2020版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案(理)
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第2讲 递推数列及数列求和的综合问题
考点1 由递推关系式求通项公式
(1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．
(2)累积法：形如
a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1
，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q
1－p
，再转化为等比数列求解．
(4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n
(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q
n ＋1
，得
a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{
b n }⎝
⎛
⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．
[例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.
【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时，
a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)
2＋1.
又a 1＝2＝1×(1＋1)
2＋1，符合上式，
因此a n ＝
n (n ＋1)
2
＋1.
(2)∵a n ＝n －1
n
a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝
n －2n －1a n －2，…，a 2＝1
2
a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1
n .
当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．
∴a n ＝1n
.
(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，
又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1
，
∴a n ＝2·3n －1
－1.
由数列递推式求通项公式的常用方法
『对接训练』
1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n
； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝
2a n
a n ＋2
. 解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1
＋2
n －2
＋…＋2＋1＝
1－2
n
1－2
＝2n
－1.
(2)∵
a n ＋1a n
＝2n
，
∴a 2a 1
＝21
，a 3a 2
＝22
，…，
a n a n －1
＝2n －1
， 将这n －1个等式叠乘，
得a n a 1
＝2
1＋2＋…＋(n －1)
＝2
+12
n n ()，
∴a n ＝2
-12
n n ().
(3)∵a n ＋1＝2a n
a n ＋2， 取倒数得：1a n ＋1
＝
a n ＋22a n ＝1a n ＋1
2
， ∴
1
a n ＋1－1a n ＝12
， ∵a 1＝1，∴1
a 1
＝1，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，1
2为公差的等差数列，
∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1
2， ∴a n ＝2
n ＋1
.
考点2 错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．
[例2] [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，
b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n 为奇数，b n
2
，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *
)．
【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .
依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3q ＝3＋2d ，
3q 2
＝15＋4d ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝3，
q ＝3，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝－3，
q ＝－1，(舍)