二次根式及其性质练习题
12.5二次根式及其性质(1)
2
5
3
答：
， 2
， 5
都是一个正数的算术 3 表示. a 表示
平方根， 平方根，它们可以用符号 问：
应满足什么条件？ a 中的 a 应满足什么条件？
答： a≥0 一、二次根式的定义 一般地， 一般地，式子 叫做二次根式. a （ a≥0 ）叫做二次根式
随堂练习一 1、下列各式中，哪些是二次根式？哪些不 、下列各式中，哪些是二次根式？ 是二次根式？ 是二次根式？ （1） 1 ( ） 2 是 ) （2） ）
− 0.7 ( 不是
)
)
（3） x 2 + 4 x + 4 y 2 ( ） （4） ）
是
3−π
( 不是 )
2、实数x在什么范围内取值时，下列各 、实数 在什么范围内取值时 在什么范围内取值时， 式表示二次根式？ 式表示二次根式？
(1) 2 x + 3
( 2) 2 − 4 x
3 解：由2x+3≥0得 x ≥ − 得 2 3 时， 所以， 所以，当 x ≥ − 2 x + 3 表示 2
二、二次根式的性质 1、 、 2、 、 （ ）是一个非负数， a a≥0）是一个非负数，即 ≥0 a
( a)
2
= a(a ≥ 0)
用语言表述为： 用语言表述为： 非负数的算术平方根的平方， 非负数的算术平方根的平方，等于这个 非负数。 非负数。
随堂练习二 1、计算： 、计算： （1） 0.7 ）
想一想 用带根号的式子填空： 用带根号的式子填空： 1、面积为2的正方形的边长为 、面积为 的正方形的边长为 的正方形的边长为__________ 面积为5的正方形的边长为 面积为 的正方形的边长为___________ 的正方形的边长为 2、要修建一个面积为9.42m2 的圆型喷水池， 、要修建一个面积为 的圆型喷水池， 它的半径为_________m(л取3.14) 取 它的半径为 问： 有什么共同点？ ， 2 ， 5 3 有什么共同点？ 它们可以用一个什么符号表示？ 它们可以用一个什么符号表示？
二次根式测试题及答案
二次根式测试题及答案19026(共28页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第二十一章 二次根式填空题：1．要使根式3-x 有意义， 则字母x 的取值范围是______． 2．当x ______时，式子121-x 有意义． 3．要使根式234+-x x有意义，则字母x 的取值范围是______． 4．若14+a 有意义，则a 能取得的最小整数值是______． 5．若x x -+有意义，则=+1x ______． 6．使等式032=-⋅+x x 成立的x 的值为______．7．一只蚂蚁沿图1中所示的折线由A 点爬到了C 点，则蚂蚁一共爬行了______cm ．(图中小方格边长代表1cm)选择题图1 图2 7．如图2，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应是( ) (A)525(B)53 (C)25 (D)54 8．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是( ) (A)x ≥0 (B)32->x(C)23-≥x (D)32-≥x 9．使式子2||1+-x x 有意义的实数x 的取值范围是( )(A)x ≥1(B)x ＞1且x ≠－2 (C)x ≠－2(D)x ≥1且x ≠－210．x 为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)21x (B)x x +2 (C)112-x (D)12+x11．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )(A)cm 41(B)cm 34(C)cm 25(D)cm 35解答题13．要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?(1)1||21--x x (2)x +--21 (3)232+x (4)x x 2)1(- (5)222++x x14．如图3，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个△ABC ，请你求出这个△ABC 的周长．图315．一个圆的半径为1 cm ，和它等面积的正方形的边长是多少?16．有一块面积为(2a ＋b )2的圆形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a －b )2，问所挖去的圆的半径多少?17．(1)已知05|3|=-++y x ，求yx的值；(2)已知01442=+++++y x y y ，求y x的值．18．2006年黄城市全年完成国内生产总值264亿元，比2005年增长23％，问：(1)2005年黄城市全年完成国内生产总值是多少亿元(精确到1亿元)(2)预计黄城市2008年国内生产总值可达到亿元，那么2006年到2008年平均年增长率是多少(下列数据供计算时选用22.14884.1,21.14641.1==)．问题探究：已知实数x 、y 满足324422+--+-=x x x y ，求9x ＋8y 的值．二次根式(2)掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =． 填空题：1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2)23(______． 3．已知2＜x ＜5，化简=-+-22)5()2(x x ______．4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|a a ______．5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2c a b c b a ______． 6．若22)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______． 7．若0)2(|4|2=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______．8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______．9．请你观察、思考下列计算过程： 图4 因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______． 选择题：10．36的平方根是( )(A)6(B)±6(C)6(D)±611．化简2)2(-的结果是( ) (A)－2 (B)±2(C)2(D)412．下列式子中，不成立的是( )(A)6)6(2= (B)6)6(2=-- (C)6)6(2=-(D)6)6(2-=--13．代数式)0(2=/a a a 的值是( )(A)1 (B)－1(C)±1(D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( )(A)x －2(B)x ＋2(C)－x ＋2(D)2－x15．如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值范围是( )(A)x ≤2(B)x ＜2(C)x ≥2(D)x ＞216．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )(A)原点 (B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧(D)任意点17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( )(A)4x(B)－4x(C)2x(D)－2x18．不用计算器，估计13的大致范围是( )(A)1＜13＜2 (B)2＜13＜3 (C)3＜13＜4 (D)4＜13＜519．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6 (B)8 (C)35 (D)37 解答题： 20．计算：(1);)12(|3|)2(02---+- (2)⋅-+-|21|2)3(0221．化简：(1));1()2()1(22>++-x x x (2).||2)(2x y y x ---22．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2007的值．23．已知x x y y x =-+-+7135，求2)3(|1|-+-y x 的值．24．在实数范围内分解因式：(1)x 4－9； (2)3x 3－6x ； (3)8a －4a 3； (4)3x 2－5．25．阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：221a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．小明的解答是：原式＝1)1()1(2=-+=-+a a a a ；小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2=-⨯=-=--=-+a a a a a ． (1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因．26．细心观察图5，认真分析各式，然后解决问题．图5;21,21)1(12==+S ;22,31)2(22==+S;23,41)3(32==+S…… ……(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长； (3)求出21024232221S S S S S +++++ 的值． 27．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：米)有下面的关系式：⋅≈5ht (1)已知h ＝100米，求落下所用的时间t ；(结果精确到(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间(每层楼高约米，手拿物体高为米)(结果精确到(3)如果一物体落地的时间为秒，求物体开始下落时的高度．问题探究：同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军!我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重!设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，则x ＋y ＝2a ．两边同乘以(x －y )，得(x ＋y )(x －y )＝2a (x －y )，即x 2－y 2＝2ax －2ay ．可变形为x 2－2ax ＝y 2－2ay ．两边都加上a 2，得(x －a )2＝(y －a )2． 两边开平方，得x －a ＝y －a ． 所以x ＝y ．这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢亲爱的同学，你能找出来吗二次根式的乘除(1) 理解二次根式的乘法法则，即)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 的合理性 填空题：1．计算：ab a ⋅＝______． 2．已知xy ＜0，则=y x 2______．3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简22b a 的结果是______．4．若,6)4()4)(6(2x x x x --=--则x 的取值范围是______． 5．在如图的数轴上，用点A 大致表示40：6．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，23，……那么第10个数据应是______． 选择题：7．化简20的结果是( ) (A)25(B)52(C)102(D)548．化简5x -的结果是( )(A)x x 2-(B)x x --2(C)x x -2(D)x x 29．若a ≤0，则3)1(a -化简后为( ) (A)1)1(--a a (B)a a --1)1( (C)a a --1)1((D)1)1(--a a解答题： 10．计算：(1);63⨯ (2));7(21-⨯ (3));102(53-⨯(4));804()245(-⨯-(5));25.22(321-⨯(6);656)3122(43⨯-⨯(7));152245(522-⨯(8);24)654(⨯- (9));3223)(3223(-+(10));23)(32(x y y x -+ (11);)10253(2+ (12);10253ab a ⋅(13));42(2212mn m m +-⋅ (14))12()321(123143z xy x x ⋅-⋅⋅．11．化简：(1));0(224≥-a b a a (2)⋅≥≥+-)0(23223a b ab b a b a12．计算：(1)|;911|)1π(8302+-+--+- (2).425.060sin 12)21(20082008o 2⨯---13．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的平分线BD 的长为4cm ，求这个三角形的三边长及面积．图1二次根式的乘除(2)理解二次根式除法运算法则，即b aba =(a ≥0，b ＞0)的合理性 填空题： 1．在4,21,8,6中，是最简二次根式的是______． 2．某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是42cm 2，它的长为5cm ，则这个孔的宽为______cm ．3．2－3的倒数是______，65+的倒数是______．4．使式子3333+-=+-x xx x 成立的条件是______． 选择题：5．下列各式的计算中，最简二次根式是( ) (A)27(B)14(C)a1 (D)23a6．下列根式xy y x xy 53,,21,12,2+中最简二次根式的个数是( ) (A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个7．化简273-的结果是( ) (A)27- (B)27+ (C))27(3- (D))27(3+8．在化简253-时，甲的解法是：,25)25)(25()25(3253+=+-+=-乙的解法是：,2525)25)(25(253+=--+=-以下判断正确的是( )(A)甲的解法正确，乙的解法不正确 (B)甲的解法不正确，乙的解法正确 (C)甲、乙的解法都正确 (D)甲、乙的解法都不正确9．△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，若△ABC ～△A 'B 'C '，则△A 'B 'C '的第三边的长应等于( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)2210．如图1，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB 方向前进12m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于( )图1(A)m )13(6+ (B)m )13(6- (C)m )13(12+(D)m )13(12-11．计算)(baa b a b b a ÷的正确结果是( ) (A)ba(B)ab(C)22ba(D)112．若ab ≠0，则等式ab a b a 135-⋅=--成立的条件是( ) (A)a ＞0，b ＞0(B)a ＜0，b ＞0 (C)a ＞0，b ＜0 (D)a ＜0，b ＜0解答题： 13．计算：(1);51 (2);208 (3);2814 (4);5)12(÷-(5));74(142-÷ (6));452()403(-÷-(7));6121(211-÷ (8);1543513÷- (9);45332b a b a ÷(10));6(322344c b a c b a -÷(11);152)1021(23÷⨯(12);521431252313⨯÷(13);653034y xy xy ⋅÷(14);3)23(235ab b a ab b ÷-⋅ (15));1843(3211233xyxy x -÷⋅(16)⋅-÷+)2332()2332(14．已知一个圆的半径是cm,90一个矩形的长是135cm ，若该圆的面积与矩形的面积相等，求矩形的宽是多少?15．已知b a ==20,2，用含a ，b 的代数式表示：(1);5.12(2).016.016．已知：如图2，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8．求△ABC 的面积．图217．阅读下列解题过程，根据要求回答问题：化简：)0(2323<<+--a b a ba ab b a b a解：原式a b a b ab a 2)(--= ①aba b a b a --=)(② ab aa )1(⋅=③ ab =④(1)上面解答过程是否正确若不正确，请指出是哪几步出现了错误 (2)请你写出你认为正确的解答过程．18．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式是glT π2=，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝米/秒2，假若一台座钟的摆长为米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内这台座钟大约发出了多少次滴答声( 取问题探究：借助计算器计算下列各题：(1);211- (2);221111- (3);222111111- (4).222211111111- 仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律你能解释这一规律吗与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：个个10012002222111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅＝______．二次根式的加减(1)学习要求：了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式．会进行简单的二次根式的加、减法运算，体会化归的思想方法．做一做： 填空题： 选择题：7．计算312-的结果是( ) (A)3(B)3(C)32(D)338．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) (A)a 4(B)4a (C)4a(D)4a9．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) (A)27(B)12(C)10(D)810．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )(A)3和18(B)3和31 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a11．下列各式的计算中，成立的是( )(A)5252=+ (B)15354=- (C)y x y x +=+22 (D)52045=-12．若121,121+=-=b a 则)(ab b a ab -的值为( ) (A)2 (B)－2(C)2(D)22解答题：13．计算：(1);2523+ (2);188+ (3);50483122+-(4);312712-+ (5);202452321+-(6);12531110845--+ (7);)33()33(22++-(8);5.0753128132-+--(9))455112()3127(+--+； (10)231)13(3-++；(11)a a a aaa a 1084333273123-+-；问题探究教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800cm 2，另一个面积为450cm 2．他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有米金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗如果不够用，还需买多长的金彩带(2＝，保留整数)二次根式的加减(2)学习要求会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算． 做一做：填空题： 选择题：9．在二次根式16,8,4,2中同类二次根式的个数为( ) (A)4 (B)3 (C)2(D)110．下列计算中正确的是( )(A)2323182=⨯= (B)134916916=-=-=- (C)24312312=== (D)a a 242=11．下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )(A)81与18 (B)63与2825(C)48与8.4 (D)125.0与128 12．化简)22(28+-得( )(A)－2(B)22-(C)2(D)224-13．下列计算中，正确的是( )(A)562432=+ (B)3327=÷ (C)632333=⨯(D)3)3(2-=-14．下列计算中，正确的是( )(A)14931227=-=- (B)1)52)(52(=+-(C)23226=- (D)228=-15．化简aa a a a a 149164212-+的值必定是( ) (A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数16．若a ，b 为实数且211441+-+-=a a b ，则22-+-++ba ab b a a b 的值为( )(A)22 (B)2(C)22- (D)32解答题：17．计算：(1))232)(232(-+； (2)2)32(+； (3)2145051183-+；(4);7232318283--+ (5)23)121543(÷-； (6)20072006)65()56()1245()31251(-⋅+++--；(7)33322)1(2m n m n m n m m n ÷-．18．如图2，大正方形的边长为515+，小正方形的边长为515-，求图中的阴影部分的面积．图219．阅读下面的解答过程，然后答题：已知a 为实数，化简aa a 13---． 解：原式.)1(1a a a aa a a --=-⋅--= (1)上述解答是否有错误?答：____________；(2)若有错误，错在______步，错误的原因是____________； (3)写出正确的解答过程．20．阅读理解题：如果按一定次序排列的三个数a ，A ，b 满足A －a ＝b －A ，即,2b a A +=则称A 为a ，b 的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a ，G ，b 满足,Gba G =即G 2＝ab (a ，b 同号)，则称G 为a ，b 的等比中项．根据前面给出的概念，求25-和25+的等差中项和等比中项．问题探究：因为223)12(2-=-，所以,12223-=- 因为223)12(2+=+，所以,12223+=+ 因为347)32(2-=-，所以,32347-=- 请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)625-； (2)⋅+249复 习学习要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简．做一做： 填空题： 选择题： 10．使根式x x 1+有意义的字母x 的取值范围是( )(A)x ＞－1 (B)x ＜－1 (C)x ≥－1且x ≠0 (D)x ≥－111．已知a ＜0＜b ，化简2)(b a -的结果是( )(A)a －b (B)b －a(C)a ＋b(D)－a －b12．在32,9,,,45222xa y x xy +-中，最简二次根式的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)413．下列二次根式中，与35-是同类二次根式的是( )(A)18(B)3.0(C)30(D)30014．计算28-的结果是( )(A)6(B)2(C)2(D)15．估算37(误差小于的大小是( ) (A)6 (B)～(C)(D)16．下列运算正确的是( )(A)171251251252222=+=+=+ (B)1234949=-=-=-(C)20)4()5(1625)16()25(=-⨯-=-⨯-=-⨯- (D)1535)3()5(22=⨯=-⨯- 17．下列运算中，错误．．的是( ) (A)632=⨯ (B)2221=(C)252322=+(D)32)32(2-=-18．若把aa 1-的根号外的a 适当变形后移入根号内，结果是( ) (A)a --(B)a -(C)a -(D)a19．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =； ②a a a 25105=⋅； ③;1.12a aa a a== ④.23a a a =-做错的题是( ) (A)① (B)②(C)③ (D)④20．若)()()(22m n m n n a a m >-=-+-成立，则a 的取值范围是( )(A)m ≤a ≤n(B)a ≥n 且a ≤m (C)a ≤m(D)a ≥n21．用计算器计算,1515,1414,1313,12122222--------…，根据你发现的规律，判断P ＝112--n n ，与1)1(1)1(2-+-+=n n Q ，(n 为大于1的整数)的值的大小关系为( )(A)P ＜Q (B)P ＝Q(C)P ＞Q(D)不能确定解答题： 22．计算：(1);483122+ (2);7002871-+ (3);8121332+-(4))56()56(+⨯-； (5)2)2332(-； (6)25)520(-÷+；(7)m m m m m m m 3361082273223-+-； (8).123132+++23．(1)当a ＜0时，化简aa a a -+-2212；(2)已知x 满足的条件为⎩⎨⎧<->+0301x x ，化简;129622++++-x x x x(3)实数a ，b 在数轴上表示如图，化简：.)()2()2(222b a b a ++--+24．(1)当a ＝5＋1，b ＝5－1时，求a 2b ＋ab 2的值；(2)当41=x ，y ＝时，求31441y yx y x x ---的值．(3)已知154-的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2＋b 2的值．25．若12+x 与y -2互为相反数，求x y 的值．26．已知x ，y 为实数，且499+---=x x y ，求y x +的值．第二十一章 二次根式测试题填空题：(每题2分，共24分)1．函数1-=x xy 的自变量x 的取值范围是______． 2．当x ______时，x x -+-31有意义． 3．若a ＜0，则b a 2化简为______．4．若3＜x ＜4，则=-++-|4|962x x x ______． 5．1112-=-⋅+x x x 成立的条件是______． 6．若实数x 、y 、z 满足0412||22=+-+++-z z z y y x ，则x ＋y ＋z ＝______．7．长方形的面积为30，若宽为5，则长为______． 8．当x ＝______时，319++x 的值最小，最小值是______．9．若代数式22)3()1(a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是______． 10．观察下列各式：,,514513,413412,312311 =+=+=+请将猜想到的规律用含自然数n (n ≥1)的代数式表示出来是______．11．观察下列分母有理化的计算：,4545134341,23231,12121-=+-=+-=+-=+……，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：=+++++++++)12007)(200620071341231121(. ______． 12．已知正数a 和b ，有下列结论：(1)若a ＝1，b ＝1，则1≤ab ； (2)若25,21==b a ，则23≤ab ；(3)若a ＝2，b ＝3，则25≤ab ； (4)若a ＝1，b ＝5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则ab ≤______．选择题：(每题2分，共24分) 13．已知xy ＞0，化简二次根式2x yx -的正确结果为( ) (A)y(B)y -(C)y -(D)y --14．若a ＜0，则||2a a -的值是( ) (A)0 (B)－2a (C)2a (D)2a 或－2a15．下列二次根式中，最简二次根式为( )(A)x 9(B)32-x(C)xyx - (D)b a 2316．已知x 、y 为实数，且0)2(312=-+-y x ，则x －y 的值为( )(A)3(B)－3(C)1(D)－117．若最简二次根式b 5与b 23+是同类二次根式，则－b 的值是( )(A)0(B)1(C)－1(D)3118．下列各式：211,121,27，其中与3是同类二次根式的个数为( ) (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个19．当1＜x ＜3时，化简22)3()1(++-x x 的结果正确的是( )(A)4(B)2x ＋2(C)－2x －2(D)－420．不改变根式的大小，把aa --11)1(根号外的因式移入根号内，正确的是( )(A)a -1(B)1-a (C)1--a (D)a --121．已知m ≠n ，按下列(A)(B)(C)(D)的推理步骤，最后推出的结论是m ＝n ．其中出错的推理步骤是( ) (A)∵(m －n )2＝(n －m )2 (B)∴22)()(m n n m -=-(C)∴m －n ＝n －m (D)∴m ＝n22．如果a ≠0且a 、b 互为相反数，则在下列各组数中不是互为相反数的一组是( )(A)3a 与3b(B)2a 与2b (C)3a 与3b(D)a ＋1与b －123．小华和小明计算XXX)(442a a a +-+时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a －2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是( ) (A)a ＜2 (B)a ≥2 (C)a ≤2 (D)a ≠2 24．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是( )(A)332-=x y (B)y ＝x －2 (C)13-=x y (D)23-=x y解答题：(第25题每小题4分，第26－29题每题4分，第30、31题每题6分)25．计算：(1);21448)21(2+++ (2);836212739x x x ⨯+-(3));32)(32()32)(347(2-++-+(4);211)223(23822+--+⨯- (5);166193232x x x x x x +- (6)).0)](4327121(3[222≥--b ab ab ab a 26．若,03|9|22=--++mm n m 求3m ＋6n 的立方根．27．已知7979--=--x xx x 且x 为偶数，求132)1(22--++x x x x 的值．28．试求)364()36(3xy yxy xy y x y x+-+的值，其中23=x ，27=y ．29．已知正方形纸片的面积是32cm 2，如果将这个正方形做成一个圆柱，请问这个圆柱底面的半径是多少( 精确到，取30．已知：223,223-=+=b a ，求：ab 3＋a 3b 的值．31．观察下列各式及其验证过程：⋅+=+=833833;322322验证： ;3221222122)12(232)12(2322232322222233+=-+=-+-=+-=+-==⋅+=-+=-+-=+-=+-==8331333133)13(383)13(3833383833222233 (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想一个类似的结果并验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为正整数，且n ≥2)表示的等式并给出证明．参考答案第二十一章 二次根式二次根式(1) 1．3≥x 2．21>x 3．34≤x 且x ≠－2 4．0 5．1 6．37．55+8．D 9．A 10．D 11．C 12．C 13．(1)⋅≤21x 且x ≠－1 (2)x ＜－2 (3)x 为任意实数 (4)x 为非零实数 (5)x 为任意实数 14．135+ 15．cm π 16．ab 22 17．53)1(- (2)－2 18．(1)215 (2)21％ 问题探究：6注意x ＝2时要舍去二次根式(2)1．a ，－a 2．32,3--a 3．3 4．1 5．0 6．x ≥y 7．－6 8．n 9．1 10．D 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C 16．C 17．D 18．C 19．C 20．(1)6(2)2521．(1)2x ＋1 (2)y －x 22．1 23．224．(1))3)(3)(3(2-++x x x(2))2)(2(3+-x x x (3))2)(2(4a a a +- (4))53)(53(+-x x 25．(1)小明 (2)因为a ＝9，所以1－a ＜0，所以1)1(2-=-a a 26．(1)2,11)(2n S n n n =+=+ (2),21012110=⨯⨯OA 所以1010=OA(3)222221024232221)210()23()22()21(S S S S S ++++=++++ 434241++=455410=++ 27．(1)秒 (2)秒 (3)米 问题探究：略 二次根式的乘除(1)1．b a 2．y x - 3．－ab 4．x ≤4 5．略 6．33 7．B 8．C 9．B 10．(1)23 (2)37- (3)230- (4)30160 (5)15- (6)237-(7)1222-(8)24 (9)6 (10)9y 2－4x (11)26085+ (12)b a 230 (13)n m m 2+- (14)xz y x 2212-11．(1)22b a a - (2)ab a b )(- 12．(1)22 (2)0 13．2cm 36,cm 34,cm 6,cm 32====∆ABC S AB AC BC 问题探究：分三种情况计算：图1 图2 图3(1)当AE ＝AF ＝10cm 时(如图1)，S △AEF ＝50(cm 2) (2)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图2)，BF ＝8(cm)，)cm (40212==⋅∆BF AE S AEF (3)当AE ＝EF ＝10cm 时(如图3)，⋅==∆)cm (515),cm (512AEF S DF二次根式的乘除(2)1．6 2．10543．56,32-+ 4．－3＜x ≤3 5．B 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B13．(1)55 (2)510 (3)22 (4)5510- (5)22- (6)2(7)－6 (8)332-(9)a a b 52 (10)cab23- (11)23 (12)210 (13)6y 3 (14)ab b a 2- (15)x x y22-(16)625-- 14．cm 152 15．(1)a 5或a 25(2)ba 52或ab 25 16．31648-17．(1)不正确，第②③步出现了错误(2)原式ab ab a a a b a b b a a a b a b a b a =-⋅-=--=--=)1()()(2 18．42问题探究：(1)3 (2)33 (3)333 (4)3333个1001333 二次根式的加减(1)1．23 2．略 3．2 4．23,21 5．123+ 6．10255+7．B 8．D 9．D 10．B 11．D 12．A 13．(1)28 (2)25 (3)2538+- (4)3314(5)52315- (6)523316- (7)24 (8)33132413+ (9)5514334- (10)1 (11)a a32- 问题探究：不够用，还需买78cm二次根式的加减(2)1．3 2．0 3．1560- 4．3 5．xy x y )(- 6．x x 22- 7．212- 8．12 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 14．D 15．A 16．B 17．(1)10 (2)347+ (3)28 (4)26- (5)4523- (6)6338559---(7)2m m n - 18．320 19．(1)有 (2)错在第一步，忽视了a ＜0(因为01>-a，所以a ＜0) (3)原式+--=--⋅---=a a a aa a a 1a a a --=-)1( 20．25-和25+的等差中项为5，等比中项为3± 问题探究：212)2(23)1(+-复 习1．x ＞5 2．x －2 3．1 4．±1 5．0 6．0 7．5 8．2－6a 9．6 10．C 11．B 12．C 13．D 14．C 15．B 16．D 17．D 18．A 19．D20．A 21．C 22．(1)316 (2)7755-(3)2411 (4)1 (5)61230- (6)1 (7)0 (8)323 23．(1)a 1- (2) 4 (3)0 24．(1)58 (2)－ (3)5418- 25．4126．5第二十一章 二次根式测试题 1．x ≥0且x ≠1 2．1≤x ≤3 3．b a - 4．1 5．x ≥1 6．0 7．6 8．3,91-9．1≤a ≤3 10．21)1(21++=++n n n n (n 为自然数且n ≥1) 11．2006 12．416913．D 14．B 15．B 16．D 17．C 18．C 19．B20．D 21．C 22．B 23．B 24．D 25．(1)34242++ (2)x 319(3)2 (4)－11 (5)x x x -27 (6)a ab 32526．3 27．11328．229-29． 30．85 31．(1)=+-==+=154441541544154415443315441444144)14(4154)14(42222+=-+=-+-=+- (2)=-12n nn11)1(1111222232322-+=-+-=-+-=-=--+n nn n n n n n n n n n n n n n n n n (n 为正整数，且n ≥2)。
八年级数学上册第2章实数7二次根式第1课时二次根式的概念及其性质新版北师大版
知识点4 最简二次根式
9. [2024北京东城区阶段练习]下列各式中，是最简二次根式
的是(
A
)
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10. 下列各组二次根式中，化成最简二次根式后，被开方数
相同的一组是(
C
)
A. 与
B. 与
C. 与
−
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(3)验证你找到的规律.
−＋
＝
−
＋ ＝
−
解：
＝n
−
( n ≥2).
−
(4)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数.
答案不唯一，如 6
1
2
3
4
5
.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15
16
17
2. [2024榆林月考]要使二次根式 − 有意义，则 x 的值不
可以取(
C
)
A. 4
B. 3
1
2
3
4
5
6
C. 2
7
8
9
10
11
12
D. 6
13
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版
5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)
＝
1
2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.
＝
＝
＝
D. . ＝
1
2
＝
3
4
5
6
7
8
9
10
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
4
5
6
7
7.1二次根式及其性质
④( )²(a≥-5)
解：①（ ）²=______
②( =____∗___=______
③( )²=______=_______
4( )²(a≥-5)=______(a≥-5)
练一练
①（ ）²②( )²③( )²
④( )²
三．结一结
本节课你学到了什么？谈谈这节课的感受。
4.一个非负数的算术平方根_______.
5.算术平方根具有_______,即a≥0, ≥0.
二．学一学
1．探究二次根式的意义
自学课本P4，并回答下列问题，
（1）乙苗圃的边长分别是______;________;________
（2）观察上述答案有什么共同特点？
（3）由此得到的二次根式的概念：__________________________
③ ④
（2）当x取什么实数时，代数式 有意义？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ由此得出二次根式有意义的结论：
3.探究二次根式的性质
（1）计算：（ ）²=；（ ）²=；（ ）²=；
（ ）²=
由此你发现了什么？
（2）当a≥0时，a的算术平方根是_________,a的算术平方根的平方是________,由此你得到的等式是___________________.
________________________________________________________2.探究二次根式有意义的条件
例1、x取什么实数时，二次根式 有意义？
解：由2x-1≥0得，x≥
∴当x取大于或等于 的实数时，式子 有意义。
练一练
（1）a取什么实数时，下列各式有意义？
① ②
八年级二次根式综合练习题及答案解析
二次根式及其性质复习一．有关概念1、二次根式需要满足的条件是，。
下列各式中，不是二次根式的是（）A、2B、C、D、- E. F. G.H.当x是多少时，+在实数范围内有意义？呢？2、最简二次根式需要满足的条件是不含，也不含。
若和都是最简二次根式，则。
下列各式不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.E. F. G. H.对于二次根式，以下说法中不正确的是（）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为33、同类二次根式需要满足的条件是后，相同。
在中，与是同类二次根式的是。
若最简二次根式与是同类二次根式，则。
二、二次根式的性质1、被开方数的非负性若+=0，求的值．2、结果的非负性若与互为相反数，则。
3、（）2=a （a≥0）(1)(2)(3) (4)(5)(b≥0) (6)(7)；4、(1) (2) (3) (4). (5)若，则____________；若，则____________. 已知实数在数轴上的对应点如图所示，则____________.设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：若时，试化简.5、化简二次根式（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）使等式成立的条件是。
6、化简（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）6如果，那么x的取值范围是（）A、1≤x≤2 B、1＜x≤2 C、x≥2 D、x＞2三、二次根式的应用在实数范围内分解下列因式:(1)；(2).观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，……那么第10个数据应是____________.填空题1. 使式子有意义的条件是。
【答案】x≥4【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x≥42. 当时，有意义。
【答案】-2≤x≤【分析】x+2≥0，1-2x≥0解得x≥－2，x≤3. 若有意义，则的取值范围是。
【答案】m≤0且m≠﹣1【分析】﹣m≥0解得m≤0，因为分母不能为零，所以m＋1≠0解得m≠﹣14. 当时，是二次根式。
专题01 二次根式及其性质
专题01 二次根式及其性质【真题测试】一．选择题（共13小题）1．（2018春•萧山区期末）二次根式中字母a的取值范围是（ ）A．a≥0B．a≤0C．a＜0D．a≤﹣2【答案】B【解析】解：由题意，得﹣2a≥0，解得a≤0，故选：B．2．（2018春•温州期末）要使二次根式有意义，则x应满足（ ）A．x≥6B．x＞6C．x≤6D．x＜6【答案】A【解析】解：根据题意得：x﹣6≥0，解得x≥6．故选：A．3．（2018春•镇海区期末）要使二次根式有意义，则m的取值范围为（ ）A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3【答案】B【解析】解：由题意得，3﹣m≥0，解得，m≤3，故选：B．4．（2018春•拱墅区期末）二次根式中，字母a的取值范围是（ ）A．a B．a C．a D．a【答案】C【解析】解：∵二次根式有意义，∴1﹣2a＞0，解得：a，故字母a的取值范围是：a．故选：C．5．（2018春•拱墅区期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简|a﹣b|的结果为（ ）A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b【答案】B【解析】解：由题意得：a＞b，|a|＜|b|，a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，a+b＜0，∴|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a，故选：B．6．（2018春•嘉兴期末）化简（）2的结果是（ ）A．±3B．﹣3C．3D．9【答案】C【解析】解：原式＝3，故选：C．7．（2018春•丽水期末）化简的结果是（ ）A．2B．﹣2C．±2D．4【答案】A【解析】解：2．故选：A．8．（2018春•天津期末）计算的结果为（ ）A．±3B．﹣3C．3D．9【答案】C【解析】解：3，故选：C．9．（2018春•永康市期末）下列计算正确的是（ ）A．3B．3C．±3D．（）2＝3【答案】D【解析】解：A、，错误；B、3，错误；C、3，错误；D、（）2＝3，正确；故选：D．10．（2018春•沂水县期末）下列等式不一定成立的是（ ）A．（）2＝5B．C．π﹣3D．2【答案】B【解析】解：A、（）2＝5，正确，不合题意；B、（a≥0，b≥0），故此选项错误，符合题意；C、π﹣3，正确，不合题意；D、2，正确，不合题意；故选：B．11．（2017秋•裕华区期末）下列计算正确的是（ ）A．235B．2C．55D．6【答案】B【解析】解：A、错误，不是同类二次根式，不能合并；B、正确，2；C、错误，要注意系数与系数相乘，根式与根式相乘，应等于25；D、错误，算术平方根的结果是一个非负数，应该等于6；故选：B．12．（2018春•莱阳市期末）化简：（ ）A．2x﹣6B．0C．6﹣2x D．2x+6【答案】B【解析】解：由题意可知：3﹣x＞0，∴原式（3﹣x）＝|x﹣3|+（x﹣3）＝﹣（x﹣3）+（x﹣3）＝0故选：B．13．（2018春•萧山区期末）给出下列化简①（）2＝2：②2；③12；④，其中正确的是（ ）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④【答案】C【解析】解：①原式＝2，故①正确；②原式＝2，故②正确；③原式2，故③错误；④原式，故④错误；故选：C．二．填空题（共4小题）14．（2018春•滨江区期末）二次根式中字母x的取值范围是_______．【答案】x≥0【解析】解：二次根式中字母x的取值范围是：x≥0．故答案为：x≥0．。
二次根式及其性质
√
③ 0.3 0.3
2
1 1 2 1 1 1 ④（ ） 3 2 2 3 6
√
练一练
2、计算
① （x 5）( x 5)
2
X-5 X-2
② （2 x）( x 2)
2
③ p 6 p 9 ( p 3) 0.3 -p-3
2
逆用公式
以将一个非负数写成一个数的 平方的形式，进而可以把多项 式在实数范围内因式分解。
1.010010001…
判断： 1、形如 a , 3 a 都是无理数，这 个说法对吗？ 2、如果两个数相除，不管添多少位小数， 永远都除不尽，那么结果一定是个无理 数； 自己举出几个无理数。
观察运动、数形结合
（1）一个单位圆沿数轴从原点开始滚 动一周，此时起点所对应的数为？
（2）你能在数轴上找到表示
练习2: (1).( (2) ( (3) ()
(4) (
) 2 =16 ) 2 =0.81 2 =25 )
2
2 2 (4) ( ) 3 2 2 (5) ( ) 3
(6) 0
2
4 = 9
=0
(5) (
)
2
.
归纳概念
பைடு நூலகம்
如果一个数x的平方等于a,那么这个 数x就叫做a的平方根. 数学语言表示: 若x2=a(a≥0),则x叫a (a≥0)的平方根. 求一个非负数的平方根的运算,叫做开平 方运算。 到目前为止，
a2-7
( a ) =a （a≧0）可
2
b4-7
x4-4x2+4
二次根式及其性质练习题以及答案
二次根式及其性质练习题以及答案【精选问题1】若x是实数,当x满足什么条件时,下列各式有意义.(1)1x-6(2)(2x+3)0(3)x+7(4)1x-1(5)x2+0.1(6)x2-2x+2(7)40.5-x(8)(5-x)-(9)(8-x)-【精选问题2】求下列二次根式的值.(1)(π-3.2)2(2)a2+4a+4,其中a=-5【精选问题3】化简下列二次根式:(1)125(2)12a2(a≥0)(3)113(4)m8n(n>0)(5)x32y(y<0)【精选问题4】判断下列二次根式中,哪些是同类二次根式(先化简)-45,75,613,20,5,0.3【测试训练】一、填空题：1.如果1-x在实数范围内有意义，那么x应满足的条件是___________.2.式了x(x-3)=xx-3成立的条件是_________.3.5-xx-2在实数范围内有意义,x的.取值范围是__________.4.计算：(-4)2=__________;(2-5)2=__________;(3.14-π)2=__________.5.如果x2=-x,那么x的取值范围是_________.6.当m≥时,(4-2m)2=________.7.当m<2时,化简1-x-x2-4x+4的结果是__________.8.化简：750=_________.18a349b2=_________.15x3=_________.9.如果最简二次根式2a-1与11-4a是同类二次根式,那么a=__________.10.2x2y,ab2,3xy5,5(a2-b2),75x3y3,x2+y2,2y2c中,是最简二次根式的有_____________________________.二、选择题11.以下各组中不是同类二次根式的是().(A)8和2(B)54和108(C)8a和32a(D)63和11212.在下列根式中最简二次根式的个数是(). a2+b2,12,15,10,3xy2,3ab(A)5(B)4(C)3(D)2三、解答题13.如果(27-x)2+y+13=0,求xy.14.当m<0时,化简：|m|+m2+(m3)+m.15.解不等式：2x-34+3<13+5x.16.已知x+1x=6,求x+1x的值.。
专题01 二次根式的定义及性质(原卷版)(重点突围)
3
3
33
22 -1
3
3 3 = 3 + 3 ，验证： 3 3 = 33 = 33 - 3 + 3 = 3 + 3 ．
8
8
88
32 -1
8
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 的变形结果，并进行验证． 15
(2)写出用 n （ n 为任意自然数，且 n ³ 2 ）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
13．（2022 秋·安徽合肥·八年级校考期中）观察下列等式： ① 5-1 =3 1
22 ② 6-2 =4 1
33 ③ 7-3 =5 1 ¼
44 (1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______． (2)猜想第 n 个等式，并证明．
14．（2022 秋·湖北孝感·八年级统考期中）观察下列等式：
【考点一 二次根式的定义】............................................................................................................................1 【考点二 二次根式有意义的条件】 ................................................................................................................1 【考点三 求二次根式的值】............................................................................................................................2 【考点四 求二次根式中的参数】 ....................................................................................................................2 【考点五 利用二次根式的性质化简】 ............................................................................................................2 【考点六 复合二次根式的化简】 ....................................................................................................................3 【过关检测】 .....................................................................................................................................................4
二次根式1
二次根式及其性质、化简和运算姓名：____________ 日期：_____________ 教师：___________A 组1．要使式子23x +有意义，字母x 的取值必须满足（ ） A ．32x >- B ．32x ≥- C ．32x >D ．32x ≥ 2．若21m -有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）.1A m =- .0B m = .1C m = .2D m =3．若代数式1xx -在实数范围内有意义则x 的取值范围为（ ）.01A x x >≠且 .0B x ≥ .1C x ≠ .01D x x ≥≠且4．若0ab ≠，则等式531a ab b b --=-成立的条件是（ ） .0,0A a b >> .0,0B a b >< .0,0C a b <> .0,0D a b <<5.求使下列各式均为二次根式的字母的取值范围：（1）39a -_________________ （2）13x -__________________ （3）244a a -+____________________6.函数31y x =-的自变量x的取值范围是________ 7.若二次根式21x -有意义，则x 的取值范围是______8.下列二次根式化简后能与2合并的是（ ） .12A 3.2B 2.3C .18D 9.计算82-的结果是（ ）.6A .6B .2C .2D10.下面计算正确的是（ ）.325.235.()188.943252A x x x B x x x C a x b x a b x D +=⨯=-=-+=+=+=11.下面给出四个算式：2222222(1) 1.50.5 1.50.51(2) 1.50.5(1.50.5)(1.50.5)2(3)(125)12517(4)1251442513-=-=-=+⨯-=+=+=+=+=其中正确的个数是（ ）.1A .2B .3C .4D12.已知二次根式242a -与能合并，则a 的值可以是（ ）.5A .6B .7C .8D13.下列计算正确的是（ ）2.234265.842.2733.(3)3A B C D +==÷=-=-14.下列运算中，错误的是（ ）212.822.22.223252.(23)23A B C D ÷==+=-=-15.计算：188-=____________16.已知7,70,a b ==用含,a b 的代数式表示490=__________17.若218210,2x x x x ++=则x 的值等于___________B 组18、若24n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）.4A .5B .6C .7D19、已知：20n 是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ）.2A .3B .4C .5D20、化简22441(23)x x x -+--得（ ）.2A .44B x -+ .2C - .44D x -21、已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为（ ）.0A .3B .33C .9D22、下列说法正确的是（ ）2.,0.A a a a =-<若则 2.,0B a a a =>若则 4824.C a b a b =.55D 的平方根是23、已知210a b ++-=，那么2009()a b +的值为（ ）.1A - .1B 2009.3C 2009.3D - 24、若x x +-有意义，则1x +=___________ 25、若13n a +是最简二次根式，则自然数n =____________26、已知01a <<，化简2211()44()a a a a +-++-=__________27、若0,a <则2aa =____________________28、已知3a <，则2(3)a -=__________________ 29、21ab b -+与互为相反数，则2()a b +的值是_______30、若a b +与1b -互为相反数，求22a b +的值. 31、若2440,x y y y -+-+=求xy 的值.32.计算：01182(32)()2----=_______________ 33.计算：2613⨯-=________________34.计算：()()()21(1)27(4812)________4(2)31________(3)2525_________∙+=-=+-=35.计算题（1）1011832(19992010)3-⎛⎫---+- ⎪⎝⎭ （2）2313()13272------+（3）()2233682++-+ （4）11(318504)3252+-÷（5）201511235+-⨯ （6）(548627415)3-+÷（7）1212(3484327)8⨯-- （8）()()()2743743251+---36、（1）当210x =-时，求246x x --的值（2）当123x =-时，求21212x x -+的值。
专题04 二次根式概念及其运算(解析版)
专题04 二次根式概念及其运算【题型一】二次根式有意义条件【例1－1】（2020·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．0x >C ．2x >D ．2x ≥【答案】D.【解析】解：由题意知：x-2≥0， 解得：x ≥2， 故答案为：D ．【例1－2】（2020·x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x >且3x ≠D ．2x ≥且3x ≠【答案】D.【解析】解：由题意得：x-2≥0且x-3≠0 解得：x ≥2且x ≠3， 故答案为：D ．【变式1－1】（2020·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．31x -≤< B ．3x ≥-且1x ≠ C ．1x <且3x ≠- D ．1x ≠且3x ≠-【答案】B.x+3≥0，且1-x ≠0 解得：x ≥-3且x ≠1， 故答案为：B ．【题型二】二次根式性质【例2－1】2x =-，则实数x 满足的条件是（ ）A ．x=2B ．x≥2C ．x ＜2D ．x≤2【答案】D.【解析】解：由二次根式双重非负性知， 2-x ≥0， 解得x ≤2． 故答案为：D ．【例2－2】（2020·金华市期中）已知非零实数a ，b 满足212a b a -+-=-则a －b 等于（ ） A ．−1 B ．0C ．1D ．2【答案】D.【解析】解：由题意知，a-2≥0， 即a ≥2则212a b a -+-=-，即10b -= ∴b-1=0，a-3=0， ∴b=1，a=3 a-b=2， 故答案为：D ．【变式2－1】（2020·江苏淮安市期中）9﹣m ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9 B ．m ＜9 C ．m ≥9 D ．m ≤9【答案】D.【解析】解：由题意知，9﹣m ≥0， ∴m ≤9， 故答案为：D ．【变式2－2】（2020·河北邢台市期中）若实数x 、y |1|0y -=，则代数式x y +的值为________． 【答案】1.【解析】解：根据非负性可知：x=0，y-1=0， 即x=0，y=1，x+y=1， 故答案为：1．【题型三】最简二次根式【例3－1】（2020·江苏盐城市期末）若0a >，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】C.【解析】解：A a=BC是最简二次根式，故此选项符合题意；D||a=故答案为：C．【例3－2】（2020·河南洛阳市月考）则整数a的最小值是（）A．0 B．3 C．4 D．12【答案】B.=∴3a是一个完全平方数，∴整数a的最小值是3．故答案为：B．【变式3－1】（2020·中，是最简二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.===22个，故答案为：B．【变式3－2】（2020·四川省阆中月考）下列根式是最简二次根式的是（）AB C D【答案】C.，不是最简二次根式；【解析】解：AB2C是最简二次根式，符合题意；D故答案为：C.【题型四】同类二次根式【例4－1】）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C.x，y为正整数，====∴113 27x y =⎧⎨=⎩，224812xy=⎧⎨=⎩，331473xy=⎧⎨=⎩，共有三组正整数解．故答案为：C．【例4－2】（2020·浙江杭州市模拟）已知最简二次根式与二次根式，则a的值为_________．【答案】±1.【解析】解：由题意可知：3a2+2=7a2-2解得：a=±1，故答案为：±1．【变式4－1】（2020·上海闵行区）已知最简二次根式与x=___．【答案】﹣2.【解析】解：∵最简二次根式与∴x+5=3，解得：x=﹣2，故答案为：﹣2．【变式4－2】与最简二次根式a=________．【答案】12.=又则4-2a=3，解得a=12．故答案为：12．【题型五】二次根式化简【例5－1】（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a-的值相等的是（）AB．C D．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a＞0，则a-2021<0，∴原式=(2021a--==故答案为：D．【例5－2】（2020·四川期末）化简）A B C D【答案】C.【解析】解：由题意知：﹣1x＞0，得x＜0，x故答案为C．【变式5－1】（2020·浙江杭州市模拟）化简二次根式）A B C D【答案】B.【解析】解：由题意知，-（a+2）≥0，即a≤-2∴原式=a=故答案为：B.【变式5－2】（2020·重庆月考）如图，实数a、b在数轴上对应的点分别为A、B，则=_______________．【答案】1-a.【解析】解：由数轴知，a＜b＜1，∴a-b＜0，b-1＜0，∴原式=|a-b|+|b-1|=b-a+1-b=1-a，故答案为：1-a．【变式5－3】当x＝y＝2的值为______．【解析】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝，（x+1）（y+1）＝6；【题型六】二次根式运算【例6－1】已知a+b＝﹣8，ab＝6__．【解析】解：∵a+b=-8，ab=6，∴a＜0，b＜0∴原式=86a bab+⎛⎫-==-=⎪⎝⎭【例6－2】计算：（1）-；（2）【答案】（1）2；（2）2.【解析】解：（1）原式2=+2=（2）原式=22==．【变式6－1】（2020·成都市月考）已知x=y=（1）求222x xy y++的值．（2【答案】（1）40；（2）-6.【解析】解：（1）3=+，y=3=，∴x+y=x-y=6， 原式=（x+y ）2=40 （2）原式=21(2)(1)x y x x y y -+--+=11x y- =y xxy- =61-=-6. 【变式6－2】（2019·广东阳江）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a，求2a a-的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：()111a a a a-===-，又∵a，∴1a=你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 【答案】见解析.【解析】解：刘峰的解法错误，(0)(0)a a a a ⎧⎨-<⎩这个公式，正确解法是：∵a＜1， ∴a ﹣1＜0，＝|1|(1)a a a -- ＝1(1)aa a --＝﹣1a，【题型七】综合题型【例7－1】（2020·四川成都市月考）若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．【答案】21.【解析】解：∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== 解得：a=2，b=5，c=11 ∴2b+c=21．【例7－2】（2020·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2∵a＞0，=a+3.a+3.【例7－3】（2020·河南洛阳市月考）阅读下面的材料，并解决问题．==1；==…（1＝．（2）观察上述规律并猜想：当n示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：+++⨯＝；①1)②1)2020++⨯．【答案】（1）2（2（3）①4；②2020．【解析】解：（1＝2；（21；（3×+1）））﹣2））1）1）＝4；+）×）﹣）×）1）×）＝2020.【例7－4】（2020·长沙市月考）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为S =，如图，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，求123h h h ++的值．【答案】(1)；(2)4． 【解析】解：(1)在△ABC 中，a=8，b=4，c=6，代入可得p=9，∴=；(2) 设AB 边上的高为h 1，AC 边上的高为h 2，BC 边上的高为h 3，则123111222ch bh ah ===，∴1h =，2h =3h =，故h 1+h 2+h 3． 【变式7－1】（2019·浙江台州市期末）在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x y +，xy ，11x y+，x y +，xy 叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）；①1a b -；②()2a b -；③22+y x （2）若x y m +=，2=xy n ，将2y x x y ++用含m ，n 的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：问题1：已知40x y +-=，求22x y +的最小值．分析：因为条件中左边的式子4+-x y 和求解中的式子22xy +都可以看成以x ，y 为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，22xy +可取得最小值． 问题2，①已知224x y +=，则x y +的最大值是______；②已知220x y +-=，则24x y +的最小值是______．【答案】（1）②④（2）222++=y x m x y n，不是；（3）① 4 【解析】解：（1）11a b b a≠--，①不是二元对称式， ()()22a b b a -=-，②是二元对称式， 2222y x x y +≠+，③不是二元对称式，=故答案为：②④；（2）∵x+y=m ，xy=n 2． ∴()22222222++++++=+==x y y x y x y x xy x y xy xy xy， ∴222++=y x m x y n． 当m ，n 交换位置时，代数式的值改变了，∴不是二元对称式．（3）①当x 2=y 2=2时，即当x=y=时，x+y 有最大值，最大值为．②令t=2y ，则x+2y-2=x+t-2=0，2242222x y x y x t =++=+，∴当x=t 时，22x t +取最小值，即24x y +取到最小值，∴x=2y=1时，24x y +取到最小值4，所以最小值为4．【变式7－2】（2019·重庆九龙坡区月考）阅读下列材料：材料1：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去=|11==-=；材料2： 配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法。
人教版八年级数学下第十六章二次根式专题一 二次根式的性质及其运算习题课件
八年级 数学 下册 人教版
3．已知实数 a 满足|2 018－a|＋ a－2 019＝a，求 a－2 0182 的值． 解：由题意得 a－2 019≥0， ∴a≥2 019，∴2 018－a＜0. ∴原式可以变形为 a－2 018＋ a－2 019＝a. ∴ a－2 019＝2 018. ∴a－2 019＝2 0182. ∴a－2 0182＝2 019.
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解：∵点 C 与点 B 关于点 A 对称，
∴|AC|＝|AB|，即 1－x＝ 2－1，
∴x＝2－ 2，
2
2
∴|x－ 2|＋x＝|2－ 2－ 2|＋2－ 2
2（2＋ 2） ＝|2－2 2|＋（2－ 2）（2＋ 2）
＝2 2－2＋2＋ 2＝3 2.
∴x＋1x＝6，
∴x＋1x2＝36，x2＋x12＝34， ∴ x2＋x12＋14＝ 34＋14＝ 48＝4 3.
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10．(荆门中考)先化简，再求值：
a2－b2
a－b a
a2－2ab＋b2·a＋b－a－b，其中 a＝1＋ 3，b＝1－ 3.
（a＋b）（a－b） a－b a 解：原式＝ （a－b）2 ·a＋b－a－b
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2．已知 x，y 为实数，且 y＝ x2－9－ 9－x2＋4，求 x－y 的值． 解：依题意有 x2－9≥0，9－x2≥0， ∴x2－9＝0， ∴x＝±3，y＝4. 当 x＝3 时，x－y＝3－4＝－1； 当 x＝－3 时，x－y＝－3－4＝－7. ∴x－y 的值为－1 或－7.
(5)(3＋ 2)2(3－ 2)－(3－ 2)2(3＋ 2)； 解：原式＝(3＋ 2)(3－ 2)[(3＋ 2)－(3－ 2)] ＝(9－2)×2 2 ＝14 2.
二次根式及其性质
a ( a ) ________ 总结结论： ，其中, a 0
( a ) a(a 0) 的意义是
2
一个非负数的算术平方根的平 方等于这个数本身
。
性质公式(
a )2 =a（a
0）逆用可以得到：
a=( a )2 （a
0）
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
6分钟后比谁能正确做对习题。
1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
(1) （5)
√
32 , (2) 6, (3) x - y（x y),(6)
12,(4) - m ， a2 1 , (7)
3
√ √ 2、下列各式一定是二次根式的是 （ B）
A. x 1, B. x 1, C. x , D
9.1二次根式及其性质
昌邑市奎聚中学 齐亚军
温故知新
平方 （1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是 平方根 a的________, 记为 x ______, a a一定是 非负 数。 _______ （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 __________ 4 2 ； a ，0的算术平 正数a的算术平方根为_______ 方根为_______ ； 0 式子 a 0(a 0) 的意义是 非负数a的算术平方 。 根是非负数
当a分别是什么实数时，下列二次根式有意义？
1
a 1
2
1 a2
3
a 1
2
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
计算：
(1)
( 4)2
7.1二次根式及其性质(3)
预习检测：
1、化简：(1)
3 100
（2）
b 4a 22、判断下列源自次根式那些是最简二次根式？（1）
2
（2） a 2 （3） 24
2 （4） 2
探究点一：商的算术平方根
1、计算下面算式，并比较它们的运算结 果，你有什么发现？
（1）
（2）
4 ＝ 9
4 9 ＝
，
，
验证猜想：
（1）
4 9
22 （ ） = 3
A层：第9页、练习1.2.
B层：习题7.1
A组4、B组1.
同学们, 再见!
商的算术平方根的性质：
商的算术平方根等于被除式 的算术平方根除以除式的算术平 方根。
典型例题
（1）
81 121
（2）
3 400
（3）
b 2c a2
（4）
1 2
b 2c （3） 2 a
b2c a2
b c a
探究点二：最简二次根式
1．观察例5和对应训练一中化简后的 各式，可以发现： 都不含分母 （1）它们的被开方式中___________, 能开得尽方 （2）被开方式中不含有___________ 的因式. 这样的二次根式称为最简二次根式.
变式训练
你能把下面的二次根式化为最简二次根式吗？ 遇到被开方数是带分数 7 （1） 先化成假分数再化简! （2） 1 0.25 9 解:原式= =
1 4
遇到被开 方数是小 数先化成 分数再化 简!
1 1 = 4 2
16 解：原式= 9
= =
16 9
4 3
总结提高
请同学们小结一下本节课的内容： 1、本节课用类比的方法得出商的算术平方根的性质， 具体运用时要注意被开方数的取值范围。 a a a 0, b 0 b b 2、运用性质能化简被开方数是分数、小数或分 式的二次根式。如果被开方数是带分数要先化成假 分数，是小数要先化成分数，然后再运用性质。 3、可以开方的一定要开方!结果要化到最简!
2019秋上册8数学北师版第2章实数2.7.1二次根式及其性质习题课件
是( B )
A．x≥－3
B．x≥2
C．x＞－3
D．x＞2
6．【2017·连云港】关于 8的叙述正确的是( D )
A．在数轴上不存在表示 8的点 B. 8＝ 2＋ 6 C. 8＝±2 2 D．与 8最接近的整数是 3 【点拨】实数与数轴上的点是一一对应的，A 错误； 8与 2 ＋ 6不相等，B 错误； 8＝2 2，C 错误；22＜8＜32，且 8 与 9 接近，所以与 8最接近的整数是 3，D 正确．
A. 18 B. 13 C. 27 D. 12
11．已知 xy＜0，化简二次根式 x －xy2的正确结果为( B )
A. y B. －y C．－ y D．－ －y
【点拨】因为 xy＜0，所以 x＞0，y＜0 或 x＜0，y＞0.又因为 x －xy2有意义，所以 y＜0.所以 x＞0.当 x＞0，y＜0 时， x －xy2＝ －y，故选 B.
A．7
B．－7
C．2a－15
D．无法确定
14．若式子（x－x＋3）1 2有意义，则实数 x 的取值范围是( B )
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠3
C．x>－1
D．x>－1 且 x≠3
【点拨】本题易错在漏掉分母不为 0 这个条件，由 题意知 x＋1≥0 且(x－3)2≠0，解得 x≥－1 且 x≠3.
第二章 实数
1.7 二次根式 第1课时 二次根式及其性质
提示：点击 进入习题
1C 2A
3D
4B 5B
6D 7D
8D
9A 10 B
答案显示
11 B 12 B
13 A
14 B
提示：点击 进入习题
15 x＝13时最小，最小值为 2 16 6 10 17 (1)一定是 (2)在15与16之间 18 (1)都正确．
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二次根式及其性质练
习题
12．5二次根式及性质
知识回顾:：
1.计算下列各式的值.
（1）=449 （2）±=169
121 （3）=256 （4）04.0- 2.求下列各数的算术平方根.
（1）100 （2）0.09 （3）26 （4）0
3.分解因式： (1)22y x -; (2)222b ab a +- ; (3)2282y x -.
目标解读:：
1.知道二次根式的意义.
2.掌握二次根式的基本性质.
3.会根据二次根式的基本性质进行有关计算.
基础训练:
一、填空题
1. 当x ______时，x -3有意义．
2. 已知实数a≤0= ．
3当x ______时，4
3--x x 有意义．
7. 当x _____x _____
5. 当a ______a =；当a ________a =-．
6. 已知2a <= ．
7.x ______时，5
1-x 有意义． 8. 实数a
在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+为 ．
9.
已知27=，则b =_________． 10. =-+)a (a ________．
11. 当a _______
时，式子3a -有意义． 12.
0=，则a =______，b =________．
13. 已知x y ，
为实数，且1y =，则x y y x
+的值为________． 14. 若m
的小数部分，则2m m ++= ． 15. ()()200420032323+- ．
16. 当0x y >，
时，
17. 若x ≤0
，则化简1x --的结果是 .
18.
的整数为 ．
二、选择题
19. 若0x ≤
，则化简1x - ）
Ａ．12x -
Ｂ．21x - Ｃ．1- Ｄ．1 20. 如果等式0(1)1x +=
和23x =-同时成立，那么需要的条件是（ ）
Ａ．1x ≠- Ｂ．23x <且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠- Ｄ．23x ≤且1x ≠-
21. 2得（ ） Ａ．2 Ｂ．44x -+ Ｃ．2- Ｄ．44x -
22 下列说法正确的是（ ）
a =-，则0a <
a =，则0a >
24a b = Ｄ．5
23. ）
Ａ．8 Ｃ．1 Ｄ．0
24. 下列各式中不成立的是（ ）
13=13=- Ｃ．12=-
Ｄ．13=±
25. a =(0)a ≥7512x x =-++=时，x 的取值范围是（ ）
Ａ．7x ≤
Ｂ．5x -≥ Ｃ．7x <或5x > Ｄ．57x -≤≤
26. (00)x y ≠≠，，那么x 和y 应为（ ）
Ａ．00x y >⎧⎨>⎩
Ｂ．00x y <⎧⎨<⎩ Ｃ．00x y >⎧⎨<⎩ Ｄ．00x y <⎧⎨>⎩ 27.
在实数范围内有意义，则x 的取值范围为（ ） Ａ．0x ≥ Ｂ．1x ≥ Ｃ．1x ≠ Ｄ．0x ≥且1x ≠
28. 当1x <等于（ ）
Ａ．1x -- Ｂ．(1)x ±- Ｃ．1x - Ｄ．1x -
29. 若1x <，则x =（ ）
Ａ．0 Ｂ．44x - Ｃ．44x - Ｄ．4x
30. 若a <a 的范围是（ ）
Ａ．0a < Ｂ．0a > Ｃ．1a > Ｄ．01a <<
31. 已知0b < ）
Ａ．- Ｃ．-Ｄ．三、解答题
32. 要使下列式子有意义，字母的取值必须满足什么条件．
（1;
（2
33. 计算：
（1）2; （2）2(;
（3
34.在实数范围内分解因式。
（1）22-x ; （2）532-a ; （3）357x x - ; （4）361224+-a a .
35. 已知实数a 满足1992a a -=，试求21992a -的值．
36. 2(35)0x y ++=
能力拓展:
37．已知x y ，
互为相反数，求22x y -的值．
38. 实数a b ，在数轴上对应点A B ，
的位置如图，化简a b +．
39. 若2x <
3x -.
40.
a >
2a =+
，求a 的值.。