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特殊三角形常见的题目型
八年级上册第二章 特殊三角形一、将军饮马例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ）A 、3√10B 、10√3C 、9D 、9√2 【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、8√332、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x 2+4+√(8−x )2+16的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为（2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 【变式训练】1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，则它的各个内角的度数5、已知等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的度数为EBCADP第2题 BOAPCD第1题 BOACN第3题D Ey =−34x +6 7、如图，A 、B 是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个 【变式训练】1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，√3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、在平面直角坐标系中，若点A （2，0），点B （0，1），在坐标轴上找一点C ，使得△ABC 是等腰三角形，这样的点C 可以找到 个．3、在坐标平面内有一点A （2，−√3），O 为原点，在x 轴上找一点B ，使O ，A ，B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出B 点坐标4、平面直角坐标系中，已知点A （4，2），B （4，-3），试在y 轴上找一点P ，使△APB 为等腰三角形，求点P 的坐标5、如图1，已知一次函数 分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线BC 交x 轴负半轴与点C ，且OC=12OB ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）如图2，若△ABC 中，∠ACB 的平分线CF 与∠BAE 的平分线AF 相交于点F ，求证：∠AFC=12∠ABC ； （3）在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由ABxyO四、折叠问题 例4：如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点D 落在线段BC 的点F 处，则线段DE 的长为【变式训练】1、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长为2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿EF 将矩形折叠，使A 、C 重合，若，则折痕EF 的长为3、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，沿AC 将矩形折叠，使得点B 落在点E 处，则线段EF 的长为4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A 在坐标原点，AB 在x 轴正方向上，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，M 在DC 上，将△ADM 沿折痕AM 折叠，使点D 折叠后恰好落在EF 上的P 点处．（1）求点M 、P 的坐标；（2）求折痕AM 所在直线的解析式；（3）设点H 为直线AM 上的点，是否存在这样的点H ，使得以H 、A 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．例5 如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线． （1）如果BD=CE ，那么△ABC 是等腰三角形，请说明理由；（2）如果∠A=60°，取BC 中点F ，连结点D 、E 、F 得到△DEF ，请判断该三角形的形状，并说明理由；E D C A B FE F D C A B 第1题 E F G D C A B 第2题 FE D C AB 第3题（3）如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE【变式训练】1、如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；（2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）填空：∠AEB的度数为；拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．全等之三垂直（K 型图）例1 如图，已知AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥BE ，AB=BE 求证：AC=BF,BC=EF1、如图，已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥CE ，AC=CF 求证：AB=CE2、已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：AG=CF3、如图： 已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90°，AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD4、如图，点A 是直线 在第一象限内的一点；连接OA ，以OA 为斜边向上作等腰直角三角形OAB ，若点A 的横坐标为4，则点B 的坐标为5、已知：如图，点B,C,E 在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE 证明：△ACB ≌△CFE全等之手拉手模型例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。
特殊三角形测试及答案
特殊三角形测试及答案一．选择题：1．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ） A 顶角 B 顶角的21 C 顶角的2倍 D 底角的212．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为，则这个三角形是（ ）A 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C 一定是钝角三角形D 形状不能确定 二．填空题：1．如图所示，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，延长BC到E ，使CE=21BC ，图中等于 的角是_________，等于的角是________。
2．如图，△EAB, △BCD 都是等边三角形，A,B,C 在同一直线上，且BC=21AB ，则△BDE 的各角的度数分别是________。
3．如图所示，在高为2米，坡角为 的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少是_______米。
4．如图，P 是∠AOB 的平分线上一点，PD ⊥OB ，垂足为D ，PC//OB 交OA 于C ，若∠AOB= ，PD=2cm ，则CP=_______cm 。
三．解答题：1．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE。
2．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=，O为BC的中点。
（1）写出O点到△ABC的三个顶点A,B,C的距离的关系（不要求证明）。
（2）如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并证明你的结论。
3．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求这个三角形各角的度数。
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q。
求证：BP=2PQ。
答案：一．2．B 5．D二．1．∠BDE，∠DCE；∠ABD，∠DBC，∠CDE 2．8cm3．米。
解析：地毯的长度为直角三角形两条直角边的和。
4．4cm。
解析：作PE⊥OA于点E，则PD=PE=2cm，易证△CPO为等腰三角形，则∠ACP=，所以PC=2PE=4cm。
特殊三角形-练习题(含答案)
特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。
2. 整数边长的直角三角形有__________组。
3. 锐角三角形的内角和为__________度。
4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。
5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。
三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。
解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。
2. 在等边三角形ABC中，边长为6。
连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。
解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。
四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。
结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。
特殊三角形常见的题目型
八年级上册第二章 特殊三角形一、将军饮马例 1 如图，在正方形 ABCD 中， AB=9，点 E 在 CD 边上，且 DE=2CE ，点 P 是对角 线 AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是（ ）A 、 3B 、 10 C、 9 D 、 9【变式训练】1、如图，在矩形 ABCD 中， AD=4，∠ DAC=30°，点 P 、E 分别在 AC 、 AD 上，则 PE+PD 的最小值是（）2、如图，∠ AOB=30°， P 是∠ AOB 内一定点， PO=10， C ，D 分别是 OA ，OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小 值为3、如图，∠ AOB=30°，C ，D 分别在 OA ，OB 上，且 OC=2，OD=6，点 C ，D 分别是 AO ，BO 上的动点， 则 CM+MN+DN最小值为4、如图， C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B ，D 作 AB ⊥BD ，DE ⊥ BD ，连结 AC ，CE ．（1）已知 AB=3，DE=2， BD=12，设 CD=x ．用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长； （2）请问点 C 满足什么条件时， AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； （3）根据（ 2）中的规律和结论， 请构图求出代数式 的最小值二、等腰三角形中的分类讨论例 2（ 1）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm ，则它的周长为（ 2）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm ，则它的腰长为 （ 3）已知等腰三角形的周长为 28cm 和 8cm ，则它的底边为 【变式训练】1、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm ，则周长为2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，则它的各个内角的度数为3、已知等腰三角形的一个外角等于 150°，则它的各个内角的度数为4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°，则它的各个内角的度数5、已知等腰三角形底边为 5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm ，则腰长为6、在三角形 ABC 中， AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 40°，则底角∠ B 的A 、2 、2第 1 题 D、4第2题M D B第3题度数为7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置三、两圆一线定等腰例 3 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△ AOP是等腰三角形，则这样的点P 共有个【变式训练】1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数为（）A．5 B ．6 C ．7 D ．82、在平面直角坐标系中，若点A（2，0），点B（0，1），在坐标轴上找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，这样的点 C 可以找到个．3、在坐标平面内有一点A（2，），O为原点，在x 轴上找一点B，使O，A， B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出 B 点坐标4、平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，-3），试在y 轴上找一点P，使△ APB为等腰三角形，求点P的坐标5、如图1，已知一次函数分别与x、y 轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x 轴负半轴与点C，且OC=OB．1）求直线BC的函数表达式；2）如图2，若△ ABC中，∠ ACB的平分线CF与∠ BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠ AFC= ∠ ABC；P，使△ ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说A3）在x 轴上是否存在点明理由F 分别是 AD 、BC 的中点， M 在 DC 上，将△ ADM 沿折痕 AM 折叠，使点 D 折叠后恰好落在 EF 上的 P 点处． （1）求点 M 、 P 的坐标；（2）求折痕 AM 所在直线的解析式；（3）设点 H 为直线 AM 上的点，是否存在这样的点 H ，使得以 H 、A 、P 为顶点的三 角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．例 5 如图，在△ ABC 中， BD 、CE 分别是边 AC 、AB 上的高线． （1）如果 BD=CE ，那么△ ABC 是等腰三角形，请说明理由； （2）如果∠ A=60°，取 BC 中点 F ，连结点 D 、E 、F 得到△DEF ， 判断该三角形的形状，并说明理由；四、折叠问题例 4：如图，在矩形 ABCD 中， AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点 D 落在线段 BC 的点 F 处，则线段 DE 的长为变式训练】B 落在对角线 AC 的点 F 处，则线段 BE 的长3、如图，在矩形 ABCD 中， AB=6， ABCD 中， AB=6， A 、C 重合，若，则折痕 BC=8，沿 AC 将矩形折叠，使得点4、如图，将边长为 4 的正方形纸片， 置于平面直角坐标系内， EF 的长为B 落在点 E 处，则线段 EF 的长为顶点 A 在坐标原点， AB 在 x 轴正方向上， E 、 1、如图，在矩形ABCD 中， AB=6，2、如图，在矩形 BC=8，将矩形折叠，使得点BC=8，沿 EF 将矩形折叠，使3）如果点G 是ED的中点，求证：FG⊥DE变式训练】1、如图，点M是Rt△ ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥ QM．（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；（2）如图2，若P、Q 分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：△ ACD≌△ BCE；（2）填空：∠ AEB的度数为；拓展探究：如图2，△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，∠ ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．全等之三垂直( K 型图)例 1 如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE求证：AC=BF,BC=EF 1、如图，已知，AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF求证：AB=CE全等之手拉手模型例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ ABD和△ BCE，连接AE 与CD，证明：1)2)3) △ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。
初中数学 特殊三角形(经典+错题集)
GBCDAM NP CB12第二章 特殊三角形1、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。
2、△的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.3、有一个角60°的等腰三角形是等边三角形1、30%、如图，AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=16°，则∠GEF 的度数是______2、30%、已知等腰三角形的两边长为2和4，则这个等腰三角形的周长是_________3、30%、已知等腰三角形的两边长为3和4，则这个等腰三角形的周长是_________ 变式1、等腰三角形的一边等于5，一边等于12，则它的周长为（ ）A 、22B 、29C 、22或29D 、17变式2、等腰三角形的一个内角等于130 °，则其余两个角分别为__________变式3、等腰三角形的一个内角等于70 °，则其余两个角分别为____________________ 变式4、若等腰三角形的两个角的比是2：5，则底角的度数为_________()180213180231180212221)(2117=∠-∠=∠+∠=∠+∠∠=∠∠∠==D 、C 、B 、A 、BD ，AC ，AB ，、思维题之间关系满足与那么如图已知()的度数等于则且如图EDC AD ，AE ，BAD AC ，，AB 、∠==∠=α25方程思想αα234111D 、C 、、A 、6、如图,△ABC 中,∠ABC=100°,AM=AN,CN=CP,求∠MNP 的度数D C B AA A ″B ′(B ″)C lBE7、70%、如图，已知：△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求：∠EDF 的度数。
8、100%、如图，把直角边长为1cm 的等腰 直角三角形ABC 的直角边AC 放在定直线l 上转动两次，使它转到△A ″B ″C ″的位置，则顶点A 运动到A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是__________cm2。
特殊三角形(压轴必刷30题)—2024学年八年级数学上册同步讲义(浙教版)(解析版)
特殊三角形（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．全等三角形的判定与性质（共1小题）1．（2022秋•南昌期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°．（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE＝∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B＝∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；（2）①由（1）的结论即可得出α+β＝180°；②同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC；∴∠CAE＝∠BAD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠B＝∠ACE；∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝∠BCA+∠B＝180°﹣∠BAC＝90°；故答案为90°；（2）①由（1）中可知β＝180°﹣α，∴α、β存在的数量关系为α+β＝180°；②当点D在射线BC上时，如图1，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴α+β＝180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝∠ABD﹣∠ACB＝∠BAC＝α，∴α＝β．【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．二．等腰三角形的性质（共7小题）2．（2022秋•拱墅区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝12，则AF＝．【分析】过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，先证得△DEG≌△DEC（AAS），运用勾股定理可得AB＝10，利用面积法可求得：DK＝，BH＝，EM＝EN＝，AE＝，EF＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝×12＝6，∠BAD+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠C，∵EF⊥AB，∴∠BAD+∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠AGF＝∠C，∵∠AGF＝∠DGE，∴∠DGE＝∠C，∵DE平分∠ADC，EM⊥CD，EN⊥AD，∴EM＝EN，∠EDG＝∠EDC，在△DEG和△DEC中，，∴△DEG≌△DEC（AAS），∴DG＝CD＝6，∵AG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+6＝8，在Rt△ABD中，AB＝＝＝10，∴AC＝AB＝10，∵AC•DK＝AD•CD，∴10DK＝8×6，∴DK＝，∵AC•BH＝BC•AD，∴10BH＝12×8，∴BH＝，∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD，∴AD•EN+CD•EM＝AD•CD，∴4EN+3EM＝24，∵EN＝EM，∴7EN＝24，∴EN＝，∴EM＝EN＝，∵DK•AE＝AD•EN，∴AE＝8×，∴AE＝，∵AB•EF＝AE•BH，∴10EF＝×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，全等三角形的判定和性质等，综合性强，有一定难度，添加辅助线作三角形的高，运用面积法是解题关键．3．（2022秋•金华期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°；试求∠B和∠C的度数．【分析】由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵AB＝AD，在三角形ABD中，∠B＝∠ADB＝（180°﹣30°）＝75°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝37.5°．∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内4．（2022秋•余杭区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CE相等吗？为什么；（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△EBC，根据全等三角形的性质即可得出AD＝CE；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC＝75°，由三角形的内角和以及角平分线的定义得出∠DBC＝∠ABD＝30°，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解；（3）根据等腰三角形的性质可得∠BCD＝∠BDC，由角平分线的定义得∠DBC＝∠ABD，再根据全等三角形的性质和三角形的内角和得∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，由∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α和三角形的内角和即可得出结论．【解答】解：（1）AD＝CE，理由：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（3）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（2022秋•隆回县期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC 上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【分析】（1）CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠B＝∠C＝y，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．（2022秋•岳阳县校级期中）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°．（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°．（3）通过（1）（2）题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）．（4）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．7．（2022秋•余姚市校级期中）若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．（3）若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为（2x﹣20）°试求此三角形各内角度数．【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角的度数．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，∴a＝3 b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；（2）当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；综上可知等腰三角形的周长为10或11；（3）当底角为x°、顶角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此时三个内角分别为50°、50°、80°；当顶角为x°、底角为（2x﹣20）°时，则根据三角形内角和为180°可得：x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此时三个内角分别为44°、68°、68°；当底角为x°、（2x﹣20）°时，则等腰三角形性质可得：x＝2x﹣20，解得x＝20，此时三个内角分别为20°、20°、140°；综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．8．（2022秋•金华期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD为△ABC的角平分线；（1）若AB＝BD，则∠A的度数为°（直接写出结果）；（2）如图1，若E为线段BC上一点，∠DEC＝∠A；求证：AB＝EC．（3）如图2，若E为线段BD上一点，∠DEC＝∠A，求证：AB＝EC．【分析】（1）如图1中，设∠C＝x．则可证∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形内角和定理，构建方程求出x 即可解决问题；（2）证明△ABD≌△ECD（AAS），可得结论；（3）如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．证明△ABD≌△ECT（AAS），可得结论．【解答】（1）解：如图1中，设∠C＝x．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝2x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝2x＝72°，故答案为：72．（2）证明：如图1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC．（3）证明：如图2中，延长BD到T，使得CD＝CT．∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，∵BD＝CD，∴BD＝CT，在△ABD和△ECT中，，∴△ABD≌△ECT（AAS），∴AB＝EC．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．三．等腰三角形的判定（共3小题）9．（2022秋•泗洪县期中）如图，已知直线OM垂直于直线ON，点A在直线OM上，且∠OAB＝30°，点B在直线ON上，在直线OM或直线ON上找一点C（与A、B不重合），使△ABC成为一个等腰三角形，这样的点C能找到个．【分析】分两种情况讨论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可求解．【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线，分别与AO，线段BO的延长线相交，共两个交点，都符合题意；（2）当AB是腰时①以A圆心AB长为半径画圆交直线OM于两点，交线段BO延长线于一点（该点与前面的点重合）②以B圆心AB长为半径画圆交直线ON于两点（有一个点与前面的点重合），交线段AO延长线于一点，有两个交点符合题意，因此这样的点C能找到6个，使△ABC成为等腰三角形．故答案为：6．【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．10．（2022秋•涟源市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．11．（2022秋•江干区校级期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）12．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠P AC的数量关系式．【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据三角形的周长公式即可得到结论；（2）根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∴∠F AP＝∠P AC，∴∠F AC＝2∠P AC，∵∠F AC+∠BAC＝180°，∴2∠P AC+∠BAC＝180°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2022秋•房县期中）如图，A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC，等量代换得到∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；②根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，等量代换得到AC＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC，求得∠ACD＝∠DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由于∠BDC+∠DBC＝∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，由∠BAC+∠ABC＝∠ACE，于是得到∠DC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，即可得到结论．【解答】解：（1）①∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，由①知AB＝AD，又∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ACD＝∠DCE，∴CD平分∠ACE；（2）∠BDC＝∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∵∠BDC+∠DBC＝∠DCE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∴∠BDC+∠ABC＝∠ABC+∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．五．勾股定理（共8小题）14．（2022秋•镇海区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP＝BQ，由BQ＝2t，BP＝8﹣t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时，则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】解：（1）∵BQ＝2×24（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或1213.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．15．（2022秋•嵊州市期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝4，BO＝6．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设DE交直线BC于点F，连结OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则BD的长为（直接写出所有结果）．【分析】（1）由勾股定理即可计算；（2）①分两种情况：AO＝OE或AO＝AE，由等腰三角形的性质和判定，余角的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解；②分两种情况：点D在线段OB上时或点D在线段OB延长线上时，由余角的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形面积公式，即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AO+BO＝4+6＝10，∴BC＝AB＝10，∵CO⊥AB，∴CO＝＝＝8，∴AC＝＝＝4；（2）①当AO＝OE时，∴∠A＝∠AEO，∵∠OED+∠AEO＝∠ODE+∠A＝90°，∴∠ODE＝∠OED，∴OD＝OE＝AO＝4；当AO＝AE时，∵∠A＝∠A，∠AOC＝∠AED＝90°，∴△AED≌△AOC（ASA），∴AD＝AC＝4，∴OD＝AD﹣AO＝4﹣4，②当点D在线段OB上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：3，∵BC＝10，∴BF＝，∵BC＝BA，∴∠A＝∠BCA，∵∠EDA+∠A＝90°，∠BDF＝∠EDA，∴∠BDF+∠A＝90°，∵∠BFD+∠BCA＝90°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF＝，当点D在线段OB的延长线上时，∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴BF：CF＝1：4，∴BF：BC＝1：5，∵BC＝10，∴BF＝2，同理可证：∠D＝∠DFB，∴BD＝BF＝2．故答案为：或2．【点评】本题考查勾股定理，三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，关键是熟练掌握以上知识点，并注意解题时分情况讨论．16．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．17．（2022秋•闵行区期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方．因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长．例如：在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由定理得AC2+BC2＝AB2，代入数据计算求得AB＝5．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，∠C＝90°，AB∥CD，AB＝5，CD＝11，AC＝8，点E是BD的中点，那么AE的长为．【分析】作EG⊥AC，垂足为G．根据△ABF∽△CDF，求出AF＝AC＝×8＝，FC＝，然后利用勾股定理求出BF，DF，然后求出EB，EF．根据△ABF∽△GEF，求出EG、FG，然后利用勾股定理求出AE的长．【解答】解：作EG⊥AC，垂足为G．∵AB∥CD∴△ABF∽△CDF，∴＝，∵AB＝5，DC＝11，∴＝，∴AF＝AC＝×8＝；∴FC＝8﹣2.5＝，∴BF＝＝，DF＝＝，∴EB＝×（+）＝4，∴EF＝4﹣＝．易得，△ABF∽△GEF，∴，，∴，，∴EG＝3，FG＝，∴AG＝+＝4，在Rt△AEG中，AE＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．18．（2022秋•莲都区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12（cm），易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝10（cm），∴CQ＝AQ＝AC＝5（cm），∴BC+CQ＝11（cm），∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2则BC+CQ＝12（cm），∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．19．（2022秋•江干区校级期中）如图，△ABC中，BA＝BC，CO⊥AB于点O，AO＝6，BO＝9．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设直线DE交直线BC于点F连结OF，CD，若S△OBF：S△OCF＝1：4，则CD的长为（直接写出结果）．【分析】（1）根据BA＝BC可得BC的长，分别根据勾股定理可得OC和AC的长；（2）①分两种情况：AO＝OE和AO＝AE时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，如图3，过B作BG⊥EF于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得＝，可得BF＝5，证明△BDF是等腰三角形，得BD＝BF＝5，最后利用勾股定理可得结论；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，同i）计算可得结论．【解答】解：（1）∵AO＝6，BO＝9，∴AB＝15，∵BA＝BC，∴BC＝15，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，由勾股定理得：CO＝＝＝12，AC＝＝＝6；（2）①分两种情况：i）当AO＝OE＝4时，过O作ON⊥AC于N，如图1所示：∴AN＝EN，∵DE⊥AC，∴ON∥DE，∴ON是△ADE的中位线，∴OD＝AO＝6；ii）当AO＝AE＝4时，如图2所示：在△CAO和△DAE中，，∴△CAO≌△DAE（ASA），∴AD＝AC＝6，∴OD＝AD﹣AO＝6﹣6；综上所述，OD的长为6或6﹣6；②分两种情况：i）当D在线段OB上时，过B作BG⊥EF于G，如图3所示：∵S△OBF：S△OCF＝1：4，∴＝，∴＝，∵CB＝15，∴BF＝5，∵EF⊥AC，∴BG∥AC，∴∠GBF＝∠ACB，∵AE∥BG，∴∠A＝∠DBG，∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∴∠DBG＝∠GBF，∵BG⊥DF，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝5，∴OD＝OB﹣BD＝9﹣5＝4，∴CD＝＝＝4；ii）当D在线段OB的延长线上时，过B作BG⊥DE于G，如图4所示：同理得：＝，∵BC＝15，∴BF＝3，同理得：△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF＝3，∴OD＝BO+BD＝9+3＝12，Rt△COD中，CD＝＝＝12；综上所述，CD的长为4或12，故答案为：4或12．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明△BDF是等腰三角形是解题的关键．20．（2022秋•上城区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．【分析】（1）要证明△BCE≌△DCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DE+BE＝AD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）CE＝CF（角平分线的性质）∵BC＝CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）解：由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF＝EB，设DF＝EB＝x，∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，CE＝CF，AC＝AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF＝AE即：AD+DF＝AB﹣BE∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x∴9+x＝21﹣x解得，x＝6在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10∴CF＝8∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289∴AC＝17答：AC的长为17．【点评】（1）掌握全等三角形的判定方法，能够根据已知条件探求需要的边相等或角相等；（2）注意线段的等量代换，熟练运用勾股定理．21．（2022秋•江阴市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）按要求作出草图，并求∠ADE＝；（直接写出结果）（2）当AB＝3，AC＝5时，求△ABE的周长．【分析】（1）根据题意作出图形；根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示．∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE＝90°．故答案为：90°；（2）∵MN是线段AC的中垂线，∴EA＝EC，在Rt△ABC中，BC＝，∴C△ABE＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝3+4＝7．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．六．作图-轴对称变换（共5小题）22．（2022秋•滨江区校级期中）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．【解答】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠C＝90°，∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．（2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，∴CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，分类如下：①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．③DE＝BE时，则∠B＝（）°，由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+，此方程无解．∴DE＝BE不成立．综上所述∠B＝45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．23．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．【点评】此题主要考查了轴对称变换以及最短路径求法，正确得出对应点位置是解题关键．24．（2022秋•城阳区期中）（1）在下面的平面直角坐标系中画△ABC，使△ABC各顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（﹣2，0），C（0，﹣2）；（2）使ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘﹣1，得△A1B1C1，画出△A1B1C1并说明△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系？【分析】（1）直接利用A，B，C各点的坐标画出三角形即可；（2）利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键．25．（2022秋•泸县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（2）写出点A1，B1，C1的坐标．（3）求出△ABC的面积．。
特殊三角形(直角三角形)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:问题2：30。
角所对的直角边是直角三角形斜边上的中线等于BC = -AB问题3：已知：如图，在RtA ABC中，ZC=90°, ZA=30°.求证：2.你是怎么思、考的？特殊三角形（直角三角形）人教版一、单选题（共9道，每道□分）2.如图,在RtA ABC中，ZACB=90°, AB=4, CD是AB边上的中线,则CD的长为（A.lB.2C.3D.8答案:B解题思路：在Rt△九BC中，Z.4C5=90°, CD是九8边上的中线, 可知CD = ^AB f '：AB=4, ；・CD=2・故选B.试题难度：三颗星知识点：直角三角形2.如图是屋架设计图的一部分，其中ZA=30°,点D 是斜梁AB 的中点，BC, DE 垂直于横梁 AC, AB=16m,则 DE 的长为（ ）答案:B解题思路：•：BC, QE 垂直于横梁川C,・•・乙DEA=/BCA=9y,・・・D 为斜梁九8的中点，九8=16,・•・ ZD = ±13=1x16 = 8, 2 2在 Rt △且DE 中，Z.4=30°, AD=8・•・ Z)£=l.W=-x8 = 4(m)・ 2 2故选B.3.如图，在RtA ABC 中，ZACB=90°, D 是AB 的中点，过点C 作EF 〃AB, 若ZBCF=35°,则ZACD 的度数是（）A.65°C.45°D.35°难度：三颗星知识点：直角三角形A.2mB.4mC.6mD.8mB.55°答案：B解题思路：\'EFl)AB f・•・乙B=ZBCFT 乙BCF=3T・・・Z5=35°在RtAACB中，仞是斜边•站上的中线/. CD=BD•I ZBCD=/B=35。
•・• Z-4C5=90°・•・ZACD=ZACB-ZBCD=55O故选B・试题难度：三颗星知识点：直角三角形4.如图，在△ABC44, ZA=60°, BE±AC,垂足为E, CF丄AB,垂足为F, BE, CF交于点M.若CM=4, FM=5,则BE 等于（）A.14B.13C.12D.9答案：C解题思路：如图,答案:C 解题思路:\'BE1AC, CF1AB, ・・・ZQFW90。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
特殊三角形练习题(含答案).doc
特殊三角形综合练习卷一、选择题(每小题 3 分，共30 分)1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A ．线段B．等腰三角形C．直角三角形D．圆2．若等腰三角形的两边长分别为 4 和9，则周长为( )A ．17 B．22 C．13 D．17 或223．如果三角形一边上的高平分这条边所对的角，那么此三角形一定是( )A ．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角板拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( )A ．4 B．3 C．2 D．15．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°，BD ⊥AC ，DE⊥BC，D，E 为垂足，下列结论正确的是( )A ．AC=2AB B．AC=8EC C．CE= 1 BD D．BC=2BD26．有四个三角形，分别满足下列条件：(1)一个角等于另外两个内角之和；(2)三个内角之比为3：4：5；(3)三边之比为5：12：13；(4)三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有( )A ．1 个B．2 个C．3 个D．4 个7．如图，EA ⊥AB ，BC⊥AB ，AB=AE=2BC ，D 为AB 的中点，有以下判断：①DE=AC ；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF= ∠ADE ．其中正确结论的个数是( )A ．1 B．2 C．3 D．48．如图，以点A 和点 B 为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A ．2 个B．4 个C．6 个D．8 个2=MB 2 9．如图所示，已知△ABC 中，AB=6 ，AC=9 ，AD ⊥BC 于D，M 为AD 上任一点，则MC等于( )A ．9 B．35 C．45 D．无法计算10．若△ABC 是直角三角形，两条直角边分别为 5 和12，在三角形内有一点D，D 到△ABC 各边的距离都相等，则这个距离等于( )A ．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每小题 4 分，共24 分)11．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的 3 倍，那么底角的度数是________．12．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，那么腰AC 的长为__________．13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条小路，他们仅仅少走了_______步路，(假设 2 步为1m)，却踩伤了花革．14．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，BC=12cm ，AC=13cm ，那么AC 边上的中线BD 的长为______cm．15．已知，如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E，使CE=CD ，不添加辅助线,请你写出三个正确结论：(1)____________ ；(2)_____________；(3)_____________ ．16．已知，如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0，E，F 分别是边AD ，DC 上的点，若AE=4cm ，FC=3cm，且0E⊥0F，则EF=______cm．三、解答题(共66 分)17．(6 分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 边上，DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF ．18．(6 分)如图，已知∠AOB=30°，0C 平分∠AOB ，P 为OC 上一点，PD∥0A 交OB 于D，PE⊥OA 于E，如果OD=4 ，求PE 的长.19．(6 分)如图，△ABC 是等边三角形，ABCD 是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD 的度数．20．(8 分)如图，E 为等边三角形ABC 边AC 上的点，∠1=∠2，CD=BE ，判断△ADE 的形状．21．(8 分)如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ．求∠EDF 的度数．22．(10分)如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．都是等边(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．23．(10分)如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点分别在相互平行l1,l2,l3上，且l1,l2之间的距离为2，l2,l3之间的距离为3，求AC的长．的三条直线24．(12分)如图(1)所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．说明：(1)BD=DE+EC：(2)若直线A E绕点A旋转到图(2)位置时(BD＜CE)，其他条件不变，则B D与DE，EC果，不必写过程．写出结的关系又怎样?请(3)若直线A E绕点A旋转到图(3)时(BD＞CE)，其余条件不变，问B D与DE，CE的关果．系如何?请直接写出结参考答案第2章水平测试1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C l0．A ll．36°12．6cm 或12cm 13．4 14．6.5 l5．解：答案不唯一，∠E=30°，∠ABD= ∠DBC=3°0，BD ⊥AC等l6．5 17．解：BD=CE 或BE=CF说明△BDE≌△CDF 18．解：作PF⊥OB 于F，∴PF=PE ∵OC 平分∠AOB ∴∠l= ∠2 ∵PD∥0A ∴∠2=∠3 ∴∠l=∠3∴PD=OD=4 ∴PE=PF= 1 PD=2219．解：∵△ABC 是等边三角形∴AC=BC ∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=9°0∴BC=CD ∴AC=CD ∴∠CAD= ∠ADC= 180 A =2 180 302=75°∴∠BAD= ∠CAD+ ∠BAC=75°+60°= l35 2°0．解：∵△ABC为等边三角形∴A B AC1 △ABE ≌△ACD ∴AE=AD ∴∠DAE= ∠BAC=60°∴△ADE为等边三角形2CD BE21．解：∵BD=BE ∴∠l=∠2= 180 B ∵CD=CF ∴∠3=∠4=2 180 C2∵∠EDF+∠2+∠3=180°∴∠EDF=180°-(∠2+∠3)= 180 °-（180 B +2 1803 ）=212（∠B+∠C）= 1 (180 °-∠A)=2 1 （180°-80°）=50°222．解：(1) ∵△ABC 和△CDE 都是正△∴BC=AC ，∠BCE= ∠ACD=120°CE=CD ∴△BCE≌△ACD(SAS)(2)∵△BCE≌∠ACD ∴∠CBF= ∠CAH 又∵BC=AC ，∠BCF= ∠ACH=6°0∴△BCF≌∠ACH(ASA) ∴CF=CH(3) △CFH 是等边三角形，理由：∵CF=CH ，∠FCH=60°∴△CFH 是等边三角形23．解：分别过A ，C 作AE ⊥l3，CD⊥l 3，垂足分别为E ，D 由题意可知AE=3 ，CD=2+3=5 又∵AB=BC ，∠ABE= ∠BCD2∴Rt△AEB ≌△CBD(AAS) ∴AE=BD=3 ∴CB=BD 2=AB 2+CB2=34×2=68 ∵AC＞0 ∴AC= 68 = 2 17∴AC 2+CD2 2 2=3 +5 =3424．解：(1) ∵△ABC为等腰直角三角形∴∠BAE+ ∠EAC=90°∵BD⊥AE ，CE⊥AE∴∠ADB= ∠AEC=90°∠BAE+ ∠ABD=90°∴∠EAC=∠ABD ∵AB=AC ∴△ABD ≌△CAE∴BD=AE ，AD=EC ∴BD=AD+DE=EC+DE (2)BD=EC+DE 仍成立(3)BD=EC+DF 仍成立。
特殊三角形经典习题
特殊三角形回顾一、选择题1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）A 17B 22C 17或22D 132、等边三角形的对称轴有 （ ） A 1 条 B 2条 C 3条 D 4条3、 以下列三个数为边长的三角形能组成直角三角形的是 （ ） A 1, 1 ,2 B 5, 8 10 C 6 ,7 ,8 D 3 ,4 ,54、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 （ ）A 中线上B 角平分线上C 高线上D 不能确定5、 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是 （ ）A 两个锐角对应相等B 一条边和一个锐角对应相等C 两条直角边对应相等D 一条直角边和一条斜边对应相等6、等腰三角形的一个顶角为40º，则它的底角为（ ） （A ）100º （B ）40º （C ）70º （D ）70º或40º7、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ） （A ）∠A=30º、∠B=60º （B ）∠A=50º、∠B=80º（C ）AB=AC=2，BC=4 （D ）AB=3、BC=7，周长为13 8、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60º，那么这个三角形一定为（ ）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形 9、如上图∠B C A =90，C D ⊥A B ，则图中与∠A 互余的角有（ ）个 A ．1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个10、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）（A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个 11.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC 为（ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）以上都有可能12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）线段 （B ）角 （C ）等腰三角形 （D ）直角三角形13．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两边长都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（ ）（A ）1cm （B ）2cm （C ）3cm （D ）4cm14．具有下列条件的2个三角形，可以证明它们全等的是（ ） （A ）2个角分别相等，且有一边相等; （B ）3个角对应相等;（C ）2边分别相等，且第三边上的中线也相等; （D ）一边相等，且这边上的高也相等DCBA15．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于D ，AB=a ，则DB 等于（ ） （A ）2a （B ）3a （C ）4a （D ）以上结果都不对16．如图4所示，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（ ）（A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70°BADC EB 'B ACA 'AD C(4) (5) (6)17．一个三角形中，一条边是另一条边的2倍，并且有一角是30°，•那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）钝角三角形（C ）可能是锐角三角形 （D ）以上说法都不对18．如图5所示，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：10，又△A ′B ′C•′≌△ABC ，•则∠BCA ′：∠BCB ′等于（ ）（A ）1：2 （B ）1：3 （C ）2：3 （D ）1：419．如图6所示，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=3，BC=5，则DC 的长度是（ •）（A ）85 （B ）45（C ）165（D ）22520．如图所示，已知△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2-MB 2•等于（ ）（A ）9 （B ）35 （C ）45 （D ）无法计算21. 一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ，那么梯子的顶端距墙脚的距离是 ( )A. 0.7mB. 0.9mC. 2.4mD. 2.5m22. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，∠C=90°，且c 2=2b 2，则这个三角形有一个锐角为 ( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°23. 有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为3∶4∶5；B A DC M(3) 三边之比为5∶12∶13； (4) 三边长分别为7、24、25.其中直角三角形有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 24、下列数组中，是勾股数的是 （ ）(A) 1，1，3 (B) 5,3,2 (C) 5.0,3.0,2.0 (D) 31，41，5125、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ).A.1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍26、在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是（ ）（A ）42 (B)32 (C)42或32 (D)37或33.27、等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为（ ） A ．2 B 。
特殊三角形(习题及答案)
特殊三角形（习题）➢例题示范例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E 在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°．求证：△AEF是等边三角形．【思路分析】①读题标注：60°60°60°FED CBA②梳理思路：要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和△ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°，∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．【过程书写】证明：如图，连接AC．∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD∴△ABC和△DAC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF∵∠EAF=60°∴∠2+∠3=60°∴∠1=∠2∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AE=AF∴△AEF是等边三角形➢巩固练习1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE，则∠BED的度数为________．FED CBA321 60°60°60°FED CBADEC BA2. 如图，在△ABC 的外部，分别以AB ，AC 为直角边，点A 为直角顶点，作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，CD 与BE 交于点P ，则∠BPC 的度数为________．PEDC B A3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，DE 是线段AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若DE =2，则AC 的长是________．ED CB A 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 在BC 上，E 为AB 的中点，AD ，CE 相交于F ，且AD =DB ．若∠B =20°，则∠DFE 的度数为________．FEDC BA5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =15°，过C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ．求证：AB =2CD ．DCBA6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，F 为BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ． 求证：∠FED =∠FDE ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC的中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．G F ED C B A F EDA➢思考小结1.在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑30°角所对的直角边是___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形_____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形___________．2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质：如图，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，如果从等腰的角度出发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑_____________________________，可以得到CD=______．综上可得，对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到：CD=______=_______．CD【参考答案】1.45°2.90°3. 64.60°5.证明：如图∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B=15°∴∠ACB=15°∵∠DAC是△ABC的一个外角，∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° ∵CD ⊥AB ∴∠D =90°在Rt △ADC 中，∠D =90°，∠DAC =30°∴CD =12AC∴CD =12AB即AB =2CD 6. 证明：如图∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90° ∵F 是BC 的中点∴DF =12BC ，EF =12BC∴DF =EF ∴∠FED =∠FDE 7. 证明：如图，连接DE ．∵AC=BC ，∠ACB=90° ∴∠A =45° ∵CD ⊥AB ∴∠ADC =90°，AD =12AB ∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE ∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩321GFE DCBA∴△AEF≌△DEG（ASA）∴EG=EF思考小结：1. 斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一2. 三线合一，BD，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，1AB，AD，BD2。
第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练(12大题型)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第10讲 特殊三角形72道压轴题型专项训练（12大题型）【题型目录】压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题压轴题型四 等腰三角形中的动点问题压轴题型五 等边三角形中的动点问题压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线）压轴题型七 直角三角形中的动点问题压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题压轴题型九 用勾股定理解三角形压轴题型十 勾股定理与折叠问题压轴题型十一 勾股定理的应用压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题【压轴题型一 图形的轴对称、折叠等压轴问题】1．在三角形纸片ABC 中，9022A C Ð=°Ð=°，，点D 为AC 边上靠近点C 处一定点，点E 为BC 边上一动点，沿DE 折叠三角形纸片，点C 落在点C ¢处．有以下四个结论：①如图1，当点C ¢落在BC 边上时，44ADC ¢Ð=°；②如图2，当点C ¢落在△ABC 内部时，44ADC BEC ¢¢Ð+Ð=°；③如图3，当点C ¢落在△ABC 上方时，44BEC ADC ¢¢Ð-Ð=°；④当C E AB ¢∥时，34CDE Ð=°或124CDE Ð=°，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC V 中，BD 平分ABC Ð交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上一动点，AB BD >且10ABC S =△，5AB =，则CM MN +的最小值为 ．3．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD ，如图1，点E 在边AD 上，点F ，G 分别在边AB ，CD 上，分别沿EF ，EG 把A Ð，D Ð向内折叠并压平，点A ，D 分别落在点A ¢和点D ¢处．小明同学的操作如图2，点D ¢在线段EA ¢上；小红同学的操作如图3，点A ¢在EG 上，点D ¢在EF 上．(1)在图1中，若110FEG Ð=°，求A ED ¢¢Ð的度数；(2)直接写出图2和图3中FEG Ð的度数；(3)若折叠后(0)A ED n n ¢¢Ð=°¹， 求FEG Ð的度数(用含n 的代数式表示)．4．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在点C ¢、D ¢的位置，C D ¢¢交BC 于点G ，再将C FG ¢△沿FG 折叠，点C ¢落在C ¢¢的位置（C ¢¢在折痕EF 的左侧）．(1)如果65FED =°¢Ð，求EFC Ð的度数；(2)如果40AED ¢Ð=°，则EFC ¢¢Ð=________°；(3)探究EFC Т¢与AED ¢Ð的数量关系，并说明理由．5．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F 在边BC 上，点E ，G 在其它三边上，FE 和FG 为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现B FC ¢¢Ð随着点E ，G 的位置变化而变化，为了研究方便，把BFE Ð记为a ，CFG Ð记为b ．(1)如图1，当30,40a b =°=°时，求B FC ¢¢Ð的度数．(2)如图2，当点F ，B ¢，C ¢在同一直线上（即0B FC ¢¢Ð=°）时，探究a 和b 的数量关系，并说明理由．(3)在EFG Ð和B FC ¢¢Ð中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求a b +的度数．6．数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明．【探究一】如图1，在Rt ABC △中，90C Ð=°，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．同学们发现，若3cm CD =，16cm AB BC +=，借助ABC ABD BCD S S S =+△△△，可以计算出ABC V 的面积．请你完成填空：ABC S =V __________2cm ；【探究二】在“图1”的基础上，过点E 作BED Ð的平分线交BD 于点P ，连接AP ，如图2．同学们发现，沿直线AP 折叠这个三角形，BAP Ð与CAP Ð重合，即AP 是CAB Ð的角平分线．请你证明：AP 平分CAB Ð；【探究三】在“图2”的基础上，过点P 作PH AB ^于点H ，如图3．同学们通过测量发现，AH 与BH 的积是AC 与BC 的积的一半．请你证明：12AH BH AC BC ×=×．【压轴题型二 等腰三角形的性质与判定压轴问题】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD ，BE 是ABC V 的两条中线，5AD =，6BE =，P 是AD 上的一个动点，连接PE ，PC ，则PC PE +的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．ABC V 中，若过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC V 的关于点B 的二分割线．例如：如图1，ABC V 中，90A Ð=°，20C Ð=°，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且20DBC Ð=°，则直线BD 是ABC V 的关于点B 的二分割线．如图2，ABC V 中，18C Ð=°，钝角ABC V 同时满足：①C Ð为最小角；②存在关于点B 的二分割线，则BAC Ð的度数为 ．3．如图，在ABC V 中，40AD BC B =Ð=°，，D 、E 为边AB 上的两点，且CD CE =，60BCD Ð=°，ADF △是等边三角形．(1)求证：CE BE =；(2)求CAD Ð的度数．4．我们知道：如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知ABC V 与DEC V 是等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD 、BE ．(1)如图1，当90BCE Ð=°时，求证：ACD BCE S S =V V ．(2)如图2，当0°BCE <Ð<90°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(3)如图3，在（2）的基础上，作CF BE ^，延长FC 交AD 于点G ，求证：点G 为AD 的中点．5．如图，AD 是ABC V 的角平分线，DE AC ^，垂足为,E BF AC ∥交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF Ð．(1)求证：CDE BDF △△≌；(2)若ABC V 的面积是18，3DF =，求AB 长．6．△ABC 和△DBE 都是以点B 为顶点的等腰直角三角形，90ABC DBE Ð=Ð=°．(1)如图1，当ABC V 和DBE V 如图摆放，连接,,CD AD CE ，其中AD 与CE 相交于点F ．那么AD 与CE 之间存在着怎样的位置关系，请说明理由；(2)如图2，当ABC V 和DBE V 如图摆放，F 为AC 的中点，连接,,AD CE FD ，并在FD 的延长线上取一点C ，连接CG ，使CG CE =．求证：FDA CGF Ð=Ð．【压轴题型三 等边三角形的性质与判定压轴问题】1．如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，ABD △，BCE V 均为等边三角形，连接AE 和CD ，AE 分别交CD 、BD 于点M ，P ，CD 交BE 于点Q ，连接PQ ，BM ，下面结论：①ABE DBC V V ≌；②60DMA Ð=°；③PBQ V 为等边三角形；④MB 平分AMC Ð；⑤30PEQ Ð=°．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，点C 在线段AB 上（不与点A 、B 重合），在AB 的上方分别作ADC △和BCE V ，且AC DC =，BC EC =，ACD BCE a Ð=Ð=连接AE ，BD 交于点P ，下列结论正确的是（填序号） ．AE BD =；②AD BE =；③180a Ð=-o APB ；④PC 平分DCE Ð；3．如图，在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)如图1，当E 为AB 的中点时，则AE ______DB （填“>”“<”或“=”）．(2)如图2，当E 为AB 边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，当点E 在AB 的延长线上时，若ABC V 的边长为2，3AE =，求CD 的长．4．如图1，在ABC V 中，,AB AC D =为线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合）．连接AD ，作DAE BAC Ð=Ð，且AD AE =，连接CE ．(1)求证：ABD ACE ≌△△．(2)当CE 平分ACF Ð时，若32BAD Ð=°，求DEC Ð的度数．(3)如图2，设()90180BAC a a Ð=°<<°，在点D 运动过程中，当DE BC ^时，DEC Ð=__________°．（用含a 的式子表示）5．如图，点O 是等边ABC V 内一点，D 是ABC V 外的一点，110AOB Ð=°，BOC a Ð=，BOC ADC V V ≌，60OCD Ð=°，连接OD ．(1)求证：OCD V 是等边三角形；(2)当150a =°时，试判断AOD △的形状，并说明理由；(3)当a =_________时，AOD △是等腰三角形．6．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，CDE V 是等边三角形，点D 在边AB 上．(1)如图1，当点E 在边BC 上时，求证DE EB =；(2)如图2，当点E 在ABC V 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；(3)如图1，当点E 在ABC V 外部时，EH AB ^于点H ，过点E 作GE AB P ，交线段AC 的延长线于点G ， 5AG CG =，1BH =．求CG 的长．【压轴题型四 等腰三角形中的动点问题】1．如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M 以2cm /s 的速度从树枝的A 点处出发沿树枝AB 方向向上爬行，另一只蚂蚁N 从O 点出发，以1cm /s 的速度沿树枝OC 方向爬行，如果AB OC ，足够长，12cm 60OA BOC Ð==°，，且两只蚂蚁同时出发，用()s t 表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O 恰好构成等腰三角形时，t 的值是（ ）A ．4sB ．12sC ．4s 或12sD ．4s 或12s 或16s2．如图，已知：在ABC V 中，8AC BC ==，120ACB Ð=°，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M Ð=°，30MPN Ð=°）按如图放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB a Ð=，斜边PN 交AC 于点D ．点P 在滑动时，a = 时，PCD △的形状是等腰三角形．3．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，已知3,4,5AC BC AB ===，点D 为AB 边上一点，连结CD 且AD CD =，动点P 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A C B --运动，到点B 运动停止，当点P 不与ABC V 的顶点重合时，设点P 的运动时间是t 秒．(1)用含有t 的代数式表示CP 的长；(2)求CD 的长；(3)当CDP △是以CD 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(4)在点P 的运动过程中，如果点P 到ABC V 的两条边距离相等，直接写出t 的值．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点M 从点B 出发沿BC 运动，同时，点N 从点A 出发沿线段CA 的延长线运动，点M ，N 的速度均为1cm /秒，点M 到达点C 时，两点停止运动．作MD AB ^于点D ，连接MN 交AB 于点E ．设点M ，N 的运动时间为t 秒．(1)当AEN △为等腰三角形时，求t 的值；(2)线段DE 的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由．5．已知ABC V 是等腰三角形，且AB AC =，点D 是射线BC 上的一动点，连接AD ，以AD 为腰在AD 右侧作等腰ADE V ，使AD AE =，DAE BAC Ð=Ð．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD CE =；(2)如图2，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 中点M ，连接ME ，且40DAE BAC Ð=Ð=°．当MEC V 为等腰三角形时，CME Ð的度数为______；(3)如图3，当点D 在线段BC 的延长线上，60ÐаDAE BAC ==时，在线段CA 上截取CF ，使CF CD AF =+，并连接EF ．求证：EF AC ^．6．如图，在()ABC BC AB >V 中，5AB AC ==，35B Ð=°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作35ADE Ð=°，DE 交线段AC 于点E ．(1)当125BDA Ð=°时，DEC Ð=______°，DAE Ð=______°．(2)当线段DC 的长度为何值时，ABD DCE ≌△△？请说明理由．(3)在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【压轴题型五 等边三角形中的动点问题】1．在ABC V 中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，CDE V 是等边三角形．点D 在AB 边上，点E 在ABC V 外部，EH AB ^于点H ，过点E 作GE AB ∥，交线段AC 的延长线于点G ，5AG CG =，3BH =，则CG 的长为（ ）A ．1B ．2CD 2．已知正方形ABCD ，点E 是边AD 上的动点，以EC 为边作等边三角形ECF ，连接BF ，交边DC 于点G ，当BF 最小时，CGF Ð= ．3．如图，在等边ABC V 中，8cm AB AC BC ===，点,M N 分别从点,A B 同时出发，沿三角形的边运动，当点N 第一次返回到达点B 时，,M N 同时停止运动．已知点M 的速度是1cm/s ，点N 的速度是2cm/s ．设点N 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，,M N 两点重合？(2)当t 为何值时，AMN V 为等边三角形？(3)当点,M N 在BC 边上运动时，是否存在时间t ，使得AMN V 是以MN 为底边的等腰三角形，若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，ABC V 中，12cm AB BC AC ===，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点M 的运动速度为1cm/s ，点N 的运动速度为2cm/s ．当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为(0)t t >．(1)当M 、N 两点重合时，求t 的值．(2)当AMN V 为等边三角形时，求t 的值．(3)点M 、N 运动过程中，点M 、N 能否与ABC V 中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t ，若不能请说明理由．5．如图1，以ABC V 的两边AB ，BC 为边向外作等边三角形ABD ，BCE ，连接CD ，AE ．(1)求证：AE CD =；(2)如图2，CD 与AE 交于点M ，连接BM ，探究AMB Ð的大小；(3)如图3，若AB c =，AC b =，BC a =，CD d =，射线BM 上是否存在一点P ，使ACP △也是等边三角形，若存在，试探究BP 满足的条件；若不存在，请说明理由．6．【初步感知】(1)如图1，已知ABC D 为等边三角形，点D 为边BC 上一动点（点D 不与点B ，点C 重合）．以AD 为边向右侧作等边ADE D ，连接CE ．求证：ABD ACE D D ≌；【类比探究】(2)如图2，若点D 在边BC 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明：①AB 与CE 的位置关系为： ；②线段EC 、AC 、CD 之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ABC D 中，3AB =，点P 是边AC 上一定点且1AP =，若点D 为射线BC 上动点，以DP 为边向右侧作等边DPE D ，连接CE 、BE ．请问：PE BE +是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【压轴题型六 直角三角形压轴问题（30度角、斜边中线）】1．如图，在ABC V 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AE 平分BAC Ð交BC 于点E ，BD AE ^交AE 延长线于点D ，DM AC ^交AC 的延长线于点M ，连接CD ．则下列结论：①=45ADC а；②12BD AE =；③BC CE AB +=；④2AC AB AM +=；⑤BD CD =其中不正确的结论有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上任意一点，连接AB ，AC ，作AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、BC 于点G 、H ，若16BGH ABC S S =△△，256HC =，则GH 的长为 ．3．如图，ABC V 为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ，BQ AD ^于Q ．(1)求证：ADC BEA V V ≌；(2)若4PQ =，1PE =，求AD 的长．4．在ABC V 中，BO AC ^于点O ，3AO BO ==，1OC =．(1)如图①，过点A 作AH BC ^于点H ，交BO 于点P ，连接OH ．①求线段OP 的长度；②求证：45OHP Ð=°；(2)如图②，若D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN DM ^交线段CA 的延长线于点N ，则BDM ADN S S -△△的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．5．已知AD 为等边ABC V 的角平分线，动点E 在直线AD 上（不与点A 重合），连接BE ．以BE 为一边在BE 的下方作等边BEF △，连接CF ．(1)如图1，若点E 在线段AD 上，且DE BD =，则CBF =∠______度．(2)如图2，若点E 在AD 的反向延长线上，且直线AE ，CF 交于点M ．①求AMC Ð的度数；②若ABC V 的边长为4，P ，Q 为直线CF 上的两个动点，且5PQ =．连接BP ，BQ ，判断BPQ V 的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．6．综合与实践：(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，90ACB Ð=o ，AC BC =，AD CD ^，BE CD ^，垂足分别为点D ，E ．请证明：=AD CE ．(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，90CDF Ð=o ，CD FD =，点A 是DF 上一动点，连接AC ，作90ACB Ð=o 且BC AC =，连接BF 交CD 于点G ．若1DG =，3CG =，请证明：点A 为DF 的中点．(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，90CDF Ð=o ，CD FD =，点A 是射线DF 上一动点，连接AC ，作90ACB Ð=o 且BC AC =，连接BF 交射线CD 于点G ．若4FD AF =，请直接写出CG DG 的值．【压轴题型七 直角三角形中的动点问题】1．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，8cm AB =，30B Ð=°，若点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点A 运动，点Q 从点A 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，设P 、Q 分别从点B 、A 同时出发，运动的时间为s 时，APQ △是直角三角形（ ）A ．2或2.3B ．3或2.3C ．2或3.2D ．3或3.22．如图，在ABC V 中，60,6ABC AB Ð=°=，D 是边AB 上的动点，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，将ADEV 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ，当BDF V 是直角三角形时，AD 的长为 ．3．如图，ABC V 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．(1)当点P 的运动速度是1cm /s ，点Q 的运动速度是2cm /s ，当Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当2t =时，判断BPQ V 的形状，并说明理由；(2)当它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？4．如图1，点P Q 、分别是边长为4cm 的等边ABC V 边AB BC 、上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ．(1)连接AQ CP 、交于点M ，则在P Q 、运动的过程中，CMQ Ð变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)试求何时PBQ V 是直角三角形？(3)如图2，若点P Q 、在运动到终点后继续在射线AB BC 、上运动，直线AQ CP 、交点为M ，则CMQ Ð变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．5．如图1，ABC V 是边长为5厘米的等边三角形，点P 、Q 分别从顶点A 、B 同时出发，沿线段AB 、BC 运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为(s)t ．(1)当运动时间为t 秒时，BQ 的长为______厘米，BP 的长为______厘米；（用含t 的式子表示）(2)当BPQ V 是直角三角形时，求t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P 、Q 在运动的过程中，CMQ Ð会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．6．如图：等边三角形ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，6AP =，Q 是射线PE 上的动点．(1)求证：ABD BCE V V ≌；(2)求APE Ð的度数；(3)若APQ △为直角三角形，求PQ 的值．【压轴题型八 直角三角形全等的判定压轴问题】1．如图，ABC V 的角平分线,AF BE 相交于点P ，若13,10AB AC BC ===，则AP PF的值为（ ）A ．135B ．125C ．52D ．22．如图，已知：四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，72ACB Ð=°，50ABC Ð=°，并且180BAD CAD Ð+Ð=°，那么BDC Ð的度数为3．夯实基础：（1）如图1，点P 是ABC Ð的角平分线上BD 的一点，PE AB ^于点E ，PF BC ^与点F ，有以下结论：①PE PF =；②BE BF =；③BPE BPF Ð=Ð，其中正确的是____________．理解应用：（2）图2，点D 是EOF Ð的平分线OC 上一点，点A ，点B 分别在边OE OF 、上，且180AOB ADB Ð+Ð=°，探究AD 与DB 之间有怎样的数量关系？并证明；拓展延伸：（3）如图3，点D 是EOF Ð的平分线OC 上一点，点A ，点B 分别在边OE OF 、上，DA DB =，且120EOF Ð=°，探究OA OB OD ，，之间有怎样的数量关系？并说明理由．4．如图，在ABC V 中，BD 是AC 边上的高线，已知2A CBD Ð=Ð．(1)如图1，证明：AB AC =；(2)点E 是AD 上一点，ABE CBD Ð=Ð．①若1BD DE BD ==,，如图2，求CD 的长；②延长AB 至点F ，使得CF BE =，如图3，证明：3F CBD ÐÐ=．5．如图1，已知ABC V ，90ACB Ð=°，45ABC Ð=°，分别以AB 、BC 为边向外作ABD △与BCE V ，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC Ð=Ð=°，连接DE 交AB 于点F ．(1)探究：AF 与BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．(2)如图2，若30ABC Ð=°，60ADB BEC Ð=Ð=°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，若ADB BEC m ABC Ð=Ð=Ð，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m 的值．6．如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC <，AD 是角平分线，DM DN ，分别是ABD △，ACD V 的高，点E 在DC 上，且DE DB =，动点F 在边AC 上（不包括两端点），连接FE FD ，．【问题感知】(1)填空：DM DN （填“>”，“=”或“<”）；【探究发现】(2)若FEB B Ð=Ð，小杰经过探究，得到结论：AFD EFD Ð=Ð．请你帮小杰证明此结论；【类比探究】(3)若180FEB B Ð+Ð=°，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；【拓展提升】(4)已知5AB =，1BM =，3DM =，若点E 关于DF 的对称点E ¢落在边AC 上，连接DE ¢，请直接写出AE D ¢V 的面积．【压轴题型九 用勾股定理解三角形】1．如图，30AOB Ð=°，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分AOB Ð，且6OP =，当PMN V 的周长取最小值时，MN 的长为（ ）A ．6B ．18C ．18D ．122．如图，ABC V 中，4AB =，BC =AC =P 为AC 边上的动点，当ABP V 是等腰三解形时，AP 的长为 ．3．在Rt ABC △中，已知90BAC Ð=°，AB AC >，点D 在射线BC 上，连接AD ，2ADB B Ð=Ð．(1)如图1，若AD 的垂直平分线经过点B ，求C Ð的度数；(2)如图2，当点D 在边BC 上时，求证：2BC AD =；(3)若2AC =，5BD CD =，请直接写出CD 的长．4．如图， Rt ABC △中，90ACB Ð=°，D 为AB 中点，点E 在直线BC 上（点E 不与点B ，C 重合），连接DE ，过点D 作^DF DE 交直线AC 于点F ，连接EF ．(1)如图1，当点F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系；(2)如图2，当点F 不与点A 重合时，请写山线段AF ，EF ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)若10AC =，6BC =，2EC =，请直接写出线段AF 的长．5．在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，过点C 作AB 的平行线l ，点P 是直线l 上异于点C 的动点，连接AP ，过点P 作AP 的垂线交直线BC 于点D ．(1)如图1，当点P 在点C 的右侧时，①求证：PA PD =；②试判定线段CA ，CD ，CP 之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；(2)若5AC AP ==，求线段BD 的长．6．综合与实践．数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．(1)2002年世界数学家大会（2002ICM ）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”，直接写出a b c ，，满足的等量关系为______，并利用图形的“等面积思想”加以证明．(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题．已知线段8AB =，点C 在线段AB 上，AC x BC y ==，思路是，如图3，在线段AB 的同侧构造了两个Rt ACD △和Rt 90BCE CAD CBE Ð=Ð=°V ，，令24AD BE ==，，利用勾股定理，得出CD CE ==“CD CE +最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程．(3)如图4，在ABC V 中，30CAB Ð=o ，点D E 、分别为AB BC 、上的动点，且2BD CE AC BC ===，，求AE CD +的最小值．【压轴题型十 勾股定理与折叠问题】1．如图，已知在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，2BC =，点 M ，N 在 AC 边上，将BCN △沿着BN 折叠，使点C 的对应点C ¢恰好落在AC 边上，将ABM V 沿着BM 折叠，使点A 的对应点A ¢恰好落在BC ¢的延长线上，则 BM A M¢ 的值为 （ ）A B C D2．如图，在ABC V 中，AB =12AC =，6BC =，将ABC V 折叠，得到折痕DE ，且顶点B 恰好与点A 重合，点C 落在点F 处，则CE 的长为 ．3．在四边形ABCD 中，90,10,8DAB B C D AB CD BC AD Ð=Ð=Ð=Ð=°====．(1)若P 为边BC 上一点，如图①将ABP V 沿直线AP 翻折至AEP △的位置，当点B 落在CD 边上点E 处时，求PB 的长；(2)如图②，点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ △沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点D ¢处，求DQ 的长．4．在数学实验课上，李同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt ABC △纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A 与B 重合，折痕为DE ．（1）如果 5.5cm AC =， 6.5cm BC =，可得ACD V 的周长为______；（2）如果:1:2CAD BAD ÐÐ=，可得B Ð的度数为______；操作二：如图2，李同学拿出另一张Rt ABC △纸片，将直角边AC 沿直线CD 折叠，使点A 与点E 重合，若10cm AB =，8cm BC =，请求出BE 的长．5．如图、ABC V 为一块直角三角形纸片，90C =o ∠．【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．（1）如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，C 的对应点为E ，若6cm,8cm AC BC ==，求CD 的长．【学以致用】（2）如图2，若将直角C Ð沿MN 折叠，点C 与AB 中点H 重合，点,M N 分别在AC ，BC 上，则,,AM BN MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．6．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角）【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片ABC 中，90C Ð=°，18AC =，12BC =，将其沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕与AC 交于点E ，求CE 的长；【深入探究】（2）如图2，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ¢处，BC ¢交AD 于E ，若4AB =，6BC =，求AE 的长；【拓展延伸】（3）如图3，在长方形纸片ABCD 中，10AB =，16BC =，点E 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AD 运动，把ABE V 沿直线BE 折叠，当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，直接写出运动时间t （秒）的值．【压轴题型十一 勾股定理的应用】1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON Ð=°．公路PQ 上A 处距O 点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以20米/秒的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．30秒2．某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向处，这艘渔船以每小时40海里的速度向正东方向航行，1小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30°方向处．则B 处与灯塔的距离BM 是 海里．3．如图，四边形ABCD 为某街心公园的平面图，经测量100AB BC AD ===米，CD =90B Ð=°．（1）求DAB Ð的度数；（2）若BA 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路BA 的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？4．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽1AB =丈，芦苇OC 生长在AB 的中点O 处，高出水面的部分1CD =尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC OE =， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD ；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽2AB a =， 芦苇高出水面的部分()CD n n a =<，则水池的深度OD()OD b =可以通过公式222a n b n-=计算得到．请证明刘徽解法的正确性．5．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ；A ．B ．C ．D ．（2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示2的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使1AB =，以原点O 为圆心，OB 长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C 表示的数是 ；（3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（BD ），已知门宽6尺，求竹竿长．6．如图，某区有A ，B ，C ，D 四个景点，景点A ，D ，C 依次在东西方向的一条直线上，现有公路AB AD BD DC ，，，，已知20km AB =，12km AD =，16km BD =，30km CD =．(1)通过计算说明公路BD 是否与AD 垂直；(2)市政府准备在景点B ，C 之间修一条互通大道（即线段BC ），并在大道BC 上的E 处修建一座凉亭方便游客休息，同时D ，E 之间也修建一条互通大道（即线段DE ），且DE BC ^．若修建互通大道BC DE ，的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC DE ，的总费用．【压轴题型十二 勾股定理中的最短路径问题】1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中9AB =，6BC =，5BF =，点M 在棱AB 上，且3AM =，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（ ）A ．10BCD ．92．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm ，底面周长为12cm ，在容器内壁离容器底部7cm 的A 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm 的点B 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm ．3．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a 、b 、c ．显然，90DAB B Ð=Ð=°，AC DE ^．请用a 、b 、c 分别表示出梯形ABCD 、四边形AECD 、EBC V 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：ABCD S =梯形______，EBC S =△______，AECD S =四边形______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理222a b c +=．知识运用：（1）如图2，铁路上A 、B 两点（看作直线上的两点）相距40千米，C 、D 为两个村庄（看作两个点），AD AB ^，BC AB ^，垂足分别为A 、B ，25AD =千米，16BC =千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若40AB =千米，24AD =千米，16BC =千米，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC PD =，求出AP 的距离．+的最小值()016x <<．4．[提出问题]如图1，A ，B 是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点C ，使得这个点到点A ，B 的距离的和最短？[分析问题]如图2，若A ，D 两点在直线l 的异侧，则连接AD ，与直线l 交于一点，根据“两点之间线段最短”，可知该点即为点C ，因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B （或点A ）移到直线l 的另一侧的点D 处，且保证DC BC =（或DC AC =）即可．。
特殊三角形专题练习
特殊三角形专题练习一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是（）A ．x＞12B．x＜6 C．6＜x＜12 D．0＜x＜122．若实数x，y知足|x﹣4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．12 B．16 C．16或20 D．203．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是通过A点的一条直线，且B，C在AE的双侧，BD⊥AE 于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为（）A ．2 B．3 C．5 D．44．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（）A ．27 B．36 C．27或36 D．185．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A ．40°B．45°C．60°D．70°6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A ．40°B．45°C．50°D．60°7．如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A ．80°B．100°C．140°D．160°8．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（）A ．1 B．2 C．5 D．无法确定9．如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为（）A ．6cm2B．5cm2C．4cm2D．3cm2二．填空题（共8小题）10．勾股定理是初等几何中的一个大体定理．那个定理有十分悠长的历史，两千连年来，人们对勾股定理的证明颇感爱好，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽制造的弦图，是最先证明勾股定理的方式，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点组成一个正方形，它能够验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的极点E、F、G、H别离在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积=16，AE=1；则正方形EFGH的面积=．11．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部份是一个小正方形，如此就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．若是小正方形面积为1，大正方形面积为25，则每一个直角三角形的面积为；直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ=．12．勾股定理有着悠长的历史，它曾引发很多人的爱好．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形组成，它能够验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，别离以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积别离是S1、S2、S3，且S2=S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是．14．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，E是AC上的一点（AE＞CE），且DE=BE，则AE的长为．15．如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=AC=12，∠BAD=∠BCD=90°，M、N别离是对角线BD、AC的中点，则MN=．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE=．17．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=．三．解答题（共3小题）18．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=，且∠ABC=90°，求四边形ABCD的面积．19．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D别离向AB，AC引垂线，垂足别离为E，F，CG 是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着如何的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在如何的关系？请说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的双侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．特殊三角形专题练习参考答案一．选择题（共9小题）1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 二．填空题（共8小题）10．10 11．612．27+1313．DC=2AB 14．15．16．3 17．70°三．解答题（共3小题）18．19．20．。
特殊三角形(综合测试三)人教版(含答案).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:看到等边三角形想什么？①等边三角形三条边________ ,三个角__________ :②等边三角形“三线合一〃.问题2：看到直角和30。
角想什么？问题3：看到直角和直角三角形斜边上的中线或中点想什么？问题4：看到等腰三角形想什么？①等腰三角形两腰________ ,两个底角 __________ ;②等腰三角形“三线合一〃.问题5：等腰直角三角形两直角边 ______ ,两底角都是_________特殊三角形（综合测试三）人教版一、单选题（共6道，每道16分）1.如图，在AABC中，ZC=90°, ZA=30°, AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则AC与DC的关系是（）A.AC=2DCB.AC=3DCAC=-DCC. 2D.无法确定答案：B 解题思路:如图，•・• DE垂直平分AB:.AD=DB:.ZDBA=ZA=30°VZC=90°, ZJ=3O°,・•・ ZABC=60°,・・・ZC肋=30。
，在RtABCD中，ZC=90°, ZCBD=30°,・•・ BD=2DC:.AD=2DC・・・AC=3DC故选B・试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线性质定理2.如图，在ZkABC中，AB=AC, ZA=12O°, EF垂直平分AB,垂足为E, EF交BC于F, 连接AF.若BC=12cm,则EF等于（）答案:A 解题思路:A.2cm C.4cmB.3cm D.6cmA在厶ABC中，MB三4C, ZB4C=120。
，・•・ Z5=ZC=30°TEF垂直平分•站・・.AF=BF/.Z1=Z5=3O°/.ZC4F=90°在R X AACF中，ZG4F=90°, ZC=30°,・•・ CF=2AF・•・ CF=2BF/. BC=3BFV5C=12/. BF=4在RtABEF中，ZBEF=90。
第12讲 特殊三角形必考题型汇总(17大题型)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册学与练
第12讲 特殊三角形必考题型汇总（17大题型）【精选浙江地区最新考试题型】【必考题型一 根据轴对称图形的特征进行求解】1．如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线l 对称，45,110A B Ð=°Ð=¢°，则C Ð度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．35°2．如图，点P 是AOB Ð内部一点，点P ¢，P ¢¢分别是点P 关于OA ，OB 的对称点，且8cm P P =¢¢¢，则PMN V 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm3．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，点A 与点E 关于直线CD 对称．若7AB =，9AC =，13BC =，则DBE V 的周长为 ．4．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，4AC BC ==，射线BC 上有一点P ，M ，N 分别为点P 关于直线AB ，AC 的对称点，连接BM ，若3BM BN =，则BP 的长为 ．5．如图，在88´的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于直线l 对称的111A B C △；(2)若有一格点P 到点A ，B 的距离相等，则网格中满足条件的点P 有__________个；(3)在直线l 上找到一点Q ，使QB QC +的值最小．6．如图，ABC V 和ADE V 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．(1)图中点C 的对应点是点 ，B Ð的对应角是 ；(2)若5DE =，2BF =，则CF 的长为 ；(3)若108BAC Ð=°，30BAE Ð=°，求EAF Ð的度数．【必考题型二 等腰三角形的判定】1．在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，D 为线段AC 上一点，且点D 到AB 、BC 距离相等，则ABD △的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形2．ABC V 的三边分别是a ，b ，c ，不能判定是等腰三角形的是（ ）A ．::2:2:3A B C ÐÐÐ=B ．::2:2:3a b c =C ．50B Ð=°，80C Ð=°D ．2A B CÐ=Ð+Ð3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．如图，AD 是ABC V 的边BC 上的高，下列条件中能推出ABC V 是等腰三角形的是．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①BAD ACD Ð=Ð；②BAD CAD Ð=Ð；③AB BD AC CD +=+．5．如图，在锐角ABC V 中，点E 是AB 边上一点，BE CE =，AD BC ^于点D ，AD 与EC 交于点G ．(1)求证：AEG △是等腰三角形．(2)若103BE CD ==，，G 为CE 中点，求AG 的长．6．已知：如图ABC V 中6cm AC =，8cm AB =，BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，过D 作直线平行于BC 交AB ，AC 于E ，F ．(1)求证：DFC △是等腰三角形；(2)求AEF △的周长．【必考题型三 等腰三角形的性质】1．如图，点D 是等腰Rt ABC V 的边BC 上的一点，过点B 作BE AD ^于点E ，连接CE ，若4AE =，则AEC S V 的值是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．162．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．103．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，连结CD ．若20ACD Ð=°，则A Ð= °．4．如图，将等腰ABC V (A Ð是锐角)沿BD 对折，使得点A 落在射线BC 上的E 点处，再将DCE △沿CD 对折得到DCF V ，若DF 刚好垂直于BC ，则A Ð的大小为 °.5．如图，在ABC V 与ADE V 中，E 在BC 边上，AD AB =，AE AC =，12Ð=Ð，(1)求证：ABC ADE △≌△．(2)若36EAC Ð=°，求BED Ð的度数．6．如图，已知AB AD =，BAD CAE Ð=Ð，B D Ð=Ð，AD 与BC 交于点P ，点C 在DE 上．(1)求证：AC AE =；(2)若36B Ð=°，72APC Ð=°．①求E Ð的度数；②求证：CP CE =．【必考题型四 等边三角形的判定】1．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④3．在ABC V 中，AB AC =，要使ABC V 是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况）4．如图，在ABC V 中，120AB AC A =Ð=°，，DE ，GF 分别是AB ，AC 的中垂线，30cm BC =，则EG = cm ．5．如图所示，在 ABC V 中， 60B AB AC Ð=°=，，点D E ，分别在BC AB ，上，且 BD AE AD =，与CE 交于点 F ．(1)求证： ABC V 是等边三角形；(2)求证： AD CE =；(3)求 DFC ∠的大小．6．如图，点E 在ABC V 的外部，点D 在BC 上，DE 交AC 于点F ，23ÐÐ=，AE AC =，DE BC =．(1)求证：ABC ADE △△≌．(2)若260Ð=°，猜想ABD △的形状并证明．【必考题型五 等边三角形的性质】1．如图，DAC △和EBC V 均是等边三角形，A 、C 、B 三点共线，AE 与BD 相交于点P ，AE 与BD 分别与CD ，CE 交于点M ，N ．则下列结论：①ACE DCB V V ≌；②DC EB ∥；③AC DN =；④=EM BN ；⑤80CMN Ð=°．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，过边长为3的等边ABC V 的边AB 上一点P ，作PE AC ^于E ，Q 为BC 延长线上一点，且CQ PA =，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．523．如图，点P 、M 、N 分别在等边三角形ABC 的各边上，且MP AB ^于点P ，MN BC ^于点M ，NP AC ^于点N ，若16cm AB =，则CM 的长为 ．4．如图，在等边ABC V 中，D 为BC 延长线上一点，E 为AB 上一点，过点B 作BF AC P ，连接DF ，EF ，且60DFE Ð=°．若BF =，5BD =，则BE 的长度是 ．5．以ABC V 的边AB AC 、为边向外分别作等边ABD △、等边ACE △，连接DC BE 、，DC 与BE 交于O ，连接AO ．(1)求证：BE CD =；(2)求证：OA 平分DOE Ð；(3)请问线段DO 与线段BO AO 、之间有什么数量关系？请说明理由．6．如图，点O 是等边ABC V 内一点，D 是ABC V 外的一点，110AOB Ð=°，BOC a Ð=，BOC ADC V V ≌，连接OD ．(1)求证：OCD V 是等边三角形；(2)当150a =°时，试判断AOD △的形状，并说明理由；(3)探究：当a 为多少度时，AOD △是等腰三角形．【必考题型六 格点中的等腰三角形】1．如图，在33´的方格中，A ，B 两点都在小方格的格点上，若点C 也在格点上，且ABC V 是等腰三角形，那么点C 的个数最多是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点A ，B 是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C 有（ ）个．A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在34´正方形的网格中，点A ，B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C ，且使ABC V 是等腰三角形，则点C 的个数为．4．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A ，B 在格点上，在网格的格点上找到点C ，使ABC V 为等腰三角形，这样的点C 共有 个．5．在如图所示的方格纸中，ABC V 是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．(1)在图1中画一个ABD △，使得ABD △和ABC V 全等．(2)在图2中画一个等腰ABE V ，使得ABE V 和ABC V 的面积相等．6．在如图的55´的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，ABC V 的顶点均在格点上，请按要求作格点图形．(1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P ，使得APC △与ABC V 全等；(2)在图（乙）中，在AC 右侧的小正三角形顶点上求作点G （除E 点外），使ACG V 为等腰三角形且GA GC =．【必考题型七 逆命题和逆定理】1．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）A ．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形B ．不是等腰三角形的两个角不相等．C ．有两个底角相等的三角形是等腰三角形D ．有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（ ）A ．在同一个三角形中，等边对等角B ．两个角互余的三角形是等腰三角形C ．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形D ．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形3．命题“如果1x ³，那么21x ³”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”）4．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．5．小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：已知：如图，ABP CBP Ð=Ð，点D 在射线BP 上， ，求证： ．(1)补全图形，已知和求证；(2)按小颖的想法写出证明过程．(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．6．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，直线l 为线段AB 的垂直平分线，点P 为l 上一点．求证：______________________．请你补全求证，并写出证明过程．【必考题型八 含30°角的直角三角形】1．如图，在ABC V 中，9030ACB A CE CD Ð=°Ð=°，，、分别是ACB △的角平分线和高线，交AB 于点E D 、，则DCE Ð的值为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，已知60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，点P 在OC 上，PD OA ^于点D ，6OP =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．5D ．33．如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，4AB =．将ABO V 沿BO 对折至A BO ¢△，M 为BC 上的动点，则A'M 的最小值为 ．4．如图60MAN Ð=°，若ABC V 的顶点B 在射线AM 上，且2AB =，动点C 从点A 出发，以每秒1个单位沿射线AN 运动．（1）当运动时间t 是 秒时，ABC V 是直角三角形．（2）当运动时间t 的取值范围是 秒时，ABC V 是钝角三角形．5．如图，ABC V 中，D 是BC 边的中点，BE AC ^，CF AB ^，垂足分别是点E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：DE DF =．(2)若75A Ð=°，8BC =，连接EF ，求DEF V 的面积．6．如图1，ABC V 是等边三角形，D ，E 为AC 上两点，且=AD CE ，延长BC 至点F ，使CF CD =，连结,BD EF ．(1)如图2，当D ，E 两点重合时，求证：BD DF =；(2)如图3，延长FE 交线段BD 于点G ．①求DGE Ð的度数；②若2,6AD AB ==，求点C 到EF 的距离．【必考题型九 斜边的中线等于斜边的一半】1．如图，AD ，BE 均为ABC V 的高，且AB AC =，连结DE 交AB 于点O ，若28C Ð=°，则OEB Ð的度数为（ ）A ．62°B ．60°C ．58°D ．56°2．如图，在Rt ABC △中，BC 的中垂线与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连接BE ，F 为BE 的中点，若2DF =，则AE 的长为（ ）A ．5B ．C ．4D ．33．如图，在四边形ABCD 中，O 是CD 的中点，,90AC AD CAD CBD =Ð=Ð=°，若2CD AB =，则DCB Ð= ．4．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，D 为AB 的中点，30B Ð=°，点E 在BC 上，且CE AC =，则CDE Ð的大小为 ．5．在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别为AC 、BE 边上的中点，且12BD AC =．(1)求证：DF BE ^；(2)若52DAC Ð=°，求BDF Ð的度数．6．如图，在等边三角形ABC 中，D 是AB 上的一点，E 是CB 延长线上一点，连接CD 、DE ，已知EDB ACD Ð=Ð．(1)求证：DEC V 是等腰三角形．(2)当5BDC EDB Ð=Ð，8EC =时，求EDC △的面积．【必考题型十 直角三角形全等的判定】1．如图，在ABC V 中，10cm AB =，14cm AC =，边BC 的垂直平分线DE 交ABC V 的外角CAM Ð的平分线于点D ，垂足为E ，DF AC ^于点F ，DG AM ^于点G ，连接CD ．则AG 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，BP 平分ABC Ð交AC 于点P ，PE AB ^于点E ，若8BC =，6AC =，则AEP △的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．如图，AE 是CAM Ð的角平分线，点B 在射线AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AM ^．若23,21ACB CBE Ð=°Ð=°，则BEF Ð= ．4．如图，在ABC V 中，AD BC ^于点D ，在AD 上取点F ，使得10,6BF AC DF CD ====，连接BF 并延长交AC 于点E ，则BE = ．5．如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角ABC V 和ABE V 的高，如果AD AF =，AC AE =．求证：(1)BD BF=(2)BC BE=6．如图，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，90C Ð=°，DE AB ^于E ，BD DF =．(1)求证：CF EB =．(2)若20BAD Ð=°，求CDF Ð的度数．【必考题型十一 勾股定理的证明方法】1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在四边形ABDE 中，AB DE ∥，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC V ≌CDE V ；②90ACE Ð=°；③()221112222a b c ab +-=´；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形ACFG 沿分割线JK ，LM 分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形ABED 拼成大正方形BCHI ．若 2.AB BC ==AL 的长为 ．4．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC 和BC 为边，按如图所示的方式作正方形ABKH ，ACIG 和BCFD ，KH 与CI 交于点J ，AB 与DF 交于点E ，KH 与CI 交于点J ，AB 与DF 交于点E ．若四边形BCFE 和HIJ V 的面积和为5，四边形ACJH 和BDE V 的面积和为12，则AC BC +的值为 ．5．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC ，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得DAE V ，所以90BAE Ð=°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt BAE △和Rt BFE △的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．6．勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明222c a b =+．（1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在ABC V 和CDE V 中，CE AC ^，易证ABC CDE △≌△．请你用两种不同的方法表示梯形ABDE 的面积（图2），并证明：222c a b =+；（2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4．（3）拓展应用：如图3，在直线l 上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是1S ，2S ，3S ，则1232S S S ++=______（直接写出答案）【必考题型十二 用勾股定理解三角形】1．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在ABD △中，,AB AD AE BD =^，若10,6BC CD ==，则22AC AD -的值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．602．如图，在等腰直角三角形ABC 纸片中，90C Ð=°，D 是BC 的中点，将ABC V 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕．若AB =，则CF 的长为（ ）A ．34B ．58C ．38D ．143．如图，ABC V 是等边三角形，点E 为AC 上一点，且15CBE Ð=°，现将CBE △沿直线BE 折叠得到DBE V ，BD 与AC 交于F ，GH 垂直平分BE ，若2EC =，则BG = ．4．如图，在ABC V 中，60ACB Ð=°，3BC =，分别以AB ，AC 为边在ABC V 外作等边ABD △和等边ACE △，连结BE ，CD ．（1）若25BEC Ð=°，则CBE =∠ °；（2）若4AC =，则CD 的长为 ．5．如图，在ABC V 中()AB BC <，过点C 作CD AB ∥，在CD 上截取CD CB =，CB 上截取CE AB =，连接DE ，DB ．(1)求证：ABC ECD V V ≌．(2)若90A Ð=°，3AB =，5CD =，求BD 的长．6．如图1，ABC V 中，CD AB ^于D ，且::2:3:4BD AD CD =，若224cm ACD S =V ．(1)求BD 和AC 的长；(2)如图2，动点M 从点B 出发以每秒的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t （秒）．①若AMN V 是以点A 为顶点的等腰三角形时，求t 的值；②若点E 是边AC 上一点，且DE EC =，问在点M 运动的过程中，MDE V 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【必考题型十三 勾股定理中的折叠问题】1．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C Ð=°，5cm AB =，3cm BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．1cmB ．4cm 3C ．1.5cm D ．5cm 32．如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，9AB =，6BC =．将ABC V 折叠，使点A 落在BC 的中点D 处，折痕为MN ，则线段DN 的长为（ ）A B ．92C ．5D ．43．如图，在直角三角形纸片ABC 中，90C =o ∠，6AC =，8BC =，点D 在边BC 上，以AD 为折痕，将ABD △折叠得到AB D ¢V ，AB ¢与边BC 相交于点E ．若 DEB ¢△为直角三角形， 则BD 的长是4．如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D 是边BC 上一点，将ABD △沿直线AD 折叠，点B 的对应点为点B ¢，当B D ¢平行于ABC V 的一条边时，BD 的长为 ．5．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，4AB =，8BC =(1)试判断折叠后重叠部分AFC V 的形状，并说明理由．(2)求重叠部分AFC V 的面积．6．如图，已知长方形纸片43ABCD AB BC ==，，，点P 在BC 边上，将CDP △沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE DE ，分别交AB 于点O F ，，且OP OF =．(1)求证：BOP EOF ≌△△；(2)求证：CP BF =；(3)求DF 的长．【必考题型十四 勾股定理的逆定理】1．如图，在ABC V 中，23AB BC ==，，以AC 为边作正方形ACDE ，若正方形ACDE 的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．10D ．162．已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c )2100c -=，则ABC V 是（ ）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形3．如图，正方形ABDE 的面积是169平方厘米，正方形CAFG 面积是144平方厘米，正方形BCHK 的面积是25平方厘米，则阴影四边形AGHP 的面积是 平方厘米．4．如图，以ABC V 的每一条边为边，在边AB 的同侧作三个正三角形ABD △、BCE V 和ACF △．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则FCE Ð= °．5．如图，在四边形ABCD 中，90ABC Ð=°，AB =2BC ＝，CD DA ABCD 的面积．6．笔直的河流一侧有一营地C ，河边有两个漂流点A ，B ，其中AB AC =．由于周边施工，由C 到A 的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H （A ，H ，B 在同一直线上），并新修一条路CH ，测得10BC =千米，8CH =千米，6BH =千米．(1)判断BC H V 的形状，并说明理由；(2)求原路线AC 的长．【必考题型十五 勾股定理的应用】1．如图，在离水面点A 高度为8m 的岸上点C 处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17m ，此人以1m /s 的速度收绳，7s 后船移动到点D 的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）．A ．9米B ．8米C ．7米D ．6米2．如图所示，将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h ，则h 的取值范围是（ ）A ．17cm h £B ．8cm h ³C ．15cm 16cm h ££D ．7cm 16cmh ££3．如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是 米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是 秒．4．《九章算术》有一问题∶“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可表述为∶“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上，如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，则木杆长为 尺．”（说明：1丈=10尺）5．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算请你求旗杆的高度．6．如图一架25米长的梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离BC为7米．(1)求这个梯子的顶端A到地面的距离AC的值；(2)如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑4米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？【必考题型十六最短路径问题】1．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A ．8B ．10C ．12D ．132．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中18cm AB =，12cm BC =，10cm BF =，点M 在棱AB 上，且6cm AM =，N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（ ）A ．20cmB ．C ．(12cm +D ．18cm3．如图，在公路l 的一侧有A ，B 两个工厂，A ，B 到公路的垂直距离分别为1km 和3km ，A ，B 之间的水平距离为3km ．现要在公路l 上建一个运输点，使A ，B 两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km ．4．如图，在MNG V 中，MN =75M Ð=°，3MG =，点O 是MNG V 内一点，则点O 到MNG V 三个顶点的距离和的最小值是 ．5．如图，长方体的长为20cm ，宽为10cm ，高为15cm ，点B 与点C 之间的距离为5cm ，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖．(1)求点A 到点B 的距离；(2)蚂蚁从点A 爬到点B 的最短路程是多少？6．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm ，从点A 绕一圈到点B ，葛藤升高40cm ，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm ，绕一圈爬行50cm ，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【必考题型十七 特殊三角形压轴大题】1．如图1，在等边ABC V 中，线段AM 为BC 边上的高线．动点D 在线段AM （点D 与点A 重合除外）上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE V ，连结BE ．(1)判断AD 与BE 是否相等，请说明理由；(2)如图2，若12,,AB P Q =两点在直线BE 上且满足10CP CQ ==，试求PQ 的长．(3)在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AM 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值，若是，请画出图形并求出PQ 的长；若不是，请简单说明理由．2．图，在ABC V 中，90B Ð=°，16cm AB =，12cm BC =，20cm AC =，P 、Q 是ABC V 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B ®方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A ®®方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)BP =_____（用t 的代数式表示）(2)当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒后，PQB △是等腰三角形？(3)当点Q 在边CA 上运动时，出发 秒后，BCQ △是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形？3．【基础巩固】（1）如图 1，在 ABC V 与 ADE V 中， ,,AB AC AD AE BAC DAE ==Ð=Ð ，求证： AEC ADB △≌△ ；【尝试应用】（2）如图 2，在 ABC V 与 ADE V 中， ,,90,AB AC AD AE BAC DAE B D E ÐÐ====°、、 三 点在一条直线上， AC 与 BE 交于点 F ，若点 F 为 AC 中点，① 求 BEC Ð 的大小； 2CE =② ，求 ACE △ 的面积；【拓展提高】（3）如图 3， ABC V 与 ADE V 中， ,,90,AB AC DA DE BAC ADE BE ÐÐ====° 与 CA 交于点 ,,F DC DF BCF =V 的面积为 32，求AF 的长．4．如图1，已知ABC V ，90ACB Ð=°，45ABC Ð=°，分别以AB 、BC 为边向外作ABD △与BCE V ，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC Ð=Ð=°，连接DE 交AB 于点F ．(1)探究：AF 与BF 的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．(2)如图2，若30ABC Ð=°，60ADB BEC Ð=Ð=°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，若ADB BEC m ABC Ð=Ð=Ð，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m 的值．。
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八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1如图，在正方形 ABCD 中，AB=9,点E 在CD 边上，且 DE=2CE 点P 是对角 线AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是( )A 3 —B 、10 一C 、9D 、9 — 【变式训练】1、如图，在矩形 ABCD 中，AD=4,∠ DAC=30 ,点 P 、E 分别在 AC AD 上，则 PE+PD 的最小值是()2、 如图，∠ AOB=30，P 是∠ AOB 内一定点，P0=1Q G D 分别是 OA OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小 值为 ______________3、 如图，∠ AOB=30，C, D 分别在 OA OB 上，且0C=2 0D=6点C, D 分别是 AO BO 上的动点，贝U CM+MN+DN 最小值为4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD, DEl BD 连结 AC, CE (1) 已知AB=3, DE=Z BD=12设CD=X 用含X 的代数式表示 AC+CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的 最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm,则它的周长为 ________________(2) 已知等腰三角形的两边长分别为 ____________ 8cm 和10cm,则它的腰长为(3) 已知等腰三角形的周长为 _________________ 28cm 和8cm,则它的底边为【变式训练】1、 已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和7cm,则周长为 __________________2、 已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 _________________3、 已知等腰三角形的一个外角等于 150°,则它的各个内角的度数为 _______________________4、 已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,则它的各个内角的度数 __________________第1题D、4M D B5、已知等腰三角形底边为5cm, —腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为______________6、在三角形ABC中，AB=AC AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,则底角∠ B的度数为____________7、如图，A、B是4× 5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1, 请在图中清晰地标出使以A B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系Xoy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P, 使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_________ 个【变式训练】1、在平面直角坐标系XOy中，已知点A( 1，，在坐标轴上找一点P，使得△ AOP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为( )A. 5 B . 6 C . 7 D . 82、在平面直角坐标系中，若点A (2, 0),点B (0, 1),在坐标轴上找一点C,使得△ ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到 ____________ 个.3、在坐标平面内有一点 A (2, _) , O为原点，在X轴上找一点B,使O, A, B为顶点的三角形为等腰三角形，写出B点坐标____________________________________________4、平面直角坐标系中，已知点A (4, 2) , B (4, -3 ),试在y轴上找一点卩，使厶APB为等腰三角形，求点P的坐标5、如图1,已知一次函数分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交X轴负半轴与点G 且OC=OB(1) 求直线BC的函数表达式；(2) 如图2,若厶ABC中，∠ ACB的平分线CF与∠ BAE的平分线AF相交于点F,求证：∠ AFC= ∠ ABC卩，使厶ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说A(3)在X轴上是否存在点明理由F 分别是AD BC 的中点，M 在DC 上，将△ ADM 沿折痕AM 折叠，使点D 折叠后恰好 落在EF 上的P 点处. (1) 求点M P 的坐标；(2) 求折痕AM 所在直线的解析式； (3)设点H 为直线AM 上的点，是否存在这样的点 H 使得以H 、A P 为顶点的三 角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由.例5如图，在△ ABC 中，BD CE 分别是边 AC AB 上的高线. (1) 如果BD=CE 那么△ ABC 是等腰三角形，请说明理由； (2) 如果∠ A=60°,取BC 中点F ,连结点 D 、E 、F 得到△ DEF 判断四、折叠问题例4:如图，在矩形 ABCD K AB=6, BC=8将矩形折叠，使得点 D 落在线段 BC 的点F 处，则线段 DE 的长为 ____________________【变式训练】ABCD 中, AB=6 B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长ABCD 中, AB=6 A 、C 重合，若，则折痕 EF 的长为3、如图，在矩形 ABCD 中, AB=6 BC=8沿AC 将矩形折叠，使得点B 落在点E 处，则线段EF 的长为 ______4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内, 顶点A 在坐标原点, AB 在X 轴正方向上，E 、1、如图，在矩形2、如图，在矩形 BC=8将矩形折叠，使得点BC=8沿EF 将矩形折叠，使该三角形的形状，并说明理由；(3) 如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE【变式训练】1、如图，点M是Rt△ ABC斜边BC的中点，点P Q分别在AB AC上，且PML QM(1)如图1,若P、Q分别是AB AC的中点，求证：PQ=PB+QC;(2)如图2,若P、Q分别是线段AB AC的动点(不与端点重合) (1)中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图〔，△ ACB^n△ DCE均为等边三角形，点A、D E在同一直线上，连接BE(1)求证：△ ACD^△ BCE(2)______________________________ 填空：∠ AEB的度数为;拓展探究：如图2,^ ACB和厶DCE均为等腰三角形，∠ ACB=/ DCE=90 ,点A、D E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE CM EM 求证：CM=EM全等之三垂直（K型图）例 1 女口图，已知AC⊥ CF, EF⊥ CF, AB丄BE, AB=BE求证：AC=BF,BC=EF 1、如图，已知，ACL CF，EF⊥ CF，AB丄CE, AC=CF求证：AB=CE全等之手拉手模型例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ ABD^n△ BCE连接AE与CD证明:(1)(2)(3) △ ABE^△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。
△ AGB^△DFBAGB C2、已知, ACL CF, EF L CF, AGL CE, AG=CE求证：AG=CF3、如图: 已知，AEI BD, CDL BD,∠ ABC=90 , AB=AC 求证：AE=BD ,BE=CD4、如图，点A是直线- 在第一象限内的一点；连接OA以OA为斜边向上作等腰直角三角形OAB若点A的横坐标为4 ,则点B的坐标为 _____________5、已知：如图，点B,C,E在同一条直线上,证明：△ ACB^△ CFEB=∠ E=60°,∠ ACF=60 ,且AB=CE(5) △ EGB^△CFB (6) BH 平分∠ AHC(7) GF// AC1、如果两个等边三角形△ ABD^n △ BCE 连接AE 与CD 证明: (1) △ ABE ^△ DBC (2) AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为60。
(4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分∠ AHC3、如图，两个正方形 ABCD 和DEFG 连接AG 与CE,二者相交于 H 问：(1 )△ ADG^△ CDE 是否成立？(2) AG 是否与CE 相等？(3) AG 与 CE 之间的夹角为多少度？ (4) HD 是否平分∠ AHE2、J 如果两个等边三角形△ ABD^n △ BCE 连接 AE 与CD 证明 (1) △ ABE ^△ DBC(2) AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为 60。
(4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分∠ AHCFC4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ ADG^△ CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠ AHEE5、两个等腰三角形ABD与BCE其中AB=BD,CB=EB∠ ABD=∠ CBE=a连接AE与CD.问（ABE^△ DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠ AHC钢架中的等腰三角形例1如图钢架中，∠ A=10° ,焊上等长的钢条来加固钢架.若AB=BC=CD=DE一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要___________ 根1、如图钢架中，焊上等长的钢条P l P2, P2P3,巳P4,钢架，若P I A=PP2,则∠ A= ______ .2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若∠ BF5P4=100°,则∠ A=（）度.A. 10 B . 20 C . 153、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5来加固钢架,若PIA=PPa,则∠ A的取值范围______________4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP=RP2=P2R=∙∙∙ =P13P14=P14A,则∠ A 的度数是 _________。