时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型

自协方差
1 2 (b1 b1b2 ), k 0, k 2
2 0 2 (1 b12 b2 ), 2 2b2

自相关系数
b1 b1b2 b2 1 , 2 , k 0, k 2. 2 2 2 2 1 b1 b2 1 b1 b2

2 1 i 2 f ( ) | B(e ) | 2 2
k q
ik e k , [ , ].
q
(1.7)
MA(q)序列的充要条件

定理1.3 设零均值平稳序列{ X t } 有自协 k { 方差函数 } ，则 {X t } 是MA(q)序列的充 分必要是
A1 () A()Yt Yt A1 ()B()t ()t

即
X t A1 ()B()t ()t
(2.6) 是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。

称(2.6)中的 { j } 为 { X t }的Word系数。 定理2.1 由(2.6)定义的平稳序列 {X t } 是 ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。
ARMA序列的自协方差函数
k { }可由wold系数表示：
k
2

j 0 j

j k
, k 0,1, 2,
(2.10)
j o ( ), j 由 , (2.10)可得 由于 j
k o( j ), j .
ARMA模型Wold系数的递推公式

q k 1
k k 1
,
1 2 q q
(1.11)

则有：
bq 1 ( q AC ), 2 0 C T C ,
其中

2
(1.12)
lim k
(2.11)
Wold递推公式的证明

记
A( z ) 1 j 1 a j z j j 0 j z j
p p
。注意
A( z ) ( z ) k z k j z j
j 1 j 0
X t a j X t j b j t j , t Z .
p
q
ARMA模型平稳解
模型写成 A() X t B()t , t Z (2.3) A1 ( z) B( z) 在 | z | 解析( 1 min{z j },{z j } 为 A( z ) 的所有根)，可以Taylor展开 ( z ) A1 ( z ) B( z ) j z j ,| z | (2.4) j 0 易见 o( ), A () B() () 是线性平 稳列。

j 1 j t t j 0 j t j
两边用 A() 作用 1 A()()t A() A ()t B()t 即 ()t 是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。

惟一平稳解

反之，若{Yt }是(2.2)的一个平稳解，在 (2.2)两边用 A1 () 既得
( 1 , 2 ) (0.3596,0.4589).
§3.2自回归滑动平均模型

ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
ARMA模型

2 { } WN (0, ) 。实系数多项 定义2.1 设 t 是
q
(1.8)
使得
j 1
2 g ( ) | B(ei ) |2 . 2
c j c j ) 这里 2 为某个正常数。(注：
定理1.3的证明

由自协方差绝对可和时谱密度公式得
1 f ( ) 2
k q ik e k q

由引理，
2 f ( ) | B(ei ) |2 . 2
第三章
滑动平均模型与 自回归滑动平均模型
本章结构

滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型

模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关

平稳序列{X t }的自协方差函数若满足 k 0, k q ，则称 { X t } 是q步相关的。
q 0 ，
滑动平均模型的例子


每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列 {X t , t 1, 2,197}。 一阶差分得
yt xt xt 1 , t 2,,197

{yt } 的样本自相关系数列呈现截尾性。

可以拟合
Yt t b t 1 , t Z

谱密度
2 f ( ) |1 b1ei b2ei 2 |2 2
MA(2)序列的实际例子

MA(2)的实际例子：
X t t 0.36 t 1 0.85 t 2

特征根为 1.084652e
i1.374297
。
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2

B( z )
单位圆内没有根


如果 B( z ) 在单位圆上都没有根，则可定 1 B () X1 ，用线性滤波的谱密度公式 义 t 可得{ t } 的谱密度是白噪声谱密度。 单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算


MA(q)序列的系数 (b1, b2 ,, bq )及 2可以被 数 0 , 1,, q 唯一确定。 可以用文献 [5] 方法计算模型参数。
MA的特征

用推移算子把模型写为
X t B() t , t Z
1
(1.3) B1 ( z ) 有Taylor 展式 对于可逆MA，
B ( z ) j z j ,| z | 1 ( 0)
j 0

ห้องสมุดไป่ตู้所以
t B () X t j X t j
ARMA模型方程的通解
模型(2.2)的任意解可写成 Y X V t cos( t ), z Z (2.7) 其中 {X t } 为平稳解(2.6). z1 , z2 ,, zk 为 A( z ) i z e 的全体互不相同的零点。 j 有重数 r ( j ) j 随机变量Vl , j ,l , j由Y0 X 0 , Y1 X1,, Yp1 X p1唯一 决定。
1 j 0
(1.4)
MA序列的自协方差函数

记 b0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
2 b j b j k ,0 k q j 0 k E ( X t X t k ) 0, k q
q k
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t }的自协方差函数 是q步截尾的： q 2bq 0, k 0,| k | q. (1.6) 并且有谱密度
^
(1.1)
模型特点是 k } 1步截尾
MA(q)模型和MA(q)序列

定义1.1 设{t }是 WN (0, 2 ) ，如果实数 b1, b2 , bq (bq 0) 使得
B( z ) 1 b j z j 0,| z | 1,
q j 1
则称
q
(1.2) j 1 是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
式 A( z ) 和 B( z ) 没有公共根。满足
b0 1, apbq 0
以及：
q
A( z ) 1 a j z j 0,| z | 1,
j 1
p
B( z ) b j z 0,| z | 1,
j j 0
(2.1)

就称差分方程：
(2.2) 是一个自回归滑动平均模型，简称 ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序 列 { X t }为平稳解或ARMA(p,q)序列。
k
1 k
T k
.
(1.13)
MA(1)序列


可逆MA(1) X t t bt 1, t WN (0, 2 ),| b | 1 自协方差和自相关
0 2 (1 b 2 ) 2 b 1 0, k 2 k
b 1 2 1 b k 0, k 2

谱密度
2 2 f ( ) |1 bei |2 (1 b2 2b cos ), [ , ] 2 2
偏相关系数不截尾：
ak ,k (b)k (1 b2 ) ,k 1 2k 2 (1 b )

逆表示
t (b) j X t j
X t t bj t j , t Z


称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。 如果进一步要求多项式 B( z ) 在单位圆周 Bz 0, 当 | z | 1 ，则称(1.2) 上也没有零点： 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
j 0
MA(2)序列

可逆MA(2)
X t t b1 t 1 b2 t 2 , t Z
B( z) 1 b1z b2 z 0,| z | 1.

可逆域：
{(b1, b2 ) : B( z) 0,| z | 1} {(b1, b2 ) : b2 b1 1,| b2 | 1}
q 0, k 0,| k | q.
引理1.2

引理1.2 设实常数{c j } 使得 cq 0和
1 g ( ) 2
j q ij c e j 0, [ , ]. q

则有唯一的实系数多项式：
B( z ) 1 b j z j 0,| z | 1, bq 0.
MA(q)系数的计算

记
0 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 q q 1 0 0 0
1 0 c 0 q1
1 2 2 3 k q 1 q

记 bj 0, j 0 或 j q, b 1; 0, j 0. 由参数 a (a a ) .b (b b ) 计算 { j }时 可以递推
0 j
T
T
p
1
p
p
1
q
1, j 0, j p b a , j 1, 2 j j 1 k j k
| Yt X t |
l j 1 l 0 l, j t j
p q t j 1 j t j j 0 j t j
k r ( j ) 1
当m较大时取后一段 Yt , t m 1, m 2,, m n 作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。 当 A( z ) 有靠近单位圆的根时m要取得较大

k r ( j ) 1 l t t j 1 l 0 l, j t j j l, j
j
ARMA序列的模拟生成

(2.8) |V | t ,t 可以据此模拟ARMA模型：取初值 Y( p1) Y1 Y0 0, 递推的 Y a Y b , t 1, 2,, m n