第二代小波变换及在不规则测点重磁资料处理中的应用

第二代小波变换及在不规则测点重磁

资料处理中的应用1

刘天佑，史辉，吴小羊

中国地质大学，湖北武汉（430074）

E-mail：liuty4508@

摘要：1994年swelden提出了基于提升算法的第二代小波，它继承了第一代小波的多分辨特性；不依赖傅立叶变换，小波变换后的系数是整数，运算速度快；并且可以实现不规则测网数据的小波分析。本文实现了基于提升算法的第二代小波变换，并把它应用于不规则测点的重力数据的处理，该方法比预先将不规则测点的重力数据经过二次插值网格化，再进行第一代小波分析的方法不仅精度高，而且失真小。它可用于1：5万～1：20万石油高精度重磁勘探中对不规则测网数据的处理。最后利用第二代小波变换处理了江南古陆CHAMP卫星磁测数据。

关键词：第二代小波提升算法高精度重磁勘探不规则测网江南古陆 CHAMP卫星磁测中图分类号：P3

1．引言

重磁勘探是方法理论成熟，覆盖面积广，应用领域十分广泛的两种地球物理方法。在1：20万或更小的比例尺重磁勘探的数据采集中，通常采用不规则测网。近年，随着人们绿色与环保理念的增强，为了在施工中不砍伐树木、破坏生态环境，在1：10万，1：5万比例尺的重磁数据采集中也常常采用不规则测网。在石油重磁勘探中，由于被探测的目标埋深大（通常密度界面、磁性界面深度在3～10km），产生的重磁异常弱，为了探测深部构造，近年国内已开始采用“高精度三维重磁采集方法”，其做法是沿测点号观测一次，再沿测线号观测一次，通过多次观测来提高观测精度。例如在我国南方复杂地形的石油重磁勘探，1：5万重力设计精度为0.09×10-5m/s2，而实际可达到0.065×10-5m/s2，在野外采集这一环节，目前国内已经可以达到相当高的精度。重磁资料数据处理，如利用傅立叶变换的频率域位场转换，小波分析等，都要求观测数据是等间距的，即规则测网数据。对于实测不规则测点数据，通常要先做网格化处理变为网格数据，由于对不规则测点重磁数据做了网格化（如采用距离平方反比、克吕金法等等），原本野外采集的数据其高精度将由于网格化过程而丧失。因此，寻找一种能够保持原始重磁观测数据高精度的处理方法具有十分重要的意义，它是实现野外采集与室内资料处理同时高精度的重要途径。本文介绍的第二代小波变换是一种能够直接对不规则测点重磁资料进行小波分析的新方法，由此可以对不规则测点重磁资料进行去噪，位场分离等等处理与解释。1994年，W.Sweldens等人针对第一代小波的局限性，提出了一种不依赖傅立叶变换的新的小波构造算法－提升算法（Lifting scheme）[1][2]，称之为第二代小波变换，其主要特点有：继承了第一代小波的多分辨特性；不依赖傅立叶变换；小波变换后的系数是整数[3]，；基于多项式内插的思想，所有运算都在空间域进行，从而摆脱了对频域的依赖[4]。由于无需傅立叶分析，运算速度大大加快，且逆变换也容易实现，它还简化了小波函数的构造（将小波构造转化为选用合适的插值算法）。对于重磁数据处理，第二代小波变换还有一个重要应用就是可以实现不规则点数据的小波分析。

2．第二代小波变换的基本原理

1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20050491504）的资助。

第二代小波是一种基于提升算法（Lifting scheme ）的小波，它主要包括分裂（Split ）、预测（Predict ）、更新（Update ）三个步骤。

2.1分裂（Split ，又称为惰性小波变换）

此步骤是将原始的离散数据j λ分割为两部分1−j r 和1−j λ。通常是将数列进行奇、偶分割，即把原始数据k j ,λ分成偶数部分k j ,1−λ和奇数部分k j r ,1−。

k j k j 2,,1λλ=−，12,,1+−=k j k j r λ （1）

2.2预测（Predict ，对偶提升过程）

针对数据间的相关性，可以用1−j λ去预测1−j r ，因此可以采用一个与数据集结构无关的预测算子)(1−j P λ来作为1−j r 预测值，用1−j λ和它的预测值之间的差值来代替1−j r ，称这个差值为小波系数（即信号的细节部分）：

)(111−−−−=j j j p r λλ （2）

式中()P ⋅为预测函数，通常利用插值方法构造出一个多项式。

要提取信号的突变特征，通常选用平滑插值多项式，如线性插值、立方插值等等，因为在信号的突变部分，采用平滑预测函数得到的数据会与原始数据差值较大，而在信号的平缓部分，采用平滑预测函数得出的数据则相反。即细节系数的大小表征了信号的平滑程度，这样就提取了信号的突变特征。在第二代小波中，小波的选取就简化为选择什么样的插值方法。通常线性插值是用周围的两个点预测中间值，消失矩为1；立方插值用周围的四个点预测中间值，消失矩为2。消失矩越大，则预测的平滑性越好，但同时破坏了分析的局部性，在实际应用中，消失矩一般不超过6。

2.3更新（Update ）

经过以上两个步骤产生的系数子集1−j λ的某些整体特征（如均值）可能与原始数据并不一致。为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新过程，得出原信号的概貌部分，从而建立起多分辨率信号分解框架。

)(111−−−+=j j j r U r λ （3）

式中()U ⋅为更新函数，可采用线性函数或者更高阶次的平滑函数，具体形式与整体特征以及预测函数有关。

图1给出了利用第二代小波变换分解和重构的示意图，利用不同的预测算子P 和更新算子U 可以建立不同的小波变换。

图1 第二代小波变换提升算法的分解与重构示意图

3．不规则测点重磁资料的第二代小波变换

图2是数据采集长度n ＝64，不等间距的重力数据第一代小波与第二代小波去噪结果对

比，图2a 是原始重力数据曲线，图2b 是在上述数据曲线上加了随机噪声。为了对该资料进行去噪及位场分离，首先要将不等间距数据用二次插值方法得出等间距的数据集，然后再用傅立叶变换或第一代小波变换方法进行处理。图2c 是通过二次插值，再用第一代小波去噪处理后的结果。由该结果可以看出，经二次插值与第一代小波去噪重构后，曲线变得光滑，失去原有的宝贵信息，并且尾部出现了振荡。而图2d 是直接采用第二代小波变换去噪，它很好的保留了原始信号的局部特征。由此可见，对于不规则测点的高精度重磁测量资料，采用第二代小波变换可以保留原有采集数据的高精度，同时可以对不等间距的重磁数据进行各种处理。

a 不等间距的重力数据曲线

b 含噪声的不等间距重力数据曲线

c 第一代小波去噪重构结果

d 第二代小波去噪重构结果

图2 不等间距重磁数据第一代小波与第二代小波去噪结果对比

图3 图2中0～0.3区间第一、二代小波重构对比

图3是图2中0～0.3区间第一代小波与第二代小波去噪重构对比图。由图可以看出第二代小波重构的信号很接近原始信号，而第一代小波重构后的结果则有较大的偏差。

4．江南古陆CHAMP 卫星磁测数据处理

图4是德国波茨坦地球科学研究中心(GFZ)公布的CHAMP 卫星磁测数据，所取的范围是东经o o 122~98，北纬o

o 34~20。间距均为15分，一共有共5529个数据。由于观测数据在