第2节 参数方程
2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案
姓名，年级：时间：第二节参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y）都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程为错误!(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段错误!的数量。
3．圆的参数方程圆心为(a，b），半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为错误!(α为参数)α∈[0，2π）.4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的参数方程为错误!（θ为参数），θ∈［0,2π）.1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t）的值域,即x和y的取值范围。
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为:|t｜是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0）的距离。
一、走进教材1．（选修4－4P26T4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：错误!(t为参数）的普通方程为________。
解析消去t，得x－y＝1,即x－y－1＝0。
答案x－y－1＝02．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l：错误!(t为参数）过椭圆C：错误!（φ为参数）的右顶点，求常数a的值。
解直线l的普通方程为x－y－a＝0,椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为（3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.二、走出误区微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。
【教育专用】高三数学（理）人教版一轮训练：第十二篇第2节参数方程
第2节参数方程【选题明细表】·广东省潮州二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sin θ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为: (t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cos θ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
选修4-4--第2节
课 时 知 能 训 练
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
【尝试解答】 (1)曲线 C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， x2 y 2 曲线 C2： ＋ ＝1. 64 9 C1 为圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． C2 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长 是 3 的椭圆． π (2)当 t＝2时，P(－4,4)；且 Q(8cos θ，3sin θ)， 3 故 M(－2＋4cos θ，2＋2sin θ)． C3 为直线 x－2y－7＝0， 5 M 到 C3 的距离 d＝ 5 |4cos θ－3sin θ－13| 5 ＝ 5 |5cos(θ＋φ)－13|. 4 3 8 5 从而当 cos θ＝ ，sin θ＝－ 时，d 取得最小值 . 5 5 5 8 5 【答案】 5 ,
π 已知直线 l 经过点 A(1,2)，倾斜角为 . 3 (1)求直线 l 的参数方程是 ；
(2)求直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A 的距离之积为 ．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【思路点拨】 由题设条件，求直线l的参数方程，进一步利用参数t的 几何意义求解．
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
1．曲线的参数方程
x＝ft， 如果曲线上任意一点的坐标(x， 都是某个变数 t 的函数 y)， y＝gt，
①，并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这 条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 参数方程 系的变数 t 叫做 ，联系 x，y 之间关
数)，θ 是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
高考数学(人教,理)总复习课件：选修4-4-第2节参数方程
当 θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝0，x＝±t＋1t . 由于当 t＞0 时，t＋1t ≥2； 当 t＜0 时，t＋1t ≤－2，于是|x|≥2. ∴方程 y＝0(|x|≥2)表示 x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的 向左和向右的两条射线．
参数方程、普通方程互化的方法： (1)参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程， 消参可用代入消参或利用恒等式消参等． (2)参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注 意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．
M 点的坐标为xy＝ ＝452＋ ×3115× 56＝113465＝1461
，即 M4116，34.
(3)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝85 73.
1．涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方
程．(1)直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)，其中 k＝tan α(α≠90°) ． (2)α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
x＝2cos φ， y＝3sin φ
(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2，正方形
ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，
点 A 的极坐标为(2，π3)．
(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取值范围．
(α 为参数)，
这是点 P 轨迹的参数方程，消参得点 P 的直角坐标方程
为 x2＋(y－1)2＝1.
(2)直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0，曲线 C 的普通方程 为 x2＋(y－2)2＝4，
参数方程
第二节 参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．(2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．[解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)． 解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， 所以(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，①②由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y 2＝2x .2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C )0,21(，连接CP ，则∠PCx ＝2θ， 故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值．[解] (1)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0.因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0.由Δ>0，得－1<m <3.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝m 2－2m . 因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2，所以m 2－2m ＝±2，解得m ＝1±3.因为－1<m <3，所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义． 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键． [题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin )4(πθ+＝ 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由ρsin )4(πθ+＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22，当sin )3(πθ+＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P 的坐标为)21,23(--.2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos )4(πθ+＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos )4(πθ+＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)， 则点A ，B 的极坐标分别为(2，π＋2k π)(k ∈Z)，)22,2(ππk +(k ∈Z)．设点P 的坐标为(－5＋2cos α，3＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42，当cos )4(πα+＝1，即α＋π4＝2k π(k ∈Z)，α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时，点P 到直线l 的距离取得最小值，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22， 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题． [题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，所以(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， 所以4)2321(y x -＝3，即2x －23y －3＝0， 因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为)3,2(π，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，圆的半径为2，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos )3(θπ-.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12.∵φ∈]3,0[π，∴cos φ∈]1,21[，∴|MN |∈[13，4]． 故弦长|MN |的取值范围为[13，4]． [课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α. 解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4.由于直线与圆相切，则|4tan α|1＋tan 2α＝2， 即tan 2α＝13，解得tan α＝±33，由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0.因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为)3,3(ππ.(2)由(1)知点M 的直角坐标为)63,6(ππ，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为)2,3(π，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝－7，又|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k <－1或k >1， 即α∈)43,2(ππ或α∈)2,4(ππ.综上，α的取值范围是)43,4(ππ.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2， 3 ]， 当m ＋3＜0时，m ＋3＝－4，即m ＝－4－ 3. 当m －2＞0时，m －2＝4，即m ＝6.当m ＋3≥0，m －2≤0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值；(2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1.当θ＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t y ＝32t(t 为参数)，将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1，得5t 2＋2t －4＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1，得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 3，t 4，则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ，则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ.又0≤sin 2θ≤1，所以23≤|P A |·|PB |≤2，所以|P A |·|PB |的取值范围是]2,32[.。
第11章 第2节 参数方程
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·湖南五市十校高三联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ－6sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且|PQ |＝4，求直线l 的斜率． 解：(1)由ρ＝4cos θ－6sin θ，得ρ2＝4ρcos θ－6ρsin θ，将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，可得x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心的坐标为(2，－3)，半径为13.(2)由直线l 的参数方程知直线l 过定点(4,0)，且由题意知，直线l 的斜率一定存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)． 因为|PQ |＝4，所以|2k ＋3－4k |k 2＋1＝3，解得k ＝0或k ＝－125. 所以直线l 的斜率为0或－125.2．(2018·沈阳质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由题意知，直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.(2)解法一：由(1)知，曲线C 是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝2×4－12＝14.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－4y ＝0可取A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋72，3＋72，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－72，3－72. 由两点间的距离公式可得|AB |＝14.解法三：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B ， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t代入x 2＋y 2－4y ＝0，并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝(t A ＋t B )2－4t A t B ＝14.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ＜2π. 解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t ，得y 2＝x ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式化简得 ρsin 2 θ＝cos θ，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2 θ＝cos θ.(2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4(舍去)，当x ＝1时，y ＝±1，即C 1与C 2交点的直角坐标为A (1,1)，B (1，－1)． ∵ρA ＝2，ρB ＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1，ρ≥0,0≤θ＜2π， ∴θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.4．(2018·四川成都七中期中)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)M ，N 的直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，于是点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，所以直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x ，即x －3y ＝0. (2)直线l 的方程为x ＋3y －2＝0， 圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4， 圆心C (2，－3)到l 的距离d ＝32＜2，所以直线l 与圆C 相交．B 级 能力提升练5．(2018·河北承德实验中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t 消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 设P 点的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则P 点到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π42，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22，所以△P AB 面积的最小值为12×22×22＝4.6．(2018·广西桂林综合模拟金卷)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)若a ＝2，M 是直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最小值；(2)若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，可化为ρ2＝2ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0，与x 轴的交点M 的坐标为(2,0)， ∵圆心(0,1)与点M (2,0)间的距离为5， ∴|MN |的最小值为5－1. (2)ρ＝a sin θ可化为ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a24.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍， ∴圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32a －842＋32＝12×|a |2，解得a ＝32或a ＝3211.7．(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α， 其中0＜α＜π2.(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)求|OA |·|OB |的最小值．解析：(1)将C 的参数方程化为普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋y 2＝1，即x 22＋y 2＝1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，可得(ρcos θ)22＋(ρsin θ)2＝1，化简得曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. (2)根据题意，射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2. |OA |＝ρ1＝21＋sin 2α，|OB |＝ρ2＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝ 21＋cos 2α，则|OA |·|OB |＝ρ1·ρ2＝ 21＋sin 2 α·21＋cos 2α＝2(1＋sin 2α)·(1＋cos 2α)≥21＋sin 2α＋1＋cos 2α2＝43， 当且仅当sin 2α＝cos 2α，即α＝π4时取等号． 故|OA |·|OB |的最小值为43.。
第二节参数方程
太 阳 书
业
故选D.
有 限
答案：D
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干
双基知
x＝2cos θ，
能优化
2．椭圆y＝5sin θ (θ 为参数)的离心率为( )
研考向
要点知
识探究 悟真题
2 A.5
4 B.25
透析解
题策略 提素能
21 C. 5
21 D.25
高效题
组训练
解析：由椭圆的参数方程可知 a＝5，b＝2.
山
故 c＝ 52－22＝ 21，
东 金
故椭圆的离心率 e＝ac＝ 521，故选 C.
太 阳 书
业
答案：C
有 限
公
司
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干
双基知
能优化
3．(2013年上海奉贤区模拟)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物
研考向
要点知 识探究
悟真题
线 xy＝ ＝44tt2，(t为参数)上，则|PF|＝(
菜 单 隐藏
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
x＝1＋2t， 1．(课本习题改编)若直线的参数方程为y＝2－3t (t 为参数)，则
悟真题
透析解 题策略
直线的斜率为(
)
提素能 高效题 组训练
2 A.3
B．－23
3 C.2
D．－32
山 东 金
解析：∵yx－ －21＝－23t t＝－32， ∴tan α＝－32，
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
高考数学(理)总复习讲义： 参数方程
第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。
第二节参数方程
圆心是 C(1，－1)，
所以，当直线 l 经过圆 C 的圆心时，直线 l 的斜率为 k＝52.
(2)法一：由圆 C 的参数方程xy＝＝－1＋1＋2co2ssiθn，θ 得圆 C 的圆心是
C(1，－1)，半径为 2.
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第二节 参数方程 结束
由直线
l
的参数方程为xy＝＝43＋＋ttscions
答案：(2,1)
第二节 参数方程 结束
① ②
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第二节 参数方程 结束
3．解析：直线的普通方程为 bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离 为 3，从而有 3＝|2b－aa2＋·0－b24b|，即 3a2＋3b2＝4b2，所以 b ＝± 3a，而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α＝ba，所以 tan α ＝± 3，因此切线的倾斜角π3或23π. 答案：π3或23π
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第二节 参数方程 结束
2．解：曲线化为普通方程为1y82 ＋1x22＝1，∴c＝ 6，故焦距为 2 6.
3．解：因为 x2＝t＋1t －2，所以 x2＋2＝t＋1t ＝3y，故曲线 C 的普通方 程为 3x2－y＋6＝0.
考点二
[典题例析] 解：(1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4)，而圆 C 的
数学
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第二节 参数方程 结束
[课堂·考点突破] 考点一
y 1．解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入得 x＝1＋3·22yxx2，
化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]．
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
第12章 第2节 参数方程
第二节 参数方程
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝fgtt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数．
2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt， y＝sinkt (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0．
(1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0．
∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
第二节 参数方程
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点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t) 的值域，即 x 和 y 的取值范围．
第二节 参数方程
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考点二 参数方程的应用
1．直线的参数方程中 t 的几何意义
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
第十章 极坐标和参数方程第二节 参数方程
为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点 的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.
二、参数方程的作图
在所给曲线的参数方程
x = x t
y
=
y
t
，a t b
中, 先给参数t以某些可能取的值,求出x和y的对应值,这样就
确定了曲线上的点,将这些点连成光滑的曲线,就是参数方程
的图像.
0t
cos
, 纵坐标为0t
sin
1 2
gt
2
,因此我们就以方程组
:
x
0t
cos
y
0 t
sin
1 2
gt 2
，0 t t1
y
v0t sin
T •
v0t
M x, y
•
O
Q
x
v0t cos
图10-17 炮弹运动规律的轨迹
来表示炮弹运动的轨迹方程,其中 g是重力加速度g=9.8m/s2 ,t1
下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线 的参数方程.
(1)直角坐标参数方程 如图10-22所示,设基圆的圆心为O, 半径为 r, 绳子全部绕在圆圈上时,端点为 A. 取 O 为原点, 过 OA 的直线为 x 轴,建立直角坐标系.
设M x, y是渐开线上任意一点, BM 是切线,连接 OB,取
0来表示炮弹运动的轨迹方程是比较困难的.但是我们知道, 炮弹
运动的轨迹是由炮弹在各个时刻的位置所决定的.下面就来分析
炮弹在任意位置的坐标x和y分别与时刻t之间的关系.如果不考
虑地心引力,则经过时刻t,炮弹运动到T ,于是OT =0t.但事实上,
炮弹受地心引力的影响,不在点T而在点M .由于点M的横坐标为
第二节 参数方程
所以曲线 C 是以 x 轴为对称轴，开口向右的抛物线．
(2)因为直线 l 的参数方程为x＝32＋t， (t 为参数)，所以消 y＝ 3t
去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x－323，代入
y2＝x，消去 x 整理得 2 3y2－2y－3 3＝0，设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ 33，y1y2＝－32，
x＝2cos θ， y＝4sin θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝＝21＋＋ttscions
α， α
(t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率．
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解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x42＋1y62 ＝1.当 cos α≠0 时， l 的直角坐标方程为 y＝tan α·x＋2－tan α； 当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的 方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0. 又由①得 t1＋t2＝－421co＋s 3αc＋oss2iαn α， 故 2cos α＋sin α＝0，于是直线 l 的斜率 k＝tan α＝－2.
所以 t1t2＝－3，所以 PA·PB＝|t1t2|＝3.
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考点三 极坐标、参数方程的综合应用
[典例引领]
重点保分型考点——师生共研
(2019·泰州中学高三年级学情调研)以原点 O 为极点，x 轴正半
第2节 参数方程
第2节参数方程基础打磨1.(2020届河南省模拟)已知圆的参数方程为{x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为3ρcos α-4ρsin α-9=0,则直线与圆的位置关系是().A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心2.(2020届山东临沂模拟)若椭圆的参数方程为{x=2cosφ,y=√3sinφ(φ为参数),则该椭圆的离心率为().A.12B.√32C.√22D.√343.(2020届西安模拟)已知直线l:x-y+4=0与圆C:{x=1+2cosθ,y=1+2sinθ,则C上各点到l的距离的最小值为().A.2√2-2B.√2C.2√2D.2√54.(2020届天津市和平区第二次质检)若直线y=-x+2与曲线{x=-1+2cosθ,y=2+2sinθ(θ为参数)交于两点A,B,则|AB|=.5.(2020届河北武邑一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=-1+t,y=2t(t为参数),曲线C的参数方程为{x=m,y=m2(m为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆O的极坐标方程为{x=acosθ,y=asinθ(θ为参数)(a>0).(1)若直线l与圆O相切,求a的值;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|的值.能力拔高6.(2020届河北省唐山市模拟)已知直线l :{x =1+12t,y =√32t(t 为参数),曲线C 1:{x =cosθ,y =sinθ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A 、B 两点,求|AB|;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩到原来的12,纵坐标压缩到原来的√32,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.7.(2020届辽宁省辽阳市一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:{x =2+tcosθ,y =tsinθ(t 为参数),C 2:{x =4m 2,y =4m(m 为参数).(1)将C 1,C 2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)设曲线C 1与C 2的交点分别为A ,B ,O 为坐标原点,求△OAB 的面积的最小值.思维拓展8.(2020届辽宁省鞍山市模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:x 23+y 24=1,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l :ρ(2cos θ-sin θ)=6. (1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程;(2)在曲线C 1上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值.。
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第2节参数方程
【选题明细表】
一、填空题
1. (2013年高考广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.
解析:由ρ=2cos θ知ρ2=2ρcos θ,
因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1,
故曲线C的参数方程为(φ为参数).
答案:(φ为参数)
2.(2013年高考陕西卷)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标
是.
解析:由消去参数t得x=,
即y2=4x,
则焦点坐标为(1,0).
答案:(1,0)
3.(2013陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(θ为参数)的位置关系是.
解析:直线l1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0,
圆C2的普通方程为x2+y2=1,
圆心到直线的距离为
d=<1,
因此直线l1与圆C2相交.
答案:相交
4.(2013年高考江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为.
解析:由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为y=x2.
由公式得曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sin θ.
答案:ρcos2θ=sin θ
5.(2012年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.
解析:由已知得直线的普通方程为x+y-1=0,曲线的普通方程为
x2+y2=9,表示以原点为圆心,半径为3的圆,
而直线x+y-1=0过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2+y2=9内,∴直线与曲线一定有2个交点.
答案:2
6.(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t
为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= .
解析:曲线C1的普通方程为2x+y=3,与x轴的交点为;曲线C2的普
通方程为+=1,与x轴的交点为(a,0)和(-a,0),由题意可得a=.
答案:
7.已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= .
解析:抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r==.
答案:
8.(2013深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,直
线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为.
解析:曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y,
即x2+(y-3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.
直线l的普通方程为x-2y+1=0.
所以点C到l的距离d==.
故所求弦长为2=2=4.
答案:4
9.(2013湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴
重合,已知直线l的极坐标方程为ρsinθ-=a,a∈R.圆C的参数方
程是(θ为参数),若圆C关于直线l对称,则
a= .
解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为4,,
由题意知点4,在直线l上,
于是4sin-=a,
即a=-2.
答案:-2
10.若直线l的极坐标方程为ρcos=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为.
解析:∵ρcosθ-=3,
∴ρcos θ+ρsin θ=6,
∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.
由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.
圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.
+1.
∴d
答案:3+1
11.(2012年高考天津卷)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .
解析:∵y=2pt,∴y2=4p2t2.
又∵t2=,
∴y2=4p2×=2px(p>0).
∵|EF|=|MF|,|MF|=|ME|,
∴△EMF是等边三角形,
过点F作FA⊥ME交ME于A,
则A为ME的中点,且x A=.
∴x M+x E=2x A(其中,x A、x M、x E分别为点A、M、E的横坐标),
∴3+=2×,∴p=2.
答案:2
12.(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为
(φ为参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同
的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆
O的极坐标方程分别为ρsinθ+=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为. 解析:将椭圆C的参数方程(φ为参数,a>b>0)化为普通方程为+=1(a>b>0).
又直线l的极坐标方程为ρsinθ+=m(m为非零常数),
即ρsin θ·+cos θ·=m,
则该直线的直角坐标方程为y+x-m=0.
圆的极坐标方程为ρ=b,
其直角坐标方程为x2+y2=b2.
∵直线与圆O相切,
∴=b,|m|= b.
又∵直线l经过椭圆C的焦点,
∴|m|=c.
∴c=b,c2=2b2.
∵a2=b2+c2=3b2,∴e2==.
∴e=.
答案:
二、解答题
13.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)已知动点P,Q都在曲线
C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d==(0<α<2π).
当α=π时,d=0,
故M的轨迹过坐标原点.
14.(2013河北省衡水中学高三模拟)已知圆C1的参数方程为
(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ+.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程,将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)圆C1、C2是否相交,若相交,请求出公共弦的长,若不相交请说明理由.
解:(1)由得x2+y2=1,
∵ρ=2cosθ+=cos θ-sin θ,
∴ρ2=ρcos θ-ρsin θ.
∴x2+y2-x+y=0,
即x-2+y+2=1.
(2)圆心距d==1<2,得两圆相交,设两交点为A、B, 由
得A(1,0),B-,-,
∴|AB|==.
即公共弦的长为.
15.(2013年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin
θ,ρcosθ-=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参
数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C
C2交点的极坐标为4,,2,.
(注:极坐标系下点的表示不唯一.)
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为
(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,
由直线PQ的参数方程可得y=x-+1.
所以
解得a=-1,b=2.
16.(2013年高考福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,,直线
l的极坐标方程为ρcosθ-=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解:(1)由点A,在直线ρcosθ-=a上,
可得a=.
所以直线l的极坐标方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<1,
所以直线与圆C相交.。