高数 集合

分配律 : (A B) C (A C) (B C),
(A B) C (AC) (B C)
(A \ B) C (A C) \ (B C)
幂等律：A A A, A A A
吸收律：A A, A
A (A B) A, A (A B) A
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
复数与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R
x Re z, y Im z,i 1 复数 z x iy 有序数组(x, y)
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
若 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
若 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
称 f ( x)为奇函数;
通常说周期函数的周期是指其最小正周期。
基本初等函数
1、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
2、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3、对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
2.实数集
封闭性 实数集R 的性质： 有序性
稠密性 完备性
定义1 设A R，且A ，若存在L R，使x A， 有x ()L,则称L为A的一个上（下）界
定义 2 设A R，且A ，若存在L R，满足：
（1）x A，有x L,
（2） 0，x0 A, 使x0 L 则称L为A的一个上确界，记为sup A L
预备知识
1.集合的概念及运算
概念 : 具有某种确定性质的对 象的全体.组成集合的对象 称为集合的元素。 x A
有限集
集合的类型：空集：

无限集
A是B的子集：
A B
集合间的关系： A是B的真子集：
A B

A与B相等 :
A B A B且B A
常用的数集
对偶律 : ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc ( Ac I \ A)
Descartes 积(直积）: A B (x, y) x A, y B
Rn R R R
(x1, x2, , xn ) xi R,i 1,2, , n

z2 ，
z1z2

z1

z2，（
z1 z2
）
z1 z2
z z z 2 , z1z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
N 全体非负整数（自然数 ）组成的集合 Z 全体整数组成的集合 Q 全体有理数组成的集合 R 全体实数组成的集合
C 全体复数组成的集合
集合记号右下角加“”表示将该集合内的元 素“0”去掉 后所得的集合，比如
N 全体正整数组成的集合
R 全体非零实数组成的集 合
并集：A B
复数集 复平面
复数的表示法：
1. z x iy 2.复平面上的点P (x, y)或向量OP
3. z r(cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei（指数表示法）
其中：r z x2 y2 z的模
Argz z的幅角. 任一非零复数有无穷多 个幅角，称在范围( , ]
集合的运算：交集 : A B

差集
:
A
\
B.
特别，若B

A,
则称A
\
B为B关于
运算律：
A的补集, 记为C A B
交换律 : A B B A, A B B A
结合律 : (A B) C A (B C), (A B) C A (B C)
内的幅角为主幅角，记 为arg z.
Argz arg z 2k , k 0,1,




arg
z






性质：
源自文库
arctan y x
arctan y
x
arctan y
x arctan y
x
z在第一象限 z在第二象限
z在第三象限 z在第四象限
z1

z2

z1
f : A B 或 f : x y f (x) , x A
称y为x在映射f下的像， x为y在映射f下的原像
A f 的定义域 ,
f (A) y y f (x), x A f 的值域
f为满射：若f (A) B
f为单射：若x1, x2 A, x1 x2, f为一一映射 有 f (x1) f (x2 )
( , ) { x | x } R
邻域
N( a, ) {x | | x a | }
a 的 邻域

N(a, ) {x|0| xa| }
a的去心 邻域
2 函数
定义1设 A和 B是两个非空集合 , 若有一个对应法则f , x A, 按照对应关系 f，有唯一的 y B与x 相对应，则称 f 是 A到B的一个映射 , 记为
A的一个上确界，记为inf A
定理1 有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界
区间
(a , b) {x | a x b}
[a , b) {x | a x b} (a , b] {x | a x b}
( a , ) { x | a x } [ a , ) { x | a x } ( , b) {x | x b} ( , b] {x | x b}
复合映射 :
设 f : A B1, g : B2 C, 若B1 B2,则称 (g o f )(x) g( f (x)) x A
为f 与 g的复合映射 恒等映射I A：I A(x) x, x A
可逆映射 :
设 f : A B, 若存在g : B A, 使 g f IA, f g IB
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y

D( x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称f 为可逆映射，g 为f 的逆映射，记为：g f 1
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4