第2节 参数方程

第2节参数方程

【选题明细表】

一、填空题

1. (2013年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.

解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,

因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,

即(x-1)2+y2=1,

故曲线C的参数方程为(φ为参数).

答案:(φ为参数)

2.(2013年高考陕西卷)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标

是.

解析:由消去参数t得x=,

即y2=4x,

则焦点坐标为(1,0).

答案:(1,0)

3.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(θ为参数)的位置关系是.

解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0,

圆C2的普通方程为x2+y2=1,

圆心到直线的距离为

d=<1,

因此直线l1与圆C2相交.

答案:相交

4.(2013年高考江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.

解析:由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.

由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.

答案:ρcos2θ=sin θ

5.(2012年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.

解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为

x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,

而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.

答案:2

6.(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t

为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .

解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为;曲线C2的普

通方程为+=1,与x轴的交点为(a,0)和(-a,0),由题意可得a=.

答案:

7.已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= .

解析:抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r==.

答案:

8.(2013深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直

线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为.

解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y,

即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.

直线l的普通方程为x-2y+1=0.

所以点C到l的距离d==.

故所求弦长为2=2=4.

答案:4

9.(2013湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴

重合,已知直线l的极坐标方程为ρsinθ-=a,a∈R.圆C的参数方

程是(θ为参数),若圆C关于直线l对称,则

a= .

解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为4,,

由题意知点4,在直线l上,

于是4sin-=a,

即a=-2.

答案:-2

10.若直线l的极坐标方程为ρcos=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.

解析:∵ρcosθ-=3,

∴ρcos θ+ρsin θ=6,

∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.

由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.

圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.

+1.

∴d

答案:3+1

11.(2012年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .

解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.

又∵t2=,

∴y2=4p2×=2px(p>0).

∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,

∴△EMF是等边三角形,

过点F作FA⊥ME交ME于A,

则A为ME的中点,且x A=.

∴x M+x E=2x A(其中,x A、x M、x E分别为点A、M、E的横坐标),

∴3+=2×,∴p=2.

答案:2

12.(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为

(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同

的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆

O的极坐标方程分别为ρsinθ+=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为. 解析:将椭圆C的参数方程(φ为参数,a>b>0)化为普通方程为+=1(a>b>0).

又直线l的极坐标方程为ρsinθ+=m(m为非零常数),

即ρsin θ·+cos θ·=m,

则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0.

圆的极坐标方程为ρ=b,

其直角坐标方程为x2+y2=b2.

∵直线与圆O相切,

∴=b,|m|= b.

又∵直线l经过椭圆C的焦点,

∴|m|=c.

∴c=b,c2=2b2.

∵a2=b2+c2=3b2,∴e2==.

∴e=.

答案:

二、解答题

13.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线

C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程;

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.