第2讲正态分布解析
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解
2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。
有关正态分布的解释ppt课件
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高. (cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图 .
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x2
e 22
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π
.
u/2
U 2指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α分位数。 其意义为：从
U 2到 +∞ 这 一
侧 的 面 积 为 α /2,
从 -U 2 到 -∞ 这
一侧的面积也为 α /2,两 侧 面 积 之 和 为 α 。即 在 随 机
变量 U 的所有取
值
中
， U有
100α
的
值比
大 ，有
1 0 0 （U 1 - α ） 的 值
知x ， 只 知 来 自 该 总 体 的 样 本 的 身 高 均 数 = 1 4 4 . 2 9 ( c m ) 和 标 准 差 s = 5 . 4 1 ( c mx) ， 由
于 样 本 含 量 n= 118 很 大 ， 所 以 可 以 用 和 s估计μ和σ来计算 u值。
.
身 高 （ X） 小 于 135(cm)的 概 率 为 : P X x1 135 P U u1
155
144 .29 5.41
1.98
P X x 2 155 P U u 2 P U u 2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正 常女孩身 高在 135 厘米以 下者占正 常女孩总 人数的 4.272%，身 高
正态分布通俗讲解
正态分布通俗讲解
正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是一种二维概率分布。
它的特点是以均值为中心，形成对称的钟形曲线。
你可以把正态分布看作是在一条直线上不同位置的尺子的测量结果的集合。
在正态分布中，大部分的值都集中在均值附近，而离均值越远的值出现的概率越小。
这就是为什么我们经常听到“68-95-99.7
规则”，这是指在一个标准正态分布中，大约68%的值会落在
均值的正负一个标准差范围内，约95%的值会落在正负两个
标准差范围内，约99.7%的值会落在正负三个标准差范围内。
正态分布可以用来描述许多自然界和社会现象，比如身高、体重、智力等。
它在统计学中有重要的应用，可以用来研究样本的分布情况、进行推断和预测。
正态分布的方程是一个具有钟形曲线的函数，它的形式是一个指数函数的幂次方，其中幂次方的指数是一个负数。
方程的形式虽然复杂，但我们可以通过计算机软件或统计表格轻松地计算和绘制正态分布曲线。
总之，正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然界和社会现象的分布情况。
理解正态分布有助于我们分析数据、做出推断和预测，对于统计学和实际应用都非常重要。
正态分布原理
正态分布原理
正态分布是统计学中常见的一种连续概率分布。
它的特点是呈钟形曲线，并且对称分布于均值两侧。
正态分布可以用于描述许多自然现象和社会现象，尤其是在大样本数量下。
正态分布的概率密度函数表示为：
f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))
其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布有许多重要的特性。
首先，它的均值、中位数和众数都相等，并且重合于分布的中心。
其次，大约68%的数据落
在均值±1个标准差范围内，大约95%的数据落在均值±2个标
准差范围内，大约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。
这被称为正态分布的“68-95-99.7规则”。
正态分布在许多领域中都有重要的应用。
例如，在自然科学中，正态分布可以用于描述测量误差、生物学特征的变异性等。
在工程学中，正态分布可以用于描述零件尺寸的变化、材料的强度分布等。
在社会科学中，正态分布可以用于描述智力水平、心理测量结果等。
总之，正态分布是一种重要的统计工具，可以帮助我们理解和描述自然和社会现象中的随机变量。
了解正态分布的原理和特性对于数据分析和推断是至关重要的。
(整理版)正态分布剖析
正态分布剖析1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布。
一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，假设影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，那么这个指标服从正态分布。
例如，产品尺寸；测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。
另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
2．正态曲线及其性质正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈〔-∞，+∞〕1．正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=E ξ，σ=D ξ。
2．正态曲线具有以下性质：〔1〕曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交。
〔2〕曲线关于直线x =μ对称。
〔3〕曲线在x =μ时位于最高点。
〔4〕当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。
〔5〕当μ一定时，曲线的形状由σ确定。
σ越大，曲线越“矮胖〞，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中。
3．标准正态曲线标准正态曲线N 〔0，1〕是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。
由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表〞。
对于抽象函数)()(00x x p x <=Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N 〔0，1〕、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。
再由N 〔0，1〕的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。
高考正态分布知识点
高考正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种重要的概率分布，也被称为钟形曲线或高斯分布。
在高考数学中，正态分布是一个常见的考察点，学生需要了解和掌握与正态分布相关的概念、性质和应用。
下面将详细介绍高考正态分布的知识点。
一、正态分布的定义和性质1. 正态分布的定义：正态分布是指在数理统计中，如果随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ²的正态分布，则记为X~N(μ, σ²)，其中N表示正态分布。
2. 正态分布的性质：（1）正态分布是对称的，其均值、中位数和众数都相等，即μ=中位数=众数。
（2）正态分布的图像呈现出典型的钟形曲线。
（3）正态分布的曲线在均值两侧呈现出逐渐减小的趋势，但是永远不会到达横轴。
（4）正态分布的曲线关于均值μ对称。
（5）正态分布的标准差σ越大，曲线越矮胖；标准差σ越小，曲线越瘦高。
（6）约68%的数据落在均值±1个标准差范围内；约95%的数据落在均值±2个标准差范围内；约99.7%的数据落在均值±3个标准差范围内。
二、正态分布的概率计算1. 标准正态分布：标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
记为Z~N(0, 1)。
对于标准正态分布，我们可以通过计算标准正态分布表来得到对应的概率值。
2. 普通正态分布：当随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)时，可以进行标准化处理，将X转化为一个服从标准正态分布的随机变量Z。
即Z=(X-μ)/σ，这样就得到了一个标准正态分布。
对于普通正态分布，可以通过标准正态分布表和标准化公式来计算相应的概率值。
3. 概率计算：对于正态分布，我们常常需要计算在某个区间范围内的概率值。
对于标准正态分布，可以利用标准正态分布表查找对应的概率值。
对于普通正态分布，可以将其转化为标准正态分布进行计算。
三、正态分布的参数估计1. 样本均值的抽样分布：在统计学中，我们经常需要对总体的均值进行估计。
对于正态分布，样本均值的抽样分布也是一个正态分布，并且其均值等于总体均值，方差等于总体方差除以样本容量的平方根。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布详解(很详细)
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
这是高等数学的内容，如果忘记了，课下 再复习一下。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
回忆我们在本章第三讲中遇到过的 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨 量的数据画出了频率直方图。
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
四、正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
下面我们在计算机上模拟这个游戏： 街头赌博
高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
请看演示 正态分布
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
P(|Y | 3 ) 0.9974
数学-2017届高二-数学正态分布2-课件(讲课)
) (
a
),
然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页)
从而，可计算服从（ , ）的正态分布
2
的随机变量 取值在a与b之间的概率.
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 4 5 (0.9426) 4 0.0574 (0.9426) 5 0.9707
例7.一 投 资 者 在 两 个 投 资 案 方中选择一个， 这两个投资方案的利X 润 （万元）分布 服从正态分布 N（8， 3 2 ） 和N（6， 2 2） 投 资 者要求“利润超过 5万 元 ” 的 概 率 尽 量 地 大，那么他应该选择一 哪个方案？
例9.一 建 桥 工 地 所 需 要 的 筋 钢的长度服从 正态分布 N（8， 4） ， 质 量 员 在 检 查 一 批 大钢 筋的质量时，发现有钢 的筋长度少于 2， 他 是 让钢筋工继续用钢筋割 切机截割钢筋呢？ 还是让钢筋工停止生， 产检修钢筋切割机？
小于1%， ~ N (175,36), P( x) 1 P( x)
x 175 ( ） 0.99, 6
x 175 1( ) 0.01, 也就是 6
x 175 x 175 ( ） 0.99, 查表得 2.33即x 188 .98. 6 6
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
正态分布知识点总结2u
正态分布知识点总结2u一、正态分布的基本概念1. 概率密度函数正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其数学表达式为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，$x$是随机变量的取值，$\mu$是分布的均值，$\sigma$是分布的标准差。
这个函数在$x=\mu$处取得最大值，然后随着$x$的偏离而逐渐减小。
换句话说，正态分布的大部分数据集中在均值附近，并且随着偏离均值越远，密度越低。
2. 均值和标准差正态分布的均值$\mu$决定了分布的位置，而标准差$\sigma$决定了分布的扁平程度。
当$\sigma$较小时，数据集中在均值附近，曲线变得更加陡峭；当$\sigma$较大时，数据分布更广，曲线变得更加平缓。
3. 性质正态分布有许多重要的性质。
其中最著名的是“三西格玛定理”，它指出约有68%的数据在均值的一个标准差范围内，约有95%的数据在均值的两个标准差范围内，约有99.7%的数据在均值的三个标准差范围内。
这个性质使得正态分布在统计推断中非常有用，因为我们可以通过均值和标准差来判断数据的集中程度。
二、正态分布的应用1. 统计推断正态分布在统计推断中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用正态分布的性质来进行假设检验，构建置信区间等等。
此外，许多统计模型的假设都是基于正态分布的形式，比如线性回归模型、方差分析模型等等。
2. 财务领域在财务领域，正态分布被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合优化等领域。
例如，资本资产定价模型（CAPM）假设资产的收益率服从正态分布，这使得我们可以通过对分布的均值和标准差进行估计，来评估投资组合的预期收益和风险。
3. 自然科学在自然科学中，许多自然现象都可以用正态分布来描述。
例如，地震的震级、雨量的分布、气温的变化等等都具有正态分布的特性。
这使得我们可以利用正态分布的概念来解释自然现象，并且进行相关的预测和分析。
知识讲解正态分布[理]
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正态分布【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2. 了解正态曲线与正态分布的性质。
【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1．概念：对于连续型随机变量X ，位于x 轴上方，X 落在任一区间（a ，b]内的概率等于它与x 轴、直线x a =与直线x b =所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数()f x 叫做X 的概率密度函数。
2、性质：①概率密度函数所取的每个值均是非负的。
②夹于概率密度的曲线与x 轴之间的“平面图形”的面积为1③()P a X b <<的值等于由直线x a =，x b =与概率密度曲线、x 轴所围成的“平面图形”的面积。
要点二、正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：22()2,()(R)x x x μσμσϕ--=∈，（0,σμ>-∞<<+∞）其中x 是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；σ是正态变量的标准差. 2．正态分布 （1）定义如果对于任何实数,()a b a b <随机变量X 满足：,()()baP a X b x dx μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布。
记为2(,)X N μσ。
（2）正态分布的期望与方差 若2(,)XN μσ，则X 的期望与方差分别为：EX μ=，2DX σ=。
要点诠释：（1）正态分布由参数μ和σ确定。
参数μ是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。
σ是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为22()2()(R)x f x x μσ--=∈，其中实数μ和σ为参数（0,σμ>-∞<<+∞），则称函数()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
正态分布原理
正态分布原理正态分布，又称高斯分布，是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它具有许多重要的性质，被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
正态分布的形状是对称的钟形曲线，其均值、方差和标准差是其分布特征的重要参数。
在实际应用中，正态分布常常被用来描述各种随机变量的分布规律，因此了解正态分布的原理和特点对于数据分析和统计推断具有重要意义。
正态分布的原理可以从多个角度来解释。
首先，从数学角度来看，正态分布是由数学家高斯在研究误差理论时提出的。
它的概率密度函数可以表示为一个关于均值和标准差的函数，其曲线在均值处达到最大值，两侧逐渐下降，呈现出典型的钟形。
这种对称的形状使得正态分布在描述随机变量时具有很好的性质，例如可以方便地计算概率、求解置信区间等。
其次，从统计学角度来看，正态分布在中心极限定理中扮演着重要的角色。
中心极限定理指出，大量独立随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这意味着在很多情况下，当我们对一组随机变量进行统计分析时，可以假设其总体分布近似为正态分布，从而简化了问题的复杂性。
此外，从实际应用的角度来看，正态分布在自然界和社会现象中的广泛存在也为其原理提供了实际基础。
例如，身高、体重、考试成绩等许多现象都呈现出正态分布的特征。
这种普遍性使得正态分布成为了一种重要的模型，可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
总的来说，正态分布的原理涉及数学、统计学和实际应用等多个方面，其重要性不言而喻。
了解正态分布的原理有助于我们更好地理解概率统计的基本概念，提高数据分析和统计推断的能力，为科学研究和实际应用提供有力支持。
因此，对于学习者来说，深入理解正态分布的原理是非常重要的。
在实际应用中，我们可以通过计算机软件进行正态分布的模拟和分析，从而更好地理解其原理和特点。
同时，也可以通过实际数据的分析来验证正态分布在现实中的应用情况，进一步加深对正态分布原理的理解和掌握。
总之，正态分布作为概率论和统计学中的重要概率分布之一，其原理和特点具有重要的理论和应用价值。
正态分布知识点
正态分布知识点在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用。
让我们一起来深入了解一下正态分布的相关知识。
正态分布也被称为高斯分布，其概率密度函数呈现出一种独特的钟形曲线。
这条曲线左右对称，中间高，两边逐渐降低并且无限趋近于横轴。
为什么正态分布如此重要呢？首先，它在自然界和社会现象中大量存在。
比如，人的身高、体重，学生的考试成绩，产品的质量指标等，很多都近似服从正态分布。
这是因为在许多情况下，众多微小的、相互独立的随机因素共同作用，最终导致了总体呈现出正态分布的特征。
正态分布具有两个关键参数：均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了曲线的中心位置，也就是分布的中心；标准差则决定了曲线的“胖瘦”程度。
标准差越大，曲线越“胖”，数据的离散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中在均值附近。
我们来具体说一说正态分布的性质。
正态分布的概率密度函数在均值处达到最大值。
而且，大约 68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，大约 95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，约 997%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这就是所谓的“68-95-997规则”，它为我们快速估计数据的分布范围提供了很大的便利。
正态分布的数学表达式看起来可能有些复杂，但理解其背后的意义是关键。
从实际应用的角度来看，正态分布为我们提供了一种方便的方式来描述和分析大量的数据。
比如在教育领域，学生的考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以通过分析成绩的分布情况，了解学生的整体学习水平和差异程度。
如果成绩分布过于集中，可能意味着教学难度不够，无法区分学生的能力；如果分布过于分散，则可能需要反思教学方法是否存在问题。
在工业生产中，产品的质量指标如尺寸、重量等也常常符合正态分布。
通过控制生产过程中的各种因素，使质量指标的分布尽可能接近正态分布，并将均值调整到目标值，同时减小标准差，可以提高产品的一致性和质量稳定性。
第二讲定量资料的统计描述和正态分布
Analyze
Frequencies
选项有：statistics、chart和format
2、2 Descriptives 过程
Analyze
Descripitive statistics
Frequencies
2、3 Expore过程
Analyze
Descriptive Statistics Explore Dependent List框：要分析变量 Plots Normality plots with test Continue OK
算数均数 (mean)
适用条件：对称分布，特别是正态或者近似正态分 布的资料。
几何均数 (geometric mean)
适用条件：偏态分布，但是经过对数变换之后呈正 态或近似正态分布的资料。
中位数 (median)
适用条件：偏态分布资料及两端无确切值或分布不 明确的资料。
定量资料的统计描述---离散程度
计算医学参考值范围常用的方法：
正态分布法 参考值 范围% 单侧 双侧 只有 下限
X 1.64S
百分位数法 单侧 只有 上限
X 1.64S
双侧
只有 下限 P5
只有 上限 P95
95
X 1.96S
P2.5~P97.5
99
X 2.58S
X 2.32S
X 2.32S
P0.5~P99.5
变异系数 (CV)
适用条件：比较度量单位不同或均数相差悬殊的资料
描述定量变量指标的正确选择
正态或近似正态分布的资料
均数和标准差
偏态分布的资料
中位数和四分位数间距
正态分布讲解（含标准表）
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x ex 式中的实数、)0(是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b ，随机变量X 满足,()()b aP aXB x dx ,则称X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～),(2N .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2N ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f ，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22xex f x（２）),(,221)(8)1(2xex f x （３）22(1)2(),(,)2x f x ex 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p 有11)2()1()2(p=1)1()2(=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x 是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x xP x ，其中00x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P xx 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00x 时，)(1)(00x x ；而当00x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x 的值)(0x 是指总体取值小于x 的概率，即)()(00x xP x ，)0(0x ．若00x ，则)(1)(00x x ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x，2x x 与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x xx x x ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(xx F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2N 取值的概率：68.3%2σx95.4%4σ99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(xex f x ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(f ＝21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)2xf x ex ，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布的解释
正态分布的解释
嘿，你知道正态分布不？这玩意儿可太有意思啦！就好像是一群人
站在一起，大部分人都处在中间的位置，只有少数人在两边。
比如说，咱们班的身高情况，大部分同学的身高都比较接近平均值，只有极个
别特别高或者特别矮的，这就是一种正态分布呀！
正态分布就像是一个神奇的规律，在生活中无处不在呢！你想想看，考试成绩不也是这样嘛！多数人成绩都在一个范围内波动，只有少数
学霸考得特别高，还有少数学渣考得特别低。
这多形象啊！
咱再拿人的智商来说吧，大多数人都是普通智商水平，只有极少数
是天才，极少数是智力不太好的。
这不就是正态分布在起作用嘛！
它就像是一个隐形的框架，把很多现象都框在里面了。
你说神奇不
神奇？
正态分布还能帮我们理解很多其他的事情呢。
比如说产品的质量，
大部分产品质量都不错，只有少量次品和少量特别优质的。
这不就跟
正态分布一个样嘛！
你看，正态分布是不是很有趣呀？它让我们能更好地理解这个世界，看到那些隐藏在背后的规律。
我觉得呀，正态分布真的是太重要啦，
它让我们能更清楚地认识各种现象，帮助我们做出更准确的判断和决
策呢！所以，可千万别小瞧了正态分布哦！。
正态分布的概念及求解方法的理解
正态分布的概念及求解方法的理解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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正态分布通俗理解
正态分布通俗理解
嘿，朋友！今天咱来唠唠正态分布。
你知道不，这正态分布啊，就像我们生活中的好多事情一样！比如说啊，咱就拿身高来举例。
你看，大多数人的身高是不是都在一个比较常见的范围内呀，特别高或者特别矮的只是一小部分人，这就是正态分布的一种体现嘞！
再比如说考试成绩。
往往大部分同学的成绩会集中在一个区间内，有少部分学霸考得特别好，也有少部分学渣可能成绩不太理想，但这都是正常的呀。
这多像正态分布呀！
它就好像是生活的一个法则一样，无处不在！你想想看，你身边是不是有很多事情都是这样，处在中间状态的情况特别多，而极端的情况比较少呢？这不就是正态分布在悄悄发挥作用嘛！
嘿，它还挺神奇的嘞！就好像是一个隐形的指挥棒，指挥着各种现象的分布。
咱日常生活中的好多事儿，不都是这样有规律的嘛！咱上班打车，大部分时候等车时间都不是太长也不是太短，这不也是一种正态分布吗？
还有咱的兴趣爱好，有些人特别痴迷某个东西，少部分人一点都不感兴趣，而中间很多人是有一点兴趣但又不是疯狂热爱，这也是正态分布的体现呀。
我觉得啊，正态分布真的是太有意思了！它让我们看到了生活中很多隐藏的规律和秩序。
它告诉我们，很多事情的发生都是有其一定的模式和概率的。
所以呀，我们在面对各种情况时，要学会理解这种分布，不要因为一些极端情况就大惊小怪，也不要忽视那些常见的情况。
因为这就是生活，正态分布无处不在的生活呀！咱得好好去感受它，利用它，让我们的生活变得更加有序和有趣嘞！。
正态分布解析式
正态分布解析式正态分布是一种常见的概率分布，在统计学和概率论中有着重要的应用。
它的解析式可以用数学公式来表示，但在本文中，我们将尽量避免使用数学公式，用简单易懂的语言来解释正态分布的概念和特点。
让我们来了解一下正态分布的定义。
正态分布又称为高斯分布，它是一种对称的连续概率分布。
它的解析式可以用以下方式表示：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底数。
正态分布的解析式可以帮助我们理解它的形状。
在正态分布中，大部分的观测值集中在均值附近，并且随着观测值离开均值越远，其出现的概率越低。
这种分布的形状呈钟形曲线，两侧逐渐下降并趋于无穷远。
正态分布在许多领域都有广泛的应用。
例如，在自然科学中，正态分布可以用来描述测量误差的分布情况。
在社会科学中，正态分布可以用来描述人群智力水平、身高、体重等指标的分布情况。
在工程学中，正态分布可以用来描述产品的质量控制过程。
正态分布还在金融学、经济学等领域中有着重要的应用。
正态分布的特点使得它成为许多统计分析方法的基础。
例如，许多假设检验方法都是基于正态分布的假设来进行的。
正态分布的特点还使得它成为许多随机变量的模型选择的首选。
在实际应用中，我们可以通过观察样本数据的分布情况来判断是否服从正态分布。
尽管正态分布在许多领域中有着广泛的应用，但我们也要注意到，不是所有的数据都服从正态分布。
在实际应用中，我们经常会遇到偏态分布、离群值等情况。
因此，在使用正态分布进行统计分析时，我们需要结合实际情况来判断是否适用。
正态分布是一种常见的概率分布，在统计学和概率论中有着重要的应用。
它的解析式可以用数学公式来表示，但我们也可以用简单易懂的语言来解释其概念和特点。
正态分布的形状呈钟形曲线，大部分的观测值集中在均值附近，并随着离均值的距离逐渐下降。
正态分布在许多领域中有着广泛的应用，在统计分析和模型选择中起着重要的作用。
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将上述结论推广到一般的正态分布,
概率论
X N (, 2 ) 时，
P(| X | ) 0.6827 P(| X | 2 ) 0.9545 P(| X | 3 ) 0.9973
可以认为，X的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准则” .
概率论
79.5-89.5
89.5-99.5
概率论
类似于此种曲线的分布，就是正态分布， 如：
一片森林中各树木的高度 学生成绩 产品规格 人的智商 人的体重
概率论
二、概率密度函数
f (x)
1
1 x 2
e 2 2
,
x
2
•f(x) = 随机变量 X 的频数 • = 总体方差 • =3.14159; e = 2.71828 •x = 随机变量的取值 (- < x < )
0.6827
0.9545
-σ σ
x
-2σ -σ x
0.9973
x
概率论
结 束, 谢谢
x ab
概率论
三、标准正态分布（P145）
一般正态分布
Z X
标准正态分布
1
x
Z
概率论
标准正态分布的重要性
1. 一般的正态分布取决于均值和标准差；
2. 计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的 正态概率分布表，这种表格是无穷多的；
3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表。
例3. 设ξ∽N（1，1） 求 P(ξ≤2.3)
概率论
5 3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
P(|X| 1)=2(1)-1=0.6827
P(|X| 2)=2(2)-1=0.9545
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9973
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
第二讲 正态分布
概率论
导言：正态分布的重要性
• 1. 描述连续型随机变量的最重要、最常见的分布 • 2. 可用于近似离散型随机变量的分布 • 3. 统计推断的基础（概率即面积） • 根据下图想一想正态分布图形有哪些特点？
f (x)
x
概率论
一、从实例进入概念
如以下为某班42名同学的统计学成绩表
且理论上永远不会与横轴相交(多么极端的情况都存在） 5. 正态曲线下的总面积等于1 6. 随机变量的概率由曲线下的面积给出
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置和高度， 决定了图
形中峰的陡峭程度和宽窄.
概率论
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!（值在其间的几率有多少） f(x)
8
69.5-795-99.5
4
2
0
概率论
连接直方图顶端中点，可得如下密度曲线
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
49.5-59.5
59.5-69.5
69.5-79.5
下面进行曲线性质和状态分析
• 单峰 • 一条对称轴 • 一条渐近线 • 众值、均值、中位值三线合一
49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.599.5
概率论
概率论
例1. 已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求 P（ ξ ≤1.3） P（ ξ ≥1.3） P（ ξ ≤－1.3） P（ 1.3≤ ξ ≤2.3） P（ -1.3≤ ξ ≤2.3） P（ -2.3≤ ξ ≤-1.3）
概率论
例2. P（ ξ ≤λ）＝0.975 P（ ξ ≥λ）＝0.05
概率论
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
X
Z
~ N (0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
3. 标准正态分布的分布函数
x
x
(x) (x)dt
1
t2 -
e 2 dt
2
概率论
标准正态分布表的使用
1. 将一个一般的正态分布转换为标准正态分布
• = 总体均值 •可以看出，概率密度函数是关于与的函数
概率论
正态分布函数的性质
1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x)>0
2. 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数 3. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值和
标准差来区分。 决定曲线的左右位置，决定曲线的
胖瘦
4. 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，
2. 计算概率时 ，查标准正态概率分布表
3. 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到 4. 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1
5. 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
P(a
X
b)
b
a
标准正态分布函数：P(ξ ≤Z)＝Φ(Z)
成绩
49.5-59.5 59.5-69.5 69.5-79.5 79.5-89.5 89.5-99.5
人数
4
8
18
8
4
18
16
14
12
49.5-59.5
10
59.5-69.5
8
69.5-79.5
79.5-89.5
6
89.5-99.5
4
2
0
概率论
18
16
14
12
49.5-59.5
10
59.5-69.5