直线与圆-韦达定理

1直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的动直线l 与直线m 相两点,M 是PQ 中点. (Ⅰ)l 与m 垂直时,求证:l 过圆心C ;(求直线l 的方程;(Ⅲ)设t =AN AM ⋅,试问t 是否为定值2（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．3．圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；（2） 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P （1，1）满足2PB AP =，求直线l 的方程。

4．圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若2OP PQ ⋅=-，求实数k 的值； （3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M5．如图，圆C ：0)1(22=+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：422=+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得BNM ANM ∠=∠？6．（14分） 已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.7．圆0122:22=+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥．（1）当1=b 时，求k 的值； （2时，求k 的取值范围．8．圆C ：22(3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两个不同的点，M 为P 、Q 的中点．（Ⅰ）已知(3,0)A ，若0AP AQ ⋅=，求实数k 的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ⋅为定值．9l 与圆O 交于不同的两点,A B ，上的动点，过P 作圆O 的两条切（3）若EF 、GH 为圆O ：222x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为，求EGFH 的面积的最大值.10．已知圆C ：，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）若直线l过点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．11．已知圆M 过坐标原点O M 分别与x 轴、y 轴不同于原点O ），求面积为定值；（Ⅱ）设直线M 交于不同的两点C ，D ，且||||OD OC =，求圆M 的方程；（Ⅲ）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5=x 上的动点，直线PE ，的另一个交点分别为G ，H ，求证：直线GH 过定点.12．圆C 的圆心在坐标原点，与直切.（1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点G （1,3）作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M,N ，求直线MN 的方程；（3）若与直线1l 垂直的直线l 不过点R （1,-1），且与圆C 交于不同的两点P ，Q.若∠PRQ 为钝角，求直线l 的纵截距的范围．13．(本小题满分12分) 已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.(2) 在直线OA 上（，存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.轴于点D，直线BM交直.参考答案1．(Ⅰ)详见解析 (Ⅱ) 1-=x 或0434=+-y x (Ⅲ) t 是定值-5 【解析】试题分析：(Ⅰ) 当l 与m 垂直时斜率相乘为1-，从而得到l 斜率及方程(Ⅱ)直线与圆相交(Ⅲ)先将直线l 设出，与圆联立求出M 点坐将直线l 与直线m 联立求得，代入t =AN AM ⋅中化简得常数，求解时需注意直线方程分斜率存,10==AR AC AM AN =⋅=-AM 另解二:连结CA 并延长交直线 所以四点B N C M ,,,都在以AM AN AM =⋅=-考点：1.直线方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.向量的坐标运算 2．（Ⅰ）224x y +=;（Ⅱ）存在点Q ，使得OQ OA OB =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆O 的半径为r ，因为直线340x y --=与圆O 相切，所以|0304|213r -⨯-==+，即可求出圆O 的方程为 224x y +=.（Ⅱ）方法一：因为直线l ：3y kx =+与圆O 相交于A ，B 两点， 所以 2|3|21O l d k -=<+， 所以52k >或52k <- ，假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+，因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，同时||||OB OA =由向量加法的平行四边形法则可知，四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ == 10分即 2|3|11O l d k -==+，解得28k =， 22k =±，经验证满足条件，所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+ ；方法二：假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+．记OQ 与AB 交于点00(,)C x y ，因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，因为直线l 斜率为k ，显然0k ≠，所以OQ 直线方程为1y x k =-，31y kx y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得02023131k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以点Q 坐标为2266(,)11k M k k -++，因为点Q 在圆上，所以226()1k k -++226()41k =+，解得28k =，即22k =±，经验证满足条件，所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+.试题解析：解：（Ⅰ）设圆O 的半径为r ，因为直线340x y --=与圆O 相切，所以 |0304|213r -⨯-==+ 3分所以圆O 的方程为 224x y += 5分（Ⅱ）方法一：因为直线l ：3y kx =+与圆O 相交于A ，B 两点，2- 7分 ，使得OQ OA OB =+ 8分在圆上，且OQ OA OB =+，同时||||OB OA = 分分 即18k =， 12分，使得OQ OA OB=+ 13分Q ，使得OQ OA OB =+．记OQ 交于点00(,)C x y 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 因为直线l 斜率为k ，显然0k ≠，所以OQ 直线方程为分 2313k k -=+， 所以点Q 分 因为点Q 在圆上，所以，解得28k = 11分 ，经验证满足条件 12分，使得OQ OA OB =+ 13分.2.直线与圆的位置关系.3．（1）证明见解析；（2）01222=+--+y x y x ，为圆的轨迹方程；（3）0=-y x 或02=-+y x ； 【解析】 试题分析：（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x ，y 的关系式求出，即得轨迹方程；达定理以及2PB AP =，得出直线方程为∴圆心C ∴直线l 与圆C方法二：∵直线01:=-+-m y mx l 过定点)1,1(P ，而点)1,1(P 在圆内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆012=+--y x 。

（，由2PB AP =，12x - ① 2)222-+x m x m （*） ② （10分）4．（1）224x y +=；（2）0k =；（3）在以EF 为直径的所有圆中，存在圆P ：2255168120x y x y +--+=或224x y +=，使得圆P 经过点(2,0)M ． 【解析】试题分析：（1）根据题意设出圆心(),C a a 和半径r ，列出a 和r 的方程，求得圆的方程；（2）根据2OP PQ ⋅=-,求得120POQ ∠=︒，所以圆心到直线m 的距离为1，求得k 的值；（3）若圆P 经过点()2,0M ，则必有0ME MF ⋅=即1212122()40x x x x y y -+++=①，当直线m 的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线m 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线m 的方程为：4y kx =+，代入圆224x y +=的方程，由韦达定理，得到1212,x x x x +的值，联立①解得k 的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程.试题解析：（1）设圆心C （a ，a ），半径为r.因为圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），所以|AC|＝|BC|＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是224x y +=.3分（2）因为OP ·OQ ＝〈OP ，OQ 〉＝－2，且OP 与OQ 的夹角为∠POQ ， 所以＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1， 又d 7分（3）（ⅰ）当直线m 的斜率不存在时，直线m 经过圆C 的圆心C ，此时直线m 与圆C 的交点为(0,2)E ，(0,2)F -，EF 即为圆C 的直径，而点(2,0)M 在圆C 上，即圆C 也是满足，所以0ME MF ⋅=，0， 10分，满足题意． 12120x x y y +=0． 13分5．（1）01222=+-+-y y x x ；（2）4=a . 【解析】 试题分析：（1）联立直线与圆的方程，利用判别式为0得出a 值，即得圆的方程；（2）先求出)0,(),0,1(a N M ，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系进行求解.解题思路: 直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.. 试题解析：（Ⅰ）因为⎩⎨⎧=+-++-=0)1(022a ay y x a x y得0)1(2=++-a x a x ，由题意得0)1(4)1(22=-=-+=∆a a a ，所以1=a，得4=a ．6．（1）5<m ；（2（3 【解析】试题分析：（1）由圆的一般方程知当2240D E F +->时22+D 0x y x Ey F +++=表示圆的方程；（2）联立直线与圆的方程，消元后的到关于y 的一元二次方程，因为OM ON ⊥所以02121=+y y x x ，可求出m 的值；（3）利用根与系数关系求出中点坐标即为圆心，再利.直线与圆的位置关系7．（Ⅰ）1；)(623,+【解析】试题分析：（Ⅰ）当b=1时，点M （0，b ）在圆C 上，当且仅当直线l 经过圆心C 时，满足MP ⊥MQ ．把圆心坐标（1，1）代入直线l y kx =：，可得k 的值．（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于及0MP MQ ⋅=，求得)21k b b =+⎛解此不等式求得k 试题解析：（Ⅰ）圆22111C xy +=：（﹣）（﹣），当b=1时，点M （0，b ）在圆C 上， 当且仅当直线l 经过圆心C 时，满足MP ⊥MQ ． ①21k +，12x x =，∴0MP MQ ⋅=．22•0,x y b -=）（）22kx =，212kx b x x +=﹣）(222111k kb k k +-⋅+＞0． )(623,+考点：直线和圆相交的性质；一元二次方程根与系数的关系；函数的单调性．8．（1）1k =；（2）22333x x y y -+-= (0,0)x y >> ； （3）定值为3； 【解析】试题分析：（1）由向量的数量积为0，知两向量是垂直的，即AP AQ ⊥，因为点A 在圆C 上故直线1l 过圆心C (3,3)，将点的坐标代入到直线方程中，得到1k =；（2）对于求轨迹方12+k ，1+=k ON ，两者相乘，进行化简，得出定值是（Ⅰ）0AP AQ ⋅=即AP AQ ⊥，上故直线1l 过圆心C (3,3)，得1k = 3) ，则OM CM ⊥，即0OM CM ⋅=坐标代入得：3)0= 化简得：22333x x y y -+-= 2200),(,),(,)Q x y M x y 将y kx =代入(x 1)90(*)x ++=⋯⋯⋯⋯ 则12,x x 为方程2200(y x kx =+9．（1（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1）k ；（2）利用O 、P 、C 、D ，发现直线CD 是圆222x y +=与圆两式作差即可；（3）所以222||2GH r d =-分 【答案】（Ⅰ）0y =或125480x y --=（Ⅱ）1y x =+或4y x =- 【解析】 试题分析：（Ⅰ）解决直线与圆位置关系的综合问题时，要充分考虑平面几何知识的运用，不要单纯地依靠代数运算，这样简单又不易出错．由题意知l 的斜率必然存在，可设出直线的方程()4y k x =-，.其中r 为圆的半径，d 为弦心距，l 为弦长即可解决；（Ⅱ）采用设而不求，利用直线与圆的方程联立的关于x 的二次方程，由OA OB ⊥得12120x x y y +=，即()2121220x x b x x b +++=，再利用韦达定理即可.试题解析：（Ⅰ）由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，即40kx y k --=．（1）()1b =-+，12x x为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥．)2120x x b ++=．4b =-，满足（4． 10分 11．4)32=-；（Ⅲ） 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可设圆M 求出圆M 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B直线GH，解得1±=t .当1=t 时，圆心意；当1-=t 时，圆心12．（1（2）043=-+y x ；（30，0>∆得<b 所以0RP RQ ⋅<,变形化简得的取值范围是{2|<-b0)>，得8<b 为钝角，所以0RP RQ ⋅<,121)(1)y ++<，且RP 与RQ 不是反向共线，b +，2121)(1)22)()y x x x b +=+++由（3）（4）得2b <，满足0>∆，即2b <<，当RP 与RQ 反向共线时，直线x y +-=1，-1），此时b 直线l 纵截距的2，且0≠b 考点：直线与圆的位置关系与向量的数量积运算的应用13．（1）2y x =-±（2【解析】 试题分析：（1）充分利用垂直直线系方程设直线方程，即若直线l 垂直于直线0=++C By Ax ,则可设直线l 方程为：0=+-c Ay Bx ,并利用圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径的几何性质性质求解得直线方程；（2）假设存在，并利用坐标化简求解. 试题解析：，故设所求直线方程为02=-+b y x ，直线与圆相切，∴⑵假设存在这样的点(,0)B t ，当P 为圆C 与x 轴左交点 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，上任一点P ，都有.14．（1（2）①：2，②：证明略. 试题分析：（1）所求直线与AC 垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依AC 方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线CM 的方程为：2y kx =+，把,ND MB k k 转化为含k 的代数式进行运算，也可设00(,)M x y ，把,ND MB k k 转化为含00,x y 的想。