人教B版高中数学-选修2-3教学案-正态分布(Word)

6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．
解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.
答案：0.954 4
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：若随机变量X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x＝μ对称，故P(X≤μ)＝ .
答案：
4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c＝________.
解析：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，
[精解详析]由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1<X<3)＝P(1－2<X<1＋2)＝0.682 6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1<X<1)＝P(1<X<3)＝ P(－1<X<3)＝0.341 3.
[一点通]
解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，
7．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？
解：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)，
故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，
_2.4 正态分布
1．正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ ，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．
期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．
∴ ＝2，解得c＝2.
答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．
解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1.
因为该正态曲线关于x＝5对称，
所以P(5<X<7)＝ P(3<X<7)＝ ×0.954 4＝0.477 2.
正态分布在实际生活中的应用
[例3](10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝ ，则这个正态总体的均值与标准差分别是()
A．10与8B．10与2
C．8与10D．2与10
解析：由正态曲线f(x)＝ 知，
即μ＝10，σ＝2.
答案：B
2．如图是正态分布N(μ，σ )，N(μ，σ )，N(μ，σ )(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()
[思路点拨]因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．
[精解详析]因为身高X～N(174,9)，
所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，
A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3
解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：A
正态分布中的概率计算
[例2]在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨]解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．
正态分布的概念及正态曲线的性质
[例1]如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[思路点拨]给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
[精解详析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是 ，所以μ＝20.
由 ＝ ，得σ＝ .
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝ · ，x∈(－∞源自文库＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝( )2＝2.
[一点通]
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；
P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.
可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
3 000×0.477 2≈1 432(人)．
[一点通]
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
3．正态分布的3σ原则
P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；