黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．已知数列,21,n -，则是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式n a 1-n 2，可得23n =． 考点：数列的通项公式．2．若1x <，则下列关系中正确的是( ) A ．11x> B ．21x < C ．31x < D ．||1x < 【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，xx -11-x 1=，∵x<1,∴1-x<0，而分母x 与0的大小关系未定，∴无法判断差的符号，类似的对于B ，)1)(1(1-x 2-+=x x ，无法判断x+1的符号，从而无法判断差的符号，对于D ，取x=-2可验证D错误，对于C ，0]43)21)[(1()1)(1(1-x 223<++-=++-=x x x x x ，所以1x 3<．考点：作差法证明不等式．3．已知(2,=-a ，(7,0)=-b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．o30B ．o60C ．o 120D ．o150【答案】C 【解析】 试题分析：a b ||||cos ,a b a b ⋅=⋅⋅<>，可得，2174)032()7(2,co s -=⋅⋅-+-⋅=>=<∴夹角为120°．考点：平面向量数量积．4．不等式||y x ≥表示的平面区域为( )【答案】A 【解析】试题分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≥≥x y 0x 或⎩⎨⎧≥<-xy 0x ，左边的不等式组表示的是y=x 的上方与y轴右方所夹的区域，右边的不等式组表示的是y=-x 与y 轴左方所夹的区域，故选A ． 考点：二元一次不等式(组)表示平面区域．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =( )A ．2B ．9C ．10D ．19 【答案】C 【解析】试题分析：由题意等差数列{n a }：2m 1m 1-m a 2a a =++，∴2m m 2a 0a =0m a -=⇒或2a m =，若0a m =，则0)12()12(2)(1211-m 2=-⋅=-⋅+=-m a m a a S m m ，无解，若2a m =，则1212m -1()(21)(21)4m-22m m a a S m a m -+=⋅-=⋅-==38，∴m=10． 考点：等差数列的性质，等差数列的前n 项和．6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则13l o g a +23log a + +103log a =( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意等比数列{na }及187465=+a a a a ，∴9a a a a a a a a a a 65748392101=====，∴13lo ga +23log a ++103log a =)]a (a )a (a )a [(a log )a a a (a log 65921013103213⋯⋯⋅=⋯103log 9log 10353===．考点：等比数列的性质，对数的性质．7．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )A ．2a b a b +<<B ．2a ba b +<<<C．2a b a b +<<<D2a ba b +<<< 【答案】B【解析】试题分析：∵0a b <<，∴2a ab <，即ab <a2a b+<，而02b -a b -2b a <=+，∴b 2ba <+． 考点：作差法证明不等式，基本不等式．8．实数x y ，满足1,21y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤5.，求目标函数z x y =-+的最小值( )A ．1B ．0C ．3-D ．5 【答案】C 【解析】 试题分析：如图，画出题中所给的不等式组所表示的平面区域，易得A(2,3),B(1,1)，C(4,1)，求z 的最小值即求直线y=x+z 在y 轴上截距的最小值，而y=x+z 表示的是与y=x 平行的直线，从图中可以看出，当直线过C 点时，z 有最小值，3-14-z min =+=．考点：线性规划求目标函数的最值．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若150S >，160S <，则n S 最大值是( ) A ．1S B ．7S C ．8S D ．15S 【答案】C 【解析】试题分析：∵等差数列{n a },15160,0S S ><,∴1115141615150,16022a d a d ⋅⋅+>+<，即11157002a d a d d +>>+⇒<，又∵819111570,802a a d a a d a d =+>=+<+<，∴前8项和最大．考点：等差数列的性质，前n 项和．10．已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+，其中t 为实数，若点P 落在ABC ∆的内部（不含边界），则t 的取值范围是( ) A ．104t << B ．103t << C ．102t << D ．203t <<【答案】D 【解析】试题分析：如图，延长AP 交BC 于D ，设AD m AP =(m>1),(0)BD DC λλ=>,即1()()11AD AB AC AD AD AB AC λλλλ-=-⇒=+++,∴1111(1)(1)mAP AB AC AP AB AC m m λλλλλλ=+⇒=+++++，又∵13AP AB t AC =+，∴11(1)3113(1)m t m tm λλλ⎧=⎪+⎪⇒=-⎨⎪=⎪+⎩，又∵1110,,3(1)m m λλ>∴=<+∴1<m<3，∴203t <<．考点：平面向量的线性运算．11．已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=, 1232014a a a a ++++=则( )A ．201320132⨯ B ．20131007⨯C ．20141007⨯D ．20151007⨯【答案】D 【解析】试题分析：化简可得：2221sin()sin()22n n a n n n πππ+==+，当n=2k-1时，221(21)k a k -=--，当n=2k时，222(2)4k a k k ==，∴22212(21)441k k a a k k k -+=--+=-，所以1232014123220132014()()()(411)(421)+(410071)a a a a a a a a a a ++++=+++++=⋅-+⋅-+⋅-…1+1007=41007-1007=100720152⋅⋅⋅． 考点：数列求和． 12．定义12nnp +p ++p …为n 个正数n p p p ,,,21 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111+b b b b b b ++…=( ) A ．111B ．910C ．1011D ．1112【答案】C【解析】试题分析：设数列{n a }的前n项和为n S ，则由题意可得2n n n 1==n(21)22n+1S n n n S +=+，， ∴2212[2(1)1]41(2)n n n a S S n n n n n n -=-=+--+-=-≥，1113,41,4n n n a a S a n b n +==∴=-==， ∴11111(1)1n n b b n n n n +==-++，∴1223111111+=1-+2231b b b b b ++……．考点：数列的通项公式，数列求和．二、填空题13． 已知{}n a 是等比数列，2=2a ，51=4a ，则公比=q ______________． 【答案】12【解析】试题分析：∵等比数列{n a },∴35211,82a q q a ===．考点：等比数列基本量的计算．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线（该直线不过点O ），则20S =_____________． 【答案】10 【解析】试题分析：∵A,B,C 三点共线，∴AB BC λ=，即()OB OA OC OB λ-=-,∴111OB OA OC λλλ=+++,∵120OB a OA a OC =+,∴1201211,,=+=1111+1+a a a a λλλλλλ==∴+++，∴1202020102a a S +=⋅=．考点：向量共线的充要条件，等差数列前n 项和．15． 在 ABC ∆ 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 c =o45B =，面积2S =，则=b _________．【答案】5 【解析】 试题分析：11sin ,245122S ac B a a =∴=⋅∴=。

，,b ===5． 考点：正余弦定理解三角形．16．设12，e e 为两个不共线向量，若12x y =+a e e ，其中,x y 为实数，则记[,]x y =a ．已知两个非零向量,m n 满足1122[,],[,]x y x y ==m n ，则下述四个论断中正确的序号为______．（所有正确序号都填上）①1212[,]x x y y +=++m n ； ②11[,]x y λλλ=m ，其中R λ∈； ③m ∥1221x y x y ⇔=n ； ④m ⊥12120x x y y ⇔+=n ． 【答案】①②③【解析】 试题分析：由题意得0,0m n ≠≠①：∵11122122121122()()m n x e y e x e y e x x e y y e +=+++=+++，正确；②：1112112()m x e y e x y e λλλλ=+=+，正确；③：//(0)m n m n λλ⇔=≠，即11122122()x e y e x e y e λ+=+，∴121,x x y y λλ==，1221x y x y =正确；④：n m n=0m ⇔⋅⊥，即2211122122121122112122()()()0x e y e x e y e x x e x y x y e e y y e ++⇒++⋅+=，不一定正确．考点：向量共线的充要条件，坐标运算．三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2=1a ，1045S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足na nb -=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =-；（2）1122n n T -=-． 【解析】试题分析：（1）将条件中的2101,45a S ==转化为关于等差数列的基本量1,a d 的方程，解得1,a d 之后即可求得数列{n a }通项公式；（2）根据（1）中求得的通项公式可以得到{n b }的通项公式，进而判定{n b }为等比数列，利用等比数列的前n 项和公式即可得到n T ． （1）设等差数列{}n a 公差为d ，首项为1a （1分）则1012110(101)104521S a d a a d -⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，1(1)1n a a n d n =+-=-． （6分）；（2）由（1）知，则(1)112()2n n n b ---== （8分） ()11111112211212nn n n b q T q -⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===---．考点：1、等差数列通项公式的求解；2、等比数列前n 项和．18．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且4s i n ()5B C +=，a =5b =．（1）求角B 与边c 的值；（2）求向量BA 在BC 方向上的投影．【答案】（1）B=4π,c=7；（2）227． 【解析】试题分析：（1）根据sin(B+C)的值，以及在△ABC 中，A+B+C=π，可得4sin sin=5A =（B+C ），再由正弦定理可求得a ，根据a ，b 以及cosA ，根据余弦定理可以得到关于c 的方程，从而得到c ；（2）根据定义，BA 在BC 方向上的投影为||cos BAB ，再代入（1）中的数据即可．（1）由4sin()sin 5B C A +==， （2分） 由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin B＝sin b A a = （4分） 由题知2B π0<<，故π4B =． （5分） 又3cos 5A =，根据余弦定理，22235255c c =+-⋅⋅，解得()71=-=c c 或舍． （8分）；（2）由（1）知，cos 2B =，向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B ＝227． （12分）．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、平面向量数量积．19．设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 111a b ==，3521a b +=， 5313a b +=．（1）求数列{}n a ，数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S ． 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）(23)23n n S n =-+． 【解析】试题分析：（1）由题意可将已知条件中的方程3521a b +=，5313a b +=转化为关于等差数列基本量d ，等比数列基本量q 的方程，解得d ，q ，即可求得等差数列与等比数列的通项公式；（2）数列{}n n a b ⋅的通项公式为等差乘等比的形式，可以利用错位相减法的相关知识点求其前n 项和n S ．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，（3分） 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （6分）； （2）．由（1）得1(21)2n n n a b n -⋅=-⋅，01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-+-，①①左右两端同乘以2得：12312123252(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-+-，②（9分）①－②得()121112222(21)22(21)23n n n n n S n n -+-=+⨯+++--=---，(23)23n nS n =-+（12分）．考点：1、等差等比数列基本量的计算、通项公式；2、错位相减法数列求和．20．已知向量1(sin ,)2A =m，(3,sin )A A =n ，且m ∥n ，其中A 是ABC ∆的内角．（1）求角A 的大小；（2）若2BC =，求ABC ∆面积S 的最大值． 【答案】（1）3A π=；（2【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线的坐标表示可以将条件中的//m n 转化为与A 的三角函数有关的方程：22sin sin 3A A A +=，利用三角恒等变形将其变形为1)62sin(=-πA ，即可求得A 的大小；（2）由余弦定理可以得到222222cos 2cos43a b c bc A b c bc π=+-⋅=+-⋅=，再结合基本不等式222b c bc +≥，可得bc 4≤以及1bcsin 2ABC S A =△，即可求得△ABC 面积的最大值．（1）由两向量共线知，22sin sin 3A A A += （2分）即32sin 32cos 1=+-A A ，可化为22cos 2sin 3=-A A （4分） 故2)62sin(2=-πA ，1)62sin(=-πA ，0A π<<，112666A πππ-<-<解得3π=A ． （6分）；（2）由222222cos 2cos43a b c bc A b c bc π=+-⋅=+-⋅=， （8分）又bc c b 222≥+，可知4≤bc ，其中当2b c ==时，等号成立 （10分）因为111sin sin 42232ABC S bc A bc π∆==≤⋅=． （12分）． 考点：1、平面向量共线的坐标表示；2、三角恒等变形；3、基本不等式求最值． 21．已知数列{}n a 满足41=a ，)(441*+∈=-N n a a n n n ，数列{}n b 满足4nn n a b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3654321+++++=n a a a a S n n ，求满足不等式5125712<<n n S S 的所有正整数n 的值．【答案】（1）详见解析；（2）2，3． 【解析】试题分析：（1）要证明数列{}n b 是等差数列，只需证明1d n n b b +-=即可，而由条件中4n n n a b =，)(441*+∈=-N n a a n n n ，可得4144111=-=-+++n n n n n n a a b b ，从而得证；（2）由（1），可以求得{}n b 的通项公式，结合4n n n ab =，即可求得{}n a 的通项公式，从而可以得到n S =413n -，解关于n 的不等式，即可得到满足不等式的所有整数值． （1）由n n n a b 4=，得1114+++=n n n a b ，∴4144111=-=-+++n n n n n n a a b b （4分） ∴数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为41． （6分）；（2）43)1(411+=-+=n n b n ，则14)3(4-+==n n n n n b a （8分）从而有143-=+n nn a ，故3654321+++++=n a a a a S n n 124441-++++=n 3144141-=--=n n （10分）则141141422+=--=nn n n n S S ，由5125712<<n n S S ，得511412571<+<n ，即25644<<n ，得41<<n ．故满足不等式5125712<<n n S S 的所有正整数n 的值为3,2． 考点：1、等差数列的证明；2、等比数列前n 项和．22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足33b =，59b =．（1）求数列{}n a ，数列{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，不等式1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）13,36n n n a b n -==-；（2）29k ≥． 【解析】试题分析：（1）根据条件等差数列{}n b 满足33b =，59b =，将其转化为等差数列基本量1,b d 的求解，从而可以得到{}n b 的通项公式，根据11(2)(1)n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可将条件中的121n n a S +=+变形得到13(2)n n a a n +=≥，验证此递推公式当n=1时也成立，可得到{}n a 是等比数列，从而得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中所求得的通项公式，题中的不等式1()2n n S k b +⋅≥可转化为6(2)3n n k -≥，从而问题等价于求max 6(2)[]3n n -，可求得当n=3时，为最大项，从而可以得到29k ≥． （1）设等差数列{}n b 公差为d ，则5329b b d =+=，解得3d =，3(3)36n b b n d n =+-=-， （2分）当2n ≥时，121n n a S -=+，则13n n a a +=()2≥n ，21213a a =+=13a =∴13n n a a +=()1≥n011≠=a ∴{}n a 是以1为首项3为公比的等比数列，则11-=n n q a a 13-=n ． （6分）；（2）由（1）知，1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，原不等式可化为6(2)3n n k -≥（8分）若对任意的*n N ∈恒成立，max 6(2)[]3n n k -≥，问题转化为求数列6(2){}3n n -的最大项令6(2)3n n n c -=，则11n n n n c c c c +-⎧⎨⎩≥≥，解得5722n ≤≤，所以3n =， （10分） 即{}n c 的最大项为第3项，3627c =，所以实数k 的取值范围29k ≥． （12分）． 考点：1、数列的通项公式；2、恒成立问题的处理方法．。