2015年数学二模理科(含答案)
2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)含详解
2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=．2．（4分）函数的定义域是．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有个．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．218．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m= 0．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．【解答】解：由幂函数y=x m2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．【点评】本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的定义域是（0，1] ．【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．（4分）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解答】解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：【点评】本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．【解答】解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．（4分）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．【解答】解：∵椭圆的焦距为4．∴2c=4，即c=2∵在椭圆中，a2=b2+c2①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．6．（4分）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．（4分）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．【点评】本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．（4分）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．（4分）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开并利用即可得出直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开为，化为x+y﹣1=0，∴极点O到这条直线的距离d==．故答案为：．【点评】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为3．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ=，得×，由此能求出口袋中白球的个数．【解答】解：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∵Eξ=，∴×，解得x=3．∴口袋中白球的个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．11．（4分）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．【解答】解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．【点评】本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．（4分）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．【考点】3C：映射．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为f：x→sin x，f（x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395【点评】本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．（4分）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=0．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．【解答】解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得x1999•x2000的系数a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；5M：推理和证明．【分析】由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．【解答】解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．【点评】本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．【解答】解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D．a 不能被5 整除【考点】FC：反证法．【专题】5M：推理和证明．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．（5分）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】56：三角函数的求值．【分析】x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．【点评】本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，]B．[2﹣2，2+2]C．[，]D．[3﹣2，3+2]【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2﹣2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n 项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由数列递推式可得数列{b n}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得T n，再由作差法证明T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．【解答】解：（1）由b n+1=16b n，得数列{b n}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵T n+12﹣T n•T n+2=．于是T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2，当n=1时求得a1=S1=6；当n≥2时，=4n．a1=6不满足上式，∴a n=．当n=1时，c1=a1﹣log d b1=6﹣log d1=6，当n≥2时，可得c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，要使数列{c n}是递增数列，则，解得：0＜d＜1或d＞4．综上，d∈（0，1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．（14分）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】F1：归纳推理；GP：两角和与差的三角函数．【专题】15：综合题；57：三角函数的图像与性质；5M：推理和证明．【分析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，则振幅是=，由=1，即可求得φ1﹣φ1的值．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得cosφ1=﹣，可取φ2=（或φ2=﹣等），证明f1（x）+f2（x）+f3（x）=0．（3）由题意可得f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，从而可求f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【解答】解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+φ1）+sin（x+φ2）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，振幅是=则=1，即cos（φ1﹣φ2）=﹣，所以φ1﹣φ2=2kπ±，k ∈Z．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+φ1）+Asin（x+φ2）=Asinx（1+cosφ1+cosφ2）+Acosx（sinφ1+sinφ2）=0恒成立，则1+cosφ1+cosφ2=0且sinφ1+sinφ2=0，即有：cosφ2=﹣cosφ1﹣1且sinφ2=﹣sinφ1，消去φ2可解得cosφ1=﹣，若取φ1=，可取φ2=（或φ2=﹣等），此时，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+）（或f3（x）=Asin（x﹣）等），则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=A[sinx+（sinx+cosx）+（﹣sinx﹣cosx）]=0，所以是平波．（3）f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，f n（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0，即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．令g（t）=，t∈[3，4]设u=t﹣2，u∈[1，2]，则g（t）=f（u）==∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值，∴t=3时，a2+b2的最小值为．【点评】本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f （x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上Γ，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线Γ与x轴的交点是M、N，抛物线Γ′：y=x2+1与y轴的交点是G，直线MG与曲线Γ′交于点P，直线NG与曲线Γ′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线Γ与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线Γ在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i（i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若iY中只有一个元素，则其是其自身）得到255个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n的值，使得y1n+y2n+…+y255n是与变数a及变数x i（i=1，2，…8）均无关的常数．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．（2）：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．分别与抛物线方程联立可得P，Q．直线PQ的方程为：，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x﹣y=，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．即可得出．【解答】解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x=0，则y===3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则=，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i，取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0．以下证明：对于Y p的元素和y p与Y q的元素和y q，当n为奇数时，=0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n，用数学归纳法证明．1°当n=1时，成立；2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除x k+y k，则当n=k+2时，x k+2+y k+2=x k+2﹣x k y2+x k y2+y k+2=x k（x2﹣y2）+y2（x k+y k），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除x n+y n．又∵当n为奇数时，=（y p+y q）M，其中M是关于y p，y q的整式，∵Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，∴每一个集合“对”（Y p，Y q）都满足y p+y q=0．则一定有=（x+y）M=0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n=0是常数．【点评】本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2015年山东省青岛市二模理科数学试题及答案word版
高三自主诊断试题 数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N = A ．[1,2)- B ．(0,1) C ．(0,1] D ．∅3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56 ，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}45. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时， 则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥7. “2-≤a ”是“函数a x x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有 A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是 A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 A．3 B．3C．3 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b满足(2,2)a =- ，()()a b a b +⊥- ，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.3P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人； 13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；第14题图正（主）视图侧（左）视图第13题图14. 若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(s i n,c o s )33xx a k = ,(cos ,)3xb k =- ,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅ ,R x ∈，且函数()f x 的最大值为12.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =,求AB AC ⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A BC D -中，11A B a =，2AB a =，1AA ，E 、F 分别是AD 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1D BC C --的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心， 这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的 平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前n 项和n S ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围； C1BE D FAB1A1D 1C（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n+<++++++ ． 高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.12. 8 13.32 14．232- 15．4 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x x f x a b k k =⋅=⋅-221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=--……2分222)sin()3342x x k x k π=-=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为1)122k=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342xf x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--= 化简得2sin()34A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412Aπππ<-< 则2344A ππ-=，解得34A π=…………………………………………………8分因为2222240cos222b c a b c A bc bc+-+-=-==，所以2240b c ++= 则22402b c bc +=≥，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos 20(142AB AC AB AC π⋅==-≥所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ= 则111(6)4312P ξ==⨯= 11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯= ………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分 18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接11AC ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P 由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分又因为11,2A B a AB a ==，所以111122MC AC a == 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以14NP AC == 所以1MC NP =又因为AC ∥11AC ，所以1MC ∥NP 所以四边形1MC PN 为平行四边形 所以1PC ∥MN因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分 （Ⅱ）连接1A N ，因为11A M MC NP ==，又1A M ∥NP 所以四边形1A NPM 为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意M P ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥ 因为11A B a =，2AB a =，1AA =，所以12A N MP === 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()2C a -所以(0,,0)BD =-u u u r，1(,)BC =uuu r，(,,0)BC =u u u r ………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =u u r 是平面1BDC 的法向量，则1110n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu ru u r uu u r111100⎧-=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=， 令11z =，则1x1n =u u r……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =uu r 是平面1BCC 的法向量，则2120n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu r uu r uu u r2222200⎧=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，23z =所以2(3n =-uu r ………………………………11分所以1212120cos ,3n n n n n n +⋅<>===u u r uu r u r u u r u u r uu r 所以二面角1D BC C --………………………………………12分 ，则依题意有0q >2分4分（Ⅱ） 12n n b -= 21log n b n +∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2n n n d d -+++=两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =135,,,d d d ∴ 是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分 ∴当n 为偶数时，1218()16(22n n n d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n nn n n ⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2(22n n n d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122n n n n n +-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,nn n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,48,n n n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分20．（本小题满分13分）n 为奇数 n 为偶数n 为偶数 n 为奇数解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*） 则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->，得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+ MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++将其代入直线:l 1143y x =+得：222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……9分 由①②③消去λ，可得：217m <<， 椭圆2C 的离心率2c e m m ==，∴137e << ………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x'=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，21()x f x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x=-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x x x-≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<， ∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++-1111121n n n <++++-- ． 故11111ln(1)12345n n +<++++++ ． ………………………………………………14分。
二模理科数学试题及答案.docx
桑水试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x = C ．若2320x x -+≠，则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320x x -+=桑水2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425B ．12C ．23 D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433D ．3327．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}na 是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．y xO 1 5 3 -3图1AV CB图2桑水（一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示． 组号 年龄 答对全卷 答对全卷的人数x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图3BACDE FG 图4年龄频率/组距 20 30 40 50 600.010c 0.0350.025 0桑水分组 的人数 占本组的概率1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 5 0.5 4[50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 1图5桑水（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 12 3 4 56 7 8答案 C D A A B B C C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 1112 131415答案1327210305- 43 116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分桑水12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以2sin 1cos A A =-32=．………………………………………………………………………6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为453，所以1sin 4532bc A =，……………………………………………8分 即135345322k k ⨯⨯⨯=， 解得23k =．…………………………………………………………………………………………10分由正弦定理2sin a R A =，即71432sin 32k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分 ()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分桑水()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：X 0 12 P25 815 115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，…………………………8分………………………………………10分 xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1 C 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1桑水则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()33,1,0M ，()33,0,1N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1桑水所以1DE MN ．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：由（1）知333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量， 则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，C 1A 1B 1D 1DEE 1F 1桑水所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分 连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF 中，33DB =，6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=， 由余弦定理可得，31DM =．在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以37DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以2MN =． 在△DMN 中，31DM =，37DN =，2MN =，由余弦定理可得，2cos 31DMN ∠=-，所以29sin 31DMN ∠=．所以158sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分桑水 又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分 所以3358AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分 所以174sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++． 所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++桑水111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分 （2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，桑水设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分 即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()220000220000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+．…………………………………………………………………………10分 设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分 所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min 0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分桑水方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+- 200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．……………………………………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+……………………………………………………………………………10分 ()2001652222x x =-+++．………………………………………………………………11分桑水 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤． 所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，………………………………………12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x=++()01x <<， 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立， 所以12a ≥． 故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，桑水即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分 设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意． 当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩ 解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e x g x =，所以()e x g x '=． 过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为： 1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b b b b y x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分 消去y ，解得()()()0e +e e e e e b b b b b b b x -----=-． ①…………………………………………7分 下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e bt =，………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =．桑水所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >， 则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分 令()12ln u t t t t t=-+()1t >， 则()212ln 1u t t t'=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，………………………………11分 所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>，…………………………………………………………………12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分 因为当1t >时，210t ->， 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b b b --=--． 设2e b t -=，…………………………………………………………………………………………………8分 因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln b t -=，……………………………………………………………………………………………9分 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分 由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分 所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分桑水 即210ln 1t t t++>-，………………………………………………………………………………………13分 已知0b >， 所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。
2015年普通高中高三第二次联合考试理科数学附答案
BA BC 2 ，则 ABC 的面积为 （
A． 2
2
） C． 2 2 D． 4 2
B．
3 2
（10）已知抛物线 y ＝2px（p＞0）与双曲线 2－ 2＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ( ) A． 2＋2 B． 5＋1 C． 3＋1
2015 年普通高中高三第二次联合考试理科数学
注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框 涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。 3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
D. 1,1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做 答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
（13）若复数 z
(a 2 4) (a 2)i 为纯虚数，则
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 A
x y lg(3 2x)，集合 B y y
B． （﹣∞，1] C．
）
A． [ 0, )
3 2
（2） 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则以下为真命题的是（
A． p q
2015年高考数学全国卷二理科真题+答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A ）｛－1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a =（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）845.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜，则f (－2)+ f (log 212) =（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61（D ）517.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN=（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18， 则输出的a= （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与 DA 运动，∠BOP=x 。
2015市二模理科数学
理科数学试题（二）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）CBDA A BCBAD CC. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．23π. 14. 23n n a =. 15.14. 16. 2016 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11sincos 2222ααα-=，11c o s 22αα-=，所以1sin()62πα-=，又因为α为锐角，所以3πα=. ………………6分（Ⅱ）2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++,令sin t x =，则2221(11)y t t t =-++-≤≤，由二次函数的图像知：当12t =时，max 32y =；当1t =-时，min 3y =-， 所以函数()f x 的值域为3[3,]2-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABCD ，BC Ü平面ABCD ，BC PD ∴⊥,又,BC CD CD PD D ⊥=,BC PCD ∴⊥面,又PC PCD 面Ü,∴BC PC ⊥. …………6分（Ⅱ）因为,//BC CD AD BC ⊥,所以AD DC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =,则(1,0,0)A ,(0,0,2)P ,(0,2,0)C ,(2,2,0)B ,设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，又(2,0,0)BC =-,(0,2,2)PC =-,由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20220x y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取1y =，则(0,1,1)m =，(1,0,2)PA =-,∴PA 与平面PBC 所成角θ的正弦值sin cos ,52PA m PA m PA mθ⋅=<>===⋅. ……………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图知，m 名学生中星期日运动时间少于60分钟的频率为：111()30750300020+⨯=，所以1520m ⨯=，所以100m =；设星期日运动时间在[)90,120内的频率为x ，则1111111()3013000750300100200300600x ++++++⨯+=，所以14x =.所以星期日运动时间在[)90,120内的频率为14. ……………6分 （Ⅱ）由图知，第一组有1人、第二组有4人、第七组有10人，第八组有5人，四组共20人，其中星期日运动时间少于60分钟的有5人.所以ξ可能取值为0,1,2,3，且3515320()(0,1,2,3)i i C C P i i C ξ-⋅===.所以ξ的分布列为所以ξ的期望=0+1+2+3==2282282282282284E ξ⨯⨯⨯⨯. …………12分20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由c a =,及222a b c =+,设2,,(0)a k c b k k ===>,则由四个顶点构成的四边形面积为4得12242a b ⋅⋅=,即14242k k ⋅⋅=,解得1k =, ∴椭圆22:14x C y +=. ……………5分 （Ⅱ）设直线:l x ty m =+,即0x ty m --=,1m ≥,则由直线l 与圆221x y +=相切得1=,即221t m =-, 由222244()44x y ty m y x ty m⎧+=⇒++=⎨=+⎩,即222(4)240t y tmy m +++-=,易知0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理知：12221222444tm y y t m y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，∴由弦长公式得12AB y =-21212)4]y y y y =+-⋅==,∵1m ≥,∴23AB m m ==≤=+,当且仅当3m m =,即m =时等号成立,所以max 2AB =，所以OAB ∆的面积最大值为12112⨯⨯=. ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，221ln ln ()=ex xf x x x--'=.由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.所以函数()y f x =的单调增区间为：(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.……………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥恒成立⇔不等式1+ln 1x kx x ≥+恒成立 ⇔不等式(1)(1+ln )x x k x+≤恒成立,令(1)(1+ln )1()1(1+ln )(1)x x h x x x x x +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，则min ()k h x ≤.因为2ln ()x x h x x-'=，令()l n (1)x x xx ϕ=-≥，则()h x '与()x ϕ同号，因为1()0x x x ϕ-'=≥（当且仅当1x =时取等号），所以()x ϕ在[1,)+∞上递增，所以()(1)10x ϕϕ≥=>，所以()0h x '>，所以()h x 在[1,)+∞上递增，所以min ()(1)2h x h ==，所以 2.k ≤ ……………12分22.证明：（Ⅰ）因为A C B D =,所以ABC BCD ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC∠=∠,所以ACE BCD ∠=∠. ………………5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以BDCECB ∆∆，故B C C DB E B C=.即2BC BE CD =⋅.又82BE ,CD ,==所以=4BC . ………………10分23.解：（Ⅰ）曲线1:2cos C ρθ=化为普通方程为：22(1)1x y -+=；直线2C的参数方程x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).0y -=.所以曲线1C 是以1C ()1,0为圆心，1r =为半径的圆.所以圆心1C ()1,00y -=的距离为：d ==.所以1AB ==.………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆10分 24.解: 1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）不等式()2f x x >,即112x x ≤⎧⎨->⎩或12232x x x <<⎧⎨->⎩或212x x≥⎧⎨>⎩,解得12x <-,所以不等式()2f x x >的解集为12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. ……………5分（Ⅱ）存在x R ∈，使得2()1f x t t >-+,即2max ()1f x t t >-+∵max ()1f x =, ∴只要22110(0,1)t t t t t >-+⇔-<⇔∈即(0,1)t ∈ ……………10分。
2015杭州二模数学(理)
……………………8 分
（II）当 a 3[1,6] 时， sin C 1 ， 当 a 1时， b2 a2 c2 2ac cos B 1 36 2 1 6 于是
1 31 ，∴ b 31 ， 2
3 93 6 31 ，从而： sin C ， 31 sin C sin π 3 3 3 93 3 ，因为 ， 2 31 2
D A G E
C B
PA DH 4 1 2 ， PD 2 5 5
4 19 ， 3 5 5
P
在 Rt△GHC 中， GC HG2 HC2
GH 2 19 所以 cos GHC ． GC 19
所以二面角 A－PD－C 的余弦值为－
A
H D G
2 19 ． 19
……………………8 分
1 ． 2
π ，即 a2－6a＋8＝0， 3
根据余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得 (2 7 )2＝a2＋62－12acos 解得：a＝2 或 a＝4．
当 a＝2 时， SABC ac sin B 2 6 sin 当 a＝4 时， SABC
1 1 3 3； 2 2 3 1 1 ac sin B 4 6 sin 6 3 ． 2 2 3
2015二模理数答案
长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. D2. A3. C4. C5. D6. D7. B8. B9. C 10.A 11. C 12. A 简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，则{|12}Q x x =-<≤R ð，所以{|02}P Q x x =≤≤R ð. 故选D. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】A131255i i i -=--，所以其共轭复数为3155i +. 故选A. 3. 【命题意图】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对统计学原理有全面的认识.【试题解析】C (01)(12)0.5(2)P P P ξξξ==->=≤≤≤≤. 故选C. 4. 【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑，属于基础题.【试题解析】C 由p 成立，则1a ≤，由q 成立，则1a >，所以p ⌝成立时1a >是q 的充要条件.故选C.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D由题意可知，35x y +在(2,1)--处取得最小值，在35(,)22处取得最大值，即35[11,17]x y +∈-.故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D. 7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B |2|+==a b 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题.【试题解析】C由题意()sin(2)6f x x π=+，将其图像向右平移ϕ(0)ϕ>个单位后解析式为()sin[2()]6f x x πϕ=-+，则26k πϕπ-=，即212k ππϕ=+()k ∈N ，所以ϕ的最小值为12π. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】A 由直线与圆相切可知||m n +=1mn m n =++，由2()2m n mn +≤可知211()4m n m n ++≤+，解得(,2[222,)m n +∈-∞-++∞. 故选A. 11. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b a θ=，222tan 2aba bθ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a =，则54e =. 故选C.12. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于难题.【试题解析】A 设(2)n n n b nS n a =++，有14b =，28b =，则4n b n =， 即(2)4n n n b nS n a n =++=当2n ≥时，1122(1)(1)01n n n n S S a a nn ---++-+=- 所以12(1)11n n n n a a n n -++=-，即121n n a a n n -⋅=-，所以{}n a n是以12为公比，1为首项的等比数列，所以11()2n n a n -=，12n n na -=. 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 6014.4915.83π16. 19(2,)8简答与提示：13. 【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识，属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为2246(2)(60C x =. 14. 【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理，属于基础题.【试题解析】由题意322023a a x ==⎰，所以49a =. 15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定难度.【试题解析】由题意，面积最小的截面是以AB为直径，可求得3AB =，进而截面面积的最小值为283ππ=. 16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有4个零点，有(1)(1)(3)(3)g f g f >⎧⎨<⎩，解得19(2,)8a ∈.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+ (3分)tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴= (6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin 3cos cos BB B B⇒=⇒=，而22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =.(9分)所以在△ABC中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人，属于潜在消费人群的为4人. (6分) 从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150，200，250，300.363101(150)6C P X C ===， 21643101(200)2C C P X C ===，126433(250)10C C P X C ===，343101(300)30C P X C ===，(10分) 且1131150200250300210621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.(12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==， 又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形 ,AP AD AB AD ⊥⊥，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥ AP AB =，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC .(6分) (2) 存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设(2,,0)E t ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B从而(0,2,2)PD =-，(2,2,0)DE t =-，则平面PDE 的法向量为1(2,2,2)n t =-， 又平面DEB 即为xAy 平面，其法向量2(0,0,1)n =，则1212122cos ,3||||(2n n n n n n ⋅<>===⋅，解得3t =或1t =，进而3λ=或13λ=.(12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b ===进而其方程为22143x y +=(0)y ≠. (5分)(2) 1232k k k =+，以下进行证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分)由题意：13mk =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-.11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=--21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m mk x x x x k ++-+++====-+++当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+. (12分)21. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1) 对()f x 求导得：1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+，根据条件知(0)0f '=，所以101b b -=⇒=. (3分)(2) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-，01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+ 22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++.① 当12a ≤-时，由于01x ≤≤，有221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+，于是()f x '在[0,1]上单调递增，从而()(0)0f x f ''≥=，因此()f x 在[0,1]上单调递增，即()(0)0f x f ≥=而且仅有(0)0f =；②当0a ≥时，由于01x ≤≤，有221()0(1)ax a f x x ++''=-<+，于是()f x '在[0,1]上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,1]上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =；③当102a -<<时，令21min{1,}a m a+=-，当0x m ≤≤时，221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+，于是()f x '在[0,]m 上单调递减，从而()(0)0f x f ''≤=，因此()f x 在[0,]m 上单调递减， 即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.综上可知，所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-. （8分）(3) 对要证明的不等式等价变形如下：2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+ 所以可以考虑证明：对于任意的正整数n ，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立. 并且继续作如下等价变形2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n+++<<+⇔++<<++ 211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n n q n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩对于()p 相当于（2）中21(,0)52a =-∈-，12m =情形，有()f x 在1[0,]2上单调递减，即()(0)0f x f ≤=而且仅有(0)0f =.取1x n =，当2n ≥时，211(1)ln(1)05n n n++-<成立；当1n =时，277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<.从而对于任意正整数n 都有211(1)ln(1)05n n n ++-<成立.对于()q 相当于（2）中12a =-情形，对于任意x ∈[0,1]，恒有()0f x ≥而且仅有(0)0f =. 取1x n=，得：对于任意正整数n 都有111(1)ln(1)02n n n++->成立.因此对于任意正整数n ，不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+恒成立. 这样依据不等式215211(1)(1)n n e n n+++<<+，再令10000n =利用左边，令1000n = 利用右边，即可得到10000.41000.5100011001()()100001000e <<成立. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，则△PED ∽△PAC ，则PE PD PA PC =，又PE ED PB BD =，则ED PB PDBD PA PC⋅=. (5分) (2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠， 在△ECD 中，30CED ∠=，可知75PCE ∠=. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分) (2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由125t t +=，1285t t =，得21||5d t t =-==. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解：(1) 当3a =时，174,213()5,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，所以()7f x >的解集为{|0x x <或2}x >.(5分)(2) ()|21||2||212||1|f x x a x a x a x a a a =-+-+≥-+-+=-+， 由()3f x ≥恒成立，有|1|3a a -+≥，解得2a ≥ 所以a 的取值范围是[)2,+∞.(10分)。
2015年云南省高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年云南省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知i为虚数单位，复数z1＝2+3i，z2＝1﹣i，则＝（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i2．（5分）设△ABC的外接圆的圆心为P，半径为3，若＝，则＝（）A．﹣B．﹣C．3D．93．（5分）设a＝3，b＝，c＝，则下列正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）在（2x﹣）3的二项展开式中，各项系数的和为（）A．27B．16C．8D．15．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若＝，则＝（）A．B．C．4D．56．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图和侧视图都是边长为6的正三角形，俯视图是直径等于6的圆，则这个空间几何体的体积为（）A．54πB．18πC．9D．7．（5分）已知平面向量＝（cos x，sin x），＝（cos x，cos x），函数f（x）＝•，R 是实数集，如果∃x1∈R，∃x2∈R，∀x∈R，f（x1）＜f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为（）A．πB．C．D．8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，P A＝1，PB＝PC＝2，若三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（）A．9πB．16πC．25πD．36π9．（5分）如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和D．求数列{}的前11项的和10．（5分）表格提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组对应数据：根据表中提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表格中t的值为（）A．3.5B．3.25C．3.15D．611．（5分）已知a＞0，b＞0，直线3x﹣4y＝0是双曲线S：﹣＝1的一条渐近线，双曲线S的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x﹣e﹣x+lg（x+），a，b都是实数，若p：a+b＜0，q：f（a）+f（b）＜0，则p是q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：每小题5分，共20分13．（5分）在区间（0，4）内任取两个实数，如果每个实数被取到的概率相等，那么取出的两个实数的和大于2 的概率等于．14．（5分）设S n是数量{a n}的前n项和，如果S n＝3a n﹣2，那么数列{a n}的通项公式为．15．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x（x2+ax﹣2）在区间（﹣3，﹣2）内单调递减，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知以点C（1，﹣3）为圆心的圆C截直线4x﹣3y+2＝0得到的弦长等于2，椭圆E的长轴长为6，中心为原点，椭圆E的焦点为F1，F2，点P在椭圆E上，△F1PF2是直角三角形，若椭圆E的一个焦点是圆C与坐标轴的一个公共点，则点P到x轴的距离为．三、计算题17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，tan B ＝（Ⅰ）求B的值（Ⅱ）设a＝8，S＝10，求b的值．18．（12分）某班级艺术团的成员唱歌、跳舞至少擅长一项，已知擅长唱歌的有5人，擅长跳舞的有4人，设从艺术社团的成员中随机选2人，每位成员被选中的概率相等，选出的人中既擅长唱歌又擅长跳舞的人数为X，且P（X＞0）＝，求：（Ⅰ）该班级艺术社团的人数；（Ⅱ）随机变量X的均值E（X）．19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点（Ⅰ）求证：平面A1ED⊥平面EBD；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴交于点M，E（x0，0）是x轴上的点，直线l经过M与抛物线C交于A，B两点（Ⅰ）设l的斜率为，x0＝5，求证：点E在以线段AB为直径的圆上；（Ⅱ）设A，B都在以点E为圆心的圆上，求x0的取值范围．21．（12分）已知函数F（x）＝lnx，f（x）＝x2+a，a为常数，直线l与函数F（x）和f （x）的图象都相切，且l与函数F（x）的图象的切点的横坐标等于1．（Ⅰ）求直线l的方程和a的值；（Ⅱ）求证：关于x的不等式F（1+x2）≤ln2+f（x）的解集为（﹣∞，+∞）．四、选考题选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O的直径CB的延长线上的点，P A与⊙O相切于点A，点D在⊙O 上，∠BAD＝∠APC，BC＝40，PB＝5（Ⅰ）求证：tan∠ABC＝3；（Ⅱ）求AD的值．五、选修4-4：坐标系与参数分方程23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t＝0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4＝0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|P A|•|PB|的值．六、选修4-5：不等式选讲24．已知a是常数，f（x）＝x2+2|x﹣1|+3，对任意实数x，不等式f（x）≥a都成立（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）对任意实数x，求证：|x+3|≥a﹣|x﹣1|2015年云南省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知i为虚数单位，复数z1＝2+3i，z2＝1﹣i，则＝（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i【解答】解：＝＝＝＝﹣，故选：B．2．（5分）设△ABC的外接圆的圆心为P，半径为3，若＝，则＝（）A．﹣B．﹣C．3D．9【解答】解：由题意＝，又△ABC的外接圆的圆心为P，半径为3，故，两向量的和向量的模是3，由向量加法的平行四边形法则知，此时，两向量的和向量与两向量的夹角都是60°，即，两向量的夹角为120°，∴•＝3×3×cos120°＝9×（﹣）＝﹣．故选：A．3．（5分）设a＝3，b＝，c＝，则下列正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a＝3＜0，b＝＝1，0＜c＝＜1，∴a＜c＜b．故选：B．4．（5分）在（2x﹣）3的二项展开式中，各项系数的和为（）A．27B．16C．8D．1【解答】解：令二项式（2x﹣）3中的x＝1得到展开式中各项的系数的和为1．故选：D．5．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若＝，则＝（）A．B．C．4D．5【解答】解：等差数列{a n}中，设首相为a1，公差为d，由于：，则：，解得：，＝，故选：D．6．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图和侧视图都是边长为6的正三角形，俯视图是直径等于6的圆，则这个空间几何体的体积为（）A．54πB．18πC．9D．【解答】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为6的正三角形，可得其底面半径R＝3，且其高为正三角形的高，由于此三角形的高为，故圆锥的高h＝，此圆锥的体积V＝πR2h＝9，故选：C．7．（5分）已知平面向量＝（cos x，sin x），＝（cos x，cos x），函数f（x）＝•，R 是实数集，如果∃x1∈R，∃x2∈R，∀x∈R，f（x1）＜f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为（）A．πB．C．D．【解答】解：平面向量＝（cos x，sin x），＝（cos x，cos x），函数f（x）＝•＝cos2x+sin x cos x＝（1+cos2x）+sin2x＝+sin（2x+），即有f（x）的最小值为﹣1，最大值为+1，如果∃x1∈R，∃x2∈R，∀x∈R，f（x1）＜f（x）≤f（x2），则﹣1＜f（x）≤+1，则|x1﹣x2|的最小值为，即＝，故选：B．8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，P A＝1，PB＝PC＝2，若三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（）A．9πB．16πC．25πD．36π【解答】解：由题意，以P A、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为＝3，∴球直径为3，半径R＝，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2＝4π×（）2＝9π故选：A．9．（5分）如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和D．求数列{}的前11项的和【解答】解：由已知框图可得：循环变量k的初值为1，终值为10，步长为1，故循环共进而10次，又由循环变量n的初值为1，步长为2，故终值为20，由S＝S+可得：该程序的功能是计算S＝的值，即数列{}的前10项的和，故选：C．10．（5分）表格提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组对应数据：根据表中提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表格中t的值为（）A．3.5B．3.25C．3.15D．6【解答】解：＝＝4.5，＝＝2+，∵y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，∴2+＝0.7×4.5+0.35∴t＝6．故选：D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，直线3x﹣4y＝0是双曲线S：﹣＝1的一条渐近线，双曲线S的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，＝，e＝＝，所以＝＝≥＝，所以的最小值为，故选：A．12．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x﹣e﹣x+lg（x+），a，b都是实数，若p：a+b＜0，q：f（a）+f（b）＜0，则p是q的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f（x）的定义域为R，∵f（x）＝e x﹣e﹣x+lg（x+），∴f（x）为增函数，f（﹣x）+f（x）＝e﹣x﹣e x+lg（﹣x+）+e x﹣e﹣x+lg（x+）＝lg（x+）（﹣x+）＝lg1＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，若a+b＜0，则a＜﹣b，则f（a）＜f（﹣b），即f（a）＜﹣f（b），则f（a）+f（b）＜0，若f（a）+f（b）＜0，则f（a）＜﹣f（b），∵函数f（x）是奇函数，∴f（a）＜f（﹣b），∵f（x）是增函数，∴a＜﹣b，即a+b＜0成立，故p是q的充要条件，故选：C．二、填空题：每小题5分，共20分13．（5分）在区间（0，4）内任取两个实数，如果每个实数被取到的概率相等，那么取出的两个实数的和大于2 的概率等于．【解答】解：设在区间（0，4）内任取两个实数为x，y，则满足，取出的两个实数的和大于2，则满足，如图满足条件的实数如图中阴影部分，面积为4×4﹣×2×2＝14，由几何概型公式可得取出的两个实数的和大于2 的概率等于；故答案为：．14．（5分）设S n是数量{a n}的前n项和，如果S n＝3a n﹣2，那么数列{a n}的通项公式为．【解答】解：∵S n＝3a n﹣2，∴当n＝1时，a1＝3a1﹣2，解得a1＝1；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（3a n﹣2）﹣（3a n﹣1﹣2），化为，∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为．∴．故答案为：．15．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）＝e x（x2+ax﹣2）在区间（﹣3，﹣2）内单调递减，则实数a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：由f（x）＝（x2+ax﹣2）e x，得f′（x）＝[x2+（a+2）x+a﹣2]e x，令g（x）＝x2+（a+2）x+a﹣2，因为△＝（a+2）2﹣4（a﹣2）＝a2+12＞0，所以g（x）有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1＞x2，要使f（x）在[﹣3，﹣2]上单调递减，必须满足，即，解得：a≥，故答案为：[，+∞）．16．（5分）已知以点C（1，﹣3）为圆心的圆C截直线4x﹣3y+2＝0得到的弦长等于2，椭圆E的长轴长为6，中心为原点，椭圆E的焦点为F1，F2，点P在椭圆E上，△F1PF2是直角三角形，若椭圆E的一个焦点是圆C与坐标轴的一个公共点，则点P到x轴的距离为．【解答】解：如右图，点C到直线4x﹣3y+2＝0的距离d＝＝3，故r＝＝，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y+3）2＝10，令y＝0解得，x＝0或x＝2，故椭圆的一点焦点坐标为（2，0），故c＝2，再由椭圆E的长轴长为6知，a＝3；故椭圆的方程为+＝1；又∵点P在椭圆E上，△F1PF2是直角三角形，∴∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°，∴设点P的横坐标为x0，则|x0|＝2，故+＝1，故|y0|＝；即点P到x轴的距离为；故答案为：．三、计算题17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，tan B ＝（Ⅰ）求B的值（Ⅱ）设a＝8，S＝10，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵tan B＝，∴b sin A sin B＝（2a﹣c+b cos A）cos B．利用正弦定理可得sin A sin2B＝（2sin A﹣sin C+sin B cos A）cos B，∴sin A sin2B﹣sin B cos A cos B＝2sin A cos B﹣sin C cos B．即﹣sin B cos（（A+B）＝2sin A cos B﹣sin C cos B，∴sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝2sin A cos B，∴cos B＝，B＝．（Ⅱ）∵a＝8，S＝10＝ac•sin B＝2c，∴c＝5．再由余弦定理可得b＝＝＝7．18．（12分）某班级艺术团的成员唱歌、跳舞至少擅长一项，已知擅长唱歌的有5人，擅长跳舞的有4人，设从艺术社团的成员中随机选2人，每位成员被选中的概率相等，选出的人中既擅长唱歌又擅长跳舞的人数为X，且P（X＞0）＝，求：（Ⅰ）该班级艺术社团的人数；（Ⅱ）随机变量X的均值E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设艺术社团既擅长唱歌又擅长跳舞共有x人，则艺术社团有（9﹣x）人，那么唱歌、跳舞只擅长一项的人数为（9﹣2x）人…（2分）∵P（X＞0）＝P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝，∴1﹣＝…（4分）整理为：19x2﹣153x+288＝0，∴x＝3，∴9﹣x＝6，即艺术社团有6人…（6分）（Ⅱ）依（Ⅰ）有：艺术社团有6人，既擅长唱歌又擅长跳舞共有3人．X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝…（10分）∴EX＝0×+1×+2×＝1…（12分）19．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点（Ⅰ）求证：平面A1ED⊥平面EBD；（Ⅱ）求二面角A1﹣DE﹣B的正弦值．【解答】（I）证明：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，建立坐标系D﹣xyz如图，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），BD的中点0（1，1，0），＝（1，﹣1，2），＝（2，2，0），＝（0，2，1），＝（2，0，2），∵，•＝﹣1×0﹣1×2+2×1＝0，∴OA1⊥DB，OA1⊥DE，又∵DB∩DE＝D，DB⊂平面EBD，DE⊂平面EBD，∴OA1⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面EBD；（II）解：由（I）知：＝（1，﹣1，2）是平面EBD的一个法向量，设＝（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则⊥，⊥，∴，取y＝1，解得，∴＝（2，1，﹣2）是平面A1DE的一个法向量，设二面角A1﹣DE﹣B的大小为θ，则|cosθ|＝＝，∵0＜θ＜π，∴，∴二面角A1﹣DE﹣B的正弦值为．20．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴交于点M，E（x0，0）是x轴上的点，直线l经过M与抛物线C交于A，B两点（Ⅰ）设l的斜率为，x0＝5，求证：点E在以线段AB为直径的圆上；（Ⅱ）设A，B都在以点E为圆心的圆上，求x0的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得M（﹣1，0），直线l的斜率存在，设为k，则k≠0，且l的方程为y＝k（x+1），由，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2＝0．由直线l与抛物线C交于A、B两点得，△＝4（k2﹣2）2﹣4k4＞0，解得k2＜1．∴0＜k2＜1．设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），则，当，x0＝5时，，则E（5，0），，∴，），＝（x2﹣5，），∵[x1x2+（x1+x2）+1]＝0．∴，即EA⊥EB．∴点E在以线段AB为直径的圆上；（Ⅱ）解：∵A、B都在以点E为圆心的圆上，∴|EA|＝|EB|．设AB的中点为D，则D（），∵|EA|＝|EB|，∴DE⊥AB．∵k≠0，∴k DE•k＝﹣1，解得：．∵0＜k2＜1，∴．∴x0的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）已知函数F（x）＝lnx，f（x）＝x2+a，a为常数，直线l与函数F（x）和f （x）的图象都相切，且l与函数F（x）的图象的切点的横坐标等于1．（Ⅰ）求直线l的方程和a的值；（Ⅱ）求证：关于x的不等式F（1+x2）≤ln2+f（x）的解集为（﹣∞，+∞）．【解答】（Ⅰ）解：F′（x）＝，F′（1）＝1，故直线l的斜率为1，切点为（1，f（1）），即（1，0），∴直线l：y＝x﹣1 ①又∵f′（x）＝x，直线l：y＝x﹣1与函数g（x）的图象都相切，∴令f′（x）＝1，解得x＝1，即切点为（1，+a），∴直线l：y﹣（+a）＝x﹣1，即y＝x﹣+a②比较①和②的系数得﹣+a＝﹣1，∴a＝﹣．（Ⅱ）证明：设H（x）＝F（1+x2）﹣f（x）﹣ln2＝ln（1+x2）﹣x2+﹣ln2，H′（x）＝﹣x＝＝，当0＜x＜1时，H′（x）＞0，H（x）递增；当x＞1时，H′（x）＜0，H（x）递减．即有x＞0时，H（x）有最大值，且为H（1）＝0；由于H（﹣x）＝H（x），则H（x）为偶函数，则H（﹣1）＝H（1）＝0，即有x＜0时，H（x）的最大值为H（﹣1）＝0．则H（x）≤0．即x∈R时，F（1+x2）﹣f（x）﹣ln2≤0．即关于x的不等式F（1+x2）≤ln2+f（x）的解集为（﹣∞，+∞）．四、选考题选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O的直径CB的延长线上的点，P A与⊙O相切于点A，点D在⊙O 上，∠BAD＝∠APC，BC＝40，PB＝5（Ⅰ）求证：tan∠ABC＝3；（Ⅱ）求AD的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，∵P是⊙O的直径CB的延长线上的点，P A与⊙O相切于点A，∴P A2＝PB•PC＝PB（PB+BC）＝225，∴P A＝15，在△ACP和△BAP中，∵∠ACP＝∠BAP，∠APC＝∠BP A，∴△ACP∽△BAP，∴＝3，∵AC⊥AB，∴tan∠ABC＝＝3；（Ⅱ）解：连接BD，则在△ACP与△BDA中，∵∠ACP＝∠BDA，∠APC＝∠BAD，∴△ACP∽△BDA，∴，∴AD＝＝3AB，∵AC⊥AB，＝3，∴AC2+AB2＝BC2＝1600，∴AB＝4，∴AD＝12．五、选修4-4：坐标系与参数分方程23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t＝0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4＝0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|P A|•|PB|的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4＝0，所以曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4＝0；（Ⅱ）解：当t＝0时，x＝0，y＝﹣1，所以P（0，﹣1），由（Ⅰ）知：曲线C1是经过P的直线，设它的倾斜角为α，则tanα＝，从而，cos，所以曲线C1的参数方程为，T为参数，∵，∴ρ2（3+sin2θ）＝12，所以曲线C2的直角坐标方程为3x2+4y2＝12，将，代入3x2+4y2＝12，得21T2﹣30T﹣50＝0，所以|P A|•|PB|＝|T1T2|＝．六、选修4-5：不等式选讲24．已知a是常数，f（x）＝x2+2|x﹣1|+3，对任意实数x，不等式f（x）≥a都成立（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）对任意实数x，求证：|x+3|≥a﹣|x﹣1|【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2+2|x﹣1|+3＝，∴当x≥1时，f（x）≥f（1）＝4；当x＜1时，f（x）＞4；∴f（x）的最小值为4，∵对任意实数x，不等式f（x）≥a都成立，∴a≤4，∴a的取值范围为（﹣∞，4]；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得a≤4，∵|x+3|+|x﹣1|≥|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，∴|x+3|+|x﹣1|≥a，∴|x+3|≥a﹣|x﹣1|．第21页（共21页）。
2015年佛山二模数学(理)试卷和答案
2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．82．若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ()32, 0-=，b ()3, 1=，则向量a 在b 上的投影为（ ）A ．3-B ．3-C ．3D ．34．不可能肥直线b x y +=23作为切线的曲线是（ ）A ．xy 1-= B ．x y sin = C ． x y ln =D ．x e y =5．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍倍，则其渐近线方程为（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x6．已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧7．已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题： （1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ． 2C ．3D ．48．若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式112<-x 的解集为 .10．已知等差数列{}n a 满足1243=+a a ，523a a =，则=6a .11．将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 . 12．在△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若C c b B A b a sin )()sin )(sin (+=-+，则A ＝ .13．已知{}21 ),( ≤≤+=y x y x A ，{}02 ),( =-+=a y x y x B ，若ΦB A ≠ ，则实数a 的 最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（极坐标与参数方程选讲） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==t y tx 4（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标为)4sin(24πθρ+=，则直线l和曲线C 的公共点有 个. 15．（几何选讲） 如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈-++= , )62cos()32sin()(ππ.（1）求)4(πf 的值；（2）求函数)(x f 的值域和单调递增区间.17．（本小题满分12分）寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家.（1） 画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；（2） 从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变.假如明年花市5天每天下雨的概率为51，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？（3） 若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）条件下，你认为“值得投资”吗？A B图118．（本小题满分14分）如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝1200，D 为AC 的中点，P 为棱A 1B 上的动点.（1） 探究：AP 能否与平面A 1BC 垂直？ （2） 若AA 1＝6，求二面角A 1－BD －B 1的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足),2( 1, 11211*-∈≥-=+⋅⋅⋅++=N n n a a a a a n n（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n a 满足)1( log >=a a b n n a ，求证：111111132212-<-+⋅⋅⋅+-+-≤--a b b b b b b a a n n .20．（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a b y a x 过点（0, －2），且离心率为35.（1） 求椭圆E 的方程；图2A 11A（2） 如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程.21．（本小题满分14分）设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ.（1） 若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；（2） 若)(λg 是函数)(x f 的极大值，求)(λg 的取值范围.2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）参考答案选择题：DBAB CDBA一、填空题：9．（0, 1）； 10．11； 11．20；12．32π； 13．5；14．1；15：332 答案解析：1．集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个2．()()()()()()()i i i i i i i i i i i z +-=+=+=+-++=-+=1121211111122与第二象限的点（－1,1）对应.3．向量a 在b326)3(133202-=-=+⨯-==θ 4．对于B 选项：x x f cos )('=的最大值为1，所以x y sin =不存在斜率为23的切线。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题(含答案)
X
的分布列，期望 E（X）和方程 D（ X）
19、（本小题满分 12 分）
已知 PA 平面 ABCD ,CD AD , BA AD ,CD AD AP 4, AB 1 。 （ 1）求证： CD 平面 ADP ； （ 2） M为线段 CP上的点，当 BM AC 时，求二面角 C AB M 的余弦值。
11
1
．1
2 32 432
11
1
1
．1
2 32 4 32 5 432
9、在平面直角坐标系中，角
的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半
轴重合，终边过点 P(sin ,cos ) ，则 sin(2
)
88
12
A． 3 2
B ．3 2
1
C．
2
D ．1 2
10、在四面体 S-ABC中， SA 平面 ABC, BAC 120 , SA AC 2, AB 1，
如图： O 的直径 AB 的延长线于弦 CD的延长线相交于 点 P， E 为 O 上一点， AE AC, DE 交 AB 于点 F。 （ 1）求证： O , C , D , F 四点共圆； （ 2）求证： PF PO PA PB .
23、（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
若将日均课外阅
读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜” ，低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”
（ 1）根据已知条件完成下面 2 2 的列联表，并据此判断是否有
与性别有关？
99%的把握认为“读书谜”
（ 2）将频率视为概率， 现在从该校大量学生中， 用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取
3 次，记被抽取的 3 人中的“读书谜”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求
2015年高考理科数学全国卷2及答案
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B51AB CB k =-，所以径为5，所以面积为：4π144πS R ==，选C ．。
2015年北京西城高三二模数学(理科)试题及答案
北京市西城区 2 0 1 5年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设会合，会合?，则 A I B＝（）（－1? 3）?（1? 3］?［?（－］A ．B ．C． 1? 3） D ．1? 32．已知平面向量，则实数 k ＝（）A ． 4B．－ 4C． 8D．－ 83．设命题 p ：函数在 R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则以下命题中真命题是（）4．履行如下图的程序框图，若输入的，则输出的 s属于（）A．{ 1?2}?B．{1?3}?C．{2?3}?D．{1?3?9}?5．某生产厂商更新设施，已知在将来x 年内，此设施所花销的各样花费总和y（万元）与 x知足函数关系，若欲使此设施的年均匀花销最低，则此设施的使用年限x为（）A ． 3B． 4C．5D． 66．数列为等差数列，知足，则数列前 21项的和等于（）A ．B．21C． 42D． 847．若“x＞ 1 ”是“不等式建立”的必需而不充足条件，则实数a的取值范围是（）A ． a ＞ 3B ． a ＜ 3C． a ＞ 4 D ．a ＜ 48．在长方体，点 M 为AB1的中点，点 P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q能够重合），则MP＋PQ的最小值为（）第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线 C ：的离心率为；渐近线的方程为．．已知角的终边经过点（－，）； cos 2 ＝．11 3 4 ，则 cos ＝ ?12．如图， P 为O 外一点， PA是切线，A为切点，割线PBC 与O订交于点B、C，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点，AD 的延伸线交O于点 E．若PB＝3? ，则4PA ＝； AD·DE ＝．13．现有 6 人要排成一排照相，此中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两头，则不一样的排法有种．（用数字作答）14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， O为AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD，在旋转的过程中，记， OP 所经过的在正方形 ABCD 内的地区（暗影部分）的面积S ＝ f （x），那么关于函数 f （x）有以下三个结论：①；②随意，都有③随意此中全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13分）在锐角△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b ， c ，已知 a ＝7 ，b＝3，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求△ ABC 的面积．16．（本小题满分 13分）某厂商检查甲、乙两种不一样型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并依据这10个卖场的销售状况，获得如下图的茎叶图．为了鼓舞卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据均匀数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当 a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数目为m，乙型号电视机的“星级”n，比较m，n的大小关系；卖场数目为（Ⅱ）在这 10个卖场中，随机选用 2 个卖场，记 X 为此中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 X 的散布列和数学希望．（Ⅲ）若 a ＝ 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，依据茎叶图推测 b为什么值时， s2达到最小值．（只要写出结论）17．（本小题满分 14分）如图 1，在边长为 4的菱形 ABCD中，于点 E ，将△ADE沿DE 折起到的地点，使，如图2．⑴求证：平面 BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段 EB 上能否存在一点 P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明原因．18．（本小题满分 13分）已知函数，此中 a R ．⑴当时，求 f (x)的单一区间；⑵a0m0x f (x)｜≤m建立．当＞时，证明：存在实数＞，使得关于随意的实数，都有｜19．（本小题满分 14分）设分别为椭圆 E：x2y21(a b0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左极点，a2b2点 B 为椭圆 E 的上极点，且｜AB｜＝ 2．⑴若椭圆 E 的离心率为，求椭圆 E 的方程；⑵设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线与y轴订交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分 13 分）无量数列P：，知足，关于数列P ，记，此中表示会合中最小的数．（Ⅰ）若数列P:1?3?4?7?，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前 n项的和；（Ⅲ）已知＝ 46，求的值．欢迎接见“高中试卷网”——。
2015年全国卷2(理科数学)含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=【A】（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=【B】（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =【B 】（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数则【C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D 】 （A ）（B ） （C ） （D ） （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则=【C 】（A ）2 （B ）8 （C ）4 （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ,b 分别为14,18，则输出的a =【B 】（A ）0 （B ）2 （C ）4（D ）14（9）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为【C 】A ．36πB .64πC .144πD .256π211log (2),1(),2,1x x x f x x -+-⎧=⎨≥⎩2(2)(og 12)f f l -+=81716151MN 66(10).如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为【B 】（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为【D 】AB ．2C D （12）设函数是奇函数的导函数，，当x >0时，＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是【A 】 A ． B ． C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
2015年河南省开封市高考数学二模试卷(理科)
2015年河南省开封市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题.1．设全集U =R ，集合(){}2lg 1M x y x ==-，{}02N x x =<<，则()U N M ð =（ ） A.{}21x x -<≤ B.{}01x x <≤ C.{}11x x -≤≤ D.{}1x x <答案：B考点：交集及其运算． 专题：函数的性质及应用．分析：由全集U =R ，集合(){}{}2lg 111M x y x x x huox ==-=<->，先求出U M ð，再由集合N 能够求出()U N M ð．解答：解： 全集U =R ，集合(){}{}2lg 111M x y x x x huox ==-=<->，{}11U M x x ∴=-≤≤ð， 集合{}02N x x =<<， ()()01U N M x x ∴=< ð≤．故选B ．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.若()12i i=1bi a +-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则i a b +=（ ）A.1i 2+B.5C.54答案：D考点：点的极坐标和直角坐标的互化；复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出． 解答：解：()12i i=1bi a +- ，2i=1bi a ∴-+-， 21a ∴-=，1b =-，解得12a =-，1b =-．则11i i i 22a b +=--=+=．故选：D ．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题． 3.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定是：“0x ∃∈R ，使得20010x x -+<”B.在ABC △ 中，“sin sin A B >”是“A B >”成立的充要条件C.线性回归方程y b a =+ 对应的直线一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 ，(),n n x y 中的一个D.在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越大 答案：B考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑．分析：A.写出命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定，可判断A ；B.在ABC △ 中，利用正弦定理可知sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，可判断B ；C.线性回归方程y b a =+ 对应的直线不一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 ，(),n n x y 中的任何一个，可判断C ；D.在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，可判断D ．解答：解：对于A ，命题“x ∀∈R ，均有210x x -+>”的否定是：“0x ∃∈R ，使得20010x x -+≤”，故A 错误；对于B ，在ABC △ 中，由正弦定理知，sin sin A B a b >⇔>，又a b A B >⇔>，所以在ABC △ 中，“sin sin A B >”是“A B >”成立的充要条件，B 正确；对于C ，线性回归方程y ba =+ 对应的直线不一定经过其样本数据点()11,x y 、()22,x y 、 、(),nnx y 中的一个，故C 错误；对于D ，在22⨯列联表中，ad bc -的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，故D 错误． 综上所述，A 、B 、C 、D 四个选项中，只有B 正确， 故选：B ．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定、充分必要条件、线性回归方程及列联表的理解与应用，属于中档题．4.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积1C 、2C 的离心率分别为（ ）A.12，3 2 D.14，答案：B考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，1C双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，2C ，1C 与2C ，=，122b a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，b a =，则1C 的离心率c a =则2C 的离心率：c a =.故选：B ．点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5.某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（ ）正视图侧视图俯视图A.3πB.4πC.2πD.5π2答案：A考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R =正方体的对解答：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥． 因此此几何体的外接球的直径2R =其表面积24π3πS R ==． 故选：A ．点评：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数()()()πsin 0,2f x x x ωφωφ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，如果1x 、2ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）A.12D.1答案：C考点：由()sin y A x ωφ=+的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出()12f x x +即可． 解答：解：由图观察可知，ππ2π36T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，2π2Tω∴==，函数的图象经过π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴可得：π0sin 3φ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π2φ< ，∴可解得：π3φ=， ()πsin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，12ππ2126x x +=⨯=，()122πsin3f x x ∴+==． 故选：C ．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．7.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：C考点：选择结构．专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分2x ≤，25x <≤，5x >三种情况分别讨论，满足输入的x 值与输出的y 值相等的情况，即可得到答案． 解答：解：当2x ≤时，由2x x =得：0x =，1满足条件； 当25x <≤时，由23x x -=得：3x =，满足条件；当5x >时，由1x x=得：1x =±，不满足条件，故这样的x 值有3个． 故选C ．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．8.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ） A.12 B.24 C.36 D.48考点：排列、组合及简单计数问题．分析：由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．解答：解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有22A 种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为23A则不同的排法种数为22232A A 22624⨯⨯=⨯⨯=． 故选B ．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定，与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．9.若sin cos θθ+πtan 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A.1B.2C.1-D.3答案：B考点：两角和与差的正切函数． 专题：三角函数的求值．分析：利用三角恒等变换可得πsin cos 4θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭()π2π+4k k θ=∈Z ，再利用两角和的正切计算即可．解答：解：πsin cos 4θθθθθ⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， πsin 14θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，()ππ2π+42k k θ∴+=∈Z ．()π2π+4k k θ∴=∈Z ．πππtan tan 343θ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππtan tan 1432ππ1tan tan 43+===--故选：B ．点评：本题考查三角恒等变换的应用与两角和与差的正切函数，求得()π2π+4k k θ=∈Z 是关键，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．10.三棱锥S ABC -中，90SBA SCA ∠=∠=︒，ABC △是斜边AB a =的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB 与AC 所成的角为90︒． ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确的个数是（ ）SBAA.1B.2C.3D.4答案：D考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 专题：空间位置关系与距离．分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC SB ⊥，故①正确；再根据SB AC ⊥、SB AB ⊥，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确， 故选：D ．点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥≥，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是（ ）A.[]2,5B.[]2,9C.[]5,9D.[]1,9-答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图： ()231223x y x y x y +--++=+-，即{}231,30max 231,2222,30x y x y z x y x y x y x y +-+-⎧=+-++=⎨+++-<⎩≥，其中直线30x y +-=过A ，C 点．在直线30x y +-=的上方，平移直线231z x y =+-（红线），当直线231z x y =+-经过点()2,2B 时，直线231z x y =+-的截距最大，此时z 取得最大值为223219z =⨯+⨯-=．在直线30x y +-=的下方，平移直线22z x y =++（蓝线），当直线22z x y =++经过点()0,0O 时， 直线22z x y =++的截距最小， 此时z 取得最小值为022z =+=． 即29z ≤≤， 故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难12.已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xf x +<成立（其中()'f x 是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()ππlog 3log 3b f =⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D.a c b >> 答案：B考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小． 专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数()1y f x =-的图象关于点看()1,0对称，知()f x 为奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()'0f x xf x +<成立，所以()xf x 为减函数，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．解答：解： 当(),0x ∈-∞时不等式()()'0f x xf x +<成立，即：()()'0xf x <， ()xf x ∴在(),0-∞上是减函数．又 函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于点()0,0对称， ∴函数()y f x =是定义在R 上的奇函数()xf x ∴是定义在R 上的偶函数 ()xf x ∴在()0,+∞上是增函数．又0.323131log 30log 29>>>>=- ，0.33212log 31log 309=->>>>，()()()0.30.333ππ11log log 33log 3log 399f f f ⎛⎫⎛⎫∴-->⋅>⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()0.30.333ππ11log log 33log 3log 399f f f ⎛⎫⎛⎫>⋅>⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：c a b >> 故选B ．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用． 二、填空题 13.设e 11a dx x =⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．答案：15考点：二项式系数的性质；定积分． 专题：计算题；二项式定理．分析：求出a ，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解答：解：e 1e1ln 11a dx x x ===⎰，∴二项式662211ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的通项公式为()12316C 1r rr r T x -+=⋅-⋅， 令1230r -=，求得4r =，故展开式中的常数项为46C 15=， 故答案为：15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3π4C =，sin A =，5c a -=考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形．分析：由已知可求得cos A ，sin B ，sin C，由正弦定理得sin sin a A c C ==，又因为5c a -=而可求得a ，即可由正弦定理求sina Bb A =的值． 解答：解：因为3π4C =，sin A =，所以cos A =，由三角形内角和得π4B A =-，所以πππsin sin sin cos cos sin 444B A A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，已知3π4C =，所以sin C =，由正弦定理得sin sin a Ac C ==，又因为5c a -=所以5c =，a =由sin B=所以sin sin a Bb A=．点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．15.若函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．答案：()(]0,11,4考点：对数函数的值域与最值． 专题：计算题．分析：函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且a ≠1）的值域为R ，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．解答：解：函数()log 4a a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，（0a >且1a ≠）的值域为R ，其真数在实数集上恒为正，即40a x x +->恒成立，即存在x ∈R 使得4ax x+≤，又0a >且1a ≠. 故可求ax x +的最小值，令其小于等于4ax x+ ≥4∴，解得4a ≤，故实数a 的取值范围是()(]0,11,4 .故应填()(]0,11,4点评：考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．16.已知a ，b 是单位向量，0a b ⋅= ，若向量c 与向量a 、b 共面，且满足1a b c --= ，则c的取值范围是 ．答案：1,1⎤⎦考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用．分析：由a ，b 是单位向量，0a b ⋅= ．可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y = ，由向量c 满足1c a b -+= ，可得()()22111x y -++=．其圆心()1,1C -，半径1r =．利用OC r c OC r -+ ≤即可得出．解答：解：由a ，b 是单位向量，0a b ⋅=，可设()1,0a = ，()0,1b = ，(),c x y =，向量c 满足1c a b -+=，()1,11x y ∴-+=，1，即()()22111x y -++=． 其圆心1,1C -，半径1r =．OC∴=11c =≤．c ∴的取值范围是1,1⎤⎦．故答案为：1,1⎤⎦．点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、解答题17.等差数列{}n a 中公差0d ≠，13a =，1a 、4a 、13a 成等比数列． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求：12111nS S S +++ ． 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I ）1a 、4a 、13a 成等比数列．可得24113a a a =，利用等差数列的通项公式可得()()2333312d d +=+，解出即可．（II ）由（I ）可得：()()32122n n n S n n ++==++，111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．利用“裂项求和”即可得出． 解答：解：（I ）1a 、4a 、13a 成等比数列．24113a a a ∴=，()()2333312d d ∴+=+， 化为220d d -=，0d ≠， 解得2d =．()32121n a n n ∴=+-=+． （II ）由（I ）可得：()()32122n n n S n n ++==++，111122n S n n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭. 1211111111111111232435112n S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭． ()()3234212n n n +=-++． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．18.公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下： 甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3 乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1, 9.0，8.5 （Ⅰ）画出甲、乙两产品数据的茎叶图；（Ⅱ）现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅲ） 若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．（Ⅱ）分别求出x 甲，x 乙，2S 甲，2S 乙，得到=x x 甲乙，22S S <甲乙，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,由此能求解答：解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：（Ⅱ）()1=8.39.07.97.89.48.98.48.3=8.58x +++++++甲，()1=9.29.58.07.58.28.19.08.5=8.58x +++++++乙，()()()()()()()()222222222=18.38.59.08.57.98.57.88.59.48.58.98.58.48.58.38.58=0.27S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦甲，()()()()()()()()222222222=19.28.59.58.58.08.57.58.58.28.58.18.59.08.58.58.58=0.405S ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦乙，=x x 甲乙，22S S <甲乙， ∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，则13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()30311=0=C 28P ξ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()2131131C 228P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2231132C 228P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，ξ∴的分布列为：3313012388882E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．0250125598740943398乙甲点评：本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC BB ⊥，11AB A B AC ===，1BB （Ⅰ）求证：1A B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 是棱11B C 的中点，求二面角1P AB A --的余弦值．C 1B 1A 1PCB考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）由已知得AC ⊥平面11ABB A ，从而1AC A B ⊥，由勾股定理得1A B AB ⊥，从而能证明1A B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点，以BC ，BA ，1BB 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1P AB A --的余弦值．解答：（Ⅰ）证明： 在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC BB ⊥， 又1AB BB B = ，AC ∴⊥平面11ABB A ， 又1A B ⊂平面11ABB A ，1AC A B ∴⊥， 11AB A B AC === ，1BB =22211AB A B AA ∴+=，1A B AB ∴⊥，又AC AB A = ，1A B ∴⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：以11AC ，11A B ，1BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图1A xyz -直角坐标系， ()10,0,0A ，11,,022P ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,1B -，()110,1,0AB A B == ，11,,122PB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =， 则0n AB ⋅=，即0y =， ()11,,,,1022n PB x y z ⎛⎫⋅=⋅---= ⎪⎝⎭，即102x z --=，取1z =，2x =-，()2,0,1n ∴=-，设平面11ABA B 的法向量()π1,0,0=，cos ,πn m n n m⋅=⋅． ∴二面角1P AB A --．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知函数()()()22211e x f x ax a x a a ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a ∈R ）．（Ⅰ）若0x =为()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导()()22'1e x f x ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，从而可得0a =；（Ⅱ）当0a =时，不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭可化为()()211e 112x x x x x ⎛⎫->-++ ⎪⎝⎭，即()211e 102x x x x ⎛⎫⎛⎫--++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()21e 12x g x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()'e 1x h x g x x ==--，从而由导数解不等式．解答：解：（Ⅰ）()()()22211e x f x ax a x a a ⎡⎤=+-+--⎣⎦．()()22'1e x f x ax a x a ⎡⎤∴=+++⎣⎦，0x = 为()f x 的极值点，()0'0e 0f a ∴=⋅=， 0a ∴=；经检验成立；（Ⅱ）当0a =时，不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭可化为()()211e 112x x x x x ⎛⎫->-++ ⎪⎝⎭，即()211e 102x x x x ⎛⎫⎛⎫--++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()21e 12x g x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()'e 1x h x g x x ==--，()'e 1x h x =-；当0x >时，()'e 10x h x =->，当0x <时，()'e 10x h x =-<； 故()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以()()00h x h >=；故()g x 在R 上单调递增，且()00g =； 故21e 102x x x ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭，0x >；21e 102x x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，0x <；所以原不等式的解集为{}01x x huox <>．点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题． 21.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为()110x x >，过点A 作抛物线C 的切线1l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线:2pl y =于点M ，当2FD =时，60AFD ∠=︒． （1）求证：AFQ △为等腰三角形，并求抛物线C 的方程； （2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线2l 交直线1l 于点P ，交直线l 于点N ，求PMN △面积的最小值，并求取到最小值时的1x 值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设211,2x A x p ⎛⎫⎪⎝⎭，则A 处的切线方程为2111:2x x l y x p p =-，即可得到得D ，Q 的坐标，利用两点间的距离公式即可得到FQ AF =．由点A ，Q ，D 的坐标可知：D 为线段AQ 的中点，利用等腰三角形的性质可得FD AQ ⊥，可得AF ，利用两点间的距离概率及点A 满足抛物线的方程即可得出．（2）设()()222,0B x y x <，则B 处的切线方程为22224x x y x =-，与切线1l 的方程联立即可得到点P 的坐标，同理求出点M ，N 的坐标．进而得到三角形PMN 的面积12S MN h =⋅△（h 为点P 到MN 的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出1x 的值．解答：解：（1）设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A 处的切线方程为2111:2x x l y x p p =-， 可得：1,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，210,2x Q p ⎛⎫- ⎪⎝⎭2122p x FQ AF p ∴=+=；AFQ ∴△为等腰三角形．由点A ，Q ，D 的坐标可知：D 为线段AQ 的中点，4AF ∴=，得：2122142216p x px p ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 2p ∴=，2:4C x y =．（2）设()()222,0B x y x <，则B 处的切线方程为22224x x y x =-,联立2222112424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到点1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立211241x x y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得到点112,12x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同理222,12x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设h 为点P 到MN 的距离，则()()22112121212124112212222416x x x x x x x x S MN h x x x x --⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ ① 设AB 的方程为y kx b =+，则0b >，由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得到2440x kx b --=， 得121244x x k x x b +=⎧⎨=-⎩代入①得：S △要使面积最小，则应0k =，得到()1b S b+=△②t ，得()()223112t S t t t t t+==++△，则()()()22'2311t t S t t -+=△，所以当0,t ⎛∈ ⎝⎭时，()S t 单调递减；当t ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，()S t 单调递增，所以当t =S 213b t ==，0k =，所以113y=，解得1x =．故PMN △面积取得最小值时的1x 值为．点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键． 【选修4-1：几何证明选讲】22.如图，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M ．（1）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．MECBAO考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE 、OE ，由直径所对的圆周角为直角，得到BE EC ⊥，从而得出12DE BD BC ==，由此证出ODEQD ODB △△，得90OED OBD ∠=∠=︒，利用圆内接四边形形的判定定理得到O 、B 、D 、E 四点共圆；（2）延长DO 交圆O 于点H ，由（1）的结论证出DE 为圆O 的切线，从而得出2DE DM DH =⋅，再将DH 分解为DO OH +，并利用12OH AB =和12DO AC =，化简即可得到等式22DE DM AC DM AB =⋅+⋅成立． 解答：解：（1）连接BE 、OE ，则AB 为圆O 的直径，90AEB ∴∠=︒，得BE EC ⊥， 又D 是BC 的中点，ED ∴是Rt BEC △的中线，可得DE BD =．又OE OB = ，OD OD =，ODEQD ODB ∴∠△． 可得90OED OBD ∠=∠=︒，因此，O 、B 、D 、E 四点共圆； （2）延长DO 交圆O 于点H ，DE OE ⊥，OE 是半径，DE ∴为圆O 的切线．可得()2DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH =⋅=⋅+=⋅+⋅. 12OH AB =，OD 为ABC △的中位线，得12DO AC =， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22DE DM AC DM AB =⋅+⋅．HOACEM点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若(),M x y是曲线C上的动点，求x y+的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数），消去t，可得，3410x y++=；由于π4ρθθθ⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎭,即有2cos sinρρθρθ=-，则有220x y x y+-+=，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为r=，圆心到直线的距离110d=，75；（2）可设圆的参数方程为：1212xyθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（θ为参数），则设11,22Mθθ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，则πsin4x yθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，由于θ∈R，则x y+的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24.已知函数()1f x x=-（Ⅰ）解不等式()()248f x f x++≥；（Ⅱ）若1a<，1b<，0a≠，求证：()f ab bfa a⎛⎫> ⎪⎝⎭．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（Ⅰ）依题意，()()32,31242134,32132,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪++=-++=--<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥,利用分段函数分段解不等式()()248f x f x ++≥，即可求得其解集．（Ⅱ）1a <，1b <，()()1f ab b b f f ab a f ab a b aa a ⎛⎫⎛⎫>⇔>⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 要证该不等式成立，只需证明2210ab a b --->即可．解答：（Ⅰ）解：()()32,31242134,32132,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪++=-++=--<⎨⎪⎪+⎪⎩≤≥,当3x <-时，由328x --≥，解得103x -≤；当132x -<≤时，由48x -+≥，解得x ∈∅；当12x ≥时，由328x +≥，解得2x ≥所以，不等式()()248f x f x ++≥的解集为1023x x huox ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≥；（Ⅱ）证明：()f ab b f aa ⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1ab a b ->-，因为1a <，1b <，所以()()()()222222221212110ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->, 所以，1ab a b ->-，故所证不等式成立．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。
2015广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(含解析)
2015年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是（ ）．A ．若2x ≠，则2320x x +≠-B ．若2320x x +=-，则2x =C ．若2320x x +≠-，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x +=-【答案】C【解答】解：命题“若2x =，则2320x x +=-”的逆否命题是 “若2320x x +≠-，则2x ≠”．故选C ． 2．（5分）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（ ）．A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解答】解：选项A 错误，比如取πa =，π2b =，显然满足0a b >>，但不满足sin sin a b >； 选项B 错误，由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增可得22log log a b >； 选项C错误，由函数12y x ==[0,)+∞上单调递增可得1122a b >； 选项D 正确，由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减可得1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选D ．3．（5分）已知函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则)[](2f f =（ ）． A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A【解答】解：函数40()1,0x f x x x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则(2)f =441[(2)](4f f f ⎛⎛==== ⎝⎝．故选A ．4．（5分）函数sin()(0,0,0π)y A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（ ）．A ．ππ3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π3π3sin 44y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．ππ3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π3π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解答】解：根据函数的图象，得知：3A =， 2(51)8T =-=，所以：2ππ84ω==，当1x =时，(1)3f =，0πϕ<<， 解得：π4ϕ=， 所以函数的解析式：ππ()3sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选A ．5．（5分）已知函数2()23f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使0)(0f x ≥成立的概率为（ ）．A ．425B ．12C ．23D ．1【答案】B【解答】解：已知区间[]4,4-长度为8，满足0)(0f x ≥，200()230f x x x =-++≥，解得013x -≤≤，对应区间长度为4， 由几何概型公式可得，使0)(0f x ≥成立的概率是4182=． 故选B ． 6．（5分）如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线长VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）．VCBAABC D 【答案】B【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π3α=，解得：2π3α=， ∴2π2AOA '∠=，则π13∠=，过C 作CF OA ⊥， ∵C 为OB 的三等分点，3BO =， ∴1OC =， ∵160∠=︒， ∴30OCF ∠=︒，∴12FO =，∴22234CF CO OF -==，∵3AO =，12FO =，∴52AF =， 在Rt AFC △中，利用勾股定理得：2227AC AF FC =+=，则AC = 故选B ．1FCBAO A'7．（5分）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解答】解：由题意可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程是2219544x y +=，①把2x =代入2219544x y +=，无解，∴2x =不是“M 型直线”；②把3y x =+代入2219544x y +=，无解，∴3y x =+不是“M 型直线”；③把21y x =--代入22144x y +=，有解，∴21y x =--是“M 型直线”；④把1y =代入22144x y +=，有解，∴1y =是“M 型直线”； ⑤23y x =+代入2219544x y +=，有解，∴23y x =+是“M 型直线”． 故选C ．8．（5分）设(,)P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r，且满足a b r r ∥，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若129))(((6)3f a f a f a +++=L ，则129a a a +++=L （ ）．A ．0B ．9C ．18D ．36【答案】C【解答】解：∵向量5(1,(2))a x =-r ，(1,2)b y x =-r ，且a b r r ∥，∴52(2)0y x x ---=， 即5(2)2y x x =-+， ∴5()(2)2f x x x =-+； 令5()(2)42g x f x x x =+-=+，则函数()g x 为奇函数，且是定义域内的增函数， 由129))(((6)3f a f a f a +++=L ， 得129(2)(2)(2)0g a g a g a +++---=L ， 又数列{}n a 是公差不为0的等差数列， ∴5(2)0g a -=，即520a -=，52a =， ∴129599218a a a a +++==⨯=L ．故选C ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则||z =__________． 【答案】1【解答】解：i 为虚数单位，复数1i1i z -=+，则1i |1i|||11i |1i |z --====++． 故答案为：1． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．【答案】10【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出 22221234S -=-++的值∵2222123410S -=-++=． 故答案为：10．11．（5分）已知π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3πcos 052αα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则π12f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【解答】解：∵3cos 5α=，且π02α<<，∴4sin 5，又∵π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴πππsin 12126f αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 4α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos )αα+=，． 12．（5分）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）． 【答案】30【解答】解：先从5人中任取4人，共有45C 种不同的取法．再把4人分成两部分，每部分2人，共有224222C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法，∴2242425222C C C A 30A ⨯⨯=种．故答案为：30．13．（5分）在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c u r ，2c u u r ，3c u u r．若m 为()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m =__________．【答案】5-【解答】解：不妨记以A 为起点，其余顶点为终点的向量为1a u u r ，2a u u r ，3a u u r分别为AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，以C为起点，其余顶点为终点的向量为1c u r ，2c u u r，分别为CD u u u r ，CA u u u r ，CB u u u r ．如图建立坐标系．（1）当1i =，2j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(1,1)5(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；（2）当1i =，2j =，1s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,0)(0,1)]3(((i j s t a a c c +⋅+=+⋅+-=--u u r u u r u u r u r；（3）当1i =，2j =，2s =，3t =时，则()()[1,0)(1,1)][1,1)(0,1)4(((]i j s t a a c c +⋅+=++-⋅--=-u u r u u r u u r u r；（4）当1i =，3j =，1s =，2t =时，则()()[1,0)(0,1)][1,0)(1,1)3(((]i j s t a a c c +⋅+=+=-⋅+---u u r u u r u u r u r；同样地，当i ，j ，s ，t 取其它值时，()()5i j s t a a c c +⋅+=-u u r u u r u u r u r，4-或3-．则()()i j s t a a c c +⋅+u u r u u r u u r u r的最小值是5-．故答案为：5-．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为__________．FCBAGD【答案】【解答】解：∵AE 为DAB ∠的平分线， ∴DAF BAF ∠=∠， ∵DC AB ∥， ∴BAF DEA ∠=∠， ∴DAF DEA ∠=∠， ∴AD ED =， 又E 为DC 的中点， ∴DE CE =，∴11222AD DE DC AB ====，在Rt ADG △中，根据勾股定理得：AG则2AE AG == ∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC ∥，∴DAE F ∠=∠，ADE FCE ∠=∠， 在ADE △和FCE △中，DAE FADE FCE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE △≌()FCE AAS △， ∴AE FE =，则2AF AE ==．故答案是：．E DGABCF（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有__________个． 【答案】1【解答】1解：已知曲线1C 方程3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标方程为：20x y --=．曲线2C 的方程242x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为：28x y = 所以：2820x yx y ⎧=⎨--=⎩，整理得：28160x x +=-， 所以：64640∆=-=， 则：曲线1C 和2C 的交点有1个．故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知ABC △的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值．（2）若ABC △的面积为ABC △的外接圆半径的大小． 【答案】见解析．【解答】解：（1）根据题意设7a k =，5b k =，3c k =，∴2222222259491cos 2302b c a k k k A bc k +-+-===-， 则2π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ==△∴21152k ⋅=k =，∴7a k == 由正弦定理2sin aR A =，得：142sin a R A ==． 17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在2060:岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如图表所示．（1）分别求出a ，b ，c （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．年龄【答案】见解析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得(0.0100.0250.035)101c +++⨯=， 解得0.03c =．第3组人数为50.510÷=，所以100.1100n =÷=． 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． 第4组人数为1000.2525⨯=，所以250.410a =⨯=． （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=， 所以第3，4组应依次抽取2人，4人． 依题意X 的取值为0，1，2．002426C C 2(0)C 5P X ===， 112426C C 8(1)5C 1P X ===， 202426C C 1(2)5C 1P X ===， 所以X 的分布列为：所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=．18．（14分）如图，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面． （2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．F 1E 1C 1D 1A 1B 1N F ECB A D【答案】见解析．【解答】（1）证明：连接1A B ，11D B ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D =，且1111A E B D ∥， 在四边形11BB D D 中，11BD B D ∥，且11BD B D =， 所以：11A E BD ∥，且11A E BD =， 则四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A B E D ∥．在1ABA △中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以：1AM ANAB AA = 则：1MN BA ∥， 且：1MN DE ∥，所以：M ，N ，1E ，D 四点共面；D A B CEFN B 1A 1D 1C 1E 1F 1（2）解：以点E 坐标原点，EA ，ED ，1EE 线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则B，9,,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,3,0)D ，10,(0,3)E，M ．3,,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，1(0,3,3)DE =-u u u u r，2,0)DM =-u u u u r ， 设平面1MNE D 的法向量为：(,,)m x y z =u r ，则：100m DE m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u u r ，即：33020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：m =，设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin ||||m BC m BC θ⋅=u r u u u r u r u u u r ， 故直线BC 与平面1MNE DFF19．（14分）已知点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）求证：2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 【答案】见解析．【解答】（1）解：∵点*(,)()n n n P a b n ∈N 在直线:31l y x =+上，∴31n n b a =+，直线l 与y 轴的交点为(0,1)，∴10a =，11b =．∵数列{}n a 是公差为1的等差数列，∴1n a n =-．∴3(1)132n b n n =-+=-．∴数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为：1n a n =-，32n b n =-．（2）证明：∵1)(0,1P ，1,3(2)n P n n --，∴1,31()n P n n ++．∴222211||(3)10n PP n n n +=+=， ∴1221111111111||1010521214n PP n n n n +⎛⎫=<⋅=- ⎪-+⎝⎭-． ∴当2n ≥时，22212131111111111111||||||10535572121n PP PP PP n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111110532110156n ⎛⎫=+-<+< ⎪+⎝⎭． 又当1n =时，212111||106PP =<． ∴2221213111111||||||6n PP PP PP ++++<L ． 20．（14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)-，圆D 的方程为22(4)4x y -+=． （1）求圆C 的方程．（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求||AB 的取值范围．【答案】见解析．【解答】解：（1）过两点(0,0)A 和(1,1)B -的直线的斜率为1-， 则线段AB 的中垂线方程为：11122y x ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，整理得：1y x =+． 取0y =，得1x =-．∴圆C 的圆心坐标为(1,0)-，半径为1，∴圆C 的方程为：22(1)1x y ++=；（2）设00)(,P x y ，(0,)A a ，(0,)B b ，则直线PA 方程为00y a x y a x -=-，整理得：000()0y a x x y ax -+=-．∵直线PA 与圆C1=，化简得2000(2)20x a y a x +--=；同理可得PB 方程2000(2)20x b y b x +--=， 因而a ，b 为2000(2)20x x y x x +--=的两根，∴||||AB a b =-== 令02[,8]4t x =+∈，则||AB =，配方可求得min ||AB，max ||AB =．故答案为：⎦21．（14分）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(e ),b P b 、(,)e b Q b --，过点P 、Q 作图象C 的切线分别记为1l 、2l ，设1l 与2l 的交点为00)(,M x y ，证明：00x >．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵2()ln 11f x a x x =+-+， ∴22(1)2()(1)a x x f x x x +-'=+， 若函数()f x 在区间(0,1)内是增函数， 则2(1)20a x x -+≥，∴2222(1)4x a x =++≥， ∴12a ≥． （2）∵()e x g x '=，∴()()e b g b g b '==，∴1:(e )e b b l y x b =-+…①，()()e b g b g b -'-=-=，∴2:(e )e b b l y x b --=++…②，由①②得：e )e e ()e (b b b b x b x b ---+=++，两边同乘以e b 得：22e )e (1b b x b x b -+=++，∴222(e 1)e e 1b b b x b b =-+-⋅+，∴2202e e 1e 1b b b b b x -++=-， 分母2e 10b ->， 令22()e e 1b b h b b b -=++， ∴22()2e e 1b b h b b -'=+， ∴2()4e 10b h b b ''=+>， ∴min ()(0)0h b h +''→→，∴min ()(0)0h b h b →→>， ∴00x >．。
2015届南昌市高三“二模”测试数学（理科）参考答案及评分标准
2015届南昌市高三“二模”测试数学（理科）参考答案及评分标准—高三数学(理科)答案第1页—2015 年高三测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．13 16．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()222=--=；……6分（Ⅱ）因为c 23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=?+?+?+?=2113．……………………12分……………………10分—高三数学(理科)答案第2页—19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=?由余弦定理求得AC =90ACB ∠=?即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG⊥，………………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ??==??，从而00x z y +=??-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==11分而二面角D —GCB 为钝角，故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=?=，—高三数学(理科)答案第3页—所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =?===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >??>?，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)2a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立，—高三数学(理科)答案第4页—记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =??=?+?=，…………………3分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．46．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p47．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．38．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵z＝＝＝i（1﹣i）＝i+1，则|z|＝．故选：B．2．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4}．故选：C．3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31＝6+3＝9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C．5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．6．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4【解答】解：p1：若sin x＝sin y⇒x+y＝π+2kπ或x＝y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2＝1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y，与cos x﹣cos y不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，＝＝|cos x|＝cos x，故正确．故选：D．7．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z＝2x+y的最小值为4，即2x+y＝4，且y＝﹣2x+z，则直线y＝﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y＝﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y＝﹣x+b上，即2＝﹣1+b，解得b＝3，故选：D．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r＝2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R＝＝2，故外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）【解答】解：∵f（x）＝，∴g（x）＝f（x）﹣2x＝，而方程﹣x+3＝0的解为3，方程x2+4x+3＝0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵在△ABC中，C＝，∴B＝﹣A，B﹣A＝﹣2A，∵sin（B+A）+sin（B﹣A）＝2sin2A∴sin C+sin（﹣2A）＝2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A＝2sin2A，整理得：sin（2A﹣）＝sin C＝，∴sin（2A﹣）＝，又A∈（0，），∴2A﹣＝，解得A＝，当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝；故选：B．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|＝2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d＝；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【解答】解：由已知得到＝（1，2），＝（4，3），所以向量在方向上的投影为＝＝2；故答案为：2．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为（0，±）．【解答】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2＝16，m＝±4，由y＝mx2，得，若m＝4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，）；若m＝﹣4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，﹣）．∴抛物线y＝mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1016．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）【解答】解：∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0∴g（x）＝，g′（x）＝＞0，∴x∈[0，），g（x）＝是单调递增，且是偶函数，∴g（﹣）＝g（），g（﹣）＝g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（﹣）＝f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y＝f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2＝a3a11，∴，即44d2﹣36d﹣45＝0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n＝＝＝，所以数列{b n}的前n项和T n＝＝．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设＝（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ＝cos＝．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）＝＝；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX＝150×4＝600，当购进A商品5件时，EX＝（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7＝690，当购进A商品6件时，EX＝（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×＝780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30＝70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0），由题意可得，＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|＝|﹣|，∴•＝0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2＝﹣，x1x2＝；y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；要使•＝0，故x1x2+y1y2＝0；即+＝0；所以3m2﹣8k2﹣8＝0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝；故r＝；即所求圆的方程为x2+y2＝；此时圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆+＝1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•＝0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2＝满足条件．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）＝a+＝，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）＝0得x＝1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a＝时，f（x）＝x+ln（x﹣1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max＝f（e）＝+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）＝恒成立，（当x＝e时取等号）令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【解答】解：（1）由x＝，得x2＝2cos2α，所以曲线M可化为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]，由ρsin（）＝t，得ρsinθρcosθ＝t，所以ρsinθ+ρcosθ＝t，所以N可化为x+y＝t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t＝0，△＝1+4（1+t）＝0，解得t＝，综上可得t的取值范围≤t≤5．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），∴+＝（m+n）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝，故函数g（x）的最大值为g（﹣）＝+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．。
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2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） （A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞U2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+3. 已知a ρ=1,b ρ=2，且a ρ)(b a ρρ-⊥，则向量a ρ与向量b ρ的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）3 （D ）25. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）25 （B ）35 （C ）12 （D ）3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） （A ）323 （B ）64 （C ）3233（D ） 643 8. 已知直线22(1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅MB MA ，则实数=m （ ） （A ）2 （B ）22（C ）21 （D ）09. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ）()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)211. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数(0)y x x =≥的图象交于点P . 若函数y x =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A ）512+（B ） 522+ （C ）312+ （D ）3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ） （A ）14 （B ）1 （C ）2 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13sin cos 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________． 14. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60o，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班48977(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望.FEBDCAP20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为32.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n+=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=； （Ⅲ）从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.21.（本小题满分12分）若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+，∈a R.（Ⅰ）求函数()f x 解析式；（Ⅱ）求函数()g x 单调区间；（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为 圆O 的切线，B ，D 为切点. （Ⅰ）求证： OC AD //；（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）若R ∈∀x ，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5)B ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）D ；（10）D ；（11) A ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,]6π；（14）52-；(15) (,1][3,)-∞+∞U ；（16）433R a -.三.解答题（17）解：（Ⅰ）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-， …………………2分112n n n n S S S S ---=.1112n n S S --=， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分 （Ⅱ）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=-. ………8分 当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----. ……10分 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L . …12分（18）解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)60DAB ∠=oQ ，DE DC ∴⊥. 如图所示，建立坐标系，则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0), A (32，12-，0)，31(,,0)22B ， ∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,0AB =u u u r . …8分设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r.∵0n AB ⋅=r u u u r ，0n AP ⋅=r u u u r ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =r . …………………………10分 设向量n PC θr u u u r 与所成角为，∵(0,1,1)PC =-u u u r ，∴3422cos 14724n PCn PCθ-⋅===-⨯r u u u rr u u u r ， MFEBACDPFEBACDyzx P∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为4214. .…………………………12分 （19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8）， …………3分 乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7）， …………5分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分 (Ⅱ)X 可能取0,1,2211(0)525P X ==⨯=，31211(1)52522P X ==⨯+⨯=，313(2)5210P X ==⨯=，所以X 分布列为：X0 1 2 P15 12 310 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯=. …………………………………9分Y 可能取0,1,2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y 分布列为：Y0 1 2 P325 1425 825数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 （20）解：(Ⅰ)1b =Q ，3=2c e a =， 2,1a b ∴==，∴椭圆C 方程为2214x y +=. ………………………………………2分（Ⅱ）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，221x y n m=-，故22211nxy mx m '=-⋅-，∴当00y >时，200022220002111x nn n k x x y mm m y x n m =-⋅=-=-⋅-. ……………4分 切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n +=. …………………………6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n +=.当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=.综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=. ……………………7分解法2. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y mn y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， ……………………4分 化简可得：2222t m k n =+，①式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m ky n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=. …………………………… 6分 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=，综上：22221x y m n +=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y ym n+=.（其它解法可酌情给分） ………………………… 7分（Ⅲ）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x xy y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x xy y +=. Q 两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=. …………………… 9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭222222221125=171617216161616p pp pppp p x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪++⋅≥+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等，54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54. ……………………………………12分（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =．又2(1)(0)2f f e -'=⋅，所以2'(1)2f e =， 所以22()2xf x ex x =+-． ……………………………………4分（Ⅱ）22()2xf x ex x =-+Q ，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=--.……………5分()x g x e a '∴=-，①当0a ≤时，()0g x '>，函数 在R 上单调递增； .……………6分 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =， ∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． .……………8分 （Ⅲ）解：设1()ln ,()ln x ep x x q x e a x x-=-=+-， Q 21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <.Q 11'()x q x e x -=-，121''()0x q x e x -=+>，∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，)(x g∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--， 设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x em x e x-=--<，∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴()(1)1m x m e a ≤=--，Q 2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e -+a 更接近ln x . ②当x e>时，11|()||()|()()2ln 2ln x x ep x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--，设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x -=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e -<=-<，∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴e x 比1x e -+a 更接近ln x . 综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e -+a 更接近ln x . …………………………… 12分(22) 解： (1)连接CD CB OD BD ,,,Θ是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又AB Θ为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，……5分(2)OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,Rt ∴△BAD ∽△COD ，8AD OC AB OD ⋅=⋅=. ………………………………………………………… 10分(23)解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x …………………………………………2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ …………………5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为 ………………………6分2|9sin 2cos 2|+-=θθd………………………7分△ABM 的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S………………………9分 所以△ABM 面积的最大值为229+ ………………………10分(24) 解：（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩， ………………………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 ． ………………………5分 （2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R ∈∀x ，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需22min 73()32760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤．………………………10分。