数据库系统基础讲义第14讲函数依赖及其公理定理
函数依赖概念
函数依赖概念
1.2 非平凡的函数依赖和平凡的函数依赖 函数依赖具有非平凡的函数依赖和平凡的函数依赖的性质。
– 非平凡的函数依赖和平凡的函数依赖定义：如果X→Y，并且Y不是X的子集， 则称X→Y是非平凡的函数依赖。我们讨论的总是非平凡的函数依赖，全体总 是能够决定部分的，若Y是X的子集，则称X→Y是平凡的函数依赖；若Y中没有 一个属性在X中，则称完全非平凡的函数依赖。
数据库基础函数依赖概念来自1.7 超键码 包含候选码的属性集称为“超键码”（Super Key），是“键码的超集”的
简称。每个超键码都满足键码（候选码）的第一个条件：属性函数决定该 关系R的所有其他属性。但是，超键码不必满足键码的第二个条件：键码 （候选码）必须是最小的。 例如在学生关系中学生号能够函数决定其他所有属性，所以学号是该关系的 一个候选码，则（学号，姓名）是关系的超键码。该超键码可以决定学生 关系中的其他属性，但是，它不是最小的。
函数依赖概念
1.3 完全和部分函数依赖
– 完全和部分函数依赖定义：设X→Y是关系模式R的一个函数依 赖，如果存在X的真子集X'，使得X'→Y成立，则称Y部分依赖 于X，记作X → Y。否则，称Y完全依赖于X，记作X → Y。
p
– 【例2-4】 设一个教师任课关系为（教工号，姓名，职称， 课程号，课程名，课时数，课f 时费），该关系给出某个学校 每个教师在一个学期内任课安排的情况，假定每个教师可以 讲授多门课程，每门课程可以由不同教师来讲授。
【例2-2】 指出下列函数依赖的性质。
– Sno Cname Grade→Cname Grade：平凡函数依赖（右边的属性集是左边的属 性集的子集）。
– Sno Cname→Cname Grade：非平凡函数依赖（右边属性集中至少有一个不在 左边属性集里）。
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统
函数依赖公理系统是一种逻辑框架，用于描述数据库中各种数据之间的依赖关系。
这个系统包括多个公理和规则，它们定义了函数依赖的基本性质和相关的推理规则。
其中最基本的公理是函数依赖传递公理，它表明如果X → Y，且Y → Z，则X → Z。
这个公理说明了函数依赖的传递性质，也是其他推理规则的基础。
另外，函数依赖公理系统还包括了等式推理规则、合并规则、拆分规则等等，这些规则可以用来简化和优化函数依赖的描述。
通过这些公理和规则，我们可以更加精确地描述数据库中不同数据之间的依赖关系，并推导出一些重要的结论和性质，比如关系模式的最小化、函数依赖的规范化等等。
总之，函数依赖公理系统是数据库理论中的一个基础概念，它不仅对于理论研究有重要的意义，也为实际的数据库设计和优化提供了一定的指导和支持。
- 1 -。
数据库之函数依赖公理体系
DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余 的属性
F没有 多余的
FD
求解方法
（1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖；
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
（2）去掉F中冗余的函数依赖
（1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成 员；
（2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性， 则X必为R的唯一候选键；
（3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键
中； （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，
且X＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
CGB，CEG
四、候选键的求解方法
1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可将
其属性分为4类： ① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性； ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性； ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性； ④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
2、快速求解候选键的一个充分条件
对于F中任一FD：XY
① G = F-{XY}；
② 求X关于G的闭包XG+； ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，则在G 中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余的函数依赖， 所以F=G；如果X+不包含Y，则保留XY。
函数依赖公理体系
属性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身 不包含已求出的候选键，则XB为R的一个 候选键； • ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依 次取完为止； • ⑧ 输出候选键，算法结束。
2020/6/3
2020/6/3
1、函数依赖集的等价与覆盖
• 定义5.5 • 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝
G＋，则称F和G等价。如果F和G等价，则 称F覆盖G，同时也称G覆盖F。
2020/6/3
定理
• 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和 GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
2020/6/3
三、最小函数依赖集
• 一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含 很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的 ，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推 导出的，即无关的函数依赖。如果将每一 个函数依赖看作是对关系的一个约束，要 检查F＋中的每一个函数依赖对应的约束， 显然是一件很繁重的任务。如果能找出一 个与F等价的、包含较少数目函数依赖的 函数依赖集G，则可以简化此工作。最小 函数依赖集的概念由此而提出。
② F22=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD，CEG
③ F3=
2020/6/3
ABC ， CA ， BCD， CDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEG
3、举例（续四）
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
• 法2：
① F1=
《函数依赖》课件
伪传递性
如果X→Y和WY→Z，则有 XW→Z。
02
函数依赖的推理规则
函数依赖推理规则的概述
函数依赖推理规则是关系型数据库中处理函数依赖的一种重要方法，它通过一系列 推理规则来推导和验证函数依赖的正确性。
这些规则基于函数依赖的定义，通过逻辑推理来验证关系模式中的函数依赖是否满 足某些特定的条件。
《函数依赖》ppt课件
目录 CONTENT
• 函数依赖的定义 • 函数依赖的推理规则 • 函数依赖在数据库设计中的应用 • 函数依赖的分解与合并 • 函数依赖的验证与求解
01
函数依赖的定义
函数依赖的定义
函数依赖
在关系模式R中，如果X→Y，则 称Y函数依赖于X。
完全函数依赖
如果X→Y，且Y中的每个值都至少 在X的一个值之后出现，则称Y完 全函数依赖于X。
它基于三个基本的公理：反身性、传 递性和合并性。
函数依赖的推理规则应用
函数依赖推理规则在数据库设计、数 据建模和数据完整性检查等方面具有 广泛的应用。
在数据建模方面，函数依赖推理规则 可以用于分析和验证数据模型中的函 数依赖关系，以确保数据模型的一致 性和完整性。
在数据库设计阶段，通过使用函数依 赖推理规则，可以验证关系模式的正 确性和数据的一致性，从而减少数据 冗余和数据不一致的问题。
在数据完整性检查方面，函数依赖推 理规则可以用于验证数据的完整性和 一致性，确保数据的准确性和可靠性 。
03
函数依赖在数据库设计中 的应用
数据库设计中的范式理论
范式理论是数据库设计中的重要 概念，它规定了数据库中表的结 构和关系，以减少数据冗余和提
高数据一致性。
范式理论包括第一范式（1NF） 、第二范式（2NF）、第三范式 （3NF）等，这些范式规定了表 中的列和行的要求，以确保数据
名词解释函数依赖
名词解释函数依赖
函数依赖是关系型数据库中的一个概念，用于描述表中属性之间的相互关系。
具体来说，若在关系模式中存在属性集合X和Y，其中X的取值唯一地决定了Y的取值，那么就称属性集合X函数依赖于属性集合Y，可以表示为X->Y。
其中，X称为函数依赖的左侧（或决定者），Y称为右侧（或被决定者）。
函数依赖是用来描述属性之间的约束条件，它可以帮助我们理解数据之间的关系，并进行数据库设计和规范化。
在数据库设计中，我们希望尽可能地消除冗余数据和数据依赖，而函数依赖可以帮助我们识别哪些属性是冗余的，或者哪些属性的取值可以通过其他属性的取值推导出来。
函数依赖可以用来进行数据库的规范化，即将一个大的关系模式分解成多个具有更小关系的模式，以消除冗余数据和数据依赖。
例如，通过识别主键和函数依赖，我们可以将一个拥有重复数据的关系模式分解成多个无冗余数据的关系模式，提高数据库的性能和可维护性。
总之，函数依赖是描述关系模式中属性之间关系的概念，对于数据库设计和规范化非常重要。
它帮助我们理解数据之间的依赖、冗余以及如何进行数据库的优化。
函数依赖
函数依赖2.1、属性间的联系实体间的联系有两类：一类是实体与实体之间的联系；另一类是实体内部各属性间的联系。
属性间的联系可分为以下三类：（1）一对一联系（1∶1）以职工模式为例：职工（职工号，姓名，职称，部门）。
如果该企业（或单位）中职工无重名，则属性职工号与姓名之间是1∶1联系。
一个职工号唯一地决定一个姓名，一个姓名也可决定唯一的职工号。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，且反之亦然，则称X、Y两属性间是一对一联系。
（2）一对多联系（1∶ m）在职工模式中，职工号和职称间是一对多联系。
一个职工号只对应一种职称（如胡一民只能对应工程师），但一种职称却可对应多个职工号（如工程师可对应多名职工）。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中至多有一个值与之对应，而Y中的一个值却可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是一对多联系。
（3）多对多联系（m∶ m）在职工模式中，职称和部门之间是多对多联系。
一种职称可分布在多个部门中（如每一个部门中均可有工程师），而一个部门中也可有多个职称。
设X、Y是关系R的两个属性（集）。
如果对于X中的任一具体值，Y中有m个值与之对应，而Y中的一个值也可以和X中的n个值相对应，则称Y对X是多对多联系。
上述属性间的三种联系实际上是属性值之间相互依赖又相互制约的反映，称为属性间的数据依赖。
数据依赖共有三种：函数依赖（FunctionalDependency，简称FD）、多值依赖（Multiva-luedDependency，简称MVD）和连接依赖（JoinDependency，简称JD），其中最重要的是函数依赖和多值依赖。
2.2、函数依赖函数依赖是属性之间的一种联系。
假设给定一个属性的值，就可以唯一确定（查到）另一个属性的值。
定义：所谓函数依赖是指在关系R中，X、Y为R的两个属性或属性组，如果对于R的任一关系r都存在：对于X的每一个具体值，Y 都只有一个具体值与之对应，则称属性Y函数依赖于属性X。
数据库函数依赖和范式总结
数据库函数依赖和范式总结1 函数依赖1.1 定义：一个集合R(U,F)，U为属性全集，F为函数依赖集合。
F中存在着{Xi->Yi...};对于每个X都存在着一个Y与之唯一对应。
意思就是相当于X为主键，Y由主键决定。
比如一个学生他的学号相当于X，而他的姓名与年龄这些其他信息相当于Y。
但是X有时候并不是一个值，比如一个学生他的成绩需要有两个属性才能知道他的成绩，学号+课程号->成绩1.2 平凡函数依赖与非平凡函数依赖平时我们主要讨论的是非平凡函数依赖。
平凡函数依赖概念：Y集合属性属于X集合属性的子集非平凡函数则相反1.3 逻辑蕴涵(为后面求闭包做好基础)X,Y为属性集合U的子集，且X->Y不存在于F中。
即我们需要通过F中的函数依赖推出X->Y称为函数依赖。
而所有函数依赖的集合则称为闭包1.4 函数依赖的推理规则(就是求函数依赖的逻辑蕴涵)1.4.1 几个公理1.4.1.1 公理一(自反律):Y属于X的子集，则X->Y 数学公式描述 Y?X?U1.4.1.2 公理二(增广律):X->Y成立，Z?U也成立，则 XZ?YZ1.4.1.3 公理三(传递律):X->Y成立，Y->Z成立，则 X->Z1.4.2 公理的推广1.4.2.1 推广一(合并律):X->Y,X->Z,则X->YZ1.4.2.2 推广二(伪传递律):X->Y,YW->Z,则XW->Z(证明只需要在XY两边*W)1.4.2.3 推广三(分解律):X->Y成立，Z?Y，则 X->Z1.4.2.4 推广四(复合律):X->Y,W->Z,则XW->YZ1.5 完全函数依赖与部分函数依赖(范式中基础知识)X->Y的集合中，若X的任一真子集x都能 x->Y则为部分函数依赖，若不能则的完全函数依赖，如果X没有真子集则也称为完全函数依赖。
数据库 函数依赖
数据库函数依赖
数据库函数依赖是指一个或多个属性的值可以确定另一个或多
个属性的值。
在一个关系型数据库中，函数依赖是非常重要的概念，因为它可以帮助我们设计和优化数据库。
如果属性A的值可以确定属性B的值，我们可以写作A→B。
这意味着对于每个A的值，只有一个B的值。
例如，在一个学生表中，学生的学号可以确定学生的名字和年级，所以学号→(名字，年级)。
函数依赖可以分为两种类型：单值依赖和多值依赖。
单值依赖：如果一个属性的值可以确定另一个属性的值，那么这个依赖被称为单值依赖。
例如，在一个订单表中，订单号可以确定顾客的姓名和地址，所以订单号→(姓名，地址)。
多值依赖：如果一个属性集合的值可以确定另一个非子集属性集合的值，那么这个依赖被称为多值依赖。
例如，在一个学生选课表中，(学号，课程号)可以确定学生的名字和课程的名称，所以(学号，课程号)→(名字，课程名)。
理解数据库函数依赖对于设计和优化数据库非常重要。
通过使用函数依赖，我们可以减少冗余数据，提高数据库的完整性和一致性。
同时，我们可以使用函数依赖来进行数据检索和查询优化，从而提高数据库的性能和效率。
- 1 -。
数据库设计之函数依赖-PPT精品文档
问题的提出 函数依赖 码 第一范式 第二范式 第三范式
问题的提出
上表（关系模式）存在的缺陷：
1、数据重复、冗余。 2、新增学生或课程，若未选课，则无法插入记录，因为（学号,课程号）为主键。 3、如果有学生退学，则需将相关信息全部删除，导致课程信息可能丢失。
改进的关系模式
依赖的分类（1）
非平凡函数依赖
如果 X → Y，但 Y 不为 X 的子集，则称 X → Y 是非平凡的函数 依赖 例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中，(Sno, Cno) → Grade
平凡依赖
若 X → Y，但 Y 为 X 的子集, 则称 X → Y 是平凡的函数依赖 例：(Sno, Cno) → Sno ，(Sno, Cno) → Cno
函数依赖
设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。 若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在 两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作X→Y。 X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。
Y=f(x)
依赖的分类（3）
传递函数依赖
若x → y并且y → z，而y －\→ x，则有x → z，称这种函数依赖 为传递函数依赖。 例：关系S1（学号，系名，系主任），学号 → 系名，系名 → 系 主任，并且 系名 －\→ 学号，所以 学号 → 系主任 为传递函数 依赖
码
设K为R(U)中的属性或属性组合，若K →U， 则K为R的候选码（或关键字），选择其中一 个作为主码。
依赖的分类（2）
部分函数依赖
数据库函数依赖
解：X+=BDEGCA
结论：(BD)+=ABCDEG,BD→AC可由F导出，即BD→AC属于F+
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，E, H, P, G},
F={AC→PE, PG→A, B→CE, A→P, GA→B,GC→A, PAB→G, AE→GB, ABCP→H},
（学生ID，所修课程ID）→学生姓名
六、平凡函数依赖和非平凡函数依赖
设X，Y均为某关系上的属性集，且X→Y
1)若Y包含于X，则称X→Y为：平凡函数依赖；
2)若Y不包含于X，则称X→Y为：非平凡函数依赖。
Y包含于X内，W于X相交，与Y无直接交集。
则：X→Y为平凡函数依赖
X→W, W→Y为非平凡函数依赖
A→ABC,AB→ABC,AC→ABC,ABC→A,BC→BC}
例：已知关系模式R中
U={A，B，C，D, E, G},
F={AB→C, C→A, BC→D, ACD→B, D→EG, BE→C, CG→BD, CE→AG},判断BD→AC是否属于F+
解：由D→EG知D→E，BD→BE…①
又知BE→C，C→A所以BE→A, BE→AC…②
解：当X=A时，X+=ABC
当X=B时，X+=BC
当X=C时，X+=C
* X代表的属性集可以决定的属性集（包括本身）
2、定理：当且仅当Y属于X+时，X→Y能根据Armstron公理由F导出。
证：设Y=A1,A2,…,An
①充分条件：当Y属于X+时,对于每个i,Xห้องสมุดไป่ตู้Ai可由公理导出。
《函数依赖新》课件
3 多值函数依赖
某属性决定了多个属性组合，存在冗余和复杂性。
传递函数依赖
1
直接依赖
A -> B
2
传递依赖
B -> C, A -> C
3
传递关系
由于A直接决定B，而B又决定C ，所以A 间接决定C 。
函数依赖的规范化
第一范式
确保每个属性都是原子的，不 可再分为更小的组件。
第二范式
确保每个非主属性完全依赖于 主键，消除部分函数依赖。
第三范式
确保每个非主属性不传递依赖 于主键，消除传递函数依赖。
BCNF范式
1 定义
确保每个决定关系都有一个键，并消除多值函数依赖。
2 优点
BC NF范式能够提高数据库的性能和数据的一致性，减少存储空间的浪费。
3 应用
在设计数据库时，应尽可能将表拆分为满足BC NF范式的关系，以提高数据库的效率。
《函数依赖新》PPT课件
本课程介绍了函数依赖的概念和性质，从简单的例子到规范化和范式，以及 数据库设计中的常见问题和优化技巧。让我们一起深入了解吧！
什么是函数依赖？
定义
函数依赖是关系数据库中基本的数据约束之一，它描述了一个数据项对其它数据项的决定关 系。
性质
函数依赖具有传递性、单向性和局部性的特点，能够帮助我们理解数据之间的关系和依赖。
数据库设计中的常见问题与解决方法
冗余数据
通过规范化和优化设计，减 少数据冗余和重复，提高数 据的一致性和可靠性。
复杂查询
通过合理的表结构和索引设 计，优化复杂查询的性能和 可维护性。
数据完整性
通过合适的约束和校验机制， 确保数据的完整性和有效性。
数据库系统基础讲义第14讲函数依赖及其公理定理
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services, Harbin Institute of Technology
本讲学习什么?
如何避免数据库的一致性问题—数据库的规范性设计
战德臣 教授
数据库的规范性设计需要分析数据库Table中的属性在取值方面有什么依存 关系？数据库设计过程中应遵循什么样的原则 数据库设计理论 数据依赖理论 关系范式理论 模式分解理论
练习：分析下列模式的传递函数依赖
商店(商店,商品,商品经营部,经营部经理)
学生(学号,姓名,班级,班主任,课号,课程名,成绩,教师,教师职务)
员工(员工码,姓名,部门,部门经理)
图书(书号,书名,出版日期,出版社,书架号,房间号,管理员) 客户(客户号,客户名称,类别,联系电话,产品编码,产品名称,数量, 要货日期)
战德臣 教授
函数依赖 (2)函数依赖的示例 示例：下表就是问题领域, 则存在的函数依赖有哪些呢? 下表存在的函数依赖有: A→B, B→C
战德臣 教授
下表存在的函数依赖有: A→C, D→B
函数依赖 (3)函数依赖的特性
战德臣 教授
函数依赖的特性
(1)对XY，但Y X, 则称XY为非平凡的函数依赖； (2)若XY，则任意两个元组，若X上值相等，则Y上值必然相等,则称X为决 定因素； (3)若XY ，YX, 则记作XY； (4)若Y不函数依赖于X，则记作X Y； (5)XY，有基于模式R的，则要求对任意的关系r成立；有基于具体关系r 的，则要求对某一关系r成立； (6)如一关系r的某属性集X, r中根本没有X上相等的两个元组存在，则XY 恒成立；
函数依赖(理论及举例)
函数依赖（理论及举例）教你如何理解函数依赖一、函数依赖的概念函数依赖：函数依赖就是讨论一个数据表（关系）中属性值之间所存在的函数关系。
函数是一种数学中的概念，被引入到数据库中对数据的联系进行分析。
在一个关系中，属性相当于数学上的变量，属性的域相当于变量的取值范围，属性在一个元组上的取值相当于属性变量的当前值。
例如：在下面的这个职工关系中，职工号、姓名、性别、年龄、职务等属性都相当于变量；职工号属性的域，即四位十进制数字，就是取值范围，性别属性的域：{男、女}，就是性别属性的取值范围。
此关系中包含有6个元组，如第2个元组为{3051、刘平、男、48、副处}，其中的每个属性值都是对应属性在该元组上的当前值。
单值函数和多值函数：元组中一个属性或一些属性值对另一个属性值的影响相当于自变量值对函数值的影响。
当给定一个自变量值能求出唯一的一个函数值时，称此为单值函数或单映射函数，否则为多值函数。
在单值函数中由自变量的一个值确定函数的一个值，但不同的自变量值允许具有相同的函数值。
如f(x)=2x, f(n)=(-1)^n, f(x)=x^3+1等都是单值函数，由自变量x或n的值能够唯一确定f(x)或f(n)的值。
属性的单值函数决定（依赖）：在一个关系中，若一个或一组属性的值对另一个或一组属性值起到决定性的作用，则称为单值函数决定（依赖）。
如上表中职工号的值就能够函数决定其余每个属性的值，也就是说，当职工号给定后，其他每个属性的值就跟着唯一地确定了。
如假定职工号为3074，则他的姓名必定是王海，性别必定为男，年龄必定为32岁，职务必定为正科。
这就叫做职工号能够分别单值函数决定姓名、性别和年龄属性，反过来，可以说姓名、性别和年龄等属性单值函数依赖于职工号属性。
二、函数依赖的定义定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集，若对于X上的每个值都有Y上的一个唯一值与之对应，则称X和Y具有函数依赖关系，并称X 函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记作X→Y，称X为决定因素。
数据库函数依赖的Armstrong公理
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 证明： XY A2 XXY A3 XYZ A2 XZ XYYZ
证明： XY A2
WXWY A3
WYZቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
WXZ
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。 R3)分解规则：若XY, 且Z Y, 则XZ成立。 证明： Z Y A1 YZ A3 XZ XY
函数依赖的Armstrong公理
Armstrong公理: 给定关系模式R(U)和FD集F, 可以推出哪 些FD？怎样推导？包括下列公理： A1)自反律：若Y XU, 则XY成立。平凡依赖 A2)增广律：若ZU且XY, 则X Z Y Z成立。 A3)传递律：若XY, YZ, 则XZ成立。 根据以上三条公理，可证明以下推导规则： R1)并规则：若XY, XZ, 则XYZ成立。 R2)伪传递规则：若XY, WYZ, 则WXZ成立。 R3)分解规则：若XY, 且Z Y, 则XZ成立。 R4)复合规则：若XY, 且WZ, 则XWZY成立。 R4大家课后自己证明，P136的通用一致性规则A8略去。
数据库 函数依赖
数据库函数依赖一、概述数据库函数依赖是指在关系型数据库中，一个函数的返回值依赖于输入参数以及数据库中的数据。
函数依赖是数据库设计中的重要概念，它能够帮助我们理解数据之间的关系，优化查询性能，以及确保数据的一致性和完整性。
本文将深入探讨数据库函数依赖的概念、种类以及应用。
二、函数依赖的定义函数依赖是指在一个关系中，一个属性的值决定了其他属性的值。
具体来说，设R为一个关系模式，X和Y为R的属性集合，若对于R中的任意两个元组t1和t2，如果t1[X] = t2[X]，则必须有t1[Y] = t2[Y]，则称Y函数依赖于X。
其中，X称为函数依赖的左部，Y称为函数依赖的右部。
三、函数依赖的种类1. 完全函数依赖当关系R中的任意一个属性集合X的真子集Y，如果对于R中的任意两个元组t1和t2，如果t1[X] = t2[X]，则必须有t1[Y] = t2[Y]，则称Y完全函数依赖于X。
完全函数依赖是函数依赖的一种特殊情况，它表明属性集合X中的任意一个属性都是决定属性集合Y的关键。
2. 部分函数依赖当关系R中的一个属性集合Y，依赖于R中的一个属性集合X，但Y并不完全依赖于X，即存在X的真子集X’，使得X’也能决定Y，则称Y部分函数依赖于X。
部分函数依赖是函数依赖的一种常见情况，它表明属性集合X中的某些属性是决定属性集合Y的关键。
3. 传递函数依赖当关系R中的一个属性集合Z，依赖于R中的一个属性集合X，且X依赖于R中的一个属性集合Y，则称Z传递函数依赖于X。
传递函数依赖是函数依赖的一种复杂情况，它表明属性集合X中的属性通过Y间接决定了属性集合Z。
四、函数依赖的应用函数依赖在数据库设计和优化中有着重要的应用。
以下是函数依赖的几个主要应用场景。
1. 数据库设计函数依赖可以帮助我们进行数据库的规范化设计。
通过分析实体之间的函数依赖关系，我们可以将一个大的关系模式拆分为多个小的关系模式，从而提高数据库的结构化程度，减少数据冗余和更新异常。
简述函数依赖的定义
简述函数依赖的定义函数依赖是数据库中一个非常重要的概念，它描述了一个属性（或属性集合）对另一个属性（或属性集合）的决定关系。
在数据库设计中，函数依赖可以帮助我们理解数据之间的关系，有助于规范数据库的设计和优化查询的性能。
具体来说，函数依赖的定义如下：设R为一个关系模式，X和Y是R中的属性集合，如果对于R中的任意两个元组t1和t2，如果它们的属性X的取值相等，则它们的属性Y的取值也相等，那么我们称Y对X函数依赖，记作X→Y。
举个例子来说明函数依赖的概念：假设有一个关系模式R(学号，姓名，年龄，性别)，我们可以观察到学号决定着姓名、年龄和性别，也就是说{学号}→{姓名，年龄，性别}。
这个函数依赖的意思是，对于任意两个具有相同学号的学生，他们的姓名、年龄和性别都是相同的。
函数依赖有几种不同的类型，包括完全依赖、部分依赖和传递依赖。
完全依赖指的是一个属性完全依赖于另一个属性集合，部分依赖指的是一个属性仅依赖于另一个属性集合的一部分，而传递依赖指的是通过其他属性传递决定的依赖关系。
在数据库设计中，我们通常希望消除数据中的冗余和不一致，函数依赖可以帮助我们达到这个目的。
通过分析函数依赖，我们可以将一个关系模式分解成多个关系模式，每个关系模式都包含一个主键和与之函数依赖的属性集合，这样可以减少数据冗余，提高数据的完整性和一致性。
在数据库查询中，函数依赖也可以帮助数据库系统优化查询性能。
通过了解数据之间的依赖关系，数据库系统可以更好地优化查询计划，减少不必要的数据访问，提高查询效率。
总的来说，函数依赖是数据库设计中非常重要的概念，它描述了数据之间的关系，有助于规范数据库设计、优化查询性能和保证数据的完整性和一致性。
深入理解函数依赖可以帮助我们更好地设计数据库，提高数据管理的效率和质量。
函数依赖关系
函数依赖关系
函数依赖是数据库设计的重要概念，它是一种表之间的逻辑关系，它把表的属性分成一组独立的变量，通过这种变量可以确定特定的元组。
函数依赖的概念源于一种实例确定的原则，也被称为属性依赖原理，说明特定属性可以确定表或元组中的其他属性。
换句话说，如果两个属性集之间存在函数依赖，那么一个属性集可以确定另一个属性集。
函数依赖主要用于设计数据库和表。
其目的是检测出违反三范式规范的字段，并对其进行消除和修改，以防止出现索引过大、查询效率低下等问题。
函数依赖可以用联合函数来表达，其格式为：A（X）→B（Y），表示的是X的值可以唯一确定Y的值。
另外，函数依赖也可以连贯推导出来，形式如：A→B，A，B→C，A，B→D，表示A的值可以唯一确定B，C，D的值。
函数依赖是一种实例确定的原则，也就是说，一个属性集可以确定另一个属性集。
函数依赖在数据库设计中具有重要作用，它可以检测出违反三范式规范的字段，并保持数据库的正确性和一致性。
此外，函数依赖可以促进查询设计，帮助我们理解不同的表之间的关系，以及表之间变量的相互依赖。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程1：基 本知识与关 系模型 课程3：数 据建模与数 据库设计
数据库 系统
课程4：数 据库管理系 统实现技术
课程 2：数 据库语言SQL
第14讲 函数依赖及其公理/定理
战德臣
哈尔滨工业大学 教授.博士生导师 黑龙江省教学名师 教育部大学计算机课程教学指导委员会委员
f f
{合同号，合同名，签订日期，供应商名 } {供应商名，地址，执照号，法人代表 }
一个关系的外 键是另一个关 系的候选键
完全函数依赖与传递函数依赖 (4)传递函数依赖的示例
战德臣 教授
练习：分析下列模式的传递函数依赖
商店(商店,商品,商品经营部,经营部经理) {商店,商品} 商品经营部；{商店,商品经营部} 经营部经理 {商店,商品} 经营部经理 学生(学号,姓名,班级,班主任,课号,课程名,成绩,教师,教师职务)
函数依赖相关的几个重要概念 (1)候选键的定义 [Definition]
战德臣 教授
候选键
f
设K为R(U)中的属性或属性组合，若K U, 则称K为R(U)上的候选键 (Candidate Key)。 说明： (1)可任选一候选键作为R的主键(Primary Key)； (2)包含在任一候选键中的属性称主属性(Prime Attribute),其他属性称 非主属性； (3)若K是R的一个候选键，SK, 则称S为R的一个超键(Super Key)。
在R(U)中，若XY，YZ 且YX, ZY, ZX, Y
示例：学生(学号，姓名，系号，系主任) 学号 系号； 系号 系主任 学号 系主任
注： “系主任”是传递依赖于 “学号”的。 传递依赖 存在着非 受控冗余!
完全函数依赖与传递函数依赖 (4)传递函数依赖的示例
战德臣 教授
战德臣 教授
部分或完全函数依赖
f
在R(U)中，若XY并且对于X的任何真子集X'都有X' Y, 则称Y完全函 数依赖于X, 记为：X Y, 否则称Y部分函数依赖于X, 记为：X Y
p
示例：U={学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 }
f {学号，课号} U
战德臣
哈尔滨工业大学 教授.博士生导师 黑龙江省教学名师 教育部大学计算机课程教学指导委员会委员
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services, Harbin Institute of Technology
完全函数依赖与传递函数依赖 (1)部分函数依赖与完全函数依赖的定义 [Definition]
函数依赖 (4)函数依赖的提取练习
战德臣 教授
练习：请分析下列属性集上的函数依赖
学生(学号,姓名，班级，课号,课程名，成绩，教师，教师职务)
学号 {姓名，班级};课号 课程名;{学号，课号}成绩 教师 教师职务 {班级，课号} 教师 {班级，课号} 教师; 课号 教师; {学号，课号} 教师 究竟选哪一个取决于对问题领域的理解
函数依赖 (1)函数依赖的定义 [Definition]
战德臣 教授
函数依赖
设R(U)是属性集合U={A1,A2,…,An}上的一个关系模式，X, Y是U上的两个子 集，若对R(U)的任意一个可能的关系r, r中不可能有两个元组满足在X中的属 性值相等而在Y中的属性值不等，则称“X函数决定Y”或“Y函数依赖于X”, 记作XY。 示例：U={学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 } 学号{姓名，年龄} 设计关系模式 班号班长 时，除给出属性 全集外，还需给 {学号，课号} 成绩
客户(客户号,客户名称,类别,联系电话,产品编码,产品名称,数量, 要货日期)
客户号 {客户名称，类别} 产品编码 产品名称 {客户号，产品编码，要货日期 } 数量 本质上,函数依赖 是对属性之间取 值的一种约束， 是一种数据依赖
完全函数依赖与传递函数依赖
学号 班级 ； 班级 班主任； {学号，课号} 教师；教师 教师职务
学号 班主任 ； {学号,课号} 教师职务 员工(员工码,姓名,部门,部门经理) 员工码 部门；部门 部门经理 员工码 部门经理
其他两个, 同学自己 分析…
图书(书号,书名,出版日期,出版社,书架号,房间号,管理员) 客户(客户号, 客户名称, 类别, 联系电话, 产品编码, 产品名称, 数量, 要货日期)
{学号，课号} 姓名
f {学号，课号} 成绩
p
部分依赖 存在着非 受控冗余!
完全函数依赖与传递函数依赖 (2)部分函数依赖与完全函数依赖的示例
战德臣 教授
练习：分析下列模式的完全或部分函数依赖
学生(学号,姓名,班级,课号,课程名,成绩,教师,教师职务)
出数据依赖集合 注：函数依赖的分析取决于对问题领域的限定和分析，取决于对业务规则的正确理解。例 如：问题领域中，学生是没有重名的，则有：“年龄”和“家庭住址”都函数依赖于 “姓 名”。而在另一个问题领域中，学生是有重名的，则上述函数依赖是不成立的。
函数依赖 (2)函数依赖的示例 示例：下表就是问题领域, 则存在的函数依赖有哪些呢?
找候选键需 要先找出函 数依赖集合
函数依赖相关的几个重要概念 (3)外来键的定义 [Definition]
战德臣 教授
外来键
若R(U)中的属性或属性组合X并非R的候选键，但X却是另一关系的候选键， 则称X为R的外来键(Foreign Key)，简称外键。
示例： 合同号
R ={合同号，合同名，签订日期，供应商名 } S={供应商名，地址，执照号，法人代表 }
函数依赖相关的几个重要概念
战德臣
哈尔滨工业大学 教授.博士生导师 黑龙江省教学名师 教育部大学计算机课程教学指导委员会委员
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services, Harbin Institute of Technology
f {员工码,培训日期}U; f
p
p
{员工码,培训日期}{姓名,出生日期 }； 图书(书号,书名,出版日期,出版社,书架号,房间号) 客户(客户号,客户名称,类别,联系电话,产品编码,产品名称,数量, 要货日期) 学生(学号,姓名,系号,系主任)
完全函数依赖与传递函数依赖 (2)部分函数依赖与完全函数依赖的示例
战德臣 教授
练习：分析下列模式的完全或部分函数依赖
学生(学号,姓名,班级,课号,课程名,成绩,教师,教师职务) {学号,课号}U;但 {学号,课号}姓名 {学号,课号}课程名 员工(员工码, 姓名, 出生日期, 联系电话, 最后学历, 毕业学校, 培训 日期,培训内容)
Research Center on Intelligent Computing for Enterprises & Services, Harbin Institute of Technology
本讲学习什么?
如何避免数据库的一致性问题—数据库的规范性设计
战德臣 教授
数据库的规范性设计需要分析数据库Table中的属性在取值方面有什么依存 关系？数据库设计过程中应遵循什么样的原则 数据库设计理论 数据依赖理论 关系范式理论 模式分解理论
函数依赖 部分函数依赖/完全函数依赖 传递函数依赖 多值依赖 联结依赖
1NF 2NF 3NF BCNF 4NF
5NF
无损连接分解 保持依赖分解
本讲学习什么?
基本内容
1. 函数依赖 2. 完全函数依赖与传递函数依赖 3. 关于函数依赖的公理和定理 4. 函数依赖集的最小覆盖 重点与难点
战德臣 教授
一组概念：函数依赖、部分函数依赖和完全函数依赖、传递函数依赖、 候选键、非主属性、逻辑蕴涵、闭包、属性闭包、覆盖、最小覆盖等 关于函数依赖的公理和定理，相关的证明 求属性闭包的算法、求最小覆盖的算法
战德臣 教授
函数依赖 (2)函数依赖的示例 示例：下表就是问题领域, 则存在的函数依赖有哪些呢? 下表存在的函数依赖有: A→B, B→C
战德臣 教授
下表存在的函数依赖有: A→C, D→B
函数依赖 (3)函数依赖的特性
战德臣 教授
函数依赖的特性
(1)对XY，但Y X, 则称XY为非平凡的函数依赖； (2)若XY，则任意两个元组，若X上值相等，则Y上值必然相等,则称X为决 定因素； (3)若XY ，YX, 则记作XY； (4)若Y不函数依赖于X，则记作X Y； (5)XY，有基于模式R的，则要求对任意的关系r成立；有基于具体关系r 的，则要求对某一关系r成立； (6)如一关系r的某属性集X, r中根本没有X上相等的两个元组存在，则XY 恒成立；
示例：U={学号，姓名，年龄，班号，班长，课号，成绩 } {学号，课号}
f
U
函数依赖相关的几个重要概念 (2)候选键的示例
战德臣 教授
练习：找候选键与非主属性
学生(学号,年龄,家庭住址,课程号,成绩,教师,教师职务) 候选键是??，非主属性是?? 邮编(城市名,街道名,邮政编码) 候选键是??，非主属性是?? 商店(商店,商品,商品经营部,商品经营部经理) 候选键是??，非主属性是?? 学生(学号,姓名,所属系别,系主任) 候选键是??，非主属性是??
练习：分析下列模式的传递函数依赖
商店(商店,商品,商品经营部,经营部经理)
学生(学号,姓名,班级,班主任,课号,课程名,成绩,教师,教师职务)
员工(员工码,姓名,部门,部门经理)
图书(书号,书名,出版日期,出版社,书架号,房间号,管理员) 客户(客户号,客户名称,类别,联系电话,产品编码,产品名称,数量, 要货日期)