保险精算学期末复习题目

1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元）

（2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）

2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 解：5000（1+8%）

5

×（1+11%）5=12385（元）

3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%）

-4

=5934.51（元）

（2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）

4．假设1000元在半年后成为1200元，求

⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ )

3(d 。

解：⑴ 1200)2

1(1000)

2(=+⨯i ；所以4.0)2(==i ⑵2

)2()2

1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n

d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()

(1)(；

所以， 13)3()1()3

1(-+=-i d ；34335.0)3(=d

5．当1>n 时，证明：

i i

d

d n n <<<<)

()

(δ。

证明：①)

(n d d <

因

为

，

+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)

(3

2)(2)(10)()()(1)1(1n

d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n

)

(1n d

->

所以得到，)

(n d d <；

②

δ<)

(n d

)1()

(m

n e

m d δ-

-=；m

m C m C m C m e

n

n

n

m

δ

δ

δ

δ

δ

δ

->-⋅+⋅-⋅+-

=-

1)()()(14

43

32

2

所以，δ

δ

=-

-<)]1(1[)

(m

m d

n

③)

(n i <δ

i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ

=+=+⋅)1ln()1ln()(i n

i n n

所以，

)1()(-⋅=n n e n i δ

m m C m C m C m e n

n

n

n

δ

δ

δ

δ

δ

δ

+>+⋅+⋅+⋅++

=1)()()(14

43

32

2

δ

δ

=-+>]1)1[()

(n

n i

n

④

i i

n <)

(

i n

i n

n +=+1]1[)

(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+

所以，

i i

n <)

(

6．证明下列等式成立，并进行直观解释：

⑴

n

m

m n m a v a a +=+；

解：i

v a n

m n

m ++-=

1，i v a m m

-=1，i

v v i v v a v n

m m n m n

m +-=-=1

所以，n m n

m m m n

m

m a i

v

v v a v a ++=-+-=+1

⑵n

m

m n m s v a a -=-；

解：i

v

a n

m n

m ---=

1，

i

v a m

m

-=

1，

i

v v s v n m m n m

--=-

所以，n

m n

m m

m

n m

m

a i

v

v v s v a --=-+-=-1

⑶

n

m

m n m a i s s )1(++=+；

解：i i s

m

m

1)1(-+=，i

i i i i i s i m n m n m

n

m )1()1(1)1()1()1(+-+=-++=++

所以，n m m

n m m n m

m

s i

i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(

⑷n

m

m n m a i s s )1(+-=-。

解：（同上题）略。

7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。

解：2

10

220211012020

210

301)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s -+++⋅-+=++⋅=

所以60岁时存款有

5.5975930030=⋅s （元）

由此知，

20

20s a X =⋅，可得X=7774.12（元）