大学生数学建模练习题

课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响

人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。

收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。

课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响

科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。

下面请你建立数学模型解决以下问题：

1.选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。

2.以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。

3.试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生

的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真）

课题3. 麻疹模型的分析

本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添的新的成员而不断补充，因此，他假设：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=)()()()((t)I(t))(t I t S t I dt

t dI S dt t dS αβμα 其中α、β和μ都是正的常数。

1.

找出方程的平衡解； 2. 证明方程的初始值足够接近这个平衡解的每一个解(t)S 、I(t)，当t 趋于

无穷大时，都趋近于平衡解；

3. 当t 趋于无穷大时，方程的每一个解(t)S 、I(t)都趋于平衡解。所以，得

到结论：方程组不能解释是重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明。这种疾病最终将趋于稳定状态；

4. 试改进该模型说明该周期现象。找一组相关的数据进行模拟，拟合方程的

参数使疾病爆发的周期与现实一致；

5. 对于麻疹考虑一些控制措施，对于每种控制措施给出相应的数学描述，研

究该系统的基本的动力学性质，最后比较各个措施的优缺点。

课题4. Fibonacci 数列的推广

Fibonacci 数列是一个很早的生态学模型，它的背景是兔子数量的增长。在描述兔子数量变化时有以下假设：

➢ 第一个月有一对刚出生的兔子；

➢ 兔子从第三个月后就可以生育；

➢ 每月每对兔子恰好也生育一对兔子；

➢ 兔子长生不老。

记第n 月兔子的对数为n R ，则n R 满足11n n n R R R +-=+。再利用11R =和21R =，就可以得到兔子数量为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，……。

这个模型11n n n R R R +-=+的假设不是十分合理，导致兔子的数量会趋于无穷。

这个模型也只描述了一种生物数量的变化规律。请对模型的假设进行修改，并对模型进行推广，使得模型能够描述其它生物数量的变化规律，或者多个生物种群数量的变化规律。收集数据对你们的模型进行检验，或者对模型的性态进行分析。

课题5. 工厂污水处理

如图1，有若干工厂的排污口排入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比，使每单位的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。

图1

先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题。

设上游江水流量为12100010/min L （），污水浓度为0.8/mg L ，3个工厂的污

水流量均为125(10L/min)，三个工厂排出的污水浓度(从上游到下游排列)分别为100,60,50/mg L ，处理系数均为1万元12/((10L/min)(mg/L)) ，3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9和0.6。国家标准规定水的污染浓度不能超过1/mg L 。

1. 为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要多少费用？

2. 如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少

费用？

课题6. 聚类的方法

写一篇不少于10页的论文，详细介绍2-3种聚类的方法，包括数学公式及其应用，按科研论文的格式书写（需要介绍背景及发展，公式、算法和案例）。

课题7. 投篮问题

假设一名球员的投篮姿势固定，试讨论在有风（风向可以作简化处理，风力需要分级讨论）情况下的投篮调整（包括出手速度和方向）。

课题8. City Crime and Safety

What can we make of the massive amount of crime statistics collected in major cities? Beyond just reporting numbers, how can we use these data to determine the safeness of a city?

Assume that you and your modeling team live in My City, a large international hub of commerce, technology, finance and travel, with a current population of 2.8 million people impacted by a metropolitan area of an additional approximately 6 million people.

The data set provided (My_City_Crime_Data.xlsx，附件1 ) shows two weeks from police reports in My City and includes crimes listed by case number, date of occurrence, primary and secondary crime descriptions, crime location, whether an arrest was made, whether or not this was domestic crime, and the beat number of the police route.

ing mathematical modeling, analyze the data. Create a safety

rating for My City. Use your safety rating to specify a measure

of how safe My City is.

2.In addition to the HiMCM contest format, prepare a 1-2 page

non-technical report for the Mayor of My City to describe your

findings.

课题9. 请你当将军

2015年9月3日，纪念抗战胜利70周年大会在举行。上午10时20分许，