第一章第4节复合函数与初等函数剖析

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函数的概念与性质、反函数、复合函数

函数的概念与性质
函数
一、区间及领域二、函数的概念三、函数的几种特性四、初等函数五、常用经济函数
函数(第一章)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。
定义设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集，如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2. 有界性有界性
有界有上界有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
一、区间与邻域
1.区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]

高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数是由复合而成立。

函数是由复合而成立。

a是中间变量。

2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。

对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。

∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。

有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。

例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。

②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。

∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。

注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。

1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。

2、已知求g（x）的单调区间。

提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

第一章函数、极限、连续第1节函数★基本内容学习一基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。

2函数概念的两要素①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。

3函数的三种表示方法①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函数22221x y a b+=。

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212x vt y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩称作参数式。

参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。

4函数的四个基本性质①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ∀∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。

注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ∃>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。

④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ∀∈<,恒有：()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。

复合函数课件

2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则，可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外函数交换位要解方程f(g(x))=x，找到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。

1-4复合函数,反函数,初等函数

cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x .
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
在 [1,) 内单调增加.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
数学分析
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
y
y tan x
y tan x的性质：
•周期为的周期函数 •无界函数：
lim tan x
x 0 2
y tan x

lim
x 0 2

tan x
2
O
2

x
•渐进线：x •特殊值：
tan(k ) 0 k 0,1,2,.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
（3）.对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
数学分析
y
1-4复合函数,反函数,初等函数
1
2
y sin x

3 2

第一章第4节复合函数与初等函数

作业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成．平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本．在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数．成本函数平均成本函数
3x 2 例如函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求其定义域：（ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，

02 复合函数、反函数、初等函数

y ax
(a 1)
• (0,1)
11
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铃
3. 对数函数 y loga x (a 0,a 1)
y ln x
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
12
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4. 三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
13
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幂函数指对数数函函数数三角函数反三角函数
23
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铃
幂函数 y = x α （∈R），
指数函数 y = a x （a ＞0,且 a ≠1）对数函数 y = log a x (a＞0,且a≠1) 三角函数 y = sin x , y = cos x
y = tan x , y = cot x 反三角函数 y = arcsin x , y = arccos x
例如 y x3 , x R是单射，其反函数为x 3 y, y R 通常写作y 3 x, x R
7
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y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
8
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铃
三、初等函数
余割函数 y csc x 1
sin x
y csc x
18

高等数学第一章函数

不是有限集的集合称为无限集
集合的表示法：
列举法 A {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}
描述法 M {x x具有性质P}
常见的数集 N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
பைடு நூலகம்
它们间关系: N Z, Z Q, Q R.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
A B=B，A B=A，其中A B A （A B）=A，A （A B）=A
（6） ( A B)c AC BC , ( A B)c Ac Bc
注意
A与B的直积AB {(x,y)xA且yB}
例如：R R= {(x,y)xR，yR} 表示整个坐标平面，记作 R2
2）区间
设实数 a b，开区间 (a,b)＝{x | a x b}，记作 (a,b)．数轴上表示点 a 与点 b 之间的线段，但不包括端点 a 及端点b．闭区间[a,b] ＝{x | a x b}，记作[a,b] ．在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，包括两个端点．. 集合{x | a x b}记作 (a,b]，称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ，称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间，数b a 称为这些区间的长度．
为因变量，实数集 D 称为这个函数 f 的定义域．
对于每个 x D ，按照某种对应法则 f ，总存在唯
一确定的实数值 y 与之对应，这个实数值 y 称为函数
f 在 x 处的函数值，记作 f (x) ，即 y f (x) ．当 x 遍取
实数集 D 的每个数值,对应的函数值的全体组成的数
集W {y | y f (x), x D}称为函数 f 的值域．
二、复合函数

4.1 复合函数的定义

2018/7/25
3
xφ
●
Dφ
u
f
●
Rφ Df
y ● Rf
定义设有函数
y = f(u), u∈Df ,
①
u = φ(x), x∈Dφ , 且使得 Rφ ∩ Df ≠ Ø 成立. ② 则由
y = f(φ(x)), x∈Dφ 确定的函数称为由①, ②确定的复合函数. 称函数 y =f (u) 为外层函数, 函数 u =φ(x) 为内层函数.
R = 5L , 而利润 L 与该企业产品的产量 Q 有关, 其关系为
L = Q0.3. 把 L = Q0.3 代入 R = 5L 中去, 得到 R = 5Q0.3.
一般地, y f (u), u ( x) 把到uy(fx(u)代)中入 y f (( x))
这样的一种运算过程是把函数φ(x)作为另一个函数y的自变量而代入的, 我们把它称为复合运算(或函数的函数).
为了说清楚这个问题, 我们应该先来了解函数的几种运算: 四则运算、复合运算、求逆运算. 在第一讲和第二讲我们已经学习了四则运算和求逆运算, 这一讲主要学习复合运算.
2018/7/25
2
问题: 收入 R 与产量 Q 是否有关呢？其关系又为什么呢？
4.1 复合函数的定义
设某企业经营者每年的收入 R 与该年利润 L 有关, 其函数关系为
y =arcsin(cosx), x∈R.
2018/7/25
5
比如, 两个函数 y =f(u)=arcsinu (u∈[−1,1]),
而当 u=φ(x)= 2+x2 时, 其值域为Rφ=[2,+∞). 显然无论内函数的自变量 x 取何值, 此时内层函数都不能代入到外层函数中去, 此时的函数 f 和函数 φ 都不能复合.

复合函数概念精析

复合函数概念精析蓝田县浪湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。

但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关容很有必要。

一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u) , u=g(x),那么y关于x的函数y=f [g(x)] 叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。

例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。

由于上述定义中对“复合” 的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。

它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a f(x)北-g(x)或a f(x)・b -g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一白变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的籍的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。

白变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。

例如，复合函数y=sin 2x是白变量x先“乘2”(第一次映射)，再“取正弦”(第二次映射)，最后得到y关于x的一个函数sin 2x。

因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。

考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)

高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题1－3：1，2，3，45．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．第四节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5（重点）第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题1－6：1，2，4第七节：无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高无穷小的比较（重要）阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第八节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT

求arccos x
在[0, ]内确定一点使cos x 则arccos x
例如求 a 1 r ) ccos(
2
因为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中得到的表达式 f[g(x)]是有意义的则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量的新函数称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?

复合函数与反函数初等函数

复合函数的分解分解原则分解以后的各函数为基本初等函数或简单函数简单函数是指由基本初等函数通过四则运算而得到的一个数学关系例6
第3节复合函数与反函数初等函数
一、复合函数二、反函数三、初等函数四、小结与习题
一、复合函数映射—函数复合映射—复合函数
g (D)
1.复合函数定义定义：设有两个函数
y f (u),u D1
u g ( x), x D
如果 g (x) 的值域 Rg 与 f (u ) 的定义域 D f 满足
Rg D f
则称由函数 u g (x) 与函数 y f (u ) 构成一个
( 复合函数，记作：f g 即 ( f g）x) f ( g ( x)), x D
f ( g ( x))
与 g ( f ( x)) 不是同一个函数；
第三，函数的复合可由多个函数构成。
2 y (u) lg u (u (0,), u ( x) - x ( x R) 例2．设
由于故
R( ) (-,0],
R( ) D( ) (-,0) (0,)
2 x
是初等函数。注：分段函数一般不是初等函数，如符号函数 y sgn x不是初等函数，绝对值函数 y x 虽然可
x x2 分段表示，但由于
，故仍是初等函数。
四、小结与习题
1.复合函数的复合与分解 2.反函数及其求法 3.基本初等函数、初等函数的形式以及相关图像与性质 4.习题1-3分析 1、3、4双数，7、8、9
性质（单调性、奇偶性）
x (3)指数函数—— y a（a 0，且a 1），x (-,)
分a 1和0 a 1 两种情况，讨论指数函数的图像

高等数学第一章第4节.ppt

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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例如, 函数f(x)=x在开区间(a, b) 内既无最大值又无最小值.
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定理1(最大值和最小值定理)
在点x0也连续. >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(−∞, +∞)内连续, 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的. 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的.
首页
定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续, 那么它的反函数x=f −1(y)在区间Iy={y|y=f(x), x∈Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的. 例2 由 y=sin x 在间[−π , π ] 上调加连 , 于区 [− 单增且续 2 2 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[−1, 1]上也是连续的. 同样, y=arccos x 在区间[−1, 1]上是连续的. y=arctan x 在区间(−∞, +∞)内是连续的. y=arccot x 在区间(−∞, +∞)内是连续的.
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•间断点举例例2 函 y =sin 1 在 x=0 没定 , 数点有义 x 所以点x=0是函数的间断点. 当x→0时, 函数值在−1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.
1 y=sin x
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•间断点举例
x2 −1 x 1 例3 函 y = 数在 = 没定 , 有义 x−1 所以点x=1是函数的间断点. x2 −1 =lim(x+1 =2 ) , 因 lim 为 x→ x− 1 1 1 x→ : x=1 y=2, 如果补充定义: 令x=1时y=2, 则所给函数在x=1成为连续, 所以x=1称为该函数的可去间断点.

(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

全面剖析复合函数及性质

全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学（272500）丁阳会一、复合函数的定义.一般地，对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数，函数u =g(x)称为内函数，u 称为中间变量。

复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数，例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。

二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==（内函数）（外函数）),(),(x g u u f y ，该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ，即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系，其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域，外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域，内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。

（一）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。

已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2]，求函数)1(2x f y +=的定义域.分析：)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ，外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域，求复合函数的定义域，只须解不等式2112≤+≤x ，便可求出其定义域.解：由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ，11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1，1]。

01高数第一章

分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数.
(2) 隐函数如果自变量与因变量的对应关系是用一个方程 F(x，y)=0确定的，这种函数称为隐函数. 例如x2+y2=r2，x+y=exy等，相应地，我们将前面讨论的函数称为显函数. (3) 参数方程所确定的函数在许多实际问题中，变量x与y之间的函数关系还可以用含某一参数的方程组来确定，如
f(x)=
就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.
【例3】已知(1) f(2x-1)=x2;
【解】(1) 令2x-1=t，解出
(2)
由题设，得
由于函数关系与变量的记号t无关，将变量的记号t换成x，得所求函数为
(2) 令
由题设，得
将变量的记号t换成x，得所求函数
函数关系与变量的记号无关，例如，是同一函数.
【例3】就函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界). 又 |sinx|≤1 对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内是有界的. 这里M=1 (当然也可取大于1的任何数作为M而使|f(x)|≤M成立).
二、复合函数
定义1若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将 y=f(u),u=g(x) 合并写成 y=f［g(x)］
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.
【例4】试设置中间变量，将复合函数y=lnsinx/2分解成若干个简单函数. 【解】由内层依次到外层，层层设置中间变量，即令

高等数学微积分第1章第4567节反函数复合函数初等函数经济应用.ppt

例2 函数 y f (u) u 与 u g( x) 1 x2 是否构成复合函数?
解因 D( f ) [0,) R(g) (,1] 而 D( f ) R(g) 故可以构成复合函数复合关系式为 y f [g( x)] 1 x2
定义域为 D x 1 x 1.
例3 设 f ( x)的定义域为[0,1] ,求
例4 考察三角函数的反函数.
解
y
sin x
,
x
[
,
]
时有反函数
22
x arcsin y y [1,1]
即y arcsin x x [1,1].
y cos x , x [0, ] 时有反函数
x arccos y y [1,1] 即y arccos x x [1,1].
y
tan x
,
x (
y sec x 1 cos x
(正割函数)
y csc x 1
(余割函数)
sin x
6.反三角函数
(1)反正弦函数：y= arcsin x
正弦函数y=sin x在区间
[ π,π] 22
上单调增
加,值域为[－1,1].将y=sin x在 [ π , π ] 上的反函
22
数定义为反正弦函数,记为y=arcsin x,其定义域
,
)
时有反函数
22
x arctan y y ( , )
即y arctan x x ( , ).
y cot x , x (0, ) 时有反函数
x arc cot y y ( , ) 即y arc cot x x ( , ).
第五节复合函数
一.定义 (1) y f (u) D( f ) R( f )

复合函数和初等函数

1.1.4 复合函数、初等函数
单击此处添加副标题
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
D
C
A
B
基本初等函数
课前复习
5、三角函数
反三角函数
1.复合函数
注意：
CONTENTS
例如：
01
可看作由
02
复合而成。
03
和
04
其中，
05
为外层，
06
不能复合。
复合后的函数要有意义
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
4、注意复合次序：
01
复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。
02
例1
03
例2
04
的复合。
例3 指出下列各函数的复合过程：
01
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
02
复合而成的
03
复合而成的
复合而成的
复合而成的 ຫໍສະໝຸດ 0102初等函数
分段函数是其定义域内的一个函数. 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
分段函数
7（1）~（5）
预习：数列的极限
作业：习题1.1：
03
例4
例5
*例6
复合而成
复合而成
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，
等等。
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2.初等函数
1.1.5 分段函数
如