程方法，它能够找出项目中最长的关键路径，即完成整个项目所需的最短时间。
通过确定关键路径，项目经理可以合理地安排任务顺序，确保项目按时完成。
资源限制条件优化是一种考虑资源稀缺性的排程方法。
在项目中，资源往往是有限的，为了充分利用资源，项目经理需要找到最优的资源分配方案。
运筹学提供了一些资源平衡算法，通过建立数学模型，可以帮助项目经理在资源有限的情况下，最大化利用资源，优化项目排程。
二、风险管理决策项目管理中存在各种各样的风险，如技术风险、资源风险、市场风险等。
为了降低风险，项目经理需要进行科学的决策。
运筹学为风险管理提供了一些方法，如风险评估、风险优化等。
风险评估是一种系统的方法，用于识别、评估和处理项目中的风险。
通过建立风险评估模型，项目经理可以对不同风险进行量化评估，确定风险的概率和影响程度，从而制定相应的应对措施。
风险优化是在风险评估的基础上，通过运筹学的优化方法，进行风险的优化分配。
项目经理可以根据项目的需求和资源情况，制定最优的风险优化方案，提高项目的成功率。
三、成本控制与优化成本控制是项目管理中的重要一环。
为了控制项目成本，项目经理需要合理地分配资源和开销，并通过优化方法寻找最佳方案。
运筹学提供了一些成本优化的方法，如线性规划、整数规划等。
线性规划是一种寻找线性约束下最优解的数学方法，可以用于解决资源分配、成本优化等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上，加入整数约束条件，可以更好地应用于项目管理中的资源整数分配问题。
运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模
1.5基本概念和符号
2.多元函数及其导数
(1) n元函数：f (x): Rn R
线性函数：f (x) = cTx + b = ci xi + b 二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2) aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数：F(x) = Ax + d Rm
其中， A为 mn矩阵，d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量，f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度（一阶偏导数向量）： f (x)＝( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数：f (x) = cTx + b , f (x) = c
x , y 的距离： ‖x－y ‖= [(x － y)T(x － y)](1/2)
x 的长度： ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ Rn , x Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)
1.5基本概念和符号
规定：x , y Rn，x ≤ y xi ≤ yi ，i ； 类似地规定 x ≥ y，x = y，x < y , x > y 。
一个有用的定理
设 xRn，R，L为Rn 的线性子空间。 若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0， 则
x ≤ 0， ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn ， 则
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何寻找最优解的学科，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
在运筹学中，优化算法是重要的工具之一，用于解决各种复杂的最优化问题。
本文将介绍一些常见的优化算法以及它们的算法设计原理。
一、贪婪算法贪婪算法是一种简单而直观的优化算法。
它每一步都选择局部最优的解，然后将问题缩小，直至得到全局最优解。
贪婪算法的优点是实现简单、计算效率高，但它不能保证一定能得到全局最优解。
二、动态规划算法动态规划算法通过将原问题分解为一系列子问题来求解最优解。
它通常采用自底向上的方式，先求解子问题，再通过递推求解原问题。
动态规划算法的特点是具有无后效性和最优子结构性质。
它可以用于解决一些具有重叠子问题的优化问题，例如背包问题和旅行商问题。
三、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过递归的方式遍历所有可能的解空间。
它的基本思想是逐步构建解，如果当前构建的解不满足条件，则回退到上一步，继续搜索其他解。
回溯算法通常适用于解空间较小且复杂度较高的问题，例如八皇后问题和组合优化问题。
四、遗传算法遗传算法是一种借鉴生物进化过程中的遗传和适应度思想的优化算法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，生成新的解，并通过适应度函数评估解的质量。
遗传算法具有全局搜索能力和并行搜索能力，适用于解决复杂的多参数优化问题。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法。
它通过接受劣解的概率来避免陷入局部最优解，从而有一定概率跳出局部最优解寻找全局最优解。
模拟退火算法的核心是温度控制策略，逐渐降低温度以减小接受劣解的概率。
它适用于求解连续变量的全局优化问题。
六、禁忌搜索算法禁忌搜索算法是一种基于局部搜索的优化算法。
它通过维护一个禁忌表来避免回到之前搜索过的解，以克服局部最优解的限制。
禁忌搜索算法引入了记忆机制，能够在搜索过程中有一定的随机性，避免陷入局部最优解。
它适用于求解离散变量的组合优化问题。
综上所述，运筹学中的优化算法涵盖了贪婪算法、动态规划算法、回溯算法、遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等多种方法。
运筹学-最优化准备知识
其中xi,yi(i=1,2,…,m)及jj(x)(j=0,1,…,n)为已知.
4
最优化问题
最优化问题的一般形式为:
P:
(1.1)(目标函数) (1.2)(等式约束) (1.3)(不等式约束)
其中x是n维向量. 在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取 相反数后统一成公式中求最小值的形式. 我们总是讨论
22
凸函数的几何性质
对一元函数f (x),在几何上a f (x1)+(1-a)f (x2) (0≤a≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f (x2))的线段, f(ax1+(1-a)x2)表示在点ax1+(1-a)x2处的函 数值,所以一元凸函数表示连接函数图形 上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方.
21
凸函数的例
例. 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上是 严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a ∈ (0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数. 例. 线性函数f (x)=cTx=c1x1+c2x2+· · · +cnxn 既是Rn上凸函数也是Rn上凹函数.
(ii) 若在D内G(x)正定,则f(x)在D内是严格凸函数.
32
凸规划
定义1.1.11 设D Rn为凸集,则f(x) 为D上的凸函数, 则称规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 为凸规划问题.
第4章最优化方法运筹学
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
运筹学的原理和方法是什么
运筹学的原理和方法是什么运筹学是一种研究在各种决策环境中如何做出最佳决策的方法和原理。
它是一门跨学科的科学，涵盖了数学、统计学、计算机科学、经济学和工程学等领域的知识和技术。
运筹学的主要目标是通过优化方法和模型来解决实际问题，以最低的成本或最高的效益达到理想的结果。
运筹学的核心原理是优化。
优化是运筹学的基本概念，它通过在给定的约束条件下，寻找一个最佳解决方案来解决问题。
优化方法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
运筹学将实际问题抽象为数学模型，并根据模型中的目标函数和约束条件进行计算，从而得到最佳解。
这种方法可以应用于各个领域的问题，如生产计划、交通规划、资源配置等。
运筹学的方法包括建模、求解和优化。
首先，建模是将实际问题转化为数学模型的过程。
建模涉及问题的定义、目标的确定和约束条件的制定。
其次，求解是通过数学方法解决建立的模型。
运筹学使用各种数学方法和技术，如线性规划、整数规划、动态规划、模拟等来求解问题。
最后，优化是指通过调整模型中的参数或约束条件，改变模型结构或使用不同的算法，使模型的性能进一步提高。
运筹学的方法还包括决策分析、模拟和最优化算法。
决策分析是指以决策者的思维过程为基础，通过对问题和解决方案的分析，帮助决策者做出最佳决策。
模拟是指通过建立模型并进行仿真，模拟系统的运行过程，以评估不同策略的效果和风险。
最优化算法是指针对不同类型的问题设计的优化算法，以找到问题的最优解或接近最优解。
运筹学的方法还包括多目标决策、风险分析和决策支持系统。
多目标决策是指考虑多个目标的情况下，通过设定权重或建立偏好函数，寻找最佳的解决方案。
风险分析是指分析不确定因素对决策结果的影响，并采取相应的措施来降低风险。
决策支持系统是指利用计算机和信息技术来辅助决策者进行决策的工具和方法。
总之，运筹学的原理和方法是通过建立数学模型，运用优化方法和技术来解决各种实际问题。
运筹学的核心原理是优化，方法包括建模、求解和优化。
运筹学的原理与方法
运筹学的原理与方法运筹学是一门研究如何最优地组织、管理和规划资源，以实现目标的学科。
它涉及到各种领域，例如供应链管理、制造业、金融、交通、能源等等，被广泛应用于现代工业、商业和政府部门，并对社会和经济发展产生了广泛而深远的影响。
运筹学的原理是通过建立数学模型来描述实际问题，通过分析这些模型，可以找到最优解或者接近最优解的解法。
具体来说，运筹学的原理有以下几个方面：1.最优化问题最优化问题是运筹学的核心。
最优化问题通过建立假设条件和目标函数来描述问题，然后通过选择合适的算法来求解问题的最优解。
最优化问题可以分为线性规划、二次规划、整数规划、动态规划等不同类型。
2.模型建立建模是解决优化问题的第一步。
建立模型要考虑实际问题的特点和假设，在建立模型时需要选择适当的变量来描述问题，并根据问题设计适当的约束条件。
模型的建立需要专业知识和实际经验的支撑，并且需要考虑数据可用性和分析可行性等因素。
3.算法选择不同的算法适用于不同类型的优化问题。
运筹学需要选择适当的算法，以最快的速度找到最优解。
根据模型的特点，可以选择贪心算法、分支定界算法、随机算法、线性规划法、动态规划法等算法。
4.计算机技术计算机技术对于运筹学的发展发挥了至关重要的作用。
现代运筹学使用计算机来完成数学计算和分析，计算机技术是运筹学的核心。
计算机技术使得运筹学实践更加高效和有效，并且在应用领域的广泛推广和应用方面提供了重要支持。
在实际应用中，运筹学有以下一些方法：1.线性规划线性规划是最经典的运筹学方法之一，它适用于解决线性函数的优化问题，是许多实际问题的有效解决方案。
在制造业、金融、物流和供应链管理等领域中广泛应用。
2.生产调度生产调度是制造业最重要的应用之一，通过运筹学理论和方法提高生产效率和生产能力。
通过优化生产资源的配置和调度安排，可以显著提高生产效率和产品质量。
3.库存管理库存管理是物流和供应链管理中最重要的应用之一，通过优化库存决策来降低成本、提高效率和服务质量。
运筹学与最优化方法优化建模
运筹学与最优化方法优化建模运筹学是一门多学科交叉的学科，涵盖了数学、经济学、管理学等多个领域，其目的是通过数学模型和最优化方法来解决各种决策问题。
最优化建模是其中的一个重要方面，它主要是通过建立合适的数学模型，并运用最优化方法找到最佳解。
在运筹学中，最优化建模是一个非常关键的步骤。
它的目标是将实际问题转化为一个数学模型，以便于利用数学方法进行求解。
最优化建模需要对问题进行适当的抽象和简化，将问题的主要方面纳入模型，排除次要因素。
同时，还需要考虑到问题的约束条件和目标函数，以便在求解过程中能够得到一个合理的结果。
最优化建模的方法有很多种，其中最常用的是线性规划、整数规划和非线性规划等。
线性规划主要用于求解线性约束条件下的最优解，例如生产计划、资源分配等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上，额外添加了整数变量的约束条件，用于解决一些决策变量只能取整数值的问题，如运输调度、设备配置等。
非线性规划则是应用于具有非线性约束条件的问题，包括一些经济学模型、工程优化问题等。
除了数学方法外，最优化建模还需要结合实际问题的特点进行合理的假设和简化。
这包括对决策变量的选择、约束条件的设置和目标函数的确定等。
在建模过程中，还需要考虑到一些影响因素，如风险程度、决策者的偏好以及系统的复杂性等。
这些因素的考虑对于求解出一个合理的最优解至关重要。
最优化建模的优势在于可以帮助决策者更加全面客观地分析问题，并找到最佳解决方案。
通过运用最优化建模，决策者可以在有限的时间和资源条件下，找到一个最优的决策方案。
这不仅可以提高生产效率和资源利用率，还能够降低成本和风险。
同时，最优化建模还能够帮助企业在竞争激烈的市场环境中获得竞争优势，更好地适应环境变化。
总之，最优化建模是运筹学中重要的一环，通过合适的数学模型和最优化方法，可以帮助决策者在复杂的决策环境中找到最佳解决方案。
它在各个领域都有广泛的应用，不仅可以提高决策效率和资源利用率，还能够帮助企业在竞争激烈的市场中取得竞争优势。
运筹学与最优化方法多目标优化
运筹学与最优化方法多目标优化运筹学是一门融合了数学、统计学和计算机科学的交叉学科，旨在通过数学建模和分析方法来解决实际生产和管理问题。
最优化方法是运筹学的核心内容之一，通过寻找最优解来实现资源的最优利用和决策的最优化。
在实际问题中，往往存在多个目标需要同时考虑，这就引入了多目标优化的概念。
多目标优化是一种为了同时优化多个相互矛盾的目标而发展起来的分支领域，弥补了传统单目标优化方法的不足。
在传统的单目标优化中，只考虑一个目标的最优解，而无法充分考虑其他目标的需求。
而多目标优化则可以解决多个目标的权衡与平衡问题，找到一组解决方案，使得各个目标在一定程度上得到满足。
多目标优化方法可以应用于各种实际问题中，如生产调度、资源分配、供应链管理等。
在这些问题中，既有单一目标的最优化问题，也有多个相互制约的目标需要同时考虑。
通过多目标优化方法，可以综合考虑各个目标的权重和约束条件，找到最优的解决方案。
在多目标优化中，常用的方法包括多目标遗传算法、多目标模拟退火算法、多目标禁忌等。
这些方法通过对解空间的和评价，逐步接近最优解。
其中，遗传算法是一种模拟自然界的进化过程的优化方法，通过选择、交叉和变异等操作，不断产生新的解，并根据适应度函数进行选择，最终找到最佳解。
模拟退火算法则通过模拟退火过程中的温度变化，逐步接近全局最优解。
禁忌算法则通过设置禁忌表和禁忌规则，避免陷入局部最优解，提高全局的能力。
多目标优化方法的应用可以帮助决策者在面对多个目标时进行权衡和选择。
通过充分利用各种优化算法和数学模型，可以找到一组解决方案，使得各个目标都得到一定程度的满足。
这种方法可以提高机构和企业的效益，优化资源的利用，提高生产效率和经济效益。
总之，运筹学与最优化方法是解决实际问题的重要工具，多目标优化方法则是为了处理多目标问题而发展起来的关键技术。
通过运筹学和最优化方法的应用，可以提高决策的科学性和准确性，为实现资源优化和决策优化提供强有力的支持。
2023年运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型涉及数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表注：从1999年起，全国大学生数学建模竞赛开始设立专供大专院校学生做的C ，D 题。
下面重点介绍运筹学模型的数学规划。
二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(.. 线性规划： 整数规划： 非线性规划：三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。
问如何裁剪，才干最省料？解：先设计几个裁剪方案记 A---------40×40；B-----------50×20注：尚有别的方案吗？显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。
最佳方法应是三个方案的优化组合。
设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。
共用原材料f 件。
则根据题意，可用如下数学式子表达：⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j，整数 这是一个整数线性规划模型。
2 运送问题现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，方案1方案2方案3试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采用哪个运送方案，才干使总运费达成最小？（运价（元/吨）如下表）解：题意即要拟定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
故设ij x 表达从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表达总运费.则运送模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运送模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。
运筹与优化— 整数规划建模方法
j 1
n
s.t
i1
xij
1,
j V
(2)
xij S 1,
S V , 2 S n 1
(3)
iS jS
xij 0, 1
二、典型整数规划问题建模方法
3、指派问题
混合游泳接力接力队的选拔
甲
乙
丙
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
57”2 1’06” 1’06”4 53”
14
二、典型整数规划问题建模方法
Page 15
• 记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距 离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i V
(1)
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解:
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门 课程，总学分21（注意：最优解可能不唯一！）
约束条件：先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
Page 3
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
• 用单纯形法解得：x1 4.8, x2 0, z 96
一、概述
Page 4
运筹学与最优化方法
( 1)
,d
(2)
,…,d
(m) m
R, d
(j)
n
(k)
0
记 L( d
(1)
,d
(2)
,…,d
(m)
)={ x = d j j =1
jR }
为由向量d , d , … , d 生成的子空间，简记为L。 n 正交子空间：设 L 为R 的子空间，其正交子空间为 n L ＝{ x R xTy=0 , y L } n n 子空间投影定理：设 L 为R 的子空间。那么 x R ， 唯一 x L , y L , 使 z=x+y , 且 x 为问题 min ‖z - u‖ s.t. u L 的唯一解，最优值为‖y‖。 n 特别， L ＝R 时，正交子空间 L ＝{ 0 }（零空间）
x
x+y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝ R , x R 点列｛x(k)｝收敛到 x ，记 (k) = x lim‖x(k)- x‖ = 0 lim x (k) = x ,i lim x i k k ki
y
n
n
五、基本概念和符号（续）
1、向量和子空间投影定理
(3) 子空间：设 d
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” n “若 xTy ≥ , yR 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
一、什么是运筹学
为决策机构在对其控制下的业务活动进
行决策时，提供一门量化为基础的科学 方法。 或是一门应用科学，它广泛应用现有的 科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决 策提供定量依据。 运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术， 否则的话，问题的结果会更坏。
运筹学和最优化解析
运筹学和最优化解析运筹学是一门关注在有限资源下进行最优决策的学科。
它结合了数学、统计学和计算机科学的方法，通过建立数学模型来描述问题，并利用数学方法进行优化求解。
运筹学广泛应用于商业、工业和公共管理等领域，它的目标是通过最大化效益或最小化成本来优化系统的性能。
最优化是一种数学方法，用于在给定的约束条件下寻找最优解。
最优化问题通常涉及一个目标函数和一组约束条件，目标是找到使目标函数最大或最小的变量组合。
最优化问题可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等不同类型。
对于线性规划问题，目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法进行求解。
对于非线性规划问题，目标函数或约束条件中存在非线性项，需要使用非线性规划算法进行求解。
整数规划则是在变量取值上加上整数限制。
运筹学和最优化在实践中有很多应用。
其中一个重要的应用是生产计划和资源分配问题。
通过建立数学模型，可以帮助企业有效地安排生产计划，使生产过程最大化效益或最小化成本。
同时，通过优化资源分配，可以最大限度地满足各部门的需求，提高资源利用率。
另一个重要的应用是物流和运输优化。
通过运筹学和最优化方法，可以确定最佳输送路径和运输计划，从而最大化物流效率并降低运输成本。
这在供应链管理和交通运输等领域具有重要意义。
此外，运筹学和最优化也广泛应用于风险管理和金融决策。
通过建立数学模型和利用最优化方法，可以在面临不确定性和风险的情况下，制定最佳的投资组合和风险管理策略。
运筹学和最优化解析方法有许多，其中一种常用的方法是线性规划。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，求解线性规划问题可以使用单纯形法等方法。
另一种常用的方法是整数规划，它在线性规划的基础上加上了变量取值为整数的限制。
整数规划问题可以使用分支定界法等方法进行求解。
除了传统的解析方法，运筹学和最优化也可以利用启发式算法和元启发式算法进行求解。
启发式算法通过寻找近似最优解的策略进行求解，而不需要考虑全局最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m
• 其中决策变量为 (x) 的参数 a0 , a1 , ⋯ an 其中决策变量为f
SST
• 例6. 指派问题（0-1规划） 指派问题（ 规划）
有 m 项任务 B1 , B 2 , ⋯, Bm 可派 m 个人A1 , A 2 ,⋯ , A m 完成，每人承担其中一项，第 i 人完成第 j 项任务 所需时间为 cij , 如何指派完成任务总时间最少？ 1 , 指派 A i 完成 B j 建模： 设 xij = 0 , 否则 模型： min s. t.
f (x) = 3x +5 (150− x)2 + 202
f ′(x) = 3− 5(150 − x) (150 − x) + 20
2 2
• 令 f ′(x) = 0 ，即 • 由（2） ）
3 (150 − x) + 20 = 5(150 − x)
2 2
（2） ）
9((150 − x)2 + 400) = 25(150 − x)2
• 例4. 生产计划问题 某工厂有 m 种资源 B1 , B2 , ⋯ Bm , 某一时段的数量 b 分别为： 分别为：1 , b2 , ⋯ bm , 可用来生产 n 种产品 A1 , A 2 , ⋯ A n , 每生产一单位 A j 消耗 Bi 为 aij , 利润为 c j 。如何安排 生产可获最大利润？ 生产可获最大利润？ • 设：计划生产 x j 单位 A j , 建立线性规划模型 • LP（Linear Programming） LP（ Programming） • Max c1x1+ c2x2+ ⋯⋯ + cnxn s. t. a11 x1+ a12x2+ ⋯⋯ + a1nxn≤b1 am1 x1+ am2x2+ ⋯⋯ + amnxn ≤bm x1, x2, ⋯ , xn ≥ 0
• 模型（4）可写成 与（1）类似的形式 模型（ ） ）
min f ( x) s.t. g ( x) ≥ 0 h( x ) = 0
• 不考虑不等式约束时，模型（4）可用 不考虑不等式约束时，模型（ ）可用Lagrange乘子法求解 乘子法求解
SST
• 令 L(x, λ) = L(r, h, λ) = 2πrh + 2πr2 − λ(πr2h −V) • 求解方程组 ∂L = 2πh + 4πr − 2πλ = 0 rh ∂r ∂L = 2πr −πλ 2 = 0 r ∂h ∂L = −πr2h +V = 0 ∂λ
y B（150，20） （150，20）
●
o
●
x
●
150
●
x
A
SST
D
C
建模与求解 • 建立模型： 建立模型： • 设：坐标系 xoy，铁路线在 ox- 轴上，点A 位于坐标原点 o， 轴上， ， ， 位于（ 位于（ 点B位于（150，20）,点C位于（150，0）,站D选在 x 处， 位于 ， ） 点 位于 ， ） 站 选在 运费为 f (x)。 。 m f (x) in • 模型： 模型： （min--minimize） ） （1） ） x∈R 其中： 其中： • 求解：应用导数求极值 求解：
SST
⋯⋯
• 令 X = [x1, x2, ···, xn ]T ; c = [c1, c2, ···, cn ]T ; b = [b1, b2, ···, bn ]T ; A = [ aij ]mxn T • LP： LP： Max c x
s. t. Ax ≤ b x≥0
• 问题扩展 a. 若 c1, c2, ···, cn 不是固定的，c 是随机变量， 不是固定的， 是随机变量， 平均值 c = [ c1 , c 2 , ⋯ , c n ]T ，协方差矩阵 V 。 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型： 希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
SST
• 移项后两边开方，解得： x =150±15 移项后两边开方，解得： • 由（2）知 x = 165 为增根（ f ′(x) ≠ 0 ） ） 为增根（
（3） ）
x = 135 为唯一驻点
• • • • 答案： 应设在距钢厂 答案：站 D 应设在距钢厂 A 135km处。 处 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 问题扩展：考虑筑路、建站、装卸等费用，如何建模？ 数学建模竞赛题： 数学建模竞赛题：道路改造项目中碎石运输的设计 相关网站： 相关网站： 中国电机工程学会杯” “中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛 /
2 代入（ ） • 由 r > 0,及（6）解得 λ = r ，代入（5） 及 ）
(5) (6) (7)
2πh + 4πr − 4πh = 0 ⇒ h = 2r , r = 3
π
V
• 结论：高与直径相等时用料最省。 结论：高与直径相等时用料最省。 • 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ 问题扩展：侧面与底面厚度不同或造价不同，该如何设计？ • 作 业 题：建立易拉罐的优化设计模型。 建立易拉罐的优化设计模型。
m 2πrh + 2πr2 in s.t. πr2h =V or πr2h −V = 0 r, h ≥ 0 • s.t. --- subject to (满足于 约束条件 满足于): 满足于 • 令 x =[r, h]; f (x) = 2πrh + 2πr2
（4） ）
g(x) = x ; h(x) = πr2h −V
a2 a3 x + a 4 x 2
n
0
·x x
◎
· ·
◎
·
◎
····
◎ ◎
(xi , yi )
··
◎ ◎
1
2
xi
◎
◎
··
◎ ◎
x
xm
f 3 ( x) = a0 + a1 sin (a2 x + a3 )
• 最优化模型： 最优化模型： （最小二乘） 最小二乘）
min ∑ ( f ( xi ) − yi ) 2
v - min [ - c T x, xT Vx ] s. t. Ax ≤ b x≥0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考 全国建模赛题） 风险投资问题（参考98全国建模赛题 全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目， 风险损失q 将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失 j 。 • 建立多目标优化模型： 建立多目标优化模型：
∑ ∑c x
i =1 j =1
m
m
ij ij
∑c x
j =1
m
ij ij
= 1 , i = 1 ,⋯ , m (每人完成一项任务) = 1 , j = 1 , ⋯ , m (每项任务一人完成)
SST
∑c x
i =1
m
ij ij
xij = 0 or 1
• 例7. 旅行商问题-TSP（组合优化） 旅行商问题-TSP（组合优化）
• 例2. 罐头盒问题
• 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 设计圆柱形罐头盒，使用料最省。 • 假设：1.不考虑折边及铁皮厚度； 假设： 不考虑折边及铁皮厚度； 不考虑折边及铁皮厚度 2.底半径 r，高 h； 底半径 ， ； 3.容积为常数 。 容积为常数V 容积为常数
SST
r
h
• 建立最优化模型： 建立最优化模型：
SST
参考网站
• [1] 全国大学生数学建模竞赛网： 全国大学生数学建模竞赛网 • [2] 美国：数学及其应用联合会网站： 美国：数学及其应用联合会网站 /undergraduate/ • [3] 中国数学建模网站： 中国数学建模网站： / • [4] “中国电机工程学会杯”全国大学生电 中国电机工程学会杯” 中国电机工程学会杯 工数学建模竞赛网： 工数学建模竞赛网： /
SST
• 最优化方法
实际问题与建模
SST
1.经典极值问题 1.经典极值问题
• 例1.车站选址问题 车站选址问题 一直线铁路经过钢厂A， 一直线铁路经过钢厂 ，矿区 B 位于距铁路最 相距150km。计划在铁路上 近处 C 为20km，A C 相距 ， 。 之间筑一条直线公路， 设一站 D，在A D之间筑一条直线公路，若矿石运 ， 之间筑一条直线公路 费铁路为3元 费铁路为 元/km·t，公路为 元/km·t。 ，公路为5元 。 问题：D 站选在何处最好。 问题： 站选在何处最好。
计算时间 1s 24s 10min 4.3h 4.9d 136.5d 10.8a 325a • 可以看出 个城市时枚举法已很费时，27个以上可采用启发 可以看出27个城市时枚举法已很费时， 个以上可采用启发 个城市时枚举法已很费时 式算法(heuristic algrithm)，参见： [5] 式算法 ，参见： （邢文训，谢金星. 现代优化计算方法 ） 邢文训，谢金星 现代优化计算方法. • 问题扩展 ：多旅行商问题 • 98全国建模赛题 ： B. 灾情巡视路线 全国建模赛题
SST
• 例5. 数据拟合问题
• 设某系统中变量 x, y 满足： 满足： y = f (x) • 已获得系统数据： 已获得系统数据： ( xi , yi ) , i = 1, 2 , ··· , m • 确定 f (x) 的参数，例如： 的参数，例如：
◎
y
f1 ( x) = a0 + a1 x + ⋯ + an x f 2 ( x) = a0 + a1 x e
最优化方法
建模·原理·算法
SST 哈尔滨工业大学
尚寿亭
• 教材与参考
• [1] 吴祈宗 运筹学与最优化方法 北京：机械工业出版社， 吴祈宗. 运筹学与最优化方法. 北京：机械工业出版社， 2003.8 • [2] 薛嘉庆 最优化原理与方法（修订版）. 北京：冶金工业 薛嘉庆. 最优化原理与方法（修订版） 北京： 出版社， 出版社，1992.8 • [3] 解可新，韩立兴，林友联. 最优化方法 天津：天津大学 解可新，韩立兴，林友联 最优化方法. 天津： 出版社， 出版社，1997.1 • [4] 萧树铁，姜启源等 数学实验，北京：高等教育出版社， 萧树铁，姜启源等. 数学实验，北京：高等教育出版社， 1999.7 • [5] 邢文训，谢金星 现代优化计算方法 北京：清华大学出 邢文训，谢金星. 现代优化计算方法. 北京：清华大学出 版社， 版社，1999.8 • [6] 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 胡运权，运筹学基础及应用（第三版），哈尔滨工业大学 ），哈尔滨工业 • 出版社，1998 出版社，