2018年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题(高级中学)

机密☆启用前姓名准考证号2018年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）（科目代码：404）2018年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分。

2.请按规定在答题卡上填涂、作答。

在试卷上作答无效，不予评分。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

１．与向量ａ＝（２，３，１）平行的平面是（）。

Ａ．ｘ－２ｙ＋ｚ＝３Ｂ．２ｘ＋ｙ＋３ｚ＝３Ｃ．２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３Ｄ．ｘ－ｙ＋ｚ＝３２．limx→01-cos xx2的值是（）。

Ａ．０Ｂ．12Ｃ．1Ｄ．∞３．函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上黎曼可积的必要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上（）。

Ａ．可微Ｂ．连续Ｃ．不连续点个数有限Ｄ．有界４．定积分a-a乙b1-xaa 2姨d x（a＞0，b>0）的值是（）。

Ａ．πabＢ．πab2Ｃ．πab3Ｄ．πab4５．与向量α＝（１，０，１），β＝（１，１，０）线性无关的向量是（）。

Ａ．（2，1，１）Ｂ．（3，２，１）Ｃ．（１，２，1）Ｄ．（３，1，２）６．设ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ是Ｒ到Ｒ的函数，Ｖ＝｛ｆ（ｘ）｜ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ，ａ，ｂ∈Ｒ｝是线性空间，则Ｖ的维数是（）。

Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．∞７．在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）。

Ａ．理解Ｂ．了解Ｃ．掌握Ｄ．知道８．命题Ｐ的逆命题和命题Ｐ的否命题的关系是（）。

Ａ．同真同假Ｂ．同真不同假Ｃ．同假不同真Ｄ．不确定二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9．求函数f（x）=3cos x+4sin x的一阶导数为0的点。

１０．设D=2152，x′y′表示x y在D作用下的象，若x y满足方程ｘｙ＝１，求x′y ′满足的方程。

１１．设ｆ（ｘ）是［０，１］上的可导函数，且ｆ′（ｘ）有界。

证明：存在Ｍ＞０，使得对于任意ｘ１，ｘ２∈［０，１］，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤Ｍ｜ｘ１－ｘ２｜。

１２．简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。

１３．给出基本不等式ab姨≤a+b2（a，b≥0）的一种几何解释，并说明几何解释对学生数学学习的作用。

三、解答题（本大题1小题，10分）１４．设随机变量ξ服从［０，１］上的均匀分布，即P｛ξ∈（-∞，x）｝=0，x<0，x，0≤x≤1，1，x>11。

求P｛ξ2∈（-∞，x）｝。

四、论述题（本大题1小题，15分）15．论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16．案例：下面是高中“集合”一章“集合的含义与表示”的部分教材内容：在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有素数；（2）我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；（7）方程x2+3x-2=0的所有实数根；（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。

例（1）中，我们把1~20以内的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把我国从1991—2003年的13年内发射的每一颗人造卫星作为元素，这些元素的全体也是一个集合。

【思考1】上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称为集）。

给定的集合，它的元素必须是确定的。

也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。

“身材较高的人”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。

一个给定集合中的元素是互不相同的。

也就是说，集合中的元素是不重复出现的。

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

【思考2】判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流。

我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A 中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a埸A。

例如，我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A，4埸A，等等。

问题：（1）阅读这段教材，概括与集合有关的新知识点；（6分）（2）阅读这段教材中的【思考2】，说明设置此栏目内容的主要意图；（6分）（3）请说明集合在高中数学课程中的地位和作用。

（8分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理：一个直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

请你完成下列任务：（1）请你设计一个探索该定理的活动或问题情境，并说明设计意图；（10分）（2）请你设计一个习题（不必解答），以帮助学生理解该定理，并说明具体的设计意图；（10分）（3）请你设计一个习题（不必解答），进一步巩固、应用该定理，并说明具体的设计意图。

（10分）2018年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案及解析一、单项选择题1.【答案】D 。

解析：本题考查平面的法向量、向量的垂直等相关知识。

平面的法向量是垂直于平面的非零向量。

在直角坐标系中，与平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０（A ，B ，C 不同时为0）的法向量ｎ＝（Ａ，Ｂ，Ｃ）垂直的非零向量平行于该平面。

经验证，向量ａ＝（２，３，１）只与D 项中平面的法向量（1，-1，1）垂直。

故本题选D 。

2.【答案】B 。

解析：本题考查函数极限的计算。

（方法一）当x →0时，1-cos x ~12x 2，所以lim x →01-cos x x2=lim x →012x 2x 2=12。

（方法二）本题可以用洛必达法则计算，lim x →01-cos x x2=lim x →0sin x 2x =12lim x →0sin x x =12。

故本题选B 。

3.【答案】D 。

解析：本题考查黎曼可积的条件。

若函数f （x ）在[a ，b ]上（黎曼）可积，则f （x ）在[a ，b ]上必有界（可积的必要条件），故本题选D 。

下面说明其他三个选项。

可积的充分条件有以下3个：①函数在闭区间上连续；②函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；③函数在闭区间上单调。

由此可排除B 项和C 项。

又因为在一元函数中，可微一定连续，且连续一定可积，但反之不成立，故排除A 项。

一元函数在闭闭闭区闭间上连续、可导、可微、可积、有界的关系图如下：有界连续可导可微可积4.【答案】B 。

解析：本题考查定积分的几何意义或定积分的计算。

（方法一）定积分a -a乙b 1-xaa 2姨d x 表示被积函数y =b 1-x aa 2姨与x 轴所围成的图形的面积，即椭圆x 2a2+y 2b 2=1在x 轴上方部分的面积。

而椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的面积为πab 。

所以a -a乙b 1-xaa 2姨d x =πab 2。

（方法二）本题也可用第二换元积分法计算。

令x =a sin t ，由于-a ≤x ≤a ，所以-π2≤t ≤π2，且d x =a cos t d t ，所以a-a乙b 1-xa a2姨d x =π2-π2乙b cos t ·a cos t d t =ab π2-π2乙cos 2t d t =ab π2-π2乙cos2t +12d t =ab 2π2-π2乙cos2t d t+π2-π2乙d at =πab 2。

故本题选B 。

5.【答案】C 。

解析：本题考查向量组的线性相关性。

（方法一）若一个向量组中，一个向量可由其余向量线性表出，则这几个向量必线性相关；若一个向量组中，任意一个向量都不能被其余向量线性表出，则这几个向量必线性无关。

本题中，若向量γ与向量α和向量β线性相关，则存在不同时为零的实数x ，y ，使得γ=x α+y β=（x +y ，y ，x ），经观察，ABD 三项中的向量都能被α和β线性表出。

故本题选C 。

（方法二）向量组α，β，γ线性无关圳矩阵A =（αT ，βT ，γT ）满秩圳|A |≠0。

依次验证四个选项所对应的矩阵的行列式是否等于零即可。

下面以选项C 为例进行计算。

|A |=11101211=1110120-1=2≠0，所以向量（1，2，1）与向量α和向量β线性无关。

故本题选C 。

6.【答案】B 。

解析：本题考查线性空间的维数、线性空间的基。

由题意知，线性空间V 中的每一个元素都是cos x 和sin x 的线性组合。

而cos x 和sin x 是线性无关的，这是因为如果存在实数m ，n ，使得m cos x +n sin x =0对任意x ∈R 都成立，则m =n =0。

因此cos x 和sin x 是线性空间V 的一组基，所以V 的维数是2。

故本题选B 。

7.【答案】C 。

解析：本题考查课程目标行为动词的相关知识。

在课程标准中有两类行为动词，一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解（知道）、理解、掌握、运用”等术语。

另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。

每一组术语中按照从前到后的顺序要求递增，即行为动词按要求的高低排序为：了解（知道）<理解<掌握<运用，经历<体验<探索。

故本题选C 。

8.【答案】A 。

解析：本题考查命题的相关知识。

命题P 的逆命题和命题P 的否命题互为逆否命题，而互为逆否命题的两个命题同真同假。

故本题选A 。

二、简答题9.【参考答案】本题考查函数的导数及正切函数的相关知识。

由题意可知，f ′（x ）=-3sin x +4cos x ，令f ′（x ）=0，则-3sin x +4cos x =0，所以tan x =43。

因为函数f （x ）的定义域为R ，且正切函数是周期为π的函数，所以使得f ′（x ）=0的点为x =arctan 43+k π，k ∈Z 。